? 福建省泉州師范學院附屬鵬峰中學 黃志陽

1 問題提出

2019年,中共中央國務院頒布的《關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》指出：穩(wěn)步推進初中學業(yè)水平考試省級統(tǒng)一命題,堅持以課程標準為命題依據(jù),不得制定考試大綱,不斷提高命題水平.2022年3月,《教育部辦公廳關于做好2022年中考命題工作的通知》要求：各地要認真落實依據(jù)義務教育課程標準命題的規(guī)定要求,不得超標命題和隨意擴大、壓減考試內容范圍,確保依標命題、教考銜接.

《義務教育數(shù)學課程標準(2022版)》(以下簡稱《新課標》)中刪除了“一元二次方程根與系數(shù)的關系”的星號(*),對韋達定理的要求由“選學”變成了“了解”：知道一元二次方程的根與系數(shù)的關系,能通過系數(shù)表示方程的根,能用方程的根表示系數(shù)[1]145.《新課標》指出,核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應用意識、創(chuàng)新意識這九個方面的關鍵能力.在義務教育階段,數(shù)學的思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力.運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力[1]7-8.

數(shù)學運算是最核心、最關鍵的教學內容之一,因此培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力是最基本、最重要的教學任務之一[2]．本文中通過對2022年全國部分數(shù)學中考題的梳理,立足韋達定理對提高學生運算能力的常見題型進行剖析,達成學生數(shù)學關鍵能力的培養(yǎng)目標.

2 中考韋達定理的應用試題研究

韋達定理及其運用對提高學生的運算能力有著重要作用,中考中主要以填空題、選擇題或簡單解答題的形式出現(xiàn),要求學生根據(jù)韋達定理和運算律進行運算,難度適中,吻合課標的要求.

2.1 直接應用

例1(2022湖北·黃崗中考)若一元二次方程x2-4x+3=0的兩個根是x1,x2,則x1x2的值是______．

評析：直接考查韋達定理的應用.答案為3.

例2(2022湖南·婁底中考)若實數(shù)x1,x2是一元二次方程x2+x-1=0的兩根,則x1x2=______．

評析：直接考查韋達定理的應用.答案為-1.

2.2 結合乘法公式的應用

評析：考查韋達定理的靈活應用.因為x1+x2=-6,x1x2=4,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=20.答案為20.

2.3 隱藏韋達定理結構的應用

有些題目咋一看似乎跟韋過定理無關,細看就可見端倪,隱藏了韋達定理的結構.

例5(2022山東·濱州中考)若m+n=10,mn=5,則m2+n2的值為______.

評析：考查韋達定理的靈活應用.m2+n2=(m+n)2-2mn=90.答案為90.

2.4 含參數(shù)方程的應用

2.4.1 已知方程一根,求參數(shù)的值

例7(2022四川·樂山中考)關于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有兩根,其中一根為x=1,則這兩根之積為______.

評析：既考查韋達定理的靈活應用,又考查方程根的意義.

A.7 B.-7 C.6 D.-6

評析：既考查韋達定理的靈活應用,又考查方程根的意義.

2.4.2 根據(jù)方程兩根的關系式,求參數(shù)的值

例9(2022湖北·隨州中考)已知關于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實數(shù)根x1,x2.

(1)求k的取值范圍;

(2)若x1x2=5,求k的值.

評析：既考查韋達定理的靈活應用,又考查方程根的意義.

例10(2022湖北·仙桃中考)若關于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0有兩個實數(shù)根x1,x2,且(x1+2)(x2+2)-2x1x2=17,則m=( ).

A.2或6 B.2或8 C.2 D.6

評析：既考查韋達定理,又考查韋達定理存在的前提是方程存在實根.

3 韋達定理的教學建議

運算能力不能脫離具體的數(shù)學知識而孤立存在,也不能離開其他核心素養(yǎng)而獨立發(fā)展[3].依托韋達定理抽象的數(shù)學結構,能促進學生邏輯推理能力的發(fā)展.

3.1 注重學習過程

應該從系統(tǒng)的角度學習知識,置知識于系統(tǒng)之中,著眼于知識的聯(lián)系與規(guī)律,從而深入本質,因為聯(lián)系和規(guī)律就是事物本質的體現(xiàn)[4].在教學中,要把重點放在韋達定理的探究過程,指導學生思考韋達定理的證明過程,不能輕過程、重結論.開展數(shù)學教學活動,目的在于在教學過程中培養(yǎng)學生的思考能力、學習能力、知情意行的結合能力、結果與過程的兼顧能力.真實經歷體驗過程,讓認識從感性上升到理性,積累活動經驗,這對提高學生的數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)有著積極的意義.

3.2 加強變式訓練

數(shù)學運算應充分利用學生已有數(shù)學經驗;數(shù)學運算材料的設計應注重變式;應注重對數(shù)學運算規(guī)則的理解;應適當揭示數(shù)學運算背后的算理;應注重算法多樣化與必要優(yōu)化.通過對數(shù)學運算材料的適當變化,突出與強調其中的不變因素與關鍵特征,促進學生對相應數(shù)學運算的深入理解、牢固掌握與靈活運用[2]．數(shù)學運算是解決問題的基本手段.因此要求學生能夠明晰運算的對象和意義,理解算法與算理之間的關系;能夠理解所運算的問題,選擇合理簡潔的運算策略;能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展.運算能力的提升有助于形成規(guī)范化思考問題的品質,養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度[1].

3.3 關注思想滲透

學習一種數(shù)學運算,不僅要學習相應的運算技能,更重要的是要逐步理解與掌握其背后所蘊含的數(shù)學知識[2]．從思想上看,韋達定理的學習過程,始終貫穿著整體思想、化歸思想和模型思想.把兩根和與積看成一個整體,計算出一個簡潔的結果,這種整體思想給化簡和計算帶來了簡便;把不同類型的問題,轉化為一元二次方程的兩根和與積的問題;構造兩根和與積的形式,根據(jù)模型解決問題,豐富了學生數(shù)學運算的手段.數(shù)學思想的形成不可能一蹴而就,它是一個動態(tài)、螺旋式上升的過程.數(shù)學定理揭示了數(shù)學規(guī)律的不變性,通過對定理的學習,能夠促進學生數(shù)學思想的形成與發(fā)展.

4 結語

將“一元二次方程根與系數(shù)的關系”調整為必學內容,要讓學生知道利用一元二次方程的根與系數(shù)關系可以解決一些簡單的問題.用配方法推導求根公式時,要把根與系數(shù)關系的來龍去脈講清楚,而不是強調復雜的計算練習[5].

數(shù)學思想方法、邏輯知識在對學生的關鍵能力,特別是高水平關鍵能力的形成和發(fā)展起著催化和固化作用[6].韋達定理的教學,不宜人為拔高難度,要緊扣通過韋達定理提升學生運算能力這個目標,讓學生通過韋達定理的來源與應用,學會利用基本知識、基本技能進行解題,領悟化歸、轉化思想和模型思想,積累更豐富的基本活動經驗,提升關鍵能力.