? 吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 蔡欣彤

“一元二次方程”位于人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第二十一章,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、因式分解、平方根等知識后,對研究方程的基本思路比較熟知的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的,是方程知識的自然生長.本文中將“一元二次方程”內(nèi)容進(jìn)行了整合與重組,基于單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)理念,設(shè)計(jì)本單元起始課,彰顯數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和邏輯性,促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 情境引入

根據(jù)以下情境找出等量關(guān)系,并列出方程(組).

(1)用一根長54 cm的鐵絲圍成一個(gè)正方形.設(shè)正方形邊長為xcm.

(2)乒乓球比賽中,贏一場得2分,輸一場得1分,初三(2)班賽了12場后積20分.設(shè)贏x場,輸y場.

(3)800 m賽跑中,甲同學(xué)速度是乙同學(xué)的1.2倍,甲同學(xué)比乙同學(xué)成績快2 s.設(shè)乙同學(xué)速度為xm/s.

(4)某校學(xué)生人均閱讀量從七年級的每年85萬字增長到九年級的每年100萬字.設(shè)七年級到九年級人均閱讀量年均增長率為x.

(5)參加團(tuán)建活動的每兩人之間互送一件禮物,共送出了45件禮物.設(shè)有x人參加活動.

學(xué)生根據(jù)題意可列出方程(組)：

(5)x(x-1)=45.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置生活情境,讓學(xué)生在列方程的過程中,感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決問題的重要工具.同時(shí),隨著問題的加深,方程從一元到二元、從整式到分式、從一次到二次的過程中,初步形成方程體系的整體結(jié)構(gòu),感悟方程模型的廣泛性和簡潔性.

1.2 概念歸納

問題1以上列出的方程中,有我們學(xué)過的嗎?你能說出它們分別是哪一類方程并說明理由嗎?

問題2化簡方程(4)和方程(5),對比方程(1)(2)(3),它們有什么特點(diǎn),你能給它們命名嗎?

問題3一元一次方程的一般形式為ax+b=0(a≠0),類比一元一次方程,你能寫出一元二次方程的一般形式嗎?

追問1：說出一元二次方程的一般式中各項(xiàng)及系數(shù)分別是什么?

追問2：為什么要限制二次項(xiàng)系數(shù)a≠0?

思考：根據(jù)以上問題,你能說出一元三次方程、一元四次方程……一元n次方程嗎?

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí),歸納一元一次方程、二元一次方程及分式方程的概念和特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)各類方程的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),感受各類方程的區(qū)別與聯(lián)系,類比之后,順勢構(gòu)建一元二次方程的定義和一般形式,并拓展一元n次方程的形式.

1.3 解法探究

問題4根據(jù)方程的研究思路,在學(xué)習(xí)定義和一般形式之后,我們接下來應(yīng)該研究哪些內(nèi)容?

定義—解法—應(yīng)用.

問題5運(yùn)用已有知識如何解方程x2-25=0?

方法1：由x2-25=0,得x2=25,所以x1=5,x2=-5.

方法2：利用因式分解,將方程x2-25=0化成(x+5)(x-5)=0,得到x1=5,x2=-5.

學(xué)生解答后,教師給出這兩種解法的名稱,即“直接開平方法”和“因式分解法”,并歸納、概括解一元二次方程的基本思想：降次,將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程的形式求解.

探究1x2+6x+4=0能否用直接開平方的方法求解?

教師引導(dǎo)學(xué)生思考,將方程左邊轉(zhuǎn)化為x2+2bx+b2的形式,配成完全平方式后,便可以用直接開平方法求解了,從而得到解一元二次方程的另一種方法——配方法.

探究2如何用配方法得出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解?

師生共同推導(dǎo)求根公式,得到解一元二次方程的第四種方法——公式法.

拓展：嘗試解下列方程.

設(shè)計(jì)意圖：首先用一個(gè)簡單的方程介紹直接開平方法和因式分解法,建立“降次”的基本思想,再通過直接開平方法和配方法同根同源,將方程轉(zhuǎn)化為完全平方的形式,突破用配方法解一元二次方程的難點(diǎn),最后得到求根公式,幫助學(xué)生感悟四種方法之間的關(guān)聯(lián).拓展練習(xí)設(shè)計(jì)了一個(gè)一元三次方程和一個(gè)根式方程,學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛳氲綄⑺鼈冝D(zhuǎn)化為一元一次方程求解,體會類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

1.4 解決問題

問題6用方程解決實(shí)際問題的過程是什么?

設(shè)—列—解—檢—答.

問題7從地面豎直向上拋一小球,小球高度h與運(yùn)動時(shí)間t的關(guān)系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).

(1)填寫下表：

t/s01234……h(huán)/m

(2)小球運(yùn)動時(shí)間為多少時(shí),高度為0?

設(shè)計(jì)意圖：師生共同填寫表格,對于t的每一個(gè)確定的值,h都有唯一確定的值與之對應(yīng),從而使學(xué)生自然地想到函數(shù)關(guān)系;教師適時(shí)引領(lǐng)學(xué)生類比一次函數(shù)與一元一次方程解決問題,為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊.

1.5 課堂小結(jié)

討論1：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識?

討論2：你想對一元二次方程的哪部分內(nèi)容進(jìn)行深入研究?

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)不應(yīng)流于形式,應(yīng)鼓勵學(xué)生暢談?wù)n堂收獲,通過小結(jié)再次建構(gòu)本單元知識的內(nèi)在邏輯,同時(shí)對后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開思考,激發(fā)探究欲望.

2 教學(xué)反思

2.1 既見樹木,又見森林

在常規(guī)教學(xué)中,通常先將一元二次方程的定義、解法與應(yīng)用分開講解,再綜合到一起,這樣知識之間相互割裂,缺少關(guān)聯(lián).而在本節(jié)起始課的設(shè)計(jì)中,將知識點(diǎn)進(jìn)行了有機(jī)組合,先從整體上建構(gòu)本單元的知識體系,讓學(xué)生有整體感知,在后續(xù)的課程中再對具體知識點(diǎn)進(jìn)行鞏固.既關(guān)注局部,更著眼全局.同時(shí),學(xué)生通過自主探究與發(fā)現(xiàn),不僅理解了“是什么”與“為什么”,還知道了自己是“如何學(xué)會的”,利于感悟知識的生成過程、知識的本質(zhì)及知識間的相互聯(lián)系,形成全面思考的習(xí)慣,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.2 授人以魚,不如授人以漁

一元二次方程無論在學(xué)習(xí)內(nèi)容還是學(xué)習(xí)方法上,與一元一次方程、二元一次方程及分式方程都很相似,因此在引入部分不僅給出了關(guān)于一元二次方程的問題情境,而且設(shè)置了關(guān)于一元一次方程、二元一次方程和分式方程的情境,梳理整個(gè)方程體系,在共性與特性之中,類比歸納一元二次方程,預(yù)見新知如何發(fā)展,讓知識自然生長.著眼于學(xué)生最近發(fā)展區(qū),充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和已有經(jīng)驗(yàn),創(chuàng)設(shè)思維情境,促使學(xué)生自主探究,提高分析問題和解決問題的能力.

2.3 道而弗牽,開而弗達(dá)

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)注重立足于整體把握,在理解教材、數(shù)學(xué)與學(xué)生的基礎(chǔ)上,呈現(xiàn)環(huán)環(huán)相扣的問題,激發(fā)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中能夠與新知識一元二次方程同化的知識儲備,引導(dǎo)學(xué)生把新知識和舊知識聯(lián)系起來,逐步進(jìn)行探索和融會貫通,層層設(shè)問,由表及里、由淺入深地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力,開拓思維,讓學(xué)生成為課堂的主人.同時(shí),突破教學(xué)難點(diǎn),構(gòu)建一元二次方程知識框架.在此過程中鼓勵學(xué)生積極思考、合作交流,致力達(dá)到教師“舉一”而學(xué)生“反三”的教學(xué)效果.

單元教學(xué)作為一種能夠優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、整合數(shù)學(xué)知識與思想結(jié)構(gòu)的教學(xué)模式,是落實(shí)核心素養(yǎng)的重要途徑.單元教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主建構(gòu),在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)站在學(xué)生的視角,與學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合,對學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)單元的完整過程進(jìn)行合理規(guī)劃,引導(dǎo)其通過對各個(gè)小單元的學(xué)習(xí),建構(gòu)單元主題的大觀念,感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性.在教學(xué)中多采用啟發(fā)式、探究式、引導(dǎo)式等方法,開拓?cái)?shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究的更大空間.