蘇日娜，趙 威

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043；2.滿洲里市第一中學(xué)，內(nèi)蒙古 滿洲里 021400）

常微分方程是研究自然科學(xué)中各類事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法［1］。該課程學(xué)時(shí)短、知識點(diǎn)繁雜且概念多，內(nèi)容晦澀抽象，且與物理、生物、化學(xué)、工程和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域結(jié)合緊密。為了能夠使常微分方程這門課程的發(fā)展與時(shí)俱進(jìn)，符合時(shí)代背景，許多高校教師對該課程如何突破“傳統(tǒng)教學(xué)”模式、建設(shè)并豐富“線上課堂”等教學(xué)改革進(jìn)行了深入探索與研究，王麗麗等［2］將MOOC與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合構(gòu)建新的平臺，并給出可行教學(xué)模式；涂強(qiáng)等［3］考慮了線上資源的構(gòu)建和線下教學(xué)模式的改進(jìn)，提煉出調(diào)整課程建設(shè)的相關(guān)方案；廖芳芳等［4］以多元智能理論為基礎(chǔ)，將網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的互動(dòng)與數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)融合，構(gòu)建了一種新的教學(xué)模式。根據(jù)常微分方程的課程目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，從“線上”+“線下”多元融合的角度出發(fā)，提出了幾點(diǎn)改進(jìn)常微分方程教學(xué)模式的建議。

1 常微分方程課程教學(xué)現(xiàn)狀分析

常微分方程課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一，要求學(xué)生具備并掌握數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等基礎(chǔ)知識。本課程主要目的是利用微積分思想，結(jié)合線性代數(shù)、解析幾何等知識來解決數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科中出現(xiàn)的若干微分方程問題，促使學(xué)生有效地掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為他們后續(xù)課程的學(xué)習(xí)如生物數(shù)學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)、泛函分析和數(shù)學(xué)物理方程做準(zhǔn)備。此外，本課程具有強(qiáng)大的實(shí)用背景，在學(xué)習(xí)和練習(xí)過程中不僅能夠使學(xué)生們理解數(shù)學(xué)建模的一些基本思想，了解當(dāng)今社會存在的一些非線性問題，還能夠?yàn)閷韽氖孪嚓P(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作奠定基礎(chǔ)。

在傳統(tǒng)的常微分方程教學(xué)中，教師的主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的知識能力。通常在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)，教師會重點(diǎn)講授核心基礎(chǔ)知識，并通過關(guān)聯(lián)性的串講來幫助學(xué)生理解知識點(diǎn)。此外，教師還會提供少量練習(xí)題，以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容［5］。在這個(gè)過程中，提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生成績的主要途徑是合理設(shè)置教學(xué)內(nèi)容，并采用有效的精講、小組研討和研讀文獻(xiàn)等方式，以實(shí)現(xiàn)理論知識的傳授和實(shí)踐操作的練習(xí)。值得注意的是，盡管線下教學(xué)環(huán)節(jié)有助于教師完成教學(xué)進(jìn)度、直觀地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并且在教學(xué)管理方面也比較方便，但仍存在一些弊端。

1.1 教學(xué)內(nèi)容過于陳舊

常微分方程的教學(xué)內(nèi)容通常分為理論部分、求解方程部分和模型應(yīng)用部分。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，一些新的理論、方法和應(yīng)用在常微分方程領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)，然而在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，由于學(xué)時(shí)有限，教材和教師可能更側(cè)重于傳授理論和解方程2個(gè)部分，很少將常微分方程的發(fā)展史及其在自然科學(xué)中應(yīng)用的最新成果及時(shí)引入課堂，這可能導(dǎo)致學(xué)生在課程學(xué)習(xí)過程中無法及時(shí)了解到最新的發(fā)展動(dòng)態(tài)，限制了他們對常微分方程領(lǐng)域的深入理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

1.2 教學(xué)手段過于單一

在線下課堂教學(xué)中，大多數(shù)任課教師仍舊采用“純板書”的方式教學(xué)，照本宣科。這種方式雖然能夠在有限的時(shí)間內(nèi)開展教學(xué)，從而完成教學(xué)進(jìn)度，但是往往忽略了學(xué)生的積極性、主動(dòng)性。同時(shí)，對于一些抽象概念和復(fù)雜的計(jì)算步驟，僅僅通過板書講解也不夠直觀和易于理解。此外，傳統(tǒng)板書的效果也受到教師書寫速度和清晰度的影響，可能導(dǎo)致信息傳遞不夠準(zhǔn)確或者難以跟上教師的講解節(jié)奏。

1.3 教學(xué)評價(jià)過于薄弱

在修改教學(xué)大綱之前，常微分方程課程采用平時(shí)成績（30%）+期末考試成績（70%）的方式進(jìn)行評價(jià)，平時(shí)成績占比相對較少，且僅采用作業(yè)、考勤等方式，評價(jià)模式單一。傳統(tǒng)教學(xué)注重學(xué)生的考試成績，輕視過程性考核。同時(shí)，學(xué)生只追求高分，而缺乏對知識的實(shí)際應(yīng)用和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

為了改進(jìn)常微分方程課程教學(xué)模式的不足，提供更全面的教學(xué)資源，發(fā)展并建設(shè)完善的常微分方程線上教學(xué)資源變得非常必要。筆者結(jié)合信息技術(shù)，探討常微分方程“線上”+“線下”多元融合的教學(xué)方案，以期實(shí)現(xiàn)教學(xué)模式的改進(jìn)。

2 “線上”+“線下”多元融合教學(xué)模式的探索與構(gòu)建

多元融合教學(xué)模式的設(shè)計(jì)思想就是將多種教學(xué)要素和資源結(jié)合在一起，形成教學(xué)新模式和新結(jié)構(gòu)［6］。這一過程中的“混合要素+資源”并不是簡單隨意混合，而是要遵循多元融合教學(xué)模式設(shè)計(jì)的原則，即開展有針對性的、分眾化的和對象化的教學(xué)設(shè)計(jì)工作［7］。近年來，人們將互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)和人工智能等快速發(fā)展的信息技術(shù)廣泛應(yīng)用于教育教學(xué)上，為打造常微分方程“線上”+“線下”多元融合的教學(xué)模式奠定了技術(shù)基礎(chǔ)。筆者在具體建設(shè)過程中，從課前、課中、課后等3個(gè)環(huán)節(jié)全面闡述多元融合教學(xué)模式的設(shè)計(jì)思路，根據(jù)數(shù)學(xué)類各專業(yè)學(xué)生的實(shí)際情況，探索出一系列可行的教學(xué)方法和評價(jià)體系，并對教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的問題給出建議與對策。

2.1 課前環(huán)節(jié)

首先，科學(xué)分析學(xué)生特征和專業(yè)需求，編寫或收集與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的教學(xué)資源。使用多媒體教具如動(dòng)畫、模擬實(shí)驗(yàn)等方式來展示常微分方程的概念和解題方法，并設(shè)計(jì)適用于“線上課堂”的教案及多媒體PPT，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在建設(shè)線上資源時(shí)，還可以利用手寫板或者平板電腦，借助于軟件（Wps，Notability和Goodnote）在PPT里面進(jìn)行標(biāo)識和注解，便于學(xué)生的理解。其次，將制作的教學(xué)視頻或其他教育平臺的視頻、課程PPT、文獻(xiàn)拓展資料等上傳至知到、超星或優(yōu)慕課等教學(xué)平臺，根據(jù)教學(xué)大綱發(fā)布課前自測和自學(xué)任務(wù)，督促學(xué)生自我學(xué)習(xí)。學(xué)生可以自主選擇觀看時(shí)間和地點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)的靈活性。最后，搜集常微分方程在不同領(lǐng)域的應(yīng)用案例，發(fā)送給學(xué)生讓其預(yù)習(xí)，并根據(jù)線上反饋數(shù)據(jù)有針對性地進(jìn)行教學(xué)調(diào)整和輔導(dǎo)。此外，在線上平臺上可以設(shè)計(jì)互動(dòng)式的學(xué)習(xí)活動(dòng)，如在線討論、小組合作等，以促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作，共同解決常微分方程方面的問題。依據(jù)上述方法，能夠有效解決教學(xué)內(nèi)容過于陳舊、教師和學(xué)生過度依賴課本的難題。

2.2 課中環(huán)節(jié)

隨著數(shù)字化教育的快速發(fā)展，完善常微分方程課程的線上資源對于提供廣泛的學(xué)習(xí)機(jī)會、提高學(xué)習(xí)效率、個(gè)性化學(xué)習(xí)、促進(jìn)自主學(xué)習(xí)和提供便捷的學(xué)習(xí)方式等方面都起到了重要作用。首先，針對學(xué)生自主學(xué)習(xí)任務(wù)問題，在學(xué)習(xí)平臺給出課前測試題，學(xué)生完成后，根據(jù)平臺統(tǒng)計(jì)的正確率，了解學(xué)生的課前預(yù)習(xí)情況。此外，針對發(fā)布的拓展文獻(xiàn)資料，設(shè)置閱讀時(shí)長和隨機(jī)問題，根據(jù)問題的回答情況，判斷學(xué)生是否完成自主學(xué)習(xí)任務(wù)，并給出相應(yīng)的評價(jià)體系。其次，設(shè)置疑難問題板塊，鼓勵(lì)學(xué)生多問多寫多思考。針對學(xué)生的問題進(jìn)行答疑解惑，解答過程中涉及到的推理論證盡量手寫，加深學(xué)生的理解。再次，線下課程講授完畢后，設(shè)置討論模塊并提出與課程相關(guān)的問題，組織學(xué)生分組展開討論（線上討論小組），教師通過線上教學(xué)平臺的答疑功能，選擇小組代表向大家匯報(bào)小組解題思路、計(jì)算過程以及論證結(jié)果，考查學(xué)生對于常微分方程基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力。最后，根據(jù)學(xué)時(shí)安排及教學(xué)進(jìn)度情況，對現(xiàn)有知識進(jìn)行一定的總結(jié)與擴(kuò)展，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.3 課后環(huán)節(jié)

針對常微分方程教學(xué)過程中存在的問題，結(jié)合教師的所思、所想、所感進(jìn)行課后反思是提高教師教學(xué)水平的有效途徑。以“學(xué)生為中心、產(chǎn)出導(dǎo)向和持續(xù)改進(jìn)”為主導(dǎo)思想，結(jié)合教學(xué)反思不僅能夠有針對性地修改教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)策略，還能夠在下一輪教學(xué)中突出教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)?；诋?dāng)今教學(xué)背景和社會動(dòng)態(tài)實(shí)現(xiàn)上述反思閉環(huán)，僅僅通過手寫教案的方法已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要借助各類教學(xué)平臺建立線上反思模塊。借助線上反思模塊，教師和學(xué)生之間、學(xué)生和學(xué)生之間可以隨時(shí)隨地展開互動(dòng)，開展個(gè)性化輔導(dǎo)和交流。課后反思模塊除了交流和輔導(dǎo)之外，教師可根據(jù)學(xué)生的留言和問題進(jìn)行歸納總結(jié)和分類整理，然后在線上反思模塊中建立問題庫，給出相應(yīng)解答，為今后學(xué)習(xí)常微分方程的各級學(xué)生提供一系列的教學(xué)服務(wù)。

在建設(shè)關(guān)于常微分方程課程多元融合教學(xué)模式的過程中，探索出一種新的“探究+創(chuàng)新”式學(xué)習(xí)模式，并將教學(xué)目標(biāo)向“數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用和理論體系的構(gòu)建相結(jié)合”的方向推進(jìn)。同時(shí)，依托各類教學(xué)平臺，如超星、微助教和知到等APP的統(tǒng)計(jì)功能，將課前測試和預(yù)習(xí)、課中考勤和搶答、課后作業(yè)和討論等環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)導(dǎo)出，再結(jié)合學(xué)期過程中的線上測驗(yàn)計(jì)算出平時(shí)成績。最后，將平時(shí)成績、過程性測驗(yàn)、期末成績等3 項(xiàng)成績按照一定的比例計(jì)入考試評價(jià)系統(tǒng)。由于多元融合教學(xué)模式包括線上和線下部分，因此，要特別注重過程評價(jià)。為了能夠督促學(xué)生更多地參與到學(xué)習(xí)過程中，使得教學(xué)評價(jià)更公平、更客觀，應(yīng)在學(xué)期初根據(jù)課程內(nèi)容和學(xué)生能力給出具體且詳細(xì)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。在教學(xué)過程中，針對這些標(biāo)準(zhǔn)收集材料和數(shù)據(jù)，以此來支撐評價(jià)結(jié)果。

3 常微分方程課程多元融合教學(xué)模式的實(shí)踐

基于學(xué)校教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教研組經(jīng)過長時(shí)間的探索與研究選取了王高雄等編寫的《常微分方程》［1］作為教材，主要教學(xué)內(nèi)容包括：一階微分方程的初等解法、一階微分方程的解的存在定理、高階微分方程、線性微分方程組和非線性微分方程。隨著近幾年教師與學(xué)生對線上遠(yuǎn)程教學(xué)的需求，教研組著力建設(shè)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺，合理規(guī)劃了線上自學(xué)內(nèi)容。

學(xué)校全面普及智慧樹推出的手機(jī)網(wǎng)課平臺——知到APP，教研組主要在該平臺中構(gòu)建常微分方程課程網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源，設(shè)計(jì)了課前自測題目、課程目標(biāo)和重難點(diǎn)、課程知識精講內(nèi)容、課中模型案例的討論、課后強(qiáng)化訓(xùn)練題、主題小組討論與展示等教學(xué)活動(dòng)。此外，還借助各類教學(xué)平臺（微信、QQ、釘釘?shù)龋┻m時(shí)適量地發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)，并對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄和分析。同時(shí)，引入多媒體輔助教學(xué)，采用現(xiàn)代化教學(xué)方式，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和訓(xùn)練活動(dòng)，逐步構(gòu)建、實(shí)施和完善常微分方程課程的“線上”+“線下”多元融合教學(xué)模式。學(xué)生借助于線上資源進(jìn)行預(yù)習(xí)和前測，通過該環(huán)節(jié)對新知識有一定的了解。教師課堂講授時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，提出見解，師生共同學(xué)習(xí)經(jīng)典模型應(yīng)用的最新結(jié)果。同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生課下查找資料、分析對比、理論聯(lián)系實(shí)際。每個(gè)專題講授完畢后，為學(xué)生布置1～2 個(gè)思考題，并給出相應(yīng)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，鼓勵(lì)學(xué)生思考、小組討論。課后，針對教學(xué)重難點(diǎn)布置作業(yè)和討論，檢驗(yàn)學(xué)生掌握新知識的情況。為了順利實(shí)施常微分方程多元融合的教學(xué)模式，需要事先準(zhǔn)備充分的教學(xué)素材，提供學(xué)習(xí)建議，還要事先預(yù)測學(xué)生的各種問題和應(yīng)對方案，建立完善的線上教學(xué)資源。線下課堂中，教師要控制協(xié)調(diào)學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過程，在關(guān)鍵環(huán)節(jié)上要啟發(fā)、激勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，做到理論知識與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合。

教學(xué)評價(jià)方法的改革也是多元融合教學(xué)模式不同于傳統(tǒng)教學(xué)形式的特色之一。本課程綜合考核學(xué)生對課程知識的掌握情況、學(xué)生素質(zhì)能力和創(chuàng)新意識等方面，采取綜合性評價(jià)模式。學(xué)期末采用傳統(tǒng)的閉卷形式，以應(yīng)用題、證明題、計(jì)算題等來考查學(xué)生對相關(guān)知識的掌握和運(yùn)用。學(xué)期中以3次測驗(yàn)（線上和線下結(jié)合的方式）為主，要求學(xué)生將數(shù)學(xué)建模與小組討論相結(jié)合，變成數(shù)學(xué)建模式的小組學(xué)習(xí)。在此過程中，真正鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，并以此來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，要求學(xué)生對于常微分方程的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思和思考，包括對于數(shù)學(xué)知識與思想方法的理解、對于常微分方程與社會實(shí)際問題的聯(lián)系等思考?？梢酝ㄟ^書面作業(yè)、小組討論或者個(gè)人口頭報(bào)告等形式進(jìn)行評價(jià)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，使學(xué)生能夠深入地分析所學(xué)專業(yè)中實(shí)際問題的深度和廣度，有利于知識的轉(zhuǎn)化和吸收。此外，學(xué)生在討論、匯報(bào)等環(huán)節(jié)的參與度相對比較積極，常常能夠提出較深刻的問題，建立數(shù)學(xué)應(yīng)用問題案例庫，營造應(yīng)用和創(chuàng)新氛圍，最終使學(xué)生成為數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的受益者。

網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺經(jīng)過近3年的完善與實(shí)踐，“線上”+“線下”多元融合教學(xué)模式下的課堂教學(xué)效果得到了顯著提高。學(xué)生通過“線上”的課前準(zhǔn)備和測驗(yàn)環(huán)節(jié)，能夠?qū)π轮R有一定的了解；通過“線下”的課堂提問環(huán)節(jié)，每一組代表都能準(zhǔn)確回答，并展現(xiàn)出獨(dú)特的思維風(fēng)格，學(xué)習(xí)熱情高漲。作為數(shù)學(xué)師范類專業(yè)的學(xué)生，他們不僅通過“線上”資源加深了對專業(yè)知識的理解，還通過“線下”多媒體教學(xué)及小組討論等環(huán)節(jié)拓展了對教學(xué)方法的認(rèn)知。在這種“線上”+“線下”多元融合教學(xué)模式下，教師充分發(fā)掘了學(xué)生身上的潛力，真正體現(xiàn)了師范專業(yè)認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)所提出的以“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的基本教學(xué)理念。

4 結(jié)論

綜上，建立完善的線上學(xué)習(xí)資源，有助于學(xué)生化零為整、高效地利用碎片化的時(shí)間和地點(diǎn)來學(xué)習(xí)新知識。將線上資源與面授有效結(jié)合，并隨著不同社會形態(tài)適當(dāng)交替輪換，可以促進(jìn)學(xué)生建立良好的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生思維的廣度和深度，最終實(shí)現(xiàn)高效課堂?？偠灾诟咝３Ｎ⒎址匠陶n程中開展“線上”+“線下”多元融合的教學(xué)模式是教學(xué)的趨勢和方向，對于提升教學(xué)質(zhì)量有著積極的促進(jìn)作用。