盧皓卓 江守燕

(河海大學(xué) 工程力學(xué)系, 南京 211100)

大體積混凝土結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于土木、水利等基礎(chǔ)設(shè)施中,而混凝土抗拉強度低的力學(xué)特性決定了其極易產(chǎn)生裂紋,裂紋是降低混凝土安全性的主要病害,因此對混凝土進行裂紋檢測十分必要.無損檢測方法是在不破壞待測結(jié)構(gòu)自身的情況下,利用儀器對結(jié)構(gòu)缺陷進行原位檢測,從而判斷缺陷的位置、形狀與尺寸等特征,為分析與評估結(jié)構(gòu)的安全性提供依據(jù).基于波傳播規(guī)律的混凝土裂紋無損檢測方法已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用,按照波的類型主要可以分為基于表面波(瑞利波)的檢測方法[1-3]、基于剪切波(SH、SV 波)的檢測方法[4-6]等.

隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展,數(shù)值仿真模擬與智能算法相結(jié)合的裂紋檢測方法是近年來研究方向之一.在數(shù)值模型方面,擴展有限元法(extended finite element methods,XFEM)[7]在裂紋形態(tài)演化時無需重劃分網(wǎng)格,是含裂紋體結(jié)構(gòu)建模的常用工具[8-10];通過與各種人工吸收邊界的結(jié)合[11-13]可在減小模型求解域的同時,消除模型邊界反射波對模擬結(jié)果的干擾.在智能算法方面,Jung等[14]提出了一種基于梯度的優(yōu)化算法,對XFEM 裂紋模型波動響應(yīng)進行反演;Rabinovich等[15]提出了基于XFEM 對含裂紋模型大量樣本進行正演,再通過遺傳算法進行反演的方法;王佳萍等[16]在此基礎(chǔ)上進行了進一步研究;Sun等[17]提出了一種自適應(yīng)的增強人工蜂群反演算法,與XFEM 建模正演相結(jié)合;在此基礎(chǔ)上,沈?qū)W港等[18]進行了進一步研究,提出了一種多缺陷三步反演方法;Jiang等[19]提出了將機器學(xué)習(xí)與XFEM 相結(jié)合,采用極限學(xué)習(xí)機算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),以實現(xiàn)多缺陷反演.相比而言,人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能更高效地處理正演數(shù)據(jù)特征,獲得較準(zhǔn)確的反演結(jié)果,被較多學(xué)者關(guān)注[20-23].

本文提出了一種基于波動響應(yīng)的頻域特征和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的裂紋反演模型.分別對單裂紋和雙裂紋情形,采用數(shù)值模擬方法,通過在檢測域內(nèi)產(chǎn)生大量裂尖位置坐標(biāo),計算、提取特定位置傳感器在每個裂尖位置下的響應(yīng)信號,提取特定頻率范圍內(nèi)的幅值數(shù)據(jù),產(chǎn)生一個包含大量樣本的頻域特征—裂尖坐標(biāo)數(shù)據(jù)集,以供神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練,從而建立裂紋反演數(shù)據(jù)模型.在實際應(yīng)用中,只需輸入傳感器的響應(yīng)信號,便可輸出裂尖坐標(biāo).

1 擴展有限元法

1.1 XFEM 位移模式

XFEM 通過在常規(guī)有限元的位移模式上引入具有不連續(xù)性質(zhì)的改進函數(shù)來實現(xiàn)對不連續(xù)問題的表征.對于裂紋問題,采用兩個改進函數(shù),即Heaviside改進函數(shù)H(x)和裂尖改進函數(shù)G l(x):

式中:x為考察點的位置坐標(biāo);x*為考察點在裂紋面上投影點的位置坐標(biāo):n為裂紋面在x*處的外法線方向的單位向量.

式中:r,θ為裂尖局部極坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo).

采用水平集法,可以確定裂紋與單元的位置關(guān)系,進而把單元分為二類(具體方法可參閱文獻[24]):一是Heaviside改進單元,其節(jié)點組成的集合記為S1,應(yīng)用改進函數(shù)H(x);二是裂尖改進單元,其節(jié)點組成的集合記為S2,應(yīng)用改進函數(shù)G l(x).進而,XFEM 位移模式可以表示為:

式中:N i(x)為第i個節(jié)點在常規(guī)有限元法中的插值形函數(shù);N*i(x)為第i個節(jié)點對應(yīng)的單位分解函數(shù),通常取為與N i(x)相同的形式;u i為第i個節(jié)點在常規(guī)有限元法中的位移;v i為第i個第一類改進節(jié)點的位移;w il為相關(guān)的第二類改進節(jié)點的位移;S0為有限元模型求解區(qū)域內(nèi)所有節(jié)點的集合.

1.2 XFEM 控制方程

按照上述位移模式,運用虛功原理,得到XFEM的控制方程為:

式中:K ij為整體剛度矩陣;C ij為整體阻尼矩陣;M ij為 整 體 質(zhì) 量 矩 陣(i,j=u,v,w);x,分 別 為 節(jié) 點位移、速度、加速度列陣(x={u,v,w});F i為節(jié)點荷載列陣(i=u,v,w).

2 多向吸收邊界模型

對大體積結(jié)構(gòu)進行波動響應(yīng)模擬時,若選擇對整個結(jié)構(gòu)進行完全模擬,將需要很大的計算量.一般情況下,裂紋擴展的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)的尺寸,故可以考慮取裂紋附近的一定區(qū)域作為模擬域以減小計算成本.但此方案同時會帶來應(yīng)力波在區(qū)域邊界上反射,進而需要在模擬區(qū)域邊界加以一定厚度的反射層.按照文獻[12],采用一種基于瑞利阻尼的多向吸收邊界層方法.該模型通過對吸收邊界層中不同位置加不同的阻尼比來實現(xiàn),表達(dá)式為:

式中:α為控制衰減的系數(shù);x為考察點的位置坐標(biāo);xΓ為吸收層外邊界上一點的位置坐標(biāo);ξ0為吸收層厚度,為吸收層外邊緣的阻尼比.即該模型中,阻尼比在吸收邊界層的外邊緣處為最大值ξ0,沿厚度方向呈指數(shù)衰減,在吸收邊界層與檢測域交界的內(nèi)邊緣處為最小值ξ0e-α.

瑞利比例阻尼方法將阻尼矩陣表示為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合:

式中:C為阻尼矩陣;M為質(zhì)量矩陣;K為剛度矩陣;a1、a2為瑞利阻尼系數(shù),與阻尼比的關(guān)系為:

考慮在兩個波動頻率f1、f2的情形下,確定瑞利阻尼系數(shù)a1、a2,使得兩個波動頻率下的阻尼比均為ξ,方程如下:

解出a1、a2,并寫成關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù)形式:

結(jié)合式(5),即得到邊界層中一點的瑞利阻尼系數(shù)關(guān)于位置坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系.

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

機器學(xué)習(xí)是一種通過輸入包含大量樣本的數(shù)據(jù)集,自動改進計算機程序算法或參數(shù)的方法.即使當(dāng)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系復(fù)雜,難以使用數(shù)學(xué)表達(dá)式顯式描述時,機器學(xué)習(xí)仍能夠應(yīng)用于建立輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.例如分類、擬合或聚類等.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種類似于人類大腦結(jié)構(gòu)和神經(jīng)系統(tǒng)工作原理的機器學(xué)習(xí)方法.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點都可以通過多個輸入信號通過函數(shù)運算得到一個輸出信號.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常采用多層結(jié)構(gòu),每層中節(jié)點的輸出與下一層中節(jié)點的輸入相連.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點對輸入數(shù)據(jù)的處理包括加權(quán)、偏置和激活,輸出值的表達(dá)式為:

式中:w為權(quán)值列陣;x為輸入值列陣;b為偏置值;φ(*)為激活函數(shù).φ(*)的常用形式包括Sigmoid函數(shù):

雙曲正切函數(shù):

修正線性單元函數(shù):

激活函數(shù)使得傳播過程具有非線性特征,網(wǎng)絡(luò)為多層時,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠處理高度非線性問題.

經(jīng)過正向傳播后,為了評價輸出值與實際值的差距,需要定義損失函數(shù),較為常用的損失函數(shù)為平均平方誤差函數(shù):

式中:x i為第個預(yù)測值;x*i為第個真實值;n為一次優(yōu)化的輸出值個數(shù).

反向傳播用于調(diào)整每個神經(jīng)元的權(quán)重值列陣和偏置值.常用的方法是梯度下降算法,其迭代格式為:

式中:W為所有可訓(xùn)練參數(shù)的列陣;β為學(xué)習(xí)率;當(dāng)網(wǎng)絡(luò)為多層時;?L/?W i的值需由鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則確定.

4 數(shù)值模型

選擇二維模型進行模擬,原結(jié)構(gòu)模型為長24 m,高12 m 的矩形;模擬域幾何模型為長4.0 m,高1.6 m的矩形.混凝土按照各向同性材料建模,彈性參數(shù)為:彈性模量E取30 GPa,泊松比υ取0.2,質(zhì)量密度ρ取2 500 kg/m3.將模型上邊界中點設(shè)定為坐標(biāo)原點,激勵信號源位于(-1.0 m,0.0 m),大尺寸原結(jié)構(gòu)模型、模擬域包含單裂紋和雙裂紋的模型示意如圖1所示.

圖1 幾何模型(單位:m)

壓縮波速和剪切波速按照下式計算:

計算出剪切波速為2 236 m/s,壓縮波速為3 651 m/s.信號的兩個主頻f1、f2分別選取為相同波長的壓縮波頻率fp和剪切波頻率fs.波長λ取為0.5 m,由f i=c i/λi,計算出f1=fp=7 302 Hz,f2=fs=4 472 Hz.信號波形取為等振幅的兩主頻正弦波疊加后,經(jīng)漢寧窗處理后得到的波形,表達(dá)式為:

式中:Hw(*)為漢寧窗函數(shù),其表達(dá)式為:

式中:τ為窗口寬度,取2×10-3s;而A(t)為兩主頻的正弦波的疊加,表達(dá)式為:

式中:A0為正弦波的振幅,取為10μm,激勵信號波形如圖2所示.

圖2 激勵信號

采用四邊形線性等參單元,單元邊長取為波長的1/10,即0.05 m.由于采用XFEM 網(wǎng)格無需沿裂紋布置,可以采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分方式以提高網(wǎng)格質(zhì)量.整個模型共2560個單元,共2 673個結(jié)點,網(wǎng)格如圖3所示.

圖3 單裂紋情形下傳感器布置

為達(dá)到充分吸收效果,吸收邊界厚度取為與波長相等[12],即0.5 m.對于吸收邊界區(qū)域內(nèi)每個單元,取單元形心位置坐標(biāo)x代入式(9)確定單元瑞利阻尼系數(shù).經(jīng)試模擬計算,式(5)中取時具有較好的吸收效果.為提高數(shù)值模擬精度,時間步長取為波動周期f-1的1/50,這里取為2.5μs.為使響應(yīng)輸出點獲得較完整的時域響應(yīng),總時間取為6 ms.由于裂縫以XFEM 定義,改變裂尖位置無需對混凝土模型進行修改.對于單裂紋情形,共設(shè)置357種不同裂尖位置;對于雙裂紋情形,共設(shè)置750種不同裂尖位置組合.

5 響應(yīng)分析

以單裂紋情形為例,分析不同傳感器位置和不同裂尖位置下的響應(yīng).在裂紋右側(cè)布置兩個傳感器:位于(1.0 m,0)即與信號源關(guān)于裂紋開口處對稱的傳感器1、位于(0.1 m,0),即緊鄰裂紋的傳感器2,如圖3所示.

傳感器用于輸出y方向上的振動響應(yīng),對時域響應(yīng)進行快速傅里葉變換,并求各頻率的幅值,得到頻譜曲線.為驗證多向吸收邊界的吸收效果,取裂尖位置不變,比較圖1(b)所示模擬域、未設(shè)置吸收邊界的模擬域、圖1(a)所示大尺寸完整模型的模擬結(jié)果,3種模型中傳感器1接收響應(yīng)的頻譜曲線如圖4所示.

不難發(fā)現(xiàn),設(shè)置了吸收邊界的小尺寸模擬域與大尺寸模型中實際響應(yīng)相近,頻譜曲線基本重合;而未設(shè)置吸收邊界的模型由于反射波的干擾,幅值明顯偏大.說明該多向吸收邊界模型效果較好,在減小模擬域的同時,消除了邊界反射波的干擾.

傳感器1在裂尖橫坐標(biāo)x=-0.10 m 不變,不同深度y下5條頻譜曲線、深度y=0.45 m 不變,不同橫坐標(biāo)x下5條頻譜曲線如圖5所示.

可以發(fā)現(xiàn),頻譜曲線具有較明顯的4個峰值,分別所處的頻率范圍見表1.其中,頻段3、4為輸入信號的兩主頻,頻段1、2 是由傳播過程中的頻散造成的.不難發(fā)現(xiàn),頻段3幅值具有隨深度增加而單調(diào)減小的特點,而對x不敏感;頻段4幅值明顯且呈現(xiàn)出隨|x|的增大而降低的規(guī)律,而對x的符號不敏感;頻段2幅值隨x增大(裂尖向右移動)而略有升高.

表1 頻譜曲線各段頻率范圍

傳感器1在裂尖橫坐標(biāo)x=0.10 m 不變,不同深度下5條頻譜曲線、深度y=0.45 m 不變,不同橫坐標(biāo)x下6條頻譜曲線如圖6所示.

圖6 傳感器2的頻譜曲線

顯然,頻譜曲線仍然具有表中的4個明顯頻段.可以發(fā)現(xiàn),頻段3 仍然與裂尖深度具有良好的相關(guān)性:隨裂尖深度增加,頻段3幅值降低.低頻成分隨著裂尖橫坐標(biāo)x的增加而迅速增長:當(dāng)x＜0時,低頻成分較弱:當(dāng)x＞0時,低頻成分很強.根據(jù)低頻段的幅值,可以輕易地判斷x的符號,即判斷裂紋向左還是向右傾斜.

結(jié)合對兩傳感器信號頻譜的分析,可以初步得出:當(dāng)給定裂尖水平位置時,裂尖深度可由兩傳感器的響應(yīng)頻段3幅值反映;當(dāng)給定裂尖深度時,裂紋在水平方向上的跨度(傾斜程度)可由傳感器1的響應(yīng)信號頻段4的幅值進行反映,而裂紋傾斜方向可由傳感器2的響應(yīng)信號低頻段的幅值來確定.能夠把響應(yīng)特征和裂尖位置建立一定關(guān)系,通過機器學(xué)習(xí)反演裂紋具有可行性.

按照此思路,對于雙裂紋情形,在兩裂紋之間設(shè)置與信號源關(guān)于裂紋開口處對稱的傳感器1、緊鄰裂紋1的傳感器2,在裂紋2右側(cè)設(shè)置與其相距一定距離的傳感器3、緊鄰裂紋2的傳感器4,如圖7所示.由傳感器1、2和3、4分別推測兩裂紋深度,由傳感器1和3分別判斷兩裂紋傾斜程度,由傳感器2和4分別判斷兩裂紋傾斜方向.

圖7 雙裂紋情形下傳感器布置方案

6 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的裂紋反演

6.1 數(shù)據(jù)集和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立

由于頻譜特征集中于特定頻率區(qū)間內(nèi),考慮在上一章所述4個頻段中,以100 Hz作為間隔,提取每個頻率對應(yīng)幅值作為特征,見表2.

表2 各頻段提取特征頻率值

為了加快收斂,對標(biāo)簽和特征數(shù)組按列進行歸一化處理,使得數(shù)據(jù)全部落在區(qū)間內(nèi):

式中:X i,Xnori分別表示數(shù)組第i列原始和歸一化后的列陣.

將歸一化后的標(biāo)簽和特征數(shù)組按照訓(xùn)練集80%,驗證集和測試集各10%的比例進行切分,見表3.

表3 數(shù)據(jù)集切分

訓(xùn)練模型時,較小的學(xué)習(xí)率會導(dǎo)致需要更多迭代步數(shù),而較大的學(xué)習(xí)率可能造成難以收斂,考慮使用隨迭代步數(shù)而變化的學(xué)習(xí)率,采用指數(shù)衰減:

式中:βi為第i步學(xué)習(xí)率;β0為初始學(xué)習(xí)率;a,b表示每經(jīng)b步,學(xué)習(xí)率衰減到1/α;經(jīng)調(diào)整,取β0=0.1,a=2,b=100.

6.2 裂紋反演效果

為了增加預(yù)測精確度,每次訓(xùn)練-預(yù)測過程中所有可訓(xùn)練參數(shù)按照N(0,1)分布獨立隨機產(chǎn)生,并將訓(xùn)練—預(yù)測過程獨立運行400次,以測試集預(yù)測結(jié)果的平均值作為裂尖坐標(biāo)反演結(jié)果.某樣本裂尖各坐標(biāo)分量的預(yù)測情況和正態(tài)分布擬合曲線如圖8所示(實際值為:x1=-0.4,y1=0.5,x2=0.4,y2=0.6,單位:m),均值與真實值較為接近.

圖8 裂尖各坐標(biāo)預(yù)測值分布

對各樣本裂尖坐標(biāo)分量預(yù)測值按照誤差大小按區(qū)間進行計數(shù),結(jié)果見表4～5.可以發(fā)現(xiàn),除了雙裂紋情形下對y2的預(yù)測外,絕大部分預(yù)測值誤差在5 cm 以內(nèi),反演效果較好.總體上,該預(yù)測模型對裂尖橫坐標(biāo)的預(yù)測準(zhǔn)確度高于縱坐標(biāo);雙裂紋情形下,對裂紋1的預(yù)測準(zhǔn)確度高于裂紋2.

表4 單裂紋各樣本預(yù)測值按誤差范圍計數(shù)

表5 雙裂紋各樣本預(yù)測值按誤差范圍計數(shù)

為了改善對y2預(yù)測的準(zhǔn)確度,考慮在裂紋2右側(cè)增加傳感器,以增加輸入特征數(shù)量.y2誤差分布與新增傳感器數(shù)量na的關(guān)系見表6.不難發(fā)現(xiàn),增加傳感器數(shù)量可以明顯減小預(yù)測誤差.在實際運用中,可以根據(jù)預(yù)期精度選擇布置傳感器數(shù)量.

表6 y 2 誤差與新增傳感器數(shù)量

7 結(jié) 論

提出了一種基于響應(yīng)信號頻域特征和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的裂尖位置反演方法,可用于對大體積混凝土結(jié)構(gòu)中裂紋的實時無損檢測.第一步,建立基于XFEM和吸收邊界層的波動模擬模型,通過兩主頻正弦波的激勵,波跨過裂紋傳播,對不同位置的傳感器造成不同的響應(yīng)變化,提取特定頻段的幅值作為特征,形成數(shù)據(jù)集.第二步,搭建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),得到裂尖坐標(biāo)的反演模型,再輸入未知裂尖位置下的響應(yīng)特征,可實現(xiàn)對該裂尖位置的預(yù)測.主要結(jié)論如下:

1)通過XFEM 實現(xiàn)帶裂紋結(jié)構(gòu)的建模,可以避免因裂紋改變而重新劃分網(wǎng)格,大大減小了前處理的工作量,也便于基于節(jié)點編號提取特定點的響應(yīng).

2)采用吸收邊界層可以在減小模擬域的同時,保證響應(yīng)信號不受邊界反射波的干擾,即可在裂紋附近的小區(qū)域內(nèi),模擬半無限模型的響應(yīng)情況.

3)不同位置的傳感器頻譜曲線具有相同的特征頻段,但幅值隨裂尖位置的變化規(guī)律各不相同.特定傳感器的特定頻段呈現(xiàn)出與裂尖坐標(biāo)分量的明顯相關(guān)性,決定了以頻域作為數(shù)據(jù)特征進行機器學(xué)習(xí)的可行性.同時,僅提取特定頻段的幅值,相較于輸入整個時域響應(yīng)數(shù)據(jù),大大減小了特征數(shù)據(jù)量,降低了模型訓(xùn)練成本.

4)該數(shù)據(jù)模型具有良好的準(zhǔn)確度,且隨采用傳感器數(shù)量的增加,準(zhǔn)確度可進一步提升.