王宇天，劉建新，王曉坤，李曉明，

1.空軍航空大學(xué)，長春 130022

2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072

高超聲速飛行器具有重要的軍事和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，是當(dāng)今各航空航天大國的研究熱點(diǎn)之一。在臨近空間飛行雷諾數(shù)范圍內(nèi)，邊界層通常要經(jīng)歷由層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程。由于飛行器摩擦阻力、熱防護(hù)、發(fā)動(dòng)機(jī)性能等均與邊界層流動(dòng)狀態(tài)密切相關(guān)，因此邊界層轉(zhuǎn)捩是飛行器設(shè)計(jì)中必須要解決的基礎(chǔ)理論問題，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值與學(xué)術(shù)意義［1-4］。

邊界層轉(zhuǎn)捩描述的是擾動(dòng)產(chǎn)生與失穩(wěn)演化直至突變?yōu)橥牧鳎˙reakdown）的全過程，其中擾動(dòng)的產(chǎn)生由感受性機(jī)制決定，失穩(wěn)演化則是流動(dòng)穩(wěn)定性理論的范疇。線性穩(wěn)定性理論（Linear Stability Theory，LST）、拋物化穩(wěn)定性方程（Linear Parabolized Stability Equations，LPSE）等可以預(yù)測模態(tài)擾動(dòng)的線性發(fā)展過程，但人們在Poiseuille、Couette、Blasius 邊界層等流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，擾動(dòng)在中性曲線以外的穩(wěn)定區(qū)域依然出現(xiàn)了較大增長，甚至轉(zhuǎn)捩。由于擾動(dòng)間的非線性作用只是擾動(dòng)能量的重新分配，并不能產(chǎn)生擾動(dòng)能量的凈增加，所以必然存在一種不同于模態(tài)增長的線性增長機(jī)制，通常稱為非模態(tài)或瞬態(tài)增長。通過數(shù)學(xué)分析可知，瞬態(tài)增長由線性擾動(dòng)方程算子矩陣的非正規(guī)性所致［5］。由于非正規(guī)矩陣的特征向量并不彼此正交，因此即使所有特征向量均為衰減模態(tài)（主要為連續(xù)模態(tài)），也可通過一定的線性組合產(chǎn)生增長擾動(dòng)。而在物理上，瞬態(tài)增長通常由Lift-up 機(jī)制［6］進(jìn)行解釋：在流向渦的作用下，壁面附近的低速流體被拋向邊界層外，并將邊界層外的高速流體帶向壁面，進(jìn)而形成了流向速度在展向呈周期性分布的條帶結(jié)構(gòu)。

瞬態(tài)增長中各衰減模態(tài)的線性組合系數(shù)，即幅值與相位信息，同樣由感受性過程決定，所以瞬態(tài)增長率受外部擾動(dòng)情況（如高幅值自由流擾動(dòng)、粗糙元等）的影響。但在特定的流場參數(shù)條件下，可以通過最優(yōu)擾動(dòng)理論進(jìn)行求解，得到在有限時(shí)間或空間范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)最大瞬態(tài)增長的最優(yōu)擾動(dòng)。已有的研究表明［7-8］，從不可壓到高超聲速邊界層，最優(yōu)擾動(dòng)通常為定常流向渦的形式，其通過非線性發(fā)展增長至較大幅值的條帶結(jié)構(gòu)時(shí)，新的平均流剖面在展向上將出現(xiàn)拐點(diǎn)，從而發(fā)生二次失穩(wěn)觸發(fā)轉(zhuǎn)捩。因此從轉(zhuǎn)捩預(yù)測的角度上看，這是一種更為保守的亞臨界轉(zhuǎn)捩觸發(fā)閾值。

瞬態(tài)增長理論完善了傳統(tǒng)的線性穩(wěn)定性理論框架，可以對超越了模態(tài)增長理論的旁路轉(zhuǎn)捩中一些亞臨界轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象進(jìn)行定性解釋，如經(jīng)典的Poiseuille 管道流動(dòng)［9］。除此之外，瞬態(tài)增長理論的一個(gè)重要應(yīng)用是再入返回艙等大鈍度飛行器的“鈍頭體悖論”問題，即發(fā)生在弓形激波后亞聲速區(qū)的轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象。根據(jù)線性穩(wěn)定理論，此處的順壓梯度作用將抑制Tollmien-Schlichting（T-S）波的增長，而凸面曲率也將抑制G?rtler 渦，同時(shí)橫流速度較小使得橫流模態(tài)可以忽略，因此人們在很長一段時(shí)間內(nèi)無法找到實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)轉(zhuǎn)捩的原因，并且近期在李強(qiáng)等［10］的頓頭平板轉(zhuǎn)捩實(shí)驗(yàn)中也出現(xiàn)了這一現(xiàn)象。近幾年來，NASA 課題組Paredes 等［11］對最優(yōu)擾動(dòng)進(jìn)行了細(xì)致的研究，發(fā)現(xiàn)在駐點(diǎn)附近存在較強(qiáng)的瞬態(tài)增長，并認(rèn)為壁面微小粗糙度便可能成為誘導(dǎo)轉(zhuǎn)捩的主要原因。同時(shí)瞬態(tài)增長理論也同樣能夠?qū)︹g頭體“轉(zhuǎn)捩反轉(zhuǎn)”現(xiàn)象［12］進(jìn)行定性解釋［13-14］，計(jì)算發(fā)現(xiàn)在鈍頭與錐身連接處附近存在較強(qiáng)的瞬態(tài)增長，并且增長率隨著鈍度增大而增大，因此能夠在Mack 第一、第二和熵層模態(tài)增長率較小的情況下觸發(fā)轉(zhuǎn)捩。盡管連接處的微小粗糙元不一定能夠恰好激發(fā)最優(yōu)擾動(dòng)，但也為這一轉(zhuǎn)捩過程預(yù)測提供了一種科學(xué)的閾值指導(dǎo)，并且還需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

隨著對轉(zhuǎn)捩機(jī)理的深入認(rèn)識，各種延遲轉(zhuǎn)捩技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生［15］，其中多孔壁面能夠有效抑制Mack 第二模態(tài)，可作為一種推遲轉(zhuǎn)捩的被動(dòng)控制方式［16］。目前，微孔結(jié)構(gòu)可在高超聲速飛行器表面涂層材料的制備工藝中自然形成，因此在工程領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注。但已有的研究均針對二維邊界層的局部穩(wěn)定性問題，對于三維邊界層二次失穩(wěn)模態(tài)的控制效果還不明確。本文通過建立最優(yōu)擾動(dòng)的求解方法，并以最優(yōu)增長條帶形成的三維邊界層為研究對象，研究多孔壁面對全局穩(wěn)定性（Bi-Global）的影響規(guī)律，評估其在亞臨界轉(zhuǎn)捩中的控制效果，以期為多孔涂層的布置方案提供一定的科學(xué)指導(dǎo)。

1 數(shù)值方法及驗(yàn)證

本文以超聲速絕熱平板邊界層流動(dòng)為研究對象，基本控制方程為直角坐標(biāo)系下的可壓縮Navier-Stokes（N-S）方程，選取以下特征量與特征尺度對物理與時(shí)空變量進(jìn)行無量綱化：

式中：x、y、z分別為流向、法向與展向坐標(biāo)；u、v、w分別為流向、法向與展向速度；t為時(shí)間；ρ為密度；T為溫度；p為壓力；上標(biāo)“*”代表有量綱物理量；下標(biāo)“∞”代表自由來流值。特征長度取0.001 m，故參考雷諾數(shù)定義為。黏性系數(shù)μ由Sutherland 定律求得，傳熱系數(shù)κ則可通過普朗特?cái)?shù)Pr得到：

流動(dòng)穩(wěn)定性分析采用原始變量，在非守恒型N-S 方程的基礎(chǔ)上，通過理想氣體狀態(tài)方程p=消去壓力項(xiàng)p。將瞬時(shí)物理量q=[ρ，u，v，w，T]T表示為基本流與擾動(dòng)量之和：q=+q′，將其代入N-S 方程后減去基本流滿足的方程部分，并忽略非線性作用項(xiàng)，便可得到如下緊致形式的線性擾動(dòng)方程：

式中：系數(shù)矩陣Γ、A、B、C、D、Vxx、Vyy、Vzz、Vxy、Vxz、Vyz的具體表達(dá)式可參見文獻(xiàn)［17］，并以可壓縮邊界層相似解作為基本流動(dòng)［18］。為了理論方法介紹的完整性，LPSE 及其伴隨方程的表達(dá)式詳見附錄A［19］。

1.1 最優(yōu)擾動(dòng)方法

傳統(tǒng)的LST 通過求解常微分方程特征值問題，得到的是擾動(dòng)在時(shí)間與空間趨近于無窮時(shí)的漸進(jìn)演化行為。而瞬態(tài)增長則通過求解常微分方程的初值問題，得到擾動(dòng)在有限時(shí)間或空間內(nèi)的代數(shù)增長。目前，最優(yōu)擾動(dòng)有2 種求解方法：一種是在平行流假設(shè)條件下，基于LST 方程的奇異值分析［20-21］；另一種是考慮邊界層弱非平行性的，基于伴隨方程的優(yōu)化方法?；贚ST 的平行流最優(yōu)擾動(dòng)分析只能定性地給出最優(yōu)擾動(dòng)的展向波數(shù)范圍，而對于擾動(dòng)放大倍數(shù)G的計(jì)算可能存在較大誤差，因此本文將在考慮邊界層弱非平行性的LPSE 方程的基礎(chǔ)上，利用Lagrange 乘數(shù)法求解擾動(dòng)增長的數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題［22-23］。

最優(yōu)增長條帶在流向上的尺度較大，因此擾動(dòng)幅值與相位信息的變化可以全部反映在形狀函數(shù)中，即可使式（A1）中α=0。采用Hanifi等［20］建議的擾動(dòng)能量范數(shù)E的計(jì)算準(zhǔn)則，以內(nèi)積的形式給出：

設(shè)入口x0處最優(yōu)初始擾動(dòng)為，以某一指定位置x1處的擾動(dòng)的能量范數(shù)的增長倍數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)：

其中：?代表取梯度。為使式（8）恒滿足δF=0，式（8）中兩項(xiàng)內(nèi)積需同時(shí)為0。第1 項(xiàng)自動(dòng)滿足，即求解齊次LPSE 方程（式（A2））：

式（8）中第2 項(xiàng)內(nèi)積可利用內(nèi)積定義（式（A5））與分步積分將其變換為

式中：L?=0即為齊次伴隨LPSE方程，此時(shí)分步積分產(chǎn)生的邊界項(xiàng)僅保留式（10）中的第二、第三項(xiàng)。式（10）進(jìn)一步變換為

要使式（11）恒等式成立，等號左邊兩項(xiàng)需同時(shí)為0，這樣便可以得到在x0與x1處初始擾動(dòng)與伴隨向量的關(guān)系式為

對于線性問題，c0、c1為歸一化系數(shù)使得。在壁面處為奇異矩陣，因此可由法向動(dòng)量方程求得。在入口位置x0處，式（12）中的流向擾動(dòng)速度優(yōu)化條件為

由于伴隨密度擾動(dòng)在壁面處無預(yù)設(shè)齊次條件，將導(dǎo)致擾動(dòng)速度在壁面處非零，本文采用Tempelmann 等［23］的建議方法，直接假設(shè)，下標(biāo)“w”代表在壁面處的值，該方法與Zuccher 等［24］的插值方法具有相同的效果?；谝陨蟽?yōu)化條件，便可通過迭代求解得到最優(yōu)擾動(dòng)，具體步驟為

步驟1選取任意滿足齊次邊界條件的擾動(dòng)作為初始擾動(dòng)，可利用LST 算子進(jìn)行當(dāng)?shù)厍蠼狻?/p>

步驟2利用LPSE 方程（式（A2））從x0→x1推進(jìn)求解得到。

步驟3由式（13）得到伴隨向量，利用伴隨LPSE 方程從x1→x0推進(jìn)求解得到。

步驟4由式（12）與式（14）得到新的初始擾動(dòng)0。

重復(fù)步驟2～步驟4，直至目標(biāo)函數(shù)J()=G收斂。計(jì)算結(jié)果表明該優(yōu)化系統(tǒng)具有吸引子，通常迭代3～4 步便可以收斂至10-4。

以x1=1 m 為優(yōu)化目標(biāo)位置，在Ma=3.0 工況下，當(dāng)展向波數(shù)β=0.25 時(shí)取不同的初始位置x0，或當(dāng)x0=0.36 m 時(shí)取不同展向波數(shù)β，最優(yōu)擾動(dòng)增長倍數(shù)的計(jì)算結(jié)果如圖1 所示，其中縱坐標(biāo)以來流單位雷諾數(shù)Re∞做歸一化處理。通過與Paredes 等［8］的結(jié)果對比驗(yàn)證了程序的正確性，并且可以看出最優(yōu)擾動(dòng)增長倍數(shù)與優(yōu)化初始位置的選取密切相關(guān)。

圖1 最優(yōu)擾動(dòng)增長倍數(shù)的驗(yàn)證Fig.1 Validation of optimal disturbance amplification

1.2 全局穩(wěn)定性分析

不同于局部LST 分析，對于基本流在展向z同樣是快變，而流向x仍是慢變的三維邊界層，需采用全局穩(wěn)定性分析（Bi-Global）。此時(shí)擾動(dòng)可以寫為如下行進(jìn)波的形式：

方程在法向上同樣采用10 階中心差分格式，展向上采用適用于周期性邊界條件的Fourier 譜方法離散，結(jié)合齊次邊界條件（式（A4）），便可通過求解廣義特征值問題得到二次失穩(wěn)擾動(dòng)的空間增長率。對于大型稀疏矩陣，本文采用隱式自啟動(dòng)Arnoldi 方法。

對于多孔壁面，由于孔隙直徑一般為幾十微米量級，孔隙間的相互作用較小，因此其誘導(dǎo)的流向與橫向擾動(dòng)速度可忽略不計(jì)，但對于法向速度與溫度擾動(dòng)具有半透射作用。Fedorov 等［25］通過引入聲導(dǎo)納系數(shù)將其與壓力擾動(dòng)相關(guān)聯(lián)，擾動(dòng)在壁面處的邊界條件變?yōu)?/p>

式中：Ac、Bc為復(fù)導(dǎo)納系數(shù)，其與涂層材料、平均流以及擾動(dòng)特征相關(guān)。由于涂層厚度（孔隙深度）h通常遠(yuǎn)大于孔隙直徑2r，可將其看作細(xì)長管?；诼暡ㄔ诩?xì)長管內(nèi)的傳播理論，推導(dǎo)出復(fù)導(dǎo)納系數(shù)的計(jì)算公式為

式中：?為開孔率，當(dāng)孔隙截面為圓形時(shí)，易知最大開孔率?→π/4；下標(biāo)“w”代表基本流動(dòng)在壁面處的值；Jn則為n階第一類Bessel 函數(shù)。

已有的直接數(shù)值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均證明該理論邊界條件的合理性［26］。本文選取Fedorov 等［25］針對二維邊界層的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，流場條件為：Ma∞=6.0，=243.9 K，=1.4，計(jì)算結(jié)果如圖2 所示，驗(yàn)證了程序的正確性。

圖2 多孔壁面條件下第二模態(tài)增長率的驗(yàn)證Fig.2 Validation of growth rate of the second modes over porous wall

1.3 直接數(shù)值模擬

對于最優(yōu)增長擾動(dòng)的非線性演化過程，本文采用高精度有限差分方法求解N-S 方程得到。計(jì)算程序在中國科學(xué)院李新亮等的開源程序OpenCFD-SC［27］的基礎(chǔ)上發(fā)展而來。當(dāng)采用層流邊界層相似解作為基本流時(shí)，由于相似解并不是N-S 方程的穩(wěn)態(tài)解，因此需要在N-S 方程中引入人工源項(xiàng)以維持基本流保持不變［28］。在對無黏通量進(jìn)行空間離散時(shí)，采用截?cái)嗾`差最小的Steger-Warming 通量分裂格式得到正負(fù)通量，再采用7 階迎風(fēng)格式進(jìn)行離散，黏性通量采用8 階中心差分格式進(jìn)行離散。時(shí)間推進(jìn)采用具有TVD（Total Variation Diminishing）性質(zhì)的3 步3階Runge-Kutta 方法。在壁面處，速度與溫度采用無滑移等溫條件，并假設(shè)?p/?y=0 作為壁面壓力條件。

2 計(jì)算結(jié)果與分析

已有的研究表明，多孔壁面通常只對無黏的Mack 第二模態(tài)起穩(wěn)定作用。但根據(jù)3 層結(jié)構(gòu)理論［29］，滿足的Mack 第一模態(tài)同樣為無黏模態(tài)，但多孔壁面卻起促進(jìn)作用。為了研究多孔壁面在不同中高馬赫數(shù)范圍內(nèi)對二次失穩(wěn)模態(tài)的影響規(guī)律，本文將研究來流馬赫數(shù)為3.0 與6.0 這2 種情況，來流總溫=333 K，Pr=0.7，單位雷諾數(shù)Re∞=106m-1。

下面將首先利用伴隨方法得到線性最優(yōu)擾動(dòng)，然后通過DNS 計(jì)算不同初始幅值最優(yōu)擾動(dòng)的非線增長過程得到最優(yōu)增長條帶，再以某一流向位置的y-z截面作為新的三維邊界層剖面進(jìn)行二次失穩(wěn)分析。

由于條帶基本流在展向上具有周期性，對于基頻（Fundamental）或亞諧型（Subharmonic）二次失穩(wěn)模態(tài)，可以根據(jù)其對稱或反對稱性質(zhì)分為奇（Sinuous 型）、偶（Varicose 型）模態(tài)，二者具有不同的增長率。偶模態(tài)的擾動(dòng)分量在一個(gè)周期內(nèi)呈對稱分布，為反對稱分布，而奇模態(tài)的對稱性與之相反。本文在實(shí)際計(jì)算中，為更好地區(qū)分奇/偶模態(tài)，展向上采用對稱離散方式，即只需保留一半的展向網(wǎng)格即可。通過網(wǎng)格分辨率驗(yàn)證，Ny×Nz=201×64 已滿足計(jì)算需求。

2.1 最優(yōu)擾動(dòng)

圖3 分別為Ma∞=3.0 與Ma∞=6.0 流場條件下，不同起始位置的最優(yōu)擾動(dòng)增長倍數(shù)隨展向波數(shù)β的變化規(guī)律?？梢钥闯鲈诟叱曀贄l件下，最大瞬態(tài)增長倍數(shù)相對降低，并且產(chǎn)生最大瞬態(tài)增長的展向波數(shù)β減小。

圖3 初始位置x0 與展向波數(shù)β 對最優(yōu)擾動(dòng)增長倍數(shù)的影響（x1=1 m）Fig.3 Effect of initial position x0 and spanwise wavenumber β on optimal disturbance amplification（x1=1 m）

由圖3 可以看出，選取不同的初始位置將改變擾動(dòng)的最優(yōu)增長倍數(shù)。從感受性的角度看，由于前緣區(qū)域的邊界層較薄且具有較強(qiáng)的非平行性，因此自由來流渦擾動(dòng)或壁面粗糙度具有更大的感受性系數(shù)，因此由較高幅值環(huán)境擾動(dòng)所引起的瞬態(tài)增長通常發(fā)生在中性曲線下支前。為不失研究對象的一般性，本文選取靠近前緣的初始位置，即x0=0.09 m，同時(shí)在Ma∞=3.0 與Ma∞=6.0 流場條件下，分別選取展向波數(shù)β=0.25 與β=0.10 的最優(yōu)擾動(dòng)作為初始擾動(dòng)，初始與終點(diǎn)位置處擾動(dòng)的形狀函數(shù)如圖4 所示?？梢钥闯龀跏甲顑?yōu)擾動(dòng)具有流向渦的形式，也就是展向與法向擾動(dòng)速度較大，其增長由Lift-up 機(jī)制主導(dǎo)。并且，隨著馬赫數(shù)增大至高超聲速，最優(yōu)初始擾動(dòng)的溫度和密度擾動(dòng)分量與橫向和法向擾動(dòng)速度具有相同量級。當(dāng)流向渦發(fā)展為條帶時(shí)，溫度與密度擾動(dòng)將超過流向速度擾動(dòng)成為擾動(dòng)的主要分量，這與定常G?rtler 模態(tài)相似［30］。

圖4 初始與終點(diǎn)位置處的最優(yōu)擾動(dòng)形狀函數(shù)（x0=0.09 m，x1=1 m）Fig.4 Shape function of optimal disturbances at initial and final locations（x0=0.09 m，x1=1 m）

2.2 馬赫數(shù)3.0 工況

當(dāng)最優(yōu)擾動(dòng)初始能量（式（4））E0=0.000 4時(shí)，x=0.2 m 處的截面條帶如圖5 所示。圖中深灰色線為流向速度等值線，其大小從0.1 依次遞增0.1 至1.0，可以看出此時(shí)展向流場已具有一定的非平行。

圖5 x=0.2 m 處的流向速度等值線與梯度云圖（E0=0.000 4）Fig.5 Contours of isolines and gradient of streamwise velocity at x=0.2 m（E0=0.000 4）

多孔壁面條件設(shè)為：開孔率?=0.5，孔隙半徑r=0.1 mm，約為當(dāng)?shù)剡吔鐚雍穸鹊?%。研究表明［26］：當(dāng)孔隙深度大于0.8 倍的當(dāng)?shù)剡吔鐚雍穸葧r(shí)，控制效果基本不再隨孔隙深度而改變。設(shè)置孔隙深度h=2 mm，在本文中的超聲速條件下|Λh|＞3，根據(jù)式（19）中雙曲正切函數(shù)tanh 的性質(zhì)可知tanh(Λh)→1，因此其與Λh→∞時(shí)等效。圖6 為基頻與亞諧頻失穩(wěn)模態(tài)的增長率-αi隨角頻率ω的變化規(guī)律，以及一維基本流的LST增長率。當(dāng)最優(yōu)擾動(dòng)條帶的幅值較小時(shí)，二次失穩(wěn)模態(tài)的增長率未超過第一模態(tài)，并且基頻偶模態(tài)（FV）增長率高于基頻奇模態(tài)（FS），而對于亞諧型失穩(wěn)則是奇模態(tài)（SS）高于偶模態(tài)（SV）。與第一模態(tài)類似，多孔壁面促使二次失穩(wěn)模態(tài)增長率變大，并且對亞諧失穩(wěn)的作用更強(qiáng)。

圖6 有無多孔壁面作用下的二次失穩(wěn)模態(tài)增長率（E0=0.000 4）Fig.6 Growth rates of secondary instability modes with and without porous wall（E0=0.000 4）

圖7 ω=0.06 時(shí)二次失穩(wěn)模態(tài)流向擾動(dòng)速度模值Fig.7 Modulus of streamwise disturbance velocity of secondary instability at ω=0.06

當(dāng)提高最優(yōu)擾動(dòng)的初始能量至E0=0.01時(shí)，x=0.2 m 處截面條帶如圖8 所示。此時(shí)條帶基本流進(jìn)一步扭曲，展向剪切增大了10 倍以上。并且可以注意到等值線在中心處出現(xiàn)下凹區(qū)，這在G?rtler 條帶［30］中并未出現(xiàn)，將產(chǎn)生新的二次失穩(wěn)模態(tài)。

圖8 x=0.2 m 處的流向速度等值線與梯度云圖（E0=0.01）Fig.8 Contours of isolines and gradient of streamwise velocity at x=0.2 m（E0=0.01）

圖9 為二次失穩(wěn)模態(tài)的增長率-αi隨角頻率ω的變化規(guī)律，此時(shí)二次失穩(wěn)模態(tài)的增長率遠(yuǎn)高于第一模態(tài)，將成為促發(fā)轉(zhuǎn)捩的主要因素。與不可壓Blasius 邊界層［31］最優(yōu)擾動(dòng)條帶及G?rtler渦［30］的二次失穩(wěn)相同，亞諧模態(tài)與基頻模態(tài)具有相近的增長率，且低于基頻模態(tài)，因此在轉(zhuǎn)捩預(yù)測時(shí)通常更關(guān)心基頻失穩(wěn)。與圖6 相似，基頻奇模態(tài)（FS）增長率高于基頻偶模態(tài)（FV），而亞諧型失穩(wěn)模態(tài)則與之相反。

圖9 有無多孔壁面作用下的二次失穩(wěn)模態(tài)增長率（E0=0.01）Fig.9 Growth rates of secondary instability modes with and without porous wall（E0=0.01）

圖10 ω=0.085 時(shí)二次失穩(wěn)模態(tài)流向速度擾動(dòng)實(shí)部Fig.10 Real parts of streamwise disturbance velocity of secondary instability modes at ω=0.085

2.3 馬赫數(shù)6.0 工況

在進(jìn)行Bi-Global 分析之前，首先對高超聲速二維基本流動(dòng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。圖11 為x=0.2 m 處LST 分析得到的Mack 第二模態(tài)增長率-αi隨角頻率ω的變化規(guī)律。多孔壁面條件設(shè)為：開孔率?=0.5，孔隙半徑r=0.15 mm，約為當(dāng)?shù)剡吔鐚雍穸鹊?.5%，孔隙深度h=2 mm。從圖中可以看出：多孔壁面對低頻模態(tài)（即第一模態(tài)）有促進(jìn)作用，而對高頻模態(tài)（即第二模態(tài)）有明顯的抑制作用，并且對于三維模態(tài)具有相同的控制效果。在該工況下，第二模態(tài)由慢模態(tài)［32］（即第一模態(tài)）發(fā)展而來，圖12 為二維快/慢模態(tài)相速度c=ω/αr隨角頻率ω的變化規(guī)律，多孔壁面對相速度的影響整體較小，并且對慢模態(tài)的影響主要體現(xiàn)在第一模態(tài)頻率區(qū)，對第二模態(tài)無明顯影響?？?慢模態(tài)的同步點(diǎn)頻率［32］約為0.237，而圖11 中控制效果的轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率約為0.22，二者較為接近，并且對于三維模態(tài)具有相同的規(guī)律。

圖11 x=0.2 m 處LST 分析得到的Mack 模態(tài)增長率Fig.11 Growth rates of Mack mode analyzed by LST at x=0.2 m

圖12 x=0.2 m 處LST 分析得到的快/慢模態(tài)相速度Fig.12 Phase velocity of fast/slow modes analyzed by LST at x=0.2 m

當(dāng)擾動(dòng)初始能量E0=0.004 時(shí)，x=0.2 m處截面條帶如圖13 所示，圖中深灰色線為流向速度等值線，其大小從0.1 依次遞增0.1 至1.0，流向速度法向梯度與展向剪切與Ma∞=3.0 工況具有相似的分布（圖5）。

圖13 x=0.2 m 處的流向速度等值線與梯度云圖(E0=0.004)Fig.13 Contours of isolines and gradient of streamwise velocity at x=0.2 m (E0=0.004)

高超聲速條帶的二次失穩(wěn)情況更加復(fù)雜，由于基頻失穩(wěn)通常在轉(zhuǎn)捩中占主導(dǎo)地位，下面將重點(diǎn)研究基頻失穩(wěn)。該流場條件下，共出現(xiàn)2 個(gè)奇模態(tài)（S1，S2），3 個(gè)偶模態(tài)（V1，V2，V3）。光滑壁面條件下，以流向擾動(dòng)速度模值||的最大值做歸一化處理，圖14 為二次失穩(wěn)模態(tài)的流向擾動(dòng)速度模值||及溫度擾動(dòng)模值||的分布云圖。對于高超聲速流動(dòng)，溫度擾動(dòng)幅值遠(yuǎn)高于速度擾動(dòng)，并且速度擾動(dòng)峰值靠近壁面區(qū)，而溫度擾動(dòng)峰值位于靠近邊界層外緣的臨界層。

圖14 ω=0.28 時(shí)二次失穩(wěn)模態(tài)流向速度與溫度擾動(dòng)模值Fig.14 Modulus of streamwise velocity and temperature disturbances of secondary instability modes at ω=0.28

圖15 為二次失穩(wěn)基頻奇/偶模態(tài)的增長率-αi隨角頻率ω的變化規(guī)律。V1 模態(tài)增長率高于S1 模態(tài)，是二次失穩(wěn)的主導(dǎo)模態(tài)，而S2 與V3增長率較小可以忽略。V2 模態(tài)是一個(gè)較為特殊的模態(tài)，當(dāng)ω＜0.27 時(shí)，其增長率明顯小于V1 模態(tài)與S1 模態(tài)，但其高頻區(qū)的增長率較高，可能成為轉(zhuǎn)捩中的最危險(xiǎn)的模態(tài)。當(dāng)采用多孔壁面邊界層條件時(shí)，其影響規(guī)律與Mack 模態(tài)相似，即只對高頻二次失穩(wěn)模態(tài)起抑制作用，而對低頻二次失穩(wěn)模態(tài)起促進(jìn)作用。S1 模態(tài)與V1 模態(tài)的轉(zhuǎn)折頻率分別為0.215 與0.19，這與在圖11 中Mack模態(tài)的轉(zhuǎn)折頻率相近。V2 模態(tài)的轉(zhuǎn)折頻率為0.28，遠(yuǎn)高于其他模態(tài)，但V2 的快速增長只能出現(xiàn)在高頻區(qū)域，相對的低頻區(qū)域即使有促進(jìn)作用，由于其增長率遠(yuǎn)小于S1 模態(tài)與V1 模態(tài)，因此不會對轉(zhuǎn)捩產(chǎn)生影響。

圖15 有無多孔壁面作用下的二次失穩(wěn)模態(tài)增長率（Ma∞=6.0）Fig.15 Growth rates of secondary instability modes with and without porous wall（Ma∞=6.0）

綜合以上研究結(jié)果可以看出，雖然二次失穩(wěn)模態(tài)在本質(zhì)上都屬于無黏失穩(wěn)，特別是對于奇模態(tài)，其應(yīng)是由展向剪切主導(dǎo)的失穩(wěn)模態(tài)，但在不同的流場條件下，多孔壁面對其影響規(guī)律卻不盡相同，并與無條帶時(shí)的局部穩(wěn)定性特征密切相關(guān)。Song 等［33］針對G?rtler 渦的二次失穩(wěn)問題，證明了二次失穩(wěn)模態(tài)可以由上游的Mack 第一、第二模態(tài)演化而來，由此可以推斷二次失穩(wěn)模態(tài)也將保留二維邊界層中Mack 模態(tài)的穩(wěn)定性特征。但在物理空間中，上游某一特定頻率的模態(tài)擾動(dòng)演化到下游也應(yīng)為一特定擾動(dòng)模態(tài)，但在Bi-Global 分析中卻會得到多個(gè)二次失穩(wěn)模態(tài)，這其中的關(guān)聯(lián)機(jī)制還尚不清楚，需要借助模態(tài)分解技術(shù)［28］做進(jìn)一步詳細(xì)研究。

3 結(jié)論

本文針對瞬態(tài)增長理論，利用Lagrange 乘數(shù)法與變分法，推導(dǎo)出以伴隨拋物化穩(wěn)定性方程為約束條件的優(yōu)化系統(tǒng)，建立并實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)擾動(dòng)的數(shù)值求解方法。以可壓縮平板邊界層流動(dòng)為研究對象，針對Mack 第一、第二模態(tài)分別主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩的超聲速（Ma∞=3.0）與高超聲速（Ma∞=6.0）2 種工況開展研究。計(jì)算表明：最優(yōu)擾動(dòng)具有流向渦的形式，并通過Lift-up［6］增長機(jī)制發(fā)展為條帶結(jié)構(gòu)，并且在高超聲速條件下，其與定常G?rtler 模態(tài)相似［30］，溫度與密度擾動(dòng)將超過速度擾動(dòng)成為擾動(dòng)的主要分量。

以有限幅值最優(yōu)擾動(dòng)非線性發(fā)展形成的三維邊界層為研究對象，并利用Fedorov 等［25］建立的等效邊界條件，研究了多孔壁面對最優(yōu)增長條帶二次失穩(wěn)模態(tài)的影響規(guī)律。結(jié)果表明：與第一模態(tài)相同，多孔壁面對超聲速條帶的二次失穩(wěn)擾動(dòng)只起促進(jìn)作用。對于高超聲速條帶，多孔壁面對第一模態(tài)頻率范圍內(nèi)的二次失穩(wěn)擾動(dòng)為促進(jìn)作用，對第二模態(tài)頻率范圍內(nèi)的二次失穩(wěn)擾動(dòng)起抑制作用，并且轉(zhuǎn)折頻率接近局部快/慢模態(tài)的同步頻率。雖然目前還無法對其中的物理機(jī)制做出解釋，但對工程應(yīng)用中多孔涂層的布置方案具有一定的指導(dǎo)意義。

附錄A：

基于邊界層慢變假設(shè)，將擾動(dòng)分解為快變的波數(shù)函數(shù)和慢變的形狀函數(shù)兩部分：

擾動(dòng)在邊界處滿足Dirichlet 邊界條件：

在法向上采用10 階中心差分離散后，結(jié)合齊次邊界層條件（式（A4）），此時(shí)便將擾動(dòng)方程求解由LST 的特征值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠⒎址匠痰某踹呏祮栴}，在流向上采用隱式歐拉格式推進(jìn)求解即可得到擾動(dòng)的空間發(fā)展過程，詳細(xì)計(jì)算方法與殘余橢圓性問題可參見文獻(xiàn)［19］。

伴隨LPSE 方程可以通過Green-Lagrange恒等式推導(dǎo)而來，首先定義向量內(nèi)積為

式中：上標(biāo)“H”表示共軛轉(zhuǎn)置。本文以上標(biāo)“?”表示相應(yīng)的伴隨變量，將伴隨向量與齊次LPSE 方程（式（A2））作內(nèi)積，通過分步積分可以得到如下Green-Lagrange 恒等式：

式中：L?=0 即為伴隨LPSE 方程；為分步積分產(chǎn)生的邊界項(xiàng)，伴隨向量同樣滿足齊次邊界條件（式（A4））。伴隨算子L?為

伴隨LPSE 方程求解采用與LPSE 相同的數(shù)值方法，只是改為由下游向上游推進(jìn)求解。