熊芬芬，李澤賢，劉宇，夏侯唐凡

1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081

2.電子科技大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都 611731

為了縮短設(shè)計(jì)周期、降低開(kāi)發(fā)成本、滿(mǎn)足產(chǎn)品不斷提升的性能需求和更新?lián)Q代頻次，計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）、結(jié)構(gòu)有限元分析（Finite Element Analysis，F(xiàn)EA）等數(shù)值模擬技術(shù)正在成為科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)等許多領(lǐng)域內(nèi)解決問(wèn)題的主流方法［1］。在航空航天領(lǐng)域，CFD 和FEA 已分別成為氣動(dòng)和結(jié)構(gòu)分析設(shè)計(jì)中不可或缺的研究手段?！吨袊?guó)制造2025》指出，仿真技術(shù)對(duì)于發(fā)展和提高中國(guó)制造能力具有重要支撐作用，特別是2015 年12 月31 號(hào)國(guó)家出臺(tái)了智能制造標(biāo)準(zhǔn)體系建設(shè)指南，其中明確了要在制造生產(chǎn)過(guò)程中應(yīng)用仿真技術(shù)［2］。

飛行器等復(fù)雜裝備的整個(gè)壽命周期都充滿(mǎn)了源于仿真建模和模擬、生產(chǎn)制造（如幾何尺寸）、工作環(huán)境（如載荷環(huán)境）、儀器監(jiān)測(cè)（如測(cè)量誤差和信息處理）等的大量不確定性［3］。一般而言，根據(jù)不確定性屬性的不同，可以將不確定性分為隨機(jī)不確定性（Aleatory Uncertainty）、認(rèn)知不確定性（Epistemic Uncertainty）或者是兩者兼而有之的混合不確定性［4］。其中，隨機(jī)不確定性源于物理現(xiàn)象中存在的固有隨機(jī)性，無(wú)法通過(guò)收集更多信息進(jìn)行控制或減?。徽J(rèn)知不確定性源于知識(shí)的缺乏、數(shù)據(jù)的不足，可通過(guò)知識(shí)增加、建模方法改進(jìn)、數(shù)據(jù)搜集等達(dá)到減小甚至消除的目的。不確定性按照來(lái)源又可分為參數(shù)不確定性、模型不確定性和數(shù)據(jù)不確定性［5］。對(duì)于數(shù)值模擬，以廣泛用于飛行器空氣動(dòng)力計(jì)算的CFD 仿真為例，不確定性一般可歸為模型形式不確定性、模型參數(shù)不確定性和模型數(shù)值離散不確定性［6］。模型形式不確定性屬于認(rèn)知不確定性，一方面源于求解湍流流場(chǎng)時(shí)湍流模型的選擇，采用不同的假設(shè)構(gòu)造的湍流模型會(huì)對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果有較大影響［7］；另一方面源于數(shù)值模擬建模所作的各種假設(shè)和簡(jiǎn)化，使得仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在偏差。模型參數(shù)不確定性既包含攻角、雷諾數(shù)、壓力、流量等來(lái)流和邊界條件和制造誤差、工藝波動(dòng)等影響幾何尺寸的隨機(jī)不確定性，也包含湍流模型封閉系數(shù)以及卡門(mén)數(shù)、壁面普朗特?cái)?shù)等認(rèn)知不確定性［8］。對(duì)這些不確定性進(jìn)行表征時(shí)，由于數(shù)據(jù)匱乏會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)不確定性，這屬于認(rèn)知不確定性。模型數(shù)值離散不確定性也屬于認(rèn)知不確定性，其源于對(duì)控制方程及邊界條件離散化造成的截?cái)嗾`差和迭代誤差［9］。

一方面，這些不確定性必然會(huì)導(dǎo)致數(shù)值仿真的輸出響應(yīng)也存在不可忽視的不確定性，且輸出極有可能對(duì)某些不確定性非常敏感，例如激波在翼型上表面的位置和激波后壓力對(duì)湍流模型封閉系數(shù)的變化非常敏感［10］，嚴(yán)重影響CFD 結(jié)果的可信度，這對(duì)于具有高可靠性要求的航空航天裝備而言，極有可能引入潛在風(fēng)險(xiǎn)，因此開(kāi)展優(yōu)化設(shè)計(jì)前必須對(duì)數(shù)值模擬進(jìn)行模型確認(rèn)（Model Validation）。另一方面，這些不確定性必然會(huì)導(dǎo)致飛行器系統(tǒng)性能的波動(dòng)，甚至導(dǎo)致設(shè)計(jì)失效，帶來(lái)災(zāi)難性后果。例如NASA 的高超聲速飛行器X43-A 試驗(yàn)失敗，究其原因是對(duì)氣動(dòng)設(shè)計(jì)不確定性因素模擬不足［11］。因此，需要在飛行器等復(fù)雜裝備設(shè)計(jì)中開(kāi)展不確定性下的優(yōu)化設(shè)計(jì)（Design Optimization under Uncertainty），如穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)［12-13］和基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)［14-15］，提升系統(tǒng)性能的同時(shí)確保系統(tǒng)的穩(wěn)健和可靠。對(duì)數(shù)值模擬模型確認(rèn)和不確定性下的優(yōu)化設(shè)計(jì)，其關(guān)鍵皆為不確定性量化（Uncertainty Quantification，UQ），主要包括不確定性表征（Uncertainty Characterization）和不確定性傳播（Uncertainty Propagation，UP）2 個(gè)關(guān)鍵部分。圖1 對(duì)基于概率理論的UQ 進(jìn)行了示意。

圖1 基于概率理論的不確定性量化示意Fig.1 Schematic of uncertainty quantification based on probability theory

如圖1 所示，不確定性表征是根據(jù)不確定性變量的數(shù)據(jù)（源于測(cè)量、理論或?qū)＜业龋┙?shù)學(xué)模型的過(guò)程，具體指：①指定不確定性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；②確定結(jié)構(gòu)所需元素的數(shù)值。比如，隨機(jī)變量可建模為概率分布模型（見(jiàn)圖中隨機(jī)變量x1、x2、x3的實(shí)線概率密度曲線）。不確定性傳播包含正向和反向不確定性傳播，正向UP 研究在輸入不確定性的影響下，系統(tǒng)輸出（通常也稱(chēng)為感興趣的量Quantity of Interest，QoI）的不確定性（圖1 中實(shí)線表示從輸入x=［x1，x2，x3］到輸出y的不確定性傳播過(guò)程）；反向UP 研究根據(jù)y的觀測(cè)數(shù)據(jù)反向推理計(jì)算輸入不確定性（圖1 中虛線從輸出y反推輸入x的不確定性傳播過(guò)程），最終得到圖中隨機(jī)變量x1、x2、x3的虛線概率密度曲線，需在正向UP 的基礎(chǔ)上進(jìn)行［16］。當(dāng)然，不確定性表征不僅可以用于輸入不確定性變量，還可直接應(yīng)用于系統(tǒng)的QoI。例如，對(duì)于CFD 數(shù)值模擬可以基于湍流模型系數(shù)、來(lái)流等不確定性表征的結(jié)果，進(jìn)行正向UP 得到流場(chǎng)壓力場(chǎng)的不確定性，也可根據(jù)壓力場(chǎng)的測(cè)量數(shù)據(jù)，直接對(duì)其進(jìn)行不確定性表征建模。此外，根據(jù)流場(chǎng)壓力場(chǎng)的測(cè)量數(shù)據(jù)，可利用反向UP 對(duì)湍流模型系數(shù)的不確定性表征模型進(jìn)行修正。本文后續(xù)提及UP，若不作特殊說(shuō)明皆指正向UP?；赒oI 不確定性量化的結(jié)果，可進(jìn)行設(shè)計(jì)和決策，比如確定是否接受或有多大信心接受當(dāng)前的數(shù)值仿真模型或設(shè)計(jì)方案。顯然，對(duì)不確定性進(jìn)行合理的表征建模至關(guān)重要［17-18］，它是實(shí)施UQ 的前提。

在對(duì)數(shù)值模擬模型形式不確定性的研究中，當(dāng)考慮單個(gè)數(shù)值模擬模型時(shí)，基于該模型進(jìn)行不確定性傳播。比如，CFD 中考慮湍流模型系數(shù)或雷諾應(yīng)力的不確定性，比較UQ 結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)模型形式不確定度，形成了模型評(píng)價(jià)的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、貝葉斯因子、頻率指標(biāo)、面積度量等諸多模型確認(rèn)度量指標(biāo)［19］；當(dāng)考慮多個(gè)數(shù)值模擬模型時(shí)，通過(guò)模型選擇或數(shù)據(jù)融合的方式對(duì)模型預(yù)測(cè)中的模型選擇不確定性進(jìn)行量化，其中貝葉斯模型平均（Bayesian Model Averaging，BMA）是目前較為常用的方法。Chen 等［20］針對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的疲勞裂紋問(wèn)題，基于BMA 方法量化了模擬性能退化的維納過(guò)程模型、伽馬過(guò)程模型和逆高斯過(guò)程模型所引入的模型形式不確定性。Tang 等［21］基于證據(jù)理論對(duì)ZAERO 和NASTRAN 軟件所模擬的導(dǎo)彈舵面顫振仿真結(jié)果進(jìn)行了融合，從數(shù)據(jù)融合的角度進(jìn)行了模型形式（不同仿真平臺(tái)）的不確定性量化。由此可見(jiàn)，模型形式不確定性量化最終都?xì)w結(jié)到單個(gè)模型的參數(shù)不確定性表征及傳播。

數(shù)值模擬中數(shù)值離散的不確定性主要指離散誤差的估計(jì)，Richardson 外推是較為常用的估計(jì)方法，它將數(shù)值離散不確定性表征為一個(gè)認(rèn)知不確定性區(qū)間。Schaefer 等［5］基于Richardson 外推對(duì)NASA 提出的通用運(yùn)輸機(jī)研究模型（CRM）的網(wǎng)格收斂誤差進(jìn)行了估計(jì)，得到了其升阻力系數(shù)的認(rèn)知不確定性區(qū)間。陳江濤等［22］同時(shí)考慮了數(shù)值離散不確定性和模型形式不確定性，提出了一種考慮數(shù)值離散誤差的湍流模型選擇不確定度量化方法，基于Richardson 外推計(jì)算了SA湍流模型和湍流k-ω模型真解的95%置信區(qū)間，然后將其作為認(rèn)知不確定性通過(guò)二階概率框架給出了NACA0012 低速繞流和CHN-T1 跨聲速繞流中升阻力系數(shù)的概率分布上下限。對(duì)于基于數(shù)值模擬的工程設(shè)計(jì)，狹義上講，不確定性表征都可以歸為對(duì)參數(shù)的不確定性表征。因此本文主要綜述各種參數(shù)不確定性表征方法，以下提及的不確定性表征皆指參數(shù)不確定性表征。

目前關(guān)于不確定性傳播，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同角度開(kāi)展了大量研究以及綜述性工作。在隨機(jī)不確定性傳播方面，產(chǎn)生了蒙特卡洛模擬［23］、混沌多項(xiàng)式［24］、隨機(jī)配點(diǎn)［25］、高斯數(shù)值積分［26］、多可信度不確定性傳播［27］等諸多方法，并應(yīng)用在飛行器氣動(dòng)系數(shù)［28］、火箭氣動(dòng)載荷［29］、結(jié)構(gòu)形變［30］、電阻抗成像［31］、CFD 數(shù)值模擬［32］等大量不確定度量化問(wèn)題中。在認(rèn)知不確定性傳播方面，產(chǎn)生了基于區(qū)間、概率盒（Probability-Box，p-box）、D-S（Dempster-Shafer）證據(jù)、模糊、可能性、粗糙集等理論的方法［33］，分別應(yīng)用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)［34］、翼型氣動(dòng)特性［35］、屋頂結(jié)構(gòu)形變特性［36］等諸多不確定度量化問(wèn)題。關(guān)于混合不確定性傳播，大多將概率理論與區(qū)間分析、概率盒、模糊集、證據(jù)理論等其中一種認(rèn)知不確定性量化方法相結(jié)合，形成外層處理認(rèn)知不確定性、內(nèi)層處理隨機(jī)不確定性的雙層嵌套抽樣混合不確定性傳播框架［37］。這些研究在進(jìn)行不確定性傳播時(shí)，均假設(shè)不確定輸入數(shù)學(xué)模型已知，如正態(tài)、均勻分布或區(qū)間模型，例如氣動(dòng)力系數(shù)不確定性量化中將馬赫數(shù)、迎角、箭體幾何外形等直接假設(shè)建模為正態(tài)分布［28］、將湍流模型封閉系數(shù)建模為均勻分布［38］；氣動(dòng)彈性不確定性量化中將高超聲速舵面熱不確定性建模為正態(tài)分布［29］；結(jié)構(gòu)不確定性量化中將楊氏模量、橫截面積、外部載荷不確定性建模為對(duì)數(shù)正態(tài)分布和極值分布［30］。如此假設(shè)未必合理，由此得到的不確定度量化結(jié)果對(duì)工程問(wèn)題的參考價(jià)值有限，需要根據(jù)具體場(chǎng)景下不確定性變量信息對(duì)其建立合理的數(shù)學(xué)表征模型。Ferson 等［39］對(duì)美國(guó)Sandia 實(shí)驗(yàn)室發(fā)起的認(rèn)知不確定性研討會(huì)進(jìn)行總結(jié)，指出不確定性表征是值得進(jìn)一步研究的關(guān)鍵。相比不確定性傳播，不確定性表征方面的研究明顯要少，鮮有綜述性的研究工作報(bào)道。

本文面向基于數(shù)值模擬的工程設(shè)計(jì)，主要回顧國(guó)內(nèi)外已經(jīng)開(kāi)展的不確定性表征工作，總結(jié)不確定性表征的基本內(nèi)容和方法，并對(duì)表征后的不確定性傳播的基本思路進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，最后給出進(jìn)一步開(kāi)展不確定性表征研究的思考與建議。

1 不確定性表征概述

表征不確定性的信息來(lái)源主要包括：①真實(shí)或相似條件下的試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)；②理論模型生成的數(shù)據(jù)；③專(zhuān)家意見(jiàn)。在這些信息來(lái)源下，可將表征不確定性的信息源分為3 類(lèi)［4］：①?gòu)?qiáng)統(tǒng)計(jì)信息，具有大量試驗(yàn)或高可信理論數(shù)據(jù)，可足夠確信地構(gòu)建不確定性變量的概率統(tǒng)計(jì)模型；②稀疏統(tǒng)計(jì)信息，很多情況下僅具有不確定性變量的少量試驗(yàn)或高可信理論數(shù)據(jù)，無(wú)法構(gòu)建確定的統(tǒng)計(jì)模型，否則構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)模型存在大量認(rèn)知不確定性；③不精確信息，如專(zhuān)家判斷存在一個(gè)或多個(gè)具有上下界的區(qū)間，這多個(gè)區(qū)間可能來(lái)自不同專(zhuān)家或團(tuán)隊(duì)。實(shí)際中，不確定變量的信息源往往是上述信息源的混合，比如某儀器的稀疏測(cè)量數(shù)據(jù)可能以區(qū)間形式存在，正態(tài)分布的均值可能位于某個(gè)區(qū)間。

不確定性表征需解決3 個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，一是要從本質(zhì)和來(lái)源上摸清不確定性的類(lèi)型，包括隨機(jī)不確定性、認(rèn)知不確定性以及兩者兼而有之的混合不確定性，這需要結(jié)合具體物理對(duì)象確定；二是要建立不確定性的數(shù)學(xué)模型，包括但不限于概率框架下的概率密度函數(shù)以及非概率框架下的廣義區(qū)間表達(dá)等，通常這需要根據(jù)不確定性的信息源決定采取何種建模方法；三是要獲取數(shù)學(xué)模型中的全部參數(shù)，如正態(tài)分布模型的均值、方差，或區(qū)間模型的上下界以及可信度等。

圖2 總結(jié)了目前主流的不確定性表征方法，其中隨機(jī)不確定性的概率表征方法發(fā)展相對(duì)較為成熟，但由于經(jīng)典的概率建模和參數(shù)估計(jì)方法僅能處理不確定性源的信息形式為點(diǎn)數(shù)據(jù)且數(shù)據(jù)足夠多的情況，具有一定局限性。針對(duì)隨機(jī)不確定性以稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)和/或區(qū)間數(shù)據(jù)、區(qū)間數(shù)據(jù)形式存在的情況，也可認(rèn)為由于數(shù)據(jù)不足而導(dǎo)致的認(rèn)知不確定性，目前產(chǎn)生了處理稀疏點(diǎn)和/或區(qū)間數(shù)據(jù)的基于似然理論的表征方法［40］、概率分布混合加權(quán)的表征方法［41］、專(zhuān)門(mén)處理區(qū)間數(shù)據(jù)的概率表征方法［42］。對(duì)于認(rèn)知不確定性表征，目前方法較多且研究較為獨(dú)立，其共同之處是無(wú)法直接根據(jù)不確定性源的信息形式進(jìn)行建模，通常需要專(zhuān)家信息，比如證據(jù)理論需要給定不確定性變量的證據(jù)結(jié)構(gòu)，模糊理論需要給定隸屬度函數(shù)。

圖2 不確定性表征方法Fig.2 Uncertainty characterization methods

表1 對(duì)不確定性表征方法的特點(diǎn)進(jìn)行了分類(lèi)整理，不失一般性，按照概率和非概率方法兩大類(lèi)展開(kāi)。概率表征方法均以經(jīng)典概率統(tǒng)計(jì)為理論基礎(chǔ)，將不確定性變量建模為概率分布，其最大優(yōu)勢(shì)是可便捷地應(yīng)用于各類(lèi)基于概率的不確定性傳播和優(yōu)化設(shè)計(jì)理論和方法。非概率表征方法由于涉及新的理論體系，對(duì)于后續(xù)的不確定性傳播和設(shè)計(jì)，可能需要花費(fèi)更多的精力進(jìn)行人員培訓(xùn)［43］。一些學(xué)者認(rèn)為純概率方法可完全考慮各種形式的不確定性，但更多學(xué)者認(rèn)為非概率表征方法在認(rèn)知不確定性處理上更加合理［39］。根據(jù)表征不確定性的信息源所屬類(lèi)別，可對(duì)不確定性進(jìn)行分類(lèi)，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行表征，為此第3 節(jié)介紹了一種考慮隨機(jī)、稀疏和區(qū)間變量的不確定性分類(lèi)準(zhǔn)則及相應(yīng)的不確定性建模方法。

表1 各種不確定性表征方法的特點(diǎn)Table 1 Characteristics of various uncertainty characterization methods

根據(jù)概率表征和非概率表征框架，第2 節(jié)介紹了經(jīng)典的概率表征方法，第3、4、5 節(jié)則按照表征不確定性的不同信息源形式，分別介紹了處理點(diǎn)數(shù)據(jù)、稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)和/或區(qū)間數(shù)據(jù)、區(qū)間數(shù)據(jù)的不確定性表征方法。第6 節(jié)針對(duì)場(chǎng)變量介紹了常用的隨機(jī)場(chǎng)表征方法。第7 節(jié)介紹了處理認(rèn)知不確定性的非概率表征方法。

2 基于經(jīng)典概率統(tǒng)計(jì)的表征方法

概率統(tǒng)計(jì)法具有成熟的理論基礎(chǔ)，保證了它在處理隨機(jī)不確定性時(shí)的有效性。如果信息足夠估計(jì)變量的概率分布，則可通過(guò)經(jīng)典概率統(tǒng)計(jì)法將隨機(jī)不確定性建模為隨機(jī)變量。這種隨機(jī)不確定性的概率分布表征方法目前已經(jīng)在結(jié)構(gòu)優(yōu)化［44］、氣動(dòng)分析［45-46］、電工電子［47］、核工業(yè)技術(shù)［48］、水利水電［49-50］、航空航天［51-52］等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

2.1 參數(shù)估計(jì)

首先，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、先驗(yàn)知識(shí)或?qū)＜乙庖?jiàn)，以及變量的不確定性特征及其所涉及的物理背景，確定隨機(jī)變量服從的分布（如均勻、高斯、泊松、對(duì)數(shù)正態(tài)等）。然后，基于試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)或其他可用信息，采用矩估計(jì)（Moment Estimation）［53］、極大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimation，MLE）［54］、貝葉斯估計(jì)（Bayesian Estimation）和最大后驗(yàn)（Maximum A Posteriori，MAP）估計(jì)［55］等參數(shù)估計(jì)方法求得分布的參數(shù)（如正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）?；诮?jīng)典概率統(tǒng)計(jì)的不確定性表征方法最終都能根據(jù)點(diǎn)數(shù)據(jù)得到不確定性變量的概率分布。

張文生等［56］針對(duì)土質(zhì)邊坡可靠度分析，將巖土參數(shù)中黏聚力和內(nèi)摩擦角隨機(jī)變量表征為正態(tài)分布，利用矩估計(jì)方法估計(jì)了分布的均值和方差。Kim 等［57］針對(duì)懸臂梁撓度測(cè)量誤差的不確定性，采用極大似然估計(jì)方法估計(jì)假設(shè)的均勻分布和正態(tài)分布的分布參數(shù)，為考慮測(cè)量誤差時(shí)的觀測(cè)數(shù)據(jù)的不確定性表征提供了指導(dǎo)。張諾亞［58］基于貝葉斯估計(jì)獲得了煤礦地下電性分布模型，并開(kāi)展了模型參數(shù)的不確性分析和可靠度評(píng)估。Edeling 等［59］在二維分離流和三維可壓縮流等高雷諾數(shù)流動(dòng)問(wèn)題計(jì)算中，采用最大后驗(yàn)估計(jì)對(duì)CFD 仿真中使用的k-ε、k-ω、SA 湍流模型封閉系數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，以量化湍流模型的不確定性。

本節(jié)主要介紹最為常用的極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)。

2.1.1 極大似然估計(jì)

極大似然估計(jì)是一種利用已知的樣本信息反推最具有可能（最大概率）導(dǎo)致這些樣本結(jié)果出現(xiàn)的概率模型分布參數(shù)的估計(jì)方法，即“分布已定，參數(shù)未知”。對(duì)于連續(xù)型概率分布f(x；θ)，其中x為隨機(jī)變量，θ為未知參數(shù)。從總體X中取出樣本容量為n的簡(jiǎn)單樣本和其樣本觀測(cè)值分別為(X1，X2，…，Xn)和(x1，x2，…，xn)，則樣本的似然函數(shù)（即聯(lián)合概率密度）為

極大似然估計(jì)就是給定樣本觀測(cè)值(x1，x2，…，xn)下，選取未知參數(shù)θ的估計(jì)值使得似然函數(shù)最大的過(guò)程。在樣本數(shù)量較大的情況下，概率連乘會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)下溢，產(chǎn)生較大數(shù)值計(jì)算誤差，由于似然函數(shù)及其對(duì)數(shù)函數(shù)在同一點(diǎn)處達(dá)到最大，通常對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)進(jìn)行求解。

極大似然估計(jì)基于經(jīng)典概率統(tǒng)計(jì)理論，為獲得準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，文獻(xiàn)［60］建議樣本數(shù)據(jù)量大于30。實(shí)際中待估計(jì)參數(shù)維數(shù)不同，對(duì)數(shù)據(jù)量的要求也會(huì)有所不同［61］，但并未給出確切的參數(shù)維數(shù)和數(shù)據(jù)量間的定量關(guān)系。

2.1.2 貝葉斯估計(jì)

在數(shù)據(jù)量較少或比較稀疏的情況下，直接利用MLE 存在一定誤差，此時(shí)可利用貝葉斯估計(jì)方法，認(rèn)為待估計(jì)參數(shù)也服從某種概率分布，已有數(shù)據(jù)只是在這種參數(shù)的分布下所產(chǎn)生的。該方法也被認(rèn)為是一種可處理數(shù)據(jù)不足而導(dǎo)致的認(rèn)知不確定性的有效方法。

在樣本觀測(cè)值x=(x1，x2，…，xn)下，待估計(jì)參數(shù)θ的條件概率密度為

式中：π(θ)為參數(shù)θ的先驗(yàn)分布；f(x|θ)為總體X的條件分布；π(θ|x)為參數(shù)θ的后驗(yàn)分布；分子項(xiàng)f(x|θ)π(θ)為參數(shù)和樣本的聯(lián)合分布，分母項(xiàng)∫θ f(x|θ)π(θ)dθ為樣本觀測(cè)值x的邊緣概率密度。

在貝葉斯估計(jì)中，若采用極大似然估計(jì)的思想，考慮后驗(yàn)分布極大化而求解θ，則變成了最大后驗(yàn)估計(jì)：

2.1.3 分布類(lèi)型的選擇

上述參數(shù)估計(jì)方法的應(yīng)用前提是概率分布類(lèi)型已指定，并未給出如何判定選擇最為合適的分布類(lèi)型的方法，實(shí)際中極有可能缺乏指定分布類(lèi)型所需要的信息。此時(shí)，可基于不確定性變量的給定數(shù)據(jù)（觀測(cè)或理論）應(yīng)用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（Goodness of Fit，GOF）或模型選擇方法來(lái)確定分布，給出接受或拒絕一個(gè)候選分布適合表示給定數(shù)據(jù)假設(shè)的結(jié)論。

最具代表性的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)有Kolmogorov-Smirnov（K-S）、Anderson-Darling（A-D）和卡方（χ2）檢驗(yàn)［62-64］。K-S 檢驗(yàn)和A-D 檢驗(yàn)均通過(guò)比較經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布與候選分布的累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function，CDF）間的距離，來(lái)度量2 個(gè)分布間的差異程度，但A-D 檢驗(yàn)將權(quán)重應(yīng)用于尾端概率分布，這對(duì)那些要求尾端概率分布較為精確的情況比較有用。χ2檢驗(yàn)則是直接比較數(shù)據(jù)頻率和候選分布的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）之間的吻合程度。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)為候選分布是否可表征給定數(shù)據(jù)提供了有效驗(yàn)證手段，但是識(shí)別出的正確分布模型通常有多個(gè)，無(wú)法對(duì)各個(gè)模型的優(yōu)劣排序，尤其當(dāng)樣本數(shù)量較少時(shí)該問(wèn)題廣泛存在。

模型選擇方法可有效解決上述問(wèn)題，主要包括極大似然估計(jì)（MLE）、赤池信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，AIC）、赤池信息修正準(zhǔn)則（AICc）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（Bayesian Information Criterion，BIC））等［65-67］。其基本原理為：參考分布越接近不確定性變量的給定數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)值越高，AIC 值、AICc 值和BIC 值的計(jì)算公式依次分別為

式中：Lmax為候選分布的似然函數(shù)最大值；k為候選分布的模型參數(shù)個(gè)數(shù)；n為樣本量。

MLE 方法僅計(jì)算候選分布似然函數(shù)最大值的負(fù)對(duì)數(shù)-ln(Lmax)，通常認(rèn)為三參數(shù)分布比一或二參數(shù)分布更適合，因此有時(shí)會(huì)錯(cuò)誤地將三參數(shù)分布識(shí)別為正確分布。如式（4）所示，相比MLE，AIC 額外考慮了參數(shù)的數(shù)量，權(quán)衡估計(jì)模型復(fù)雜度和擬合數(shù)據(jù)優(yōu)良性。

作為AIC 的修正版本，AICc 在信息損失計(jì)算中額外考慮了樣本量n，適用于小樣本下的模型選擇。BIC 又進(jìn)一步考慮了參數(shù)個(gè)數(shù)的影響，相較于AIC 和AICc，BIC 所引入的與模型參數(shù)個(gè)數(shù)相關(guān)的懲罰項(xiàng)kln(n)所占比重更大，當(dāng)樣本量較多時(shí)，可有效防止追求模型高精度所導(dǎo)致的模型復(fù)雜度過(guò)高。文獻(xiàn)［65-67］對(duì)3 種準(zhǔn)則及其懲罰項(xiàng)和修正項(xiàng)的引入給出了詳細(xì)的理論推導(dǎo)。

Lim 等［68］采用AIC 準(zhǔn)則建立了不確定變量的表征模型，對(duì)白車(chē)身及發(fā)動(dòng)機(jī)車(chē)架進(jìn)行了結(jié)構(gòu)有限元仿真，開(kāi)展了性能可靠度分析及基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)。Kang 等［69］比較了AIC、AICc 和BIC 3 種方法對(duì)多種概率分布類(lèi)型識(shí)別的準(zhǔn)確率，得出BIC 準(zhǔn)則識(shí)別準(zhǔn)確率最高。陳健等［70］在比較MLE、AIC 和BIC 時(shí)也得出了類(lèi)似結(jié)論。此外，Kang 等還對(duì)K-S、A-D 和χ2檢驗(yàn)在不確定性表征中的效果進(jìn)行了比較，得出K-S 檢驗(yàn)和A-D檢驗(yàn)精度相當(dāng)，但A-D 檢驗(yàn)對(duì)于極值分布的識(shí)別正確率較低，而χ2檢驗(yàn)在不確定性的樣本數(shù)據(jù)量較小時(shí)檢驗(yàn)結(jié)果并不準(zhǔn)確，因此K-S 檢驗(yàn)被認(rèn)為是相對(duì)較好的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法。

Kang 等［69，71］提出了一種結(jié)合擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和模型選擇的序列統(tǒng)計(jì)建模方法，首先通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)篩選掉不符合給定樣本數(shù)據(jù)的候選分布，然后應(yīng)用模型選擇方法對(duì)接受的候選分布進(jìn)行優(yōu)劣排序。當(dāng)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)拒絕了全部可能的候選模型分布時(shí)，則利用核密度估計(jì)（Kernel Density Estimation，KDE）方法［72］獲得不確定性變量的概率密度分布。圖3［69］為Kang 等提出的序列統(tǒng)計(jì)建模方法的實(shí)施流程，圖中N和Ntot分別表示候選模型數(shù)量以及全部可能的模型數(shù)量。

圖3 序列統(tǒng)計(jì)建模方法［69］Fig.3 Sequential statistical modeling method［69］

Kang 等的研究表明，對(duì)于不同的分布類(lèi)型和樣本數(shù)目，K-S 檢驗(yàn)和BIC 方法的組合可獲得最高的估計(jì)精度。但是，由于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和模型選擇方法都需在給定數(shù)據(jù)較充足的情況下才可精確識(shí)別分布類(lèi)型，所以Kang 等提出的方法適用條件為n＞30。

2.2 非參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)需基于工程經(jīng)驗(yàn)或?qū)＜乙庖?jiàn)等信息對(duì)概率分布進(jìn)行假設(shè)，非參數(shù)法無(wú)需提前假設(shè)參數(shù)的概率分布，可直接根據(jù)數(shù)據(jù)特征進(jìn)行分布擬合，避免對(duì)概率分布模型的假定不當(dāng)導(dǎo)致重大錯(cuò)誤。本節(jié)將介紹常用的基于最大熵原理以及基于核密度的非參數(shù)估計(jì)方法。

2.2.1 最大熵原理

基于最大熵原理的方法通過(guò)求解以下優(yōu)化問(wèn)題得到連續(xù)型隨機(jī)變量x∈D的概率分布函數(shù)f(x)：

式中：Mi為第i階統(tǒng)計(jì)矩。式中目標(biāo)函數(shù)表示最大化信息熵［73］，概率分布越準(zhǔn)確則信息熵越大。對(duì)上式構(gòu)造聯(lián)合約束條件的拉格朗日函數(shù)，通過(guò)求解拉格朗日乘子，最終可得f(x)，完成不確定性表征。

黃乾坤等［74］圍繞基于Shannon 熵的最大熵原理，討論了不同約束條件下最大熵優(yōu)化問(wèn)題的一般形式，并對(duì)經(jīng)典最大熵的不足給出了改進(jìn)方法。陳雷等［75］針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)模擬轉(zhuǎn)子葉片，通過(guò)最大熵方法擬合了不同葉端定時(shí)傳感器布局下的測(cè)點(diǎn)振幅的概率密度函數(shù)，而后通過(guò)ANSYS 有限元分析開(kāi)展了轉(zhuǎn)子葉片動(dòng)應(yīng)變重構(gòu)不確定性量化。Chen 等［76］對(duì)模型自身不確定性、模型參數(shù)估計(jì)的不確定性以及整個(gè)模型的不確定性進(jìn)行了分析，證實(shí)了最大熵分布在海洋波高極值計(jì)算中的優(yōu)越性。在數(shù)據(jù)樣本量很小的情況下，樣本統(tǒng)計(jì)矩所能提供的信息不夠豐富和全面，基于最大熵原理的方法所得概率密度分布可能與實(shí)際存在較大偏差，為此呂文［77］提出了一種小樣本下采用秩來(lái)構(gòu)造約束條件的改進(jìn)最大熵方法。此外，最大熵方法涉及大量積分計(jì)算，積分區(qū)間會(huì)引入截?cái)嗾`差，且當(dāng)統(tǒng)計(jì)矩最高階數(shù)較大時(shí)，會(huì)面臨求解困難、概率密度積分不為1 等問(wèn)題，為此李昊燃［78］和劉鈺等［79］分別提出了基于轉(zhuǎn)換函數(shù)和密度核估計(jì)的改進(jìn)最大熵方法。

2.2.2 核密度估計(jì)

假設(shè)有n個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)xi(1 ≤i≤n)，傳統(tǒng)的核密度估計(jì)（KDE）方法求解概率密度函數(shù)公式為［72］

式中：K為核函數(shù)，常用于KDE 算法中的核函數(shù)有高斯核函數(shù)、三角核函數(shù)、Epanechnikov 核函數(shù)等［80］；h為帶寬（或窗寬），其通過(guò)影響核函數(shù)中自變量的取值來(lái)控制每個(gè)樣本的相對(duì)權(quán)重，影響概率密度的光滑程度和估計(jì)精度，可根據(jù)最小化AMISE 準(zhǔn)則和Silverman 經(jīng)驗(yàn)法則計(jì)算［81］。

單德山等［82］采用核密度估計(jì)分析了橋梁構(gòu)件地震易損性，基于有限元仿真模型構(gòu)建了橋梁結(jié)構(gòu)構(gòu)件地震易損性的核密度估計(jì)算法。Kang等［83］提出了一種有界數(shù)據(jù)的核密度估計(jì)算法，并對(duì)懸臂梁楊氏模量、水平和垂直方向載荷的區(qū)間數(shù)據(jù)進(jìn)行了核密度估計(jì)，發(fā)現(xiàn)相較于原始KDE 方法的估計(jì)結(jié)果更為準(zhǔn)確，尤其是樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)。理論上，只要提供足夠多的樣本數(shù)據(jù)，KDE可收斂到任意形狀的概率密度函數(shù)，即使是在小樣本下也可得到概率密度函數(shù)的光滑連續(xù)估計(jì)［84］。但KDE 易出現(xiàn)邊界偏差，無(wú)法在邊界點(diǎn)附近給出良好的估計(jì)結(jié)果，且擬合的概率密度函數(shù)在高密度樣本區(qū)間過(guò)于平滑，缺乏局部適應(yīng)性。針對(duì)該問(wèn)題，繆鵬彬［85］提出了采用邊界核的自適應(yīng)非參數(shù)核密度估計(jì)算法。趙鐵軍［86］對(duì)傳統(tǒng)KDE 方法進(jìn)行了改進(jìn)，將自適應(yīng)核密度估計(jì)與基于偽數(shù)據(jù)的核密度估計(jì)相結(jié)合，將偽數(shù)據(jù)添加到邊界附近以修正偏差。

3 面向點(diǎn)數(shù)據(jù)的不確定性分類(lèi)表征方法

針對(duì)隨機(jī)不確定性往往依賴(lài)測(cè)量樣本數(shù)據(jù)獲取統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特點(diǎn)，開(kāi)展面向點(diǎn)數(shù)據(jù)的不確定性表征建模，Kang 等［69］、Peng 等［41］以及魏驍［87］等學(xué)者在這方面作了探索性研究。上述已提到Kang等［69］的研究為如何從隨機(jī)不確定性多種可能的概率分布中確定最佳分布模型，提供了一條解決思路。但是，當(dāng)不確定性參數(shù)的信息源較少時(shí)，單一的概率分布未必能合理表征不確定性。Peng等［41］在各種單一概率分布的基礎(chǔ)上引入多種概率分布的混合加權(quán)分布作為候選分布模型之一，建立了一種基于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的不確定性變量類(lèi)型確定方法，對(duì)候選模型的擬合優(yōu)良性給出了定量評(píng)價(jià)。但該方法采用的AD 檢驗(yàn)并不適用于均勻分布，且給出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和臨界值的計(jì)算公式僅適用于正態(tài)分布，無(wú)法應(yīng)用于其他概率分布的檢驗(yàn)。為此，我們對(duì)Peng 等［41］提出的不確定性分類(lèi)方法進(jìn)行了改進(jìn)［88］，采用K-S 檢驗(yàn)來(lái)滿(mǎn)足檢驗(yàn)均勻分布的需求，同時(shí)定義p值［89］作為擬合優(yōu)良性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，使得檢驗(yàn)適用于多種分布。

改進(jìn)的不確定性分類(lèi)方法將不確定性表征為以下3 種類(lèi)型的變量，如圖4 所示。

圖4 隨機(jī)變量、稀疏變量、區(qū)間變量的表征示意Fig.4 Characterization of random variable，sparse variable and interval variable

1）隨機(jī)變量：數(shù)學(xué)模型為常見(jiàn)的單一概率分布。

2）稀疏變量：數(shù)學(xué)模型為多種分布組成的混合加權(quán)概率分布。

3）區(qū)間變量：數(shù)學(xué)模型為上下界表達(dá)的區(qū)間形式。

以下為面向點(diǎn)數(shù)據(jù)的不確定性表征方法的具體實(shí)施步驟。

步驟1判斷不確定性變量觀測(cè)樣本個(gè)數(shù)n，若n＜ncv（臨界樣本數(shù)），則認(rèn)為不宜擬合概率分布，直接將變量表征為區(qū)間變量；否則執(zhí)行步驟2。

步驟2假設(shè)該不確定性變量為隨機(jī)變量，令變量依次滿(mǎn)足m種常見(jiàn)的概率分布，其概率密度函數(shù)分別為fi(x)(i=1，2，…，m)。對(duì)于不同的研究對(duì)象，可根據(jù)具體的物理背景選擇候選概率分布模型。

步驟3假設(shè)該不確定性變量為稀疏變量，令其概率分布為上述除均勻分布外其余m-1 種分布的加權(quán)和，其概率密度函數(shù)見(jiàn)式（9），根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則［90］為各個(gè)概率分布分配權(quán)重wi。為了降低模型復(fù)雜度，忽略權(quán)重小于0.1 的候選概率模型。

步驟 4確定上述分布的fi(x)(i=1，2，…，m)、fmix(x)以及概率分布函數(shù)F(x)?；贙-S 檢驗(yàn)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Kn，并求解在顯著性水平α下的擬合優(yōu)度（p值），關(guān)于p值的計(jì)算如下。

1）根據(jù)不確定性變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到其經(jīng)驗(yàn)概率分布函數(shù)Fn(x)。

2）計(jì)算KS 距離dKS，在經(jīng)驗(yàn)概率分布和假設(shè)概率分布2 條曲線相交和不相交2 種情況下，KS距離計(jì)算的如圖5 所示。

圖5 KS 距離Fig.5 KS distance

式中：當(dāng)i=n時(shí)，有Fn(xn+1)=Fn(∞)=1；sup表示上確界。

3）由Kn的準(zhǔn)確概率分布P(Kn≤dKS)求解p值，p值越大說(shuō)明擬合程度越優(yōu)。

式中：tkk的計(jì)算詳見(jiàn)文獻(xiàn)［91］。

步驟5比較擬合優(yōu)度最大值pmax和顯著性水平α的大小，確定不確定性參數(shù)的最佳表征形式。若pmax≥α，pmax對(duì)應(yīng)的分布類(lèi)型為單一概率分布，不確定性變量被表征為隨機(jī)變量，pmax對(duì)應(yīng)的分布類(lèi)型為混合加權(quán)分布，則被表征為稀疏變量；若pmax＜α，將該不確定性變量表征為區(qū)間變量。

不確定性分類(lèi)表征能夠科學(xué)合理地表征不確定性變量的類(lèi)型，并對(duì)分布與樣本數(shù)據(jù)之間的擬合優(yōu)良性進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，混合加權(quán)分布的構(gòu)建進(jìn)一步豐富了候選模型庫(kù)，為隨機(jī)不確定性從多種可能的一般概率分布中確定最佳的分布模型給出了較為通用的解決方案。該表征方法適用于不確定性信息中僅包含點(diǎn)數(shù)據(jù)的情況，當(dāng)點(diǎn)數(shù)據(jù)和區(qū)間數(shù)據(jù)同時(shí)存在時(shí)，方法應(yīng)用受限；同時(shí)在候選模型擬合優(yōu)度均較差的情況下，方法直接將不確定性表征為粗糙的區(qū)間變量，如何根據(jù)可用的樣本數(shù)據(jù)對(duì)區(qū)間模型進(jìn)一步細(xì)化和優(yōu)化也是后續(xù)研究需要解決的問(wèn)題。

4 處理稀疏點(diǎn)和/或區(qū)間數(shù)據(jù)的似然表征方法

上述不確定性表征方法都僅能處理點(diǎn)數(shù)據(jù)，實(shí)際中受時(shí)間和經(jīng)濟(jì)成本的限制，除了稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)，可用信息還可能以區(qū)間的形式存在。例如與儀器校準(zhǔn)相關(guān)的不確定性或誤差以及試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的不確定性等，常用區(qū)間來(lái)描述。圖6 為某隨機(jī)變量X的不確定性信息為稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)和區(qū)間數(shù)據(jù)，存在3 個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)｛4.1，5.6，3.8｝和3 個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)［3.5，4］、［3.9，4.1］和［5，6］。對(duì)此，產(chǎn)生了基于似然理論和基于加權(quán)分布的概率表征方法。

圖6 點(diǎn)數(shù)據(jù)和區(qū)間數(shù)據(jù)同時(shí)存在Fig.6 Point data and interval data exist at the same time

通?？捎酶怕世碚撎幚睃c(diǎn)數(shù)據(jù)，而處理區(qū)間數(shù)據(jù)則常用區(qū)間理論，難以同時(shí)用這2 種理論來(lái)描述以區(qū)間和稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)存在的隨機(jī)變量。Sankararaman 和Mahadevan 針對(duì)以點(diǎn)數(shù)據(jù)和/或區(qū)間數(shù)據(jù)存在的隨機(jī)變量，提出了一種基于似然理論（Likelihood-Based）的方法［40］（以下簡(jiǎn)稱(chēng)LBM），將信息不充足情況下的隨機(jī)變量統(tǒng)一用概率模型表征。在該方法的基礎(chǔ)上，他們進(jìn)一步分別利用貝葉斯模型平均和貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)分布類(lèi)型選擇導(dǎo)致的不確定性進(jìn)行量化，進(jìn)而可在后續(xù)的不確定性傳播中同時(shí)考慮輸入?yún)?shù)的隨機(jī)性、分布參數(shù)的不確定性、分布類(lèi)型的不確定性［92］。張鵬等［93］將這種包含離散數(shù)據(jù)與區(qū)間的變量稱(chēng)為稀疏混合不確定性變量，針對(duì)多種候選單一概率分布，分別利用Sankararaman 和Mahadevan［40］提出的LBM 獲取不確定性變量的概率密度函數(shù)，進(jìn)一步根據(jù)貝葉斯信息準(zhǔn)則確定最合適的概率分布類(lèi)型。

基于LBM 的不確定性表征可分為參數(shù)法和非參數(shù)法，如圖7 所示。參數(shù)法需要提前指定不確定性變量的分布類(lèi)型。然而，在很多情況下有效選擇分布類(lèi)型可能非常困難，而且不同的分布類(lèi)型假設(shè)將導(dǎo)致不同的不確定性表征結(jié)果。非參數(shù)法避免了對(duì)分布類(lèi)型的假設(shè)，且由于不必對(duì)分布類(lèi)型抽樣，可顯著降低不確定性表征的計(jì)算量。接下來(lái)將分別對(duì)LBM 的2 種實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行介紹。

圖7 分布族（有參）和單個(gè)分布（無(wú)參）Fig.7 Family of distributions（parametric method）and individual distributions（nonparametric method）

4.1 LBM 的參數(shù)法

設(shè)隨機(jī)變量X存在m個(gè)稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)xi(i=1，2，…，m) 和n個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)[ai，bi] (i=1，2，…，n)，且這些數(shù)據(jù)來(lái)源相互獨(dú)立。fX(x|P)表示X關(guān)于P的概率密度函數(shù)，P為所需要估計(jì)的參數(shù)。參數(shù)P的似然函數(shù)可表示為

不同于直接采用極大似然估計(jì)的方法，Sankararaman 和Mahadevan［40］通過(guò)全似然估計(jì)，利用貝葉斯定理得到分布參數(shù)P的概率密度函數(shù)。假設(shè)fP(P)表示參數(shù)P的聯(lián)合概率密度函數(shù)，選擇均勻先驗(yàn)概率密度，則分布參數(shù)P的后驗(yàn)分布為

根據(jù)fP(P)對(duì)P抽樣可得隨機(jī)變量X的一族PDF 曲線，導(dǎo)致后續(xù)不確定性傳播為雙層循環(huán)，計(jì)算量較大。為此，可進(jìn)一步對(duì)分布參數(shù)P的不確定性積分從而得到隨機(jī)變量X的平均PDF。

Sankararaman 和Mahadevan［40］詳細(xì)給出了求解上式積分的方法。需要注意的是參數(shù)法需要提前假設(shè)隨機(jī)變量X的分布類(lèi)型，但經(jīng)過(guò)積分后所得隨機(jī)變量X的分布將發(fā)生改變，不再與假設(shè)相同。

4.2 LBM 的非參數(shù)法

非參數(shù)法直接基于已有的稀疏數(shù)據(jù)和/或區(qū)間數(shù)據(jù)，確定隨機(jī)變量X的最大、最小值邊界。然后在最大、最小值形成的區(qū)間中將X離散為有限個(gè)點(diǎn)qi(i=1，2，…，Q)。pi表示這些離散點(diǎn)上X的PDF 值，即fX(x=qi)=pi。根據(jù)這些離散點(diǎn)上的值，利用插值技術(shù)可得到其他點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的X的PDF 值。令p=(p1，p2，…，pQ)，同理可將似然函數(shù)表示為

通過(guò)優(yōu)化如下問(wèn)題得到p：

Sankararaman 和Mahadevan［40］對(duì)PDF 插值的3 種方法——線性插值、樣條插值、高斯過(guò)程插值進(jìn)行了詳細(xì)介紹和探討，認(rèn)為高斯過(guò)程插值是最為通用的方法。

Peng 等［41］針對(duì)基于CFD 數(shù)值模擬的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)和熱交換器可靠度評(píng)估問(wèn)題，采用LBM的參數(shù)法，完成了混合加權(quán)分布的不確定性表征［94-95］。魏驍［87］針對(duì)基于CFD 數(shù)值模擬的KCS船型優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)船舶測(cè)量設(shè)備記錄的吃水?dāng)?shù)據(jù)，同樣采用參數(shù)似然估計(jì)對(duì)吃水變量的不確定性進(jìn)行了表征。Peng 等［96］又采用非參數(shù)法構(gòu)建了源于稀疏采樣點(diǎn)和區(qū)間數(shù)據(jù)的高斯過(guò)程插值模型，提出了稀疏采樣點(diǎn)和區(qū)間數(shù)據(jù)多源數(shù)據(jù)融合方法。

4.3 基于最壞情況最大似然的方法

Zaman 等［97］指出，Sankararaman 和Mahadevan 提出的基于似然理論的不確定性表征方法［40］需要利用貝葉斯更新和積分來(lái)獲取隨機(jī)變量的分布，過(guò)程較為繁瑣，且所得隨機(jī)變量的分布類(lèi)型不再與假設(shè)分布相同。而且，當(dāng)所有區(qū)間數(shù)據(jù)均有共同重疊部分時(shí)，該方法給出的方差（二階統(tǒng)計(jì)矩）的最大似然估計(jì)為零，不再適用，Zaman等［42］認(rèn)為此時(shí)Sankararaman 和Mahadevan［40］提出的方法低估了不確定性。為此，Zaman 等［97］基于似然理論，提出了一種基于最壞情況最大似然估計(jì)（Worst-Case Maximum Likelihood Estimation，WMLE）的方法，基于此建立了穩(wěn)健優(yōu)化模型，并將其應(yīng)用于兩級(jí)入軌飛行器穩(wěn)健優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)其中的分離飛行軌跡角和長(zhǎng)細(xì)比進(jìn)行了不確定性表征［97］。該方法同樣可以處理隨機(jī)變量以稀疏點(diǎn)和/或區(qū)間存在的混合數(shù)據(jù)，也適用于任何類(lèi)型的多區(qū)間數(shù)據(jù)，即非重疊、重疊以及非重疊和重疊組合的混合區(qū)間。

如式（17）和式（18）所示，對(duì)于m個(gè)稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)和n個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)，基于最壞情況最大似然的方法以外層和內(nèi)層的2 層嵌套優(yōu)化來(lái)估計(jì)分布參數(shù)，內(nèi)層在固定稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)取值的情況下，對(duì)區(qū)間數(shù)據(jù)所有可能取值進(jìn)行組合計(jì)算似然函數(shù)值，找到使似然函數(shù)最小的區(qū)間變量所取的數(shù)據(jù)值，也就是所謂最壞情況，即區(qū)間數(shù)據(jù)的不確定性所導(dǎo)致的似然下限；外層再通過(guò)最大化似然函數(shù)，估計(jì)分布參數(shù)，找到不確定性變量最優(yōu)的分布參數(shù)p。

式中：p為分布參數(shù)；x為點(diǎn)數(shù)據(jù)和區(qū)間數(shù)據(jù)；xlow、xup分別為區(qū)間數(shù)據(jù)的下限和上限。

似然函數(shù)值代表概率分布支持現(xiàn)有樣本數(shù)據(jù)的好壞程度，而對(duì)于區(qū)間數(shù)據(jù)，觀測(cè)樣本不再是固定的一組值，而是各個(gè)區(qū)間上所有可能取值的一系列組合。Zaman 等［42］通過(guò)搜尋使似然函數(shù)最小的這些區(qū)間上形成的某組取值，得到概率分布擬合的最壞情況，在該最壞情況下再通過(guò)最大化似然函數(shù)值來(lái)估計(jì)參數(shù)p的值，這就是基于最壞情況的最大似然的內(nèi)涵。

上述已經(jīng)提及，LBM 不適用于所有區(qū)間數(shù)據(jù)均有共同重疊部分的特殊情況，而且無(wú)法在僅有一個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的情況下進(jìn)行不確定性表征，因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)論什么形式的概率分布，在該區(qū)間上的似然函數(shù)值都為1。對(duì)此，Zaman 等提出了一種專(zhuān)門(mén)應(yīng)對(duì)區(qū)間數(shù)據(jù)的概率表征方法［42］。

當(dāng)不確定性變量以區(qū)間和稀疏點(diǎn)數(shù)據(jù)混合的形式存在時(shí)，除了上述多種基于似然理論的表征方法以外，也有研究直接認(rèn)定該變量為第3 節(jié)不確定性分類(lèi)中所提到的稀疏變量［41，96］，將其建模為多種單一概率分布混合加權(quán)和的形式，見(jiàn)式（9）。

5 處理區(qū)間數(shù)據(jù)的概率表征方法

實(shí)際上，不確定性變量的不確定信息源可能為單個(gè)或多個(gè)區(qū)間，多個(gè)區(qū)間為互不重疊或有重疊的區(qū)間。針對(duì)單個(gè)區(qū)間的情況，過(guò)去較為常用的做法是直接將區(qū)間數(shù)據(jù)形式的不確定性變量表征為該區(qū)間上的均勻分布，相當(dāng)于認(rèn)為變量在區(qū)間上任意位置出現(xiàn)的可能性是相等的，事實(shí)上變量會(huì)在區(qū)間上的哪個(gè)位置出現(xiàn)并不知道，很多研究也指出該處理方式并非合理［98-99］。此外，對(duì)于僅存在一個(gè)區(qū)間信息的不確定性表征問(wèn)題，上一節(jié)中介紹的基于似然理論的方法無(wú)法適用。為此，Zaman 等提出了一種專(zhuān)門(mén)應(yīng)對(duì)區(qū)間數(shù)據(jù)的概率表征方法［42］，該方法針對(duì)單個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)、多個(gè)互不重疊或有重疊的區(qū)間數(shù)據(jù)的情況，分別給出了統(tǒng)計(jì)矩邊界計(jì)算以及分布擬合的解決辦法。

首先建立單個(gè)區(qū)間的前四階統(tǒng)計(jì)矩的計(jì)算方法，在區(qū)間上下界的約束范圍內(nèi)進(jìn)行抽樣，并對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)分配概率質(zhì)量函數(shù)（PMF）值，計(jì)算各階中心距E(xk)。前四階統(tǒng)計(jì)矩為

不同的概率質(zhì)量分配方式對(duì)應(yīng)著前四階統(tǒng)計(jì)矩的無(wú)數(shù)種可能組合，通過(guò)優(yōu)化即可估計(jì)單個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的前四階統(tǒng)計(jì)矩的上下界，找到使單個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的矩最小或最大的區(qū)間端點(diǎn)的PMF 值：

Zaman 等［42］研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于單個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的各階統(tǒng)計(jì)矩的最小值和最大值，PMF 只集中在區(qū)間的2 個(gè)端點(diǎn)。單個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)矩邊界隨區(qū)間下端點(diǎn)處PMF 變化的估計(jì)結(jié)果曲線，如圖8 所示［42］。從圖8 中可以看出，當(dāng)2 個(gè)端點(diǎn)的PMF 均為0.5 時(shí)，二階統(tǒng)計(jì)矩達(dá)到最大值；對(duì)于三階統(tǒng)計(jì)矩，估計(jì)結(jié)果曲線呈對(duì)稱(chēng)；對(duì)于四階統(tǒng)計(jì)矩，曲線呈雙峰形狀。

圖8 單個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)矩邊界估計(jì)［42］Fig.8 Boundary estimation of statistical moments for single interval data［42］

Zaman 等［42］將單個(gè)區(qū)間的前四階統(tǒng)計(jì)矩的計(jì)算方法擴(kuò)展到適用于多個(gè)重疊或非重疊區(qū)間數(shù)據(jù)的二階、三階和四階統(tǒng)計(jì)邊界的優(yōu)化，建立了適用于單個(gè)、多個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)矩邊界計(jì)算方法，如式（21）～式（23）所示：

式中：n為區(qū)間個(gè)數(shù)；ai、bi分別表示多個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的下上界端點(diǎn)；xi為在區(qū)間中抽取的樣本點(diǎn)，即ai≤xi≤bi且i=1，2，…，n。

得到統(tǒng)計(jì)矩上下邊界后，作者認(rèn)為每個(gè)邊界內(nèi)的各階統(tǒng)計(jì)矩均服從均勻分布，進(jìn)行抽樣，每一組前四階統(tǒng)計(jì)矩的組合都能擬合出有界約翰遜分布，通過(guò)大量抽樣或基于優(yōu)化的方式得到所有可能的有界約翰遜分布的分布包絡(luò)，形成Jonson 概率盒，完成對(duì)區(qū)間數(shù)據(jù)的概率表征。圖9［42］針對(duì)式（24）（多個(gè)非重疊區(qū)間）和式（25）（多個(gè)重疊區(qū)間）給出的2 組區(qū)間數(shù)據(jù)，分別展示了所得的Jonson 概率盒，圖中粗實(shí)線為Jonson 概率盒，階梯狀細(xì)實(shí)線為數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)概率盒，細(xì)點(diǎn)線族為前4 階統(tǒng)計(jì)矩的每一組可能組合對(duì)應(yīng)的有界約翰遜分布曲線族。

圖9 Jonson 概率盒［42］Fig.9 Jonson p-box［42］

6 隨機(jī)場(chǎng)表征方法

上述介紹的都是關(guān)于單個(gè)不確定性參數(shù)的表征方法。由于不確定性參數(shù)的分散性，不確定性可能隨空間的變化而波動(dòng)，比如隨機(jī)有限元中的力學(xué)空間可變材料特性為輸入隨機(jī)場(chǎng)［100］以及CFD 中雷諾應(yīng)力的輸入隨機(jī)場(chǎng)［16］，此時(shí)單個(gè)不確定性參數(shù)已無(wú)法完整描述整個(gè)結(jié)構(gòu)性能的分布。如何準(zhǔn)確地描述不確定性參數(shù)隨空間位置變化的特性，是建立不確定性模型重要的考量。隨機(jī)場(chǎng)是處理具有空間變異性的不確定性參數(shù)的一種表征模型，是解決參數(shù)空間分散問(wèn)題的重要手段。

隨機(jī)場(chǎng)在其場(chǎng)域內(nèi)的每個(gè)位置均為隨機(jī)變量，即包含無(wú)限個(gè)空間相關(guān)的隨機(jī)變量。處理隨機(jī)場(chǎng)問(wèn)題要通過(guò)點(diǎn)離散、平均離散或級(jí)數(shù)展開(kāi)法等離散方法［101］將連續(xù)隨機(jī)場(chǎng)離散為若干個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。級(jí)數(shù)展開(kāi)法中的Karhunen-Loève（K-L）展開(kāi)是處理隨機(jī)場(chǎng)實(shí)現(xiàn)維度縮減較為有效的方法［102］。以下對(duì)較為常用的K-L 方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

設(shè)H(x，ω)表示一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)，其中x是有界域D ?Rd（d∈{1，2，3}）中的空間變量，代表一維/二維/三維空間位置坐標(biāo)；ω為概率空間中的隨機(jī)事件。假設(shè)隨機(jī)場(chǎng)H(x，ω)平方可積，具有均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ和協(xié)方差矩陣CH(x，x′)，x和x′為場(chǎng)內(nèi)兩點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)?？墒褂肒-L 展開(kāi)將H(x，ω)進(jìn)行如下離散：

式中：μ和分別為隨機(jī)場(chǎng)的確定性部分和隨機(jī)部分；n為K-L 截?cái)嚯A數(shù)（級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)）；λi和φi(x)為隨機(jī)場(chǎng)協(xié)方差矩陣CH(x，x′)的特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)，滿(mǎn)足

隨機(jī)場(chǎng)表征的核心是如何進(jìn)行隨機(jī)場(chǎng)離散，即確定均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ、協(xié)方差矩陣CH(x，x′)的特征值和特征函數(shù)，本質(zhì)上仍然是參數(shù)的不確定性表征。不確定性參數(shù)μ和σ可基于工程經(jīng)驗(yàn)給出，也可通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)得出，CH(x，x′)定義在規(guī)則幾何空間域上，與場(chǎng)內(nèi)兩點(diǎn)的相關(guān)距離有關(guān)，而這種相關(guān)距離由相關(guān)函數(shù)體現(xiàn)，常用的相關(guān)函數(shù)有高斯型、指數(shù)型、三角型、指數(shù)余弦型、二階自回歸型等［103］。蔣水華對(duì)這幾種相關(guān)函數(shù)下的隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)高斯型生成隨機(jī)場(chǎng)連續(xù)性較好、效率較高［104］，采用高斯型相關(guān)函數(shù)計(jì)算協(xié)方差矩陣的公式為

式中：1 ≤i，j≤n；δk為有界空間域D 的相關(guān)距離。

通過(guò)上述步驟，將輸入隨機(jī)場(chǎng)離散為了一系列有限個(gè)不相關(guān)、零均值、單位方差的隨機(jī)變量ξi(ω)，如果隨機(jī)場(chǎng)H(x，ω)是高斯隨機(jī)場(chǎng)，則ξi(ω)形成一組獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量，實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)場(chǎng)的不確定性表征，在此基礎(chǔ)上就可以進(jìn)行不確定性傳播。

賈超等［105］在地下水力學(xué)滲流耦合過(guò)程的數(shù)值模擬中，考慮到滲透系數(shù)作為隨機(jī)變量的空間變異性，將其不確定性表征為隨機(jī)場(chǎng)，并根據(jù)庫(kù)區(qū)鉆孔水位觀測(cè)資料及庫(kù)區(qū)外圍水文地質(zhì)調(diào)查資料確定了隨機(jī)場(chǎng)模型參數(shù)，對(duì)地下洞室涌水量進(jìn)行了預(yù)測(cè)。Gravanis 等［106］建立了表征巖石邊坡穩(wěn)定問(wèn)題中巖石材料屬性的二維隨機(jī)場(chǎng)模型，探討了巖石材料屬性的空間變異性對(duì)巖石邊坡失效概率的影響。牛燚煒等［107］在此基礎(chǔ)上提出了三維隨機(jī)場(chǎng)的建立方法，并把底面摩擦系數(shù)和粘聚力視為高斯隨機(jī)變量，分析了巖石邊坡的三維穩(wěn)定性問(wèn)題。Feng 等［108］采用均勻隨機(jī)場(chǎng)表征了各有限元單元彈性模量的不確定性，研究了簡(jiǎn)支梁和層流板的動(dòng)力學(xué)特性。

7 非概率表征方法

上述不確定性表征方法在建模中主要按照不確定性變量存在的數(shù)據(jù)形式及數(shù)量進(jìn)行不確定性分類(lèi)和建模。若將不確定性分為隨機(jī)和認(rèn)知兩大類(lèi)，非概率表征方法則為認(rèn)知不確定性的表征提供了有效建模手段。非概率表征方法往往需要基于專(zhuān)家信息去建立不確定性表征的數(shù)學(xué)模型，基于不同的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)形成了如證據(jù)理論、區(qū)間理論、模糊理論以及凸模型等眾多非概率表征方法，呈現(xiàn)出“百花齊放”的局面。

7.1 區(qū)間理論

對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題，獲得不確定參數(shù)可能的取值范圍要比獲取精確概率分布容易得多。當(dāng)認(rèn)知水平有限，只清楚參數(shù)位于哪個(gè)區(qū)間，但是不清楚在區(qū)間內(nèi)哪個(gè)部分或位置取值的可信度更高時(shí)（參數(shù)的真值可能取區(qū)間中的任意一個(gè)值，沒(méi)有證據(jù)或信息表明區(qū)間內(nèi)的任一值比其他值更有可能），可采用區(qū)間模型對(duì)該參數(shù)進(jìn)行不確定性建模。區(qū)間（Interval）模型一般定義為［109］

在區(qū)間數(shù)學(xué)方法中，不確定參數(shù)被認(rèn)為是“未知但有界”，每個(gè)不確定性參數(shù)都有上限和下限，由一個(gè)區(qū)間描述，而不具有概率形式。區(qū)間AI包含了不確定性參數(shù)所有可能的結(jié)果，可以包含參數(shù)的所有不確定性信息，其中區(qū)間中點(diǎn)Ac=(AL+AU)/2 是區(qū)間表達(dá)的確定性部分，區(qū)間半徑Ar=(AU-AL)/2 和[-Ar，Ar]構(gòu)成了區(qū)間表達(dá)的不確定性部分。區(qū)間的不確定性水平γ由區(qū)間半徑與區(qū)間中點(diǎn)比值確定，即γ=Ar/Ac。當(dāng)不確定性輸入包含多個(gè)參數(shù)時(shí)，每個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)間數(shù)AI，各個(gè)區(qū)間數(shù)組合形成區(qū)間向量，對(duì)應(yīng)了不確定性問(wèn)題的區(qū)間模型。

將認(rèn)知不確定性表征為區(qū)間的方式在工程機(jī)械、金融經(jīng)濟(jì)、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域都得到了諸多應(yīng)用［110-112］。Wong 等［113］采用一階泰勒展開(kāi)對(duì)損傷結(jié)構(gòu)前后的剛度參數(shù)不確定性進(jìn)行了區(qū)間表征，開(kāi)展了不確定性下的結(jié)構(gòu)損傷判定。劉剛等［114］采用區(qū)間數(shù)對(duì)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)出力的不確定性進(jìn)行描述與分析，建立了風(fēng)電注入功率不確定性的配電網(wǎng)三相區(qū)間潮流模擬模型。

基于區(qū)間理論的非概率表征方法只需給出確定的上下邊界，很大程度降低了對(duì)原始數(shù)據(jù)的要求［115］。區(qū)間表征包含了不確定性所有可能出現(xiàn)的情況，經(jīng)過(guò)區(qū)間分析后得到的輸出響應(yīng)的區(qū)間可能要遠(yuǎn)大于實(shí)際區(qū)間，存在“區(qū)間擴(kuò)張”現(xiàn)象［116］，失去工程參考價(jià)值。

7.2 概率盒理論

20 世紀(jì)90 年代，Williamson 和Downs 在累積分布函數(shù)的基礎(chǔ)上引入了區(qū)間型邊界［117］，稱(chēng)之為概率盒（p-box），也稱(chēng)p盒。概率盒定義為一組包含不確定性變量所有可能的累積分布函數(shù)曲線的上下邊界或概率包絡(luò)，可以表示為

如圖10 所示［118］，概率盒同時(shí)適用于隨機(jī)、認(rèn)知以及混合不確定性的表征。對(duì)于隨機(jī)不確定性以及單一區(qū)間認(rèn)知不確定性的表征很容易理解，當(dāng)不確定性變量以多個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)存在時(shí)，文獻(xiàn)［119］提出了“經(jīng)驗(yàn)概率盒”的概念，定義為給定區(qū)間數(shù)據(jù)集的所有可能的經(jīng)驗(yàn)分布的集合。由于缺乏對(duì)區(qū)間數(shù)據(jù)可信度的分配，經(jīng)驗(yàn)概率盒認(rèn)為每個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)都是等可能的，因此如果有N個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的話(huà)，經(jīng)驗(yàn)概率盒是2 條具有1/N的恒定垂直步長(zhǎng)的遞增函數(shù)形式的階梯曲線所構(gòu)成的不確定區(qū)域。圖11 和圖12 分別展示了文獻(xiàn)［119］針對(duì)6 個(gè)非重疊區(qū)間和9 個(gè)重疊區(qū)間2 種情況下的區(qū)間數(shù)據(jù)集以及相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)概率盒，可見(jiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)處的階梯高度相等，反映了每個(gè)區(qū)間均被同等加權(quán)的假設(shè)。

圖10 各種形式下的概率盒［118］Fig.10 p-box in various forms［118］

圖11 非重疊（左）/重疊（右）區(qū)間數(shù)據(jù)集Fig.11 Non-overlapping（left）/overlapping（right）interval datasets

圖12 非重疊（左）/重疊（右）區(qū)間數(shù)據(jù)集的經(jīng)驗(yàn)概率盒Fig.12 Empirical p-box for non-overlapping（left）/overlapping（right）interval datasets

在某些參數(shù)的概率分布類(lèi)型已知，但其分布參數(shù)卻在一定范圍波動(dòng)的情況下，隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性耦合在同一個(gè)變量中，變量表現(xiàn)出混合不確定性，其數(shù)學(xué)模型為一族概率分布所形成的概率包絡(luò)，即給定區(qū)間集上所有可能的概率分布的集合，為典型的概率盒。式（31）和式（32）分別以正態(tài)分布和均勻分布為例，給出了2 個(gè)混合不確定性變量x1和x2的數(shù)學(xué)模型。如圖13所示，隨機(jī)生成μ以及a和b的80 組值，繪制了變量x1和x2的CDF 函數(shù)曲線族。

圖13 混合不確定性的概率盒表征Fig.13 Characterization p-box-based of mixed uncertainty

概率盒還分為參數(shù)化概率盒和非參數(shù)化概率盒。參數(shù)化概率盒由一族同類(lèi)型的累積分布函數(shù)組成，例如上述所舉的混合不確定性表征實(shí)例就是典型的參數(shù)化概率盒；而非參數(shù)化概率盒由邊界分布包絡(luò)的不同類(lèi)型CDF 曲線組成，其包絡(luò)的分布函數(shù)的形式任意，并不局限于經(jīng)典的分布函數(shù)類(lèi)型［120］。Zhu 等［121］將汽車(chē)客艙復(fù)合材料的楊氏模量和密度表征為參數(shù)化概率盒，對(duì)聲壓振幅響應(yīng)進(jìn)行了不確定性量化。吳沐宸等［120］針對(duì)NACA0012 翼型繞流CFD 模擬的不確定性量化問(wèn)題，根據(jù)來(lái)流和湍流模型系數(shù)的邊界分布及其取值范圍指定了非參數(shù)概率盒變量。

概率盒理論作為一種區(qū)間和概率的混合模型，兼顧了區(qū)間和概率的特性，現(xiàn)有的區(qū)間、概率分布和證據(jù)結(jié)構(gòu)都可以轉(zhuǎn)化為概率盒形式，同時(shí)適用于隨機(jī)、認(rèn)知以及混合不確定性的表征，是一種相對(duì)較為通用的不確定性表征方法。但概率盒表征無(wú)法直接對(duì)來(lái)自多個(gè)渠道或?qū)＜业男畔⑦M(jìn)行融合，證據(jù)理論則提供了解決方案。

7.3 證據(jù)理論

證據(jù)理論起源于1967 Dempster 提出的上下概率理論，他的學(xué)生Shafer 對(duì)其進(jìn)行了發(fā)展和完善［122］。證據(jù)理論通過(guò)辨識(shí)框架（Frame of Discernment，F(xiàn)D）、基本可信度分配（Basic Probability Assignment，BPA）、信任函數(shù)（Belief Function，Bel）和似然函數(shù)（Plausibility Function，Pl）的基本概念構(gòu)成了一個(gè)不確定性建模架構(gòu)。

證據(jù)理論下證據(jù)變量是表征認(rèn)知不確定性的最基本變量，證據(jù)變量需給定變量的區(qū)間描述（通常稱(chēng)為焦元）和相應(yīng)的BPA（或概率權(quán)值），BPA 往往根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)或?qū)＜翌A(yù)測(cè)確定。以Ai和m(Ai)（i=1，2，…，n）分別表示同一個(gè)識(shí)別框架上的n個(gè)焦元及其BPA。例如證據(jù)變量x可以取區(qū)間［0，3］上的任意值，但取值落在不同區(qū)間［0，1］、［1，2］和［2，3］上的概率不同，分別是0.1、0.6 和0.3，一共有3 個(gè)焦元，其對(duì)應(yīng)的BPA 分別為m(x(1))=0.1，m(x(2))=0.6，m(x(3))=0.3。

基于專(zhuān)家意見(jiàn)、仿真數(shù)據(jù)、測(cè)量結(jié)果等手段給出的證據(jù)是一個(gè)非常寬泛的概念，并且各條證據(jù)之間相互獨(dú)立，因此證據(jù)理論的基本可信度分配相較于概率滿(mǎn)足更弱的公理。根據(jù)證據(jù)的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，基本可信度分配主要有3 種類(lèi)型：貝葉斯結(jié)構(gòu)（概率結(jié)構(gòu)）、一致性結(jié)構(gòu)（嵌套結(jié)構(gòu)）和一般性結(jié)構(gòu)，如圖14 所示［123］。在貝葉斯結(jié)構(gòu)中，辨識(shí)框架的每個(gè)焦元都會(huì)被賦予BPA；在一致性結(jié)構(gòu)中，賦予BPA 的焦元之間有著相互包含的關(guān)系；一般性結(jié)構(gòu)是證據(jù)最常見(jiàn)的一種形式，顧名思義，BPA 的分配具有一般性和任意性，焦元之間可能存在獨(dú)立、相交、嵌套等多種關(guān)系。形成哪種BPA 結(jié)構(gòu)取決于可用的證據(jù)信息。

圖14 3 種常見(jiàn)的BPA 結(jié)構(gòu)［123］Fig.14 Three common BPA structures［123］

同一個(gè)變量的認(rèn)知不確定性信息可能來(lái)自于不同的專(zhuān)家，而不同專(zhuān)家給出的變量區(qū)間描述和相應(yīng)的概率取值往往不同，在證據(jù)理論下認(rèn)為其為多源信息變量，可以按照Dempster 證據(jù)合成法則進(jìn)行多源信息融合，轉(zhuǎn)化為以區(qū)間和概率權(quán)值描述的證據(jù)變量［124］，從而實(shí)現(xiàn)多源信息的證據(jù)表征。

式中：Bi和Cj分別是來(lái)自2 條信息源的證據(jù)命題；Ak為合成后的命題；K為沖突系數(shù)，表示不同專(zhuān)家給出的證據(jù)間的沖突程度，K越大則沖突程度越大。

當(dāng)存在多個(gè)信息源的證據(jù)時(shí)，需要證據(jù)兩兩之間依次融合，對(duì)N條證據(jù)重復(fù)進(jìn)行N-1 次操作即可得到最終的融合結(jié)果。Dempster 證據(jù)合成法則是最經(jīng)典的證據(jù)合成規(guī)則，但其不適用于高沖突的證據(jù)，因此眾多學(xué)者又提出了一些改進(jìn)的證據(jù)合成規(guī)則，最具代表性的是Yager［125］和Inagakill［126］提出的證據(jù)合成公式，它將證據(jù)中的沖突部分和未知部分都重新進(jìn)行了分配，引入比例系數(shù)來(lái)決定分配的權(quán)重。

證據(jù)理論使用信任函數(shù)Bel 和似然函數(shù)Pl 作為不確定性度量的下界和上界。Bel 定義為完全支持命題A成立的所有子集ξ的BPA 加和，Pl 則定義為完全以及部分支持命題A成立的所有子集ξ的BPA 加和。圖15 表示信任函數(shù)、似然函數(shù)、不確定性三者之間的關(guān)系，Bel（A）和Pl（A）2 個(gè)測(cè)度之間的間隔度量了不確定性。

圖15 證據(jù)理論下的不確定性區(qū)間Fig.15 Uncertainty interval based on evidence theory

類(lèi)似概率理論中的累積概率分布函數(shù)（CDF），在證據(jù)理論中定義累積信任函數(shù)（Cumulative Belief Function，CBF）和累積似然函數(shù)（Cumulative Plausibility Function，CPF）分別為Bel 和Pl 構(gòu)成的概率邊界的點(diǎn)集，設(shè)不確定性變量x的取值空間為D，有

式中：Θ為不確定性變量x的辨識(shí)框架；D為取值空間。

姜潮等［127］在研究汽車(chē)側(cè)面碰撞的結(jié)構(gòu)可靠性分析問(wèn)題時(shí)，考慮了某型轎車(chē)門(mén)梁和B 柱加強(qiáng)板的厚度和材料屈服極限的認(rèn)知不確定性，通過(guò)證據(jù)理論進(jìn)行表征。類(lèi)似地，范松等［128］在汽車(chē)正面碰撞的輕量化設(shè)計(jì)中，給出了保險(xiǎn)杠厚度以及外板厚度等幾何認(rèn)知不確定性的貝葉斯BPA 結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了證據(jù)理論下基于有限元仿真的可靠性?xún)?yōu)化。除了可以直接表征認(rèn)知不確定性，證據(jù)理論也能實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)不確定性的表征，胡盛勇等［129］和Shah 等［35］分別將隨機(jī)不確定變量的概率分布進(jìn)行離散，得到區(qū)間+可信度形式的證據(jù)結(jié)構(gòu)，從而在證據(jù)理論下進(jìn)行隨機(jī)和認(rèn)知不確定性的統(tǒng)一量化，分別實(shí)現(xiàn)了某測(cè)試系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)和RAE 2822 翼型的氣動(dòng)特性分析。

CBF 和CPF 分別是不確定性變量x概率分布的下界與上界，這與上一節(jié)中基于概率盒理論的不確定性表征是相通的。文獻(xiàn)［130］和［131］也指出，Dempster-Shafer 結(jié)構(gòu)形成的CBF 和CPF 與概率盒二者等價(jià)。FULVIO 提出通過(guò)平均離散法或外離散法［132］，也可將以概率包絡(luò)表示的概率盒變量轉(zhuǎn)化為證據(jù)結(jié)構(gòu)，將概率盒上下邊界的縱向值域[0，1]等離散化為n個(gè)子區(qū)間，則相應(yīng)的焦元和BPA 可表示為

基本可信度分配不必滿(mǎn)足概率可加性和單調(diào)性，因此證據(jù)理論滿(mǎn)足比概率理論更弱的公理，使得證據(jù)理論具備直接表達(dá)知識(shí)或信息缺乏造成的“不確定”和“不知道”的能力。同時(shí)，證據(jù)理論中的證據(jù)合成公式可以綜合不同專(zhuān)家或數(shù)據(jù)源的知識(shí)或數(shù)據(jù)，能夠處理不確定信息、不完備信息、不可靠信息甚至沖突信息，這是證據(jù)理論的顯著優(yōu)勢(shì)。但證據(jù)理論要求各條證據(jù)之間相互獨(dú)立，有時(shí)這不易滿(mǎn)足；并且當(dāng)變量維數(shù)較高時(shí)，通過(guò)證據(jù)理論對(duì)不確定性進(jìn)行傳播，焦元上的極值分析計(jì)算面臨著嚴(yán)重的“維數(shù)災(zāi)難”。

7.4 模糊理論

模糊理論［133］由Zadeh 教授首次提出。一個(gè)經(jīng)典集合清楚地區(qū)分了集合元素和非集合元素，模糊集可看作經(jīng)典集合的擴(kuò)展，通過(guò)引入隸屬度函數(shù)來(lái)表示域內(nèi)元素隸屬于模糊集的程度，將普通集合的特征函數(shù)從{0，1}推廣到閉區(qū)間[0，1]，得到了模糊集合的定義為［134］

p(x)的大小反映了元素x對(duì)集合X的隸屬程度，p(x)的值越接近1，說(shuō)明x隸屬于X的程度更高。由上述可知，隸屬度函數(shù)是常規(guī)實(shí)數(shù)的一般化，隸屬度函數(shù)不單獨(dú)引用一個(gè)值，而是引用一組可能的值，其中每個(gè)可能的值都有自己的權(quán)重，其范圍為0～1。模糊集合中的每個(gè)元素對(duì)模糊集合的隸屬程度都需要通過(guò)隸屬度函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，因此正確合理地建立隸屬度函數(shù)是表達(dá)該模糊集合模糊度和模糊性的關(guān)鍵［135］。常用的隸屬度函數(shù)的類(lèi)型主要有高斯型、梯形型和三角型等，關(guān)于模糊變量的隸屬度函數(shù)的確定方法可以參考Medasani 和Kim 等的相關(guān)研究［136］。在各種形狀的隸屬度函數(shù)中，三角模糊數(shù)（TFN）最流行，其隸屬度函數(shù)為

式中：a和c分別用于確定三角隸屬度函數(shù)左右邊界；b確定頂峰位置。

如圖16 所示，三角隸屬度函數(shù)的縱軸表示隸屬度函數(shù)p(x)的取值，α∈[0，1]表示α截集水平，通過(guò)特定的隸屬度α可以將輸入變量截成一系列水平截集，水平截集定義為

圖16 三角隸屬函數(shù)多水平截集示意Fig.16 Schematic of multi-level cut-sets for triangular membership function

當(dāng)確定了隸屬度函數(shù)的類(lèi)型和參數(shù)，即完成了基于模糊理論的不確定性表征，然后在［0，1］上生成不同的截集水平，后續(xù)的不確定性傳播則相當(dāng)于一系列的區(qū)間分析。徐靜等［137］用模糊集概念表征洪水過(guò)程模擬中雨量量級(jí)的不確定性，運(yùn)用遺傳算法對(duì)時(shí)段雨量在時(shí)間上進(jìn)行隨機(jī)解集，并通過(guò)在各子流域上采用不同的時(shí)間解集模式以同時(shí)考慮降雨時(shí)程分配和空間分布的不確定性。Mohammadi 等［138］深入研究含能源集線器的電-氣聯(lián)合系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題，在計(jì)及負(fù)荷和風(fēng)電出力的模糊不確定性的基礎(chǔ)，采用梯形隸屬度函數(shù)建立了預(yù)測(cè)電價(jià)的模糊模型。

不同于經(jīng)典集合表達(dá)的清晰概念，模糊理論通過(guò)隸屬度函數(shù)對(duì)模糊現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)描述，使得類(lèi)似“年輕”“多數(shù)”這樣的模糊定性問(wèn)題定量化。隸屬度函數(shù)的確定類(lèi)似經(jīng)典概率統(tǒng)計(jì)里分布類(lèi)型的假設(shè)，雖然目前對(duì)隸屬度函數(shù)如何確定有了一些相關(guān)研究，但總體來(lái)說(shuō)，仍然相對(duì)依賴(lài)主觀而缺少客觀的標(biāo)準(zhǔn)或方法，這也直接影響了基于模糊理論對(duì)不確定性表征和傳播的準(zhǔn)確性。

7.5 凸模型

20 世紀(jì)90 年代初，Ben Haim 和Elishakoff［139］提出了處理不確定性的非概率凸模型方法，將參數(shù)的不確定性表征為一個(gè)凸集合，不像概率表征需要其精確的概率分布，凸模型表征通過(guò)較少的樣本即可獲得不確定參數(shù)的邊界，因此其在很多復(fù)雜工程問(wèn)題的不確定性分析中展現(xiàn)出很強(qiáng)的適用性。在現(xiàn)有非概率凸模型不確定性表征中，區(qū)間模型和橢球凸模型的使用最為廣泛。在此基礎(chǔ)上，近年來(lái)還出現(xiàn)了平行多面體模型、一般多面體凸集模型和超參數(shù)凸模型等新型的凸集模型［140-143］。

構(gòu)造凸模型時(shí)只需要確定不確定性參數(shù)的邊界，而無(wú)需考慮內(nèi)部的概率分布，因此在樣本數(shù)量有限情況下的不確定性表征建模優(yōu)勢(shì)明顯［144］。上述提到的區(qū)間模型僅通過(guò)上下邊界描述單個(gè)變量的波動(dòng)，假定所有的不確定參數(shù)之間相互獨(dú)立，其不確定域?yàn)槌⒎襟w，相關(guān)性的忽略使得整個(gè)不確定區(qū)域和問(wèn)題解區(qū)間變大，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果精度下降。橢球凸模型將參數(shù)不確定性表征為多維橢球，通過(guò)橢球的大小和形狀描述不確定性的大小以及變量的相關(guān)程度［145］，能夠很好地處理各不確定參數(shù)之間相關(guān)的問(wèn)題。圖17為考慮3 個(gè)不確定性參數(shù)的區(qū)間模型和橢球凸模型，可以直觀地看出，區(qū)間模型不考慮不確定參數(shù)的相關(guān)性，參數(shù)之間相互獨(dú)立；橢球凸模型考慮參數(shù)的相關(guān)性，并且邊界光滑可導(dǎo)；橢球凸模型避免了一些極端的不確定性參數(shù)組合情況的出現(xiàn)，比如出現(xiàn)在三維區(qū)間模型角落附近的不確定性參數(shù)組合［146］。

圖17 考慮3 個(gè)不確定參數(shù)的區(qū)間模型和橢球凸模型Fig.17 Interval model and ellipsoid convex model considering three uncertain parameters

對(duì)任意有界不確定參數(shù)x=[x1，x2，…，xn]T，有，橢球凸模型可表示為［147］

已知xi不確定性邊界的情況下，基于經(jīng)驗(yàn)通常取為不確定性的默認(rèn)值或名義值，可用區(qū)間中值替代，ei則為區(qū)間邊界半徑。在已有少量數(shù)據(jù)樣本可用的情況下，還可以采用最小體積橢球法或NATAF 法確定最佳的橢球凸模型參數(shù)，關(guān)于該方法的具體原理可參考文獻(xiàn)［145］和［148］。

Zhu 等［148］提出了一種基于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換的橢球模型構(gòu)造方法，該方法遍歷基于樣本的橢球主軸組合，以此尋找包絡(luò)樣本的最小體積橢球。Jiang 等［145］提出了不確定性多維橢球體的有效建模方法，并建立了非概率凸模型的相關(guān)分析技術(shù)。Bai 等［149］提出了基于非概率可靠性分析的響應(yīng)面法，高效地構(gòu)造了多維橢球體來(lái)表征不確定性參數(shù)。Kang 等［150］系統(tǒng)地研究構(gòu)建了在給定一組樣本數(shù)據(jù)的情況下構(gòu)造最小體積橢球凸模型的數(shù)學(xué)公式，很好地表征了參數(shù)認(rèn)知不確定性，并展示了它在現(xiàn)有的有界不確定結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。邱志平等提出了多種能高效求解結(jié)構(gòu)在凸模型不確定域上的響應(yīng)邊界的快速算法，形成了眾多的研究成果［151-153］。

目前多數(shù)文獻(xiàn)研究中的橢球模型仍然是基于經(jīng)驗(yàn)和假設(shè)，但對(duì)于基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本建立橢球模型的研究也逐漸為學(xué)術(shù)界所關(guān)注的重點(diǎn)，使得基于橢球凸模型的參數(shù)認(rèn)知不確定性表征理論也日趨完備。

7.6 不確定理論

為了表征和量化工程實(shí)踐中廣泛存在的隨機(jī)和認(rèn)知不確定性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了很多嘗試和研究，發(fā)展了上述一些相對(duì)比較成熟的理論和方法。清華大學(xué)劉寶碇教授近20 年來(lái)開(kāi)創(chuàng)了一種新的研究不確定現(xiàn)象的公理化數(shù)學(xué)分支，稱(chēng)為不確定理論（Uncertainty Theory），并致力于不確定理論的研究、應(yīng)用和推廣。2007 年德國(guó)Springer 出版的《Uncertainty Theory》一書(shū)標(biāo)志著這一理論的正式提出［154］，劉寶碇教授認(rèn)為：“事件發(fā)生的頻率已知稱(chēng)為隨機(jī)，否則稱(chēng)為不確定”，例如擲硬幣正面朝上的頻率已知，因此是隨機(jī)的；墜落的蛋糕奶油哪一面著地的頻率未知，因此是不確定的。又或，當(dāng)沒(méi)有足夠樣本來(lái)估計(jì)概率分布時(shí)，需要依靠專(zhuān)家的主觀信度去評(píng)估事件發(fā)生的可能性，不確定理論中提出的不確定測(cè)度（即信度）成為了解決工具。因此類(lèi)似于研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率理論，書(shū)中提到不確定理論是研究不確定現(xiàn)象的公理化數(shù)學(xué)系統(tǒng)。

劉寶碇教授發(fā)表的多項(xiàng)關(guān)于不確定理論的研究成果中，討論了“不確定理論是什么”“為什么要用不確定理論而不是概率理論”“隨機(jī)性和模糊性以及不確定之間的關(guān)系”等關(guān)鍵問(wèn)題，給出了不確定理論關(guān)于規(guī)范性、單調(diào)性、對(duì)偶性、次可加性的4 條基本公理，定義了不確定空間和變量、不確定測(cè)度和分布以及不確定的數(shù)學(xué)特征、運(yùn)算法則、基本性質(zhì)等等，并派生出了不確定統(tǒng)計(jì)、不確定規(guī)劃、不確定過(guò)程、不確定集、不確定微分方程、不確定金融等數(shù)學(xué)分支和研究領(lǐng)域。如圖18 所示［155］，劉寶碇教授認(rèn)為，不確定理論是建立在概率論、可信性理論、信賴(lài)性理論3 個(gè)公理化體系基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)理論，廣義上還包括圖中所列的模糊隨機(jī)理論、隨機(jī)模糊理論等，即機(jī)會(huì)理論［156］。

圖18 不確定理論樹(shù)形圖［155］Fig.18 Tree chart of uncertainty theory［155］

《Uncertainty Theory》在定義不確定測(cè)度（即信度）時(shí)提到：不確定測(cè)度取決于個(gè)人對(duì)事件的認(rèn)識(shí)，隨著認(rèn)識(shí)狀態(tài)的變化，不確定測(cè)度也會(huì)發(fā)生變化，因此不確定測(cè)度是不確定理論能夠表征認(rèn)知不確定性的關(guān)鍵。為了在實(shí)踐中應(yīng)用不確定理論，首先根據(jù)不確定測(cè)度必須生成不確定分布函數(shù)。不確定變量ξ的不確定分布Φ定義為實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x：

式中：M為件ξ≤x發(fā)生的不確定測(cè)度。

有了不確定分布的概念，即可通過(guò)不確定理論對(duì)不確定性進(jìn)行表征。不確定理論定義了3 種不確定變量及其分布，分別為線性不確定變量L(a，b)、“之”字型不確定變量Z(a，b，c)、正態(tài)不確定變量N(e，σ)，對(duì)應(yīng)的不確定分布函數(shù)分別見(jiàn)式（44）～式（46）。

在不確定理論中，不確定變量所滿(mǎn)足的不確定分布主要由經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)據(jù)規(guī)律進(jìn)行選擇，體現(xiàn)了由于認(rèn)知能力有限對(duì)客觀規(guī)律認(rèn)識(shí)不足所造成的認(rèn)知不確定性。對(duì)不確定分布參數(shù)來(lái)說(shuō)，除了可通過(guò)少量試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行不確定分布參數(shù)a/b/c/e/σ的估計(jì)以外（例如不確定極大似然估計(jì)方法［157］，將不確定分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)取?。€可以通過(guò)專(zhuān)家和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分布參數(shù)的主觀確定，給出事件發(fā)生的信度。因此，不同的不確定分布中的未知參數(shù)可通過(guò)不確定估計(jì)、經(jīng)驗(yàn)確定和專(zhuān)家指定來(lái)獲得，從而實(shí)現(xiàn)不確定性表征［158］。

楊晗等［158］將不確定理論應(yīng)用于某牌號(hào)Cr-Mo 鋼蠕變持久壽命的評(píng)估，根據(jù)工況經(jīng)驗(yàn)、手冊(cè)數(shù)據(jù)擬合、不確定極大似然估計(jì)分別表征了所考慮的4 個(gè)蠕變參數(shù)的正態(tài)不確定分布模型。王瑛等［159］在復(fù)雜裝備系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)傳遞的圖形評(píng)審技術(shù)研究中，基于機(jī)會(huì)理論對(duì)某型戰(zhàn)機(jī)眼鏡蛇機(jī)動(dòng)時(shí)飛行員處置不當(dāng)?shù)牟淮_定性進(jìn)行了表征，根據(jù)部隊(duì)專(zhuān)家針對(duì)飛行員處置不當(dāng)對(duì)飛行安全影響的評(píng)價(jià)結(jié)果，將該不確定性表征為“之”字型不確定分布，通過(guò)專(zhuān)家信度確定了分布參數(shù)a/b/c。整體來(lái)看，不確定理論目前仍處于發(fā)展完善之中，研究成果以及工程上的應(yīng)用主要集中在國(guó)內(nèi)的一些研究人員，較于其它的非概率表征方法而言，不確定理論的工程實(shí)踐應(yīng)用仍處于探索階段。

8 不確定性傳播

完成輸入量的不確定性表征之后就可進(jìn)行不確定性傳播。對(duì)于概率表征方法，由于被表征為概率分布或若干已知分布的加權(quán)和，根據(jù)該概率分布、加權(quán)和分布可非常方便地進(jìn)行抽樣，因此可直接采用基于概率理論的蒙特卡洛仿真或混沌多項(xiàng)式等方法進(jìn)行不確定性傳播［23-24］。

對(duì)于區(qū)間變量，可單獨(dú)采用區(qū)間、證據(jù)、模糊集等諸多認(rèn)知不確定性處理方法進(jìn)行不確定性建模和傳播，也可采用概率表征方法。采用非概率表征，則要根據(jù)選擇的方法，基于區(qū)間分析、概率盒、證據(jù)理論、模糊集、凸模型等各自的理論來(lái)解決認(rèn)知不確定性傳播的問(wèn)題。若同時(shí)存在隨機(jī)和認(rèn)知混合不確定性，可采用外層概率理論表征隨機(jī)不確定性、內(nèi)層非概率方法表征認(rèn)知不確定性的雙層嵌套的方式傳播混合不確定性，也可以將不確定性處理到同一個(gè)理論框架下進(jìn)行傳播［88］。為了避免雙層循環(huán)計(jì)算量大的問(wèn)題，文獻(xiàn)［41］提出了一種可同時(shí)處理隨機(jī)、稀疏和區(qū)間變量的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)混沌多項(xiàng)式方法。Chen 和Qiu 針對(duì)隨機(jī)和區(qū)間變量，采用類(lèi)似的思路構(gòu)建混沌多項(xiàng)式模型，對(duì)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行不確定性分析［160］。Shah 等［35］提出了一種結(jié)合證據(jù)理論和混沌多項(xiàng)式展開(kāi)的混合不確定性傳播方法，研究了攻角、馬赫數(shù)、SA 湍流模型系數(shù)不確定性對(duì)翼型RAE 2822 氣動(dòng)特性的影響。屈小章等［161］基于概率理論和區(qū)間分析理論對(duì)混合不確定性系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析，完成了葉片設(shè)計(jì)參數(shù)和葉輪轉(zhuǎn)速對(duì)風(fēng)機(jī)氣動(dòng)性能的影響評(píng)估。梁霄等［162］結(jié)合了概率盒理論和非嵌入混沌多項(xiàng)式方法，分別處理Sod 問(wèn)題中多方指數(shù)的認(rèn)知不確定性和炸藥密度的隨機(jī)不確定性，并將其應(yīng)用于流體力學(xué)方程組迎風(fēng)格式數(shù)值求解可信度評(píng)價(jià)的混合不確定性傳播。

9 結(jié)論和展望

本文面向基于數(shù)值模擬的工程設(shè)計(jì)，綜述了參數(shù)不確定性表征方法，概述了不確定性表征的研究目的和關(guān)鍵問(wèn)題。根據(jù)不確定性因素的表現(xiàn)形式和可用信息，按照概率表征和非概率表征兩大類(lèi)總結(jié)了目前主流的不確定性表征方法，介紹了各種不確定性表征方法的基本原理、適用范圍及其在工程實(shí)踐中的研究、發(fā)展和應(yīng)用現(xiàn)狀。

1）不確定性表征的統(tǒng)一和共識(shí)

不確定性表征的概率方法均以經(jīng)典概率統(tǒng)計(jì)為理論基礎(chǔ)，將不確定性變量建模為概率分布，后續(xù)進(jìn)行不確定性傳播時(shí)可避免形成非概率表征下的嵌套雙重循環(huán)而導(dǎo)致的計(jì)算量大的問(wèn)題，同時(shí)可非常方便地集成于現(xiàn)有的概率不確定性設(shè)計(jì)框架，這是其相比于非概率方法的最大優(yōu)勢(shì)。但是，當(dāng)不確定性變量信息非常少時(shí)，純概率表征方法顯然會(huì)導(dǎo)致較大誤差，包含的認(rèn)知不確定性越大，就越不能用精確的概率分布來(lái)描述該量。此時(shí)，基于貝葉斯定理的概率表征方法提供了一條有效途徑。非概率表征方法在認(rèn)知不確定性建模上更加合理，尤其當(dāng)變量信息非常有限時(shí)。工程中尤其是航空航天領(lǐng)域由于裝備復(fù)雜昂貴、工作環(huán)境復(fù)雜，往往數(shù)據(jù)量非常少、專(zhuān)家信息也非常有限，小樣本下的不確定性表征是長(zhǎng)期以來(lái)需要攻克的難題。為保證產(chǎn)品性能足夠可靠，往往指定不確定變量的上下界，因此區(qū)間理論特別適合工程不確定性表征和傳播，但后續(xù)區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題比較普遍。各種非概率表征方法基于不同的數(shù)學(xué)理論，都有其各自?xún)?yōu)勢(shì)，難以評(píng)價(jià)其在認(rèn)知不確定性表征上的好壞。小樣本下，概率和非概率表征方法的合理性以及何種情況下應(yīng)該用何類(lèi)、何種方法，尚無(wú)廣泛認(rèn)可的評(píng)判準(zhǔn)則，應(yīng)該用概率還是非概率表征尚未達(dá)成共識(shí)。

2）稀疏數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)增強(qiáng)

本文綜述的不確定性表征方法皆需根據(jù)不確定性變量的數(shù)據(jù)或?qū)＜倚畔?duì)其進(jìn)行建模。但數(shù)據(jù)缺乏導(dǎo)致的認(rèn)知不確定性廣泛存在，實(shí)際中由于成本限制不可能任意增加物理觀測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)增強(qiáng)技術(shù)為此提供了一條可借鑒的思路，利用生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)等深度學(xué)習(xí)技術(shù)或仿真手段來(lái)生成不確定性變量的偽數(shù)據(jù)，從而提高數(shù)據(jù)量，最終實(shí)現(xiàn)較為精確的不確定性概率表征。但是，這類(lèi)偽數(shù)據(jù)的可信度如何評(píng)價(jià)，以及如何有效考慮偽數(shù)據(jù)的可信度對(duì)不確定性表征的影響，是面臨的首要難題。

3）認(rèn)知不確定性的降低

對(duì)認(rèn)知不確定性進(jìn)行表征和量化的目的是為了降低甚至消除它。很多認(rèn)知不確定性變量，其并無(wú)實(shí)際物理意義，比如CFD 數(shù)值模擬的湍流模型系數(shù)，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)，僅能根據(jù)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行不確定性表征，復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題往往誤差很大。此時(shí)，可結(jié)合貝葉斯推理等統(tǒng)計(jì)推斷［163］或反向不確定性傳播方法［164］，基于輸出的流場(chǎng)速度或壓力觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)湍流模型系數(shù)的不確定性表征模型進(jìn)行修正，逐步提高參數(shù)不確定性表征的合理性，降低認(rèn)知不確定性，進(jìn)而更加有效地評(píng)估系統(tǒng)輸出的不確定性以供設(shè)計(jì)決策。開(kāi)發(fā)高效的反向不確定性傳播方法，尤其是針對(duì)高維、強(qiáng)非線性、多不確定性輸入且具有不同形式表征的情況，尤為重要。

4）工程基準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)構(gòu)建

目前不確定性表征理論和方法研究較為豐富，但多從數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域出發(fā)，皆需根據(jù)不確定性變量的數(shù)據(jù)或?qū)＜倚畔?duì)其進(jìn)行建模，基本都應(yīng)用于缺乏物理背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題，距離真正應(yīng)用于工程還存在很大差距，學(xué)術(shù)和工業(yè)界研究較為脫節(jié)。在二者的合作下，可以結(jié)合工程問(wèn)題和專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)建立若干類(lèi)型（結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)、熱等）的不確定性表征基準(zhǔn)算例，隨著產(chǎn)品生命周期的推進(jìn)逐步更新不確定性變量的數(shù)據(jù)信息，以供學(xué)術(shù)界發(fā)展和完善新理論和新方法。比如，美國(guó)國(guó)家跨聲速設(shè)施（National Transonic Facility，NTF）建立的不確定性模型，旨在研究氣動(dòng)力/力矩和來(lái)流特性等的不確定性［165］。工程基準(zhǔn)算例庫(kù)的構(gòu)建，可極大促進(jìn)不確定性表征以及后續(xù)傳播理論和方法的研究發(fā)展，更容易在新舊不確定性表征方法之間達(dá)成共識(shí)。