任勇生，張玉環(huán)，張金峰

(山東科技大學機械電子工程學院，青島 266590)

高速切削技術(shù)由于具有可提高加工表面質(zhì)量和生產(chǎn)率、降低制造成本、縮短產(chǎn)品開發(fā)周期等優(yōu)勢，目前在航空航天、汽車和軍工等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其中，高速鏜削和銑削是實現(xiàn)高速切削的最主要的方法[1]。高速切削系統(tǒng)包含機床、刀桿、工件、夾具等。從動力學的觀點，刀桿作為機床最柔軟的部件，其動力學特性決定著切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性。切削振動主要有強迫振動和自激振動[2-6]。切削過程的自激振動也稱之為顫振，是由于刀具和工件之間存在交變的相互作用力而誘發(fā)產(chǎn)生的一種不穩(wěn)定的振動[7]。

適用于深孔加工、顫振性能優(yōu)異的大長徑比刀桿是人們追求的目標。然而，由于材料本身的局限性，采用金屬刀桿的高速銑削和鏜削過程，往往由于顫振而無法進行[8-12]。動剛度和固有頻率是度量刀桿在切削過程中動力學特性的兩個重要的指標，不發(fā)生顫振的極限切削深度與動剛度成正比[13]。動剛度是靜剛度和阻尼比的乘積，動剛度越大，顫振抑制能力越強。因此，為了提高切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性，刀桿應(yīng)當具有較高的靜剛度和阻尼。此外，增加刀桿的固有頻率能夠提高切削速度，從而最大限度地發(fā)揮高速切削的優(yōu)越性。

采用傳統(tǒng)的各類阻尼器增加刀桿的結(jié)構(gòu)阻尼，長徑比可以達到6[3,7,14]。然而，由于受幾何和安裝條件的限制，施加阻尼器通常不太適合于鏜削系統(tǒng)。硬質(zhì)合金刀桿的長徑比雖然可以達到6 以上，但它具有較高的密度，因而固有頻率增加的效果微乎其微。事實上，傳統(tǒng)金屬鏜桿的動剛度和切削速度往往難以同時得到改善。智能材料刀桿雖然一定程度上增加了顫振抑制的可靠性和效果[8,15-17]，但主動與半主動控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對復雜、設(shè)計成本昂貴，勢必進一步提高深孔加工的成本。

纖維增強復合材料是由纖維和基體復合而成的一種力學性能優(yōu)良的先進材料。碳纖維的模量可達933 GPa，是鋼絲模量的5 倍左右[18]；聚酯樹脂復合材料基體，由于高分子結(jié)構(gòu)內(nèi)部晶體內(nèi)摩擦，顯示出高阻尼特性，此外，復合材料密度低、質(zhì)量輕，由此獲得的高模量、高阻尼、輕質(zhì)復合材料，加之力學性能的可剪裁性，這些顯然是常規(guī)金屬材料無法媲美的。因此，近30 年來，復合材料在高性能、高精度和高效率機床的關(guān)鍵部件，包括機床框架結(jié)構(gòu)[19]、進給系統(tǒng)[20]和主軸[21]，以及刀桿[13,22-24]的研發(fā)過程中，得到了越來越廣泛的應(yīng)用。

借助于復合材料動剛度、比強度高的特點，可以采用更大長徑比的復合材料刀桿取代金屬刀桿。輕量化無疑有助于獲得更高的固有頻率，從而提高切削速度和加工效率。特別是，復合材料刀桿的力學特性還能通過組分材料選擇、材料混雜以及優(yōu)化鋪層方式進行設(shè)計，因而可進一步改善深孔切削加工的能效。研究發(fā)現(xiàn)，兩種構(gòu)型的復合材料刀桿長徑比可分別達到5.6 和7[13,23]，而最大切削深度是金屬鏜桿的5 倍[13]；采用環(huán)氧花崗巖填充的復合材料刀桿與傳統(tǒng)金屬刀桿相比，阻尼比、固有頻率和加工表面粗糙度，分別提高了300%、15%和30%[25]；與硬質(zhì)合金刀桿相比，復合材料刀桿的第一階固有頻率、阻尼比和動剛度，也分別提高72%、168%和28%以上，旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的長徑比可達到10.7[22]。

多年來，一些學者致力于研究復合材料刀桿切削系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。例如，LEE 和SUH[13]基于切削實驗和沖擊振動測試的方法，研究了不旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性；NAGANO 等[23]基于有限元分析并結(jié)合切削實驗，研究了不旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的固有頻率和切削極限；ZHANG 等[26]提出了一個具有約束層阻尼的復合材料刀桿切削系統(tǒng)理論模型，分析了切削過程的穩(wěn)定性。

為了研究旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對復合材料刀桿切削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，LEE 等[22]采用振動和切削實驗對旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿進行了動力學性能優(yōu)化；KIM等[27]研究了旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿在切削力作用下的受迫振動與顫振特性；MA 和REN[28]研究了旋轉(zhuǎn)復合材料薄壁刀桿的自由振動和顫振特性。

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學理論[29]，旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的阻尼(即內(nèi)阻或者旋轉(zhuǎn)阻尼)不僅依賴其能量耗散特性，而且也依賴旋轉(zhuǎn)速度。事實上，由于復合材料的高阻尼特性，在旋轉(zhuǎn)速度超過失穩(wěn)閾的條件下，復合材料內(nèi)阻不但不能提高穩(wěn)定性，反而會誘發(fā)顫振，削弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這與外阻(即不旋轉(zhuǎn)阻尼)總是抑制顫振的作用，明顯不同。因此，當?shù)稐U的旋轉(zhuǎn)速度大于失穩(wěn)閾時，內(nèi)阻將會對切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生負面的影響。

因此，首先有必要精確地預(yù)測復合材料刀桿的阻尼耗散特性，并以此為基礎(chǔ)，研究材料內(nèi)阻對切削穩(wěn)定性的影響。然而，迄今為止，涉及內(nèi)阻對旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿切削系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的研究極為少見，而關(guān)于復合材料刀桿阻尼建模和分析的研究也較為缺乏。文獻[27 - 28]雖然考慮了陀螺效應(yīng)、錐度比和內(nèi)阻的影響，然而，其中內(nèi)阻參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗確定的。REN 和ZHANG[30]研究了考慮內(nèi)、外阻的旋轉(zhuǎn)錐形刀桿的切削過程的顫振穩(wěn)定性，但刀桿僅限于各向同性金屬材料，并且外阻和內(nèi)阻參數(shù)也是人為選定的。事實上，上述研究均缺乏有關(guān)復合材料刀桿的阻尼耗散機理的研究，此外，涉及復合材料刀桿臨界速度和失穩(wěn)閾等轉(zhuǎn)子動力學特性也有待研究，特別是旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的內(nèi)阻失穩(wěn)與切削系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性之間的聯(lián)系，尚未被揭示和闡明。

在銑削過程中，切削力的大小和方向會隨著刀桿的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生周期變化，顫振數(shù)學模型是帶有周期變化系數(shù)的時滯偏微分方程。按照周期系統(tǒng)的Floquet 定理，如果所有的特征乘數(shù)都位于復平面上的單位圓之內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。由于時滯系統(tǒng)有無窮多個特征乘數(shù)，并且特征方程不能表示為封閉形式，于是，周期時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性的理論解析將變得十分困難。為此，銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析通常采用數(shù)值的或者半解析的方法進行。KOENIGSBERGER 和TLUSTY[31]通過假定刀齒平均角以及平均切削力方向，將時滯偏微分方程中的周期系數(shù)用一個常數(shù)近似代替，在一定程度上簡化了銑削系統(tǒng)的顫振求解過程。在半解析法中，主要應(yīng)用的有時域半離散法[32-33]、時域全離散法[34]、頻域零階近似解[35]和多頻解[36]。時域半、全離散法不僅能適用于時不變時滯系統(tǒng)，而且也適用于時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。在頻域法中，刀桿的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)可直接用于求解過程，刀桿動力學的時不變性(即具有不隨時間變化的FRF)，是頻域法得以應(yīng)用的基本假設(shè)。研究表明，在許多實際應(yīng)用中，采用頻域零階近似解，可以獲得足夠精確的穩(wěn)定性分析結(jié)果[2]。

現(xiàn)有的銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，無論是否考慮刀桿的旋轉(zhuǎn)，絕大多數(shù)是在慣性坐標系下進行的[2-3,27-28,30]。如果旋轉(zhuǎn)刀桿具有軸對稱特征，則無論是在慣性坐標系還是在旋轉(zhuǎn)坐標系，刀桿-工件接觸區(qū)的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)均為時不變；如果刀桿為非對稱，則FRF 在旋轉(zhuǎn)坐標系為時不變[37-39]，而在固定坐標系為時變[37]。此時，如果依然假定FRF 為時不變，將會導致切削穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差[37-38]。

本文重點研究具有內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿銑削系統(tǒng)的再生顫振穩(wěn)定性。首先，不同于現(xiàn)有的文獻中通常采用的基于二自由度集中質(zhì)量的顫振分析模型[35-40]，從各向異性連續(xù)介質(zhì)力學出發(fā)，基于復合材料粘彈性本構(gòu)關(guān)系、Hamilton原理和Rayleigh 梁理論，并結(jié)合再生時滯銑削力模型，分別導出旋轉(zhuǎn)坐標和慣性坐標表示的連續(xù)分布切削系統(tǒng)顫振偏微分方程。采用Galerkin 法對顫振偏微分方程進行離散化。其次，為了精確預(yù)測阻尼耗散特性，基于能量法計算復合材料刀桿的模態(tài)損耗因子；基于特征值分析技術(shù)計算旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的臨界速度和失穩(wěn)閾；最后，分別采用時域半離散法和頻域零階近似解法預(yù)測切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析錐度比、長徑比、鋪層角、鋪層方式以及內(nèi)、外阻對切削穩(wěn)定性的影響。

1 具有內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復合材料錐形刀桿銑削系統(tǒng)理論模型

1.1 運動方程

1.1.1 固定坐標表示的運動方程

圖1 所示為一根轉(zhuǎn)速為Ω的旋轉(zhuǎn)復合材料錐形刀桿。其橫截面隨刀桿軸向位置x的變化按照如下規(guī)律：R(x)=[1-(1-σ)x/l]RT。式中：l是刀桿長度；σ=RR/RT表示錐度比；RT和RR分別為固定端和自由端的外徑。

圖1 旋轉(zhuǎn)復合材料錐形刀桿結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the rotating tapered composite cutter bar

粘彈性阻尼耗散復合材料單層平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為[40]：

式中：σ=[σ1σ2τ23τ13τ12]T和ε=[ε1ε2γ23γ13γ12]T分別為應(yīng)力和應(yīng)變； ε˙為應(yīng)變對時間的一階導數(shù)；Q為單層正軸剛度矩陣；Qd=Qη為考慮阻尼的單層剛度矩陣， η為單層阻尼矩陣，它與阻尼矩陣 ψ之間的關(guān)系如式(2)所示，阻尼矩陣 ψ表示復合材料單層的阻尼耗散特性，具體表達式為[41]：

假定單層為平面應(yīng)力狀態(tài)，則Q為5×5 階方陣，其中各元素可以表示為Q11=E1/(1-ν12ν21)，Q12=Q21=ν12E2/(1-ν12ν21)，Q22=E2/(1-ν12ν21)，Q33=G23，Q44=G13，Q55=G12。其中：E1和E2為正軸彈性模量；G23、G13和G12為橫向剪切模量。

式中： ψ1、 ψ2和 ψ12為與正軸薄膜影響相關(guān)的阻尼耗散系數(shù)； ψ23和 ψ13為與橫向剪切影響相關(guān)的阻尼耗散參數(shù)。

本構(gòu)方程式(1)是由正軸坐標(1, 2)表示的，如果在刀桿固定坐標系(x，y，z)下表示，則有偏軸剛度矩陣和偏軸阻尼剛度矩陣分別為：=T-1QT-T和=T-1QdT-T，其中，T為坐標變換矩陣：

式中， θ為纖維定向與刀桿軸線x之間的夾角。

旋轉(zhuǎn)復合材料錐形刀桿的動能[30]：

式中：uy和uz分別為刀桿的沿y和z方向的橫向位移； ψz和 ψy分別為刀桿的繞y和z軸的轉(zhuǎn)角；m(x)和Im(x)分別為單位長度的質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩。

對于如圖2 所示的含M個單層的復合材料刀桿，m(x) 和Im(x) 能夠表示如下[42]：

圖2 層合復合材料刀桿橫截面示意圖Fig.2 M-layered laminate of the cutter bar

式中：rk(x)、rk+1(x)為第k層外徑和內(nèi)徑； ρk為量密度。

復合材料錐形刀桿的勢能為：

式中，隨位置變化的彎曲剛度D11(x)表達如下[42]：

非保守力的虛功能夠分解為外阻和內(nèi)阻的虛功：

假設(shè)刀桿受到分別外阻的作用，外阻與彎曲振動速度成正比，則外阻的虛功為：

式中，CE為粘滯外阻系數(shù)。

根據(jù)文獻[42]，刀桿的彎矩是由彈性應(yīng)力和耗散應(yīng)力共同產(chǎn)生：

式中：CI為Kelvin-Voigt 內(nèi)阻系數(shù)；I(x)為幾何慣性矩。

式(11)和式(12)中的第一項代表保守力矩，已經(jīng)體現(xiàn)在勢能表達式(7)中；其余項代表由內(nèi)阻產(chǎn)生的非保守力的矩。

內(nèi)阻的虛功表示如下：

切削力的虛功為：

式中：

式中： δ為變分符號； δD為狄拉克函數(shù)；Fy和Fz為作用于刀桿尖端的集中切削力。

基于Rayleigh 梁理論，截面轉(zhuǎn)角和位移之間滿足下列關(guān)系：

為了建立切削系統(tǒng)的運動方程，采用Hamilton原理如下：

將式(5)、式(7)、式(9)、式(14)和式(16)代入式(17)，可以導出在固定坐標系下的彎-彎耦合運動方程：

將力矩表達式(11)和式(12)代入式(18)，得：

式中：變量右上方的兩撇表示對x的二階偏導數(shù)；Ly和Lz為固定坐標系下的分布切削力。

式(19)包含2 個反對稱矩陣，其中一個矩陣具有系數(shù)2Im(x)?，它與陀螺力有關(guān)，與旋轉(zhuǎn)速度、質(zhì)量慣性矩成正比，稱為陀螺矩陣；另一個矩陣具有系數(shù)CII(x)?，稱為循環(huán)矩陣，與旋轉(zhuǎn)速度、內(nèi)阻以及幾何慣性矩成正比。顯然，如果不考慮內(nèi)阻，即CI=0 或者不考慮刀桿的轉(zhuǎn)動慣量，即Im(x)=0，再或者當旋轉(zhuǎn)速度為 0，循環(huán)矩陣矩陣將會消失，不存在內(nèi)阻效應(yīng)；如果轉(zhuǎn)動慣量為 0，則陀螺矩陣消失，此時，不存在陀螺效應(yīng)。

1.1.2 旋轉(zhuǎn)坐標表示的運動方程

采用下列變換，能夠?qū)⑿D(zhuǎn)坐標系轉(zhuǎn)換到固定坐標系：

式中，U(t)=[uy uz]T、U(t)=[uy uz]T分別為刀桿的固定與旋轉(zhuǎn)坐標系下的位移矢量。

坐標變換矩陣為：

對式(20)進行微分，得速度和加速度矢量：

式中：

將式(22)、式(23)代入式(19)，并左乘R(t)，同時考慮式(24)，可以導出在旋轉(zhuǎn)坐標系下的運動方程：

式中，Ly和Lz為旋轉(zhuǎn)坐標系下的分布切削力。由式(25)可見，在旋轉(zhuǎn)坐標系下，陀螺矩陣與質(zhì)量m(x)有關(guān)，而與質(zhì)量慣性矩Im(x)無關(guān)；循環(huán)矩陣與外阻Ce有關(guān)，而與內(nèi)阻CI無關(guān)。與?2成正比的矩陣是由離心力引起的，對旋轉(zhuǎn)刀桿系統(tǒng)將產(chǎn)生負剛度。由于具有對稱性，刀桿的動力學參數(shù)，如質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩、內(nèi)阻和外阻、剛度系數(shù)等，在旋轉(zhuǎn)坐標系和在固定坐標系下是相同的。

1.2 切削力模型

1.2.1 固定坐標表示的切削力

具有旋轉(zhuǎn)復合材料錐形刀桿的銑削系統(tǒng)橫截面如圖3 所示。假定刀桿具有S個刀齒。

圖3 固定坐標系的切削力示意圖Fig.3 Illustration of the cutting force in fixed coordinate frame

當?shù)稐U旋轉(zhuǎn)時，每個刀齒也隨刀桿一起轉(zhuǎn)動。將刀齒受到的再生切削力投影到固定坐標系(Y,Z)，并對此求和，得到總的再生切削力[35]：

式中：F=[Fy Fz]T；?U=[?Uy?Uz]T；b為切削深度。

隨時間變化的切削力方向系數(shù)為：

式中：

τ為前后兩齒之間的延遲時間；Kt和Kr分別為切向和徑向切削系數(shù)；ayy、ayz、azy和azz為方向系數(shù)，它們依賴于時間以及刀齒j的瞬時浸入角；?j=j?P+Ωt，?p=2π/S為螺距角。

單位階躍函數(shù)g(?j)用于確定刀齒是否處在切削狀態(tài)：

式中， ?st和 ?ex分別為刀齒的切入角和切出角。

需要說明的是，由于切削力作用于刀桿的自由端，式(19)中的矢量 ?U具有形式：

根據(jù)頻域零階近似解法[35]，將切削力表達式(26)傅里葉級數(shù)展開并且只保留零階項， 切削力表達式(26)可以簡化為：

式中，矩陣A0是不隨時間變化的，形式如下：

式(30)中的各元素為：

1.2.2 旋轉(zhuǎn)坐標表示的切削力

假設(shè)刀具有N個齒，轉(zhuǎn)速為Ω，旋轉(zhuǎn)坐標系下的銑削過程模型圖如圖4 所示，

圖4 旋轉(zhuǎn)坐標系的切削力示意圖Fig.4 Illustration of the cutting force in rotating coordinate frame

刀齒j引起的動態(tài)切削厚度可以在局部旋轉(zhuǎn)坐標系中表示為[37]：

式中：c為每轉(zhuǎn)一圈每齒的進給量；?j=?-j?p?c為刀齒j的瞬時浸入角， ?c為局部旋轉(zhuǎn)坐標系與主旋轉(zhuǎn)坐標系之間的夾角，?=?t為刀桿的旋轉(zhuǎn)角；{uyj(t)uz j(t)}T和{uy(j-1)(t-τ)uz(j-1)(t-τ)}T分別為當前刀齒和前一個刀齒的振動位移。

刀齒j在徑向方向和切向方向上的切削力可以表示為：

將式(32)代入式(33)，可得：

式中，Tj為齒j的正交坐標變換矩陣，表示局部旋轉(zhuǎn)坐標系與整體旋轉(zhuǎn)坐標系之間的關(guān)系為：

1.3 模型求解

1.3.1 Galerkin 法

為了求解偏微分方程式(19)，首先采用Galerkin方法對其進行離散化。

假設(shè)：

式中：Uy j(t)和Uz j(t)(j=1, 2, ···,n)為廣義坐標；ψj(x)為振型函數(shù)。旋轉(zhuǎn)Rayleigh 梁的振型函數(shù)受轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)的影響，其計算涉及非線性特征方程的求解，過程復雜[43]；而不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli 梁振型函數(shù)與轉(zhuǎn)速無關(guān)，計算過程簡單。研究表明[43]：在Galerkin 近似計算中，采用不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli 梁振型函數(shù)能夠得到與旋轉(zhuǎn)Rayleigh 梁的振型函數(shù)非常接近的計算結(jié)果。

因此，為了簡化Galerkin 求解過程，選取懸臂Euler-Bernouli 梁的振型函數(shù)，ψj(x)(j=1, 2, ···,n)，它滿足邊界條件：

將式(38)代入式(19)，利用Galerkin 法，并且考慮邊界條件式(39)，可以得到下列方程：

其中：

在式(41)中，矩陣中的各項元素的計算表達式分別為：

從式(42)中可以看出，阻尼矩陣C中包含陀螺效應(yīng)和內(nèi)阻和外阻，陀螺效應(yīng)只與阻尼矩陣相關(guān)。剛度中的交叉耦合剛度系數(shù)可能會導致內(nèi)阻失穩(wěn)。

1.3.2 基于能量法的阻尼預(yù)測

為了建立錐形復合材料刀桿的內(nèi)阻預(yù)測模型，需要研究如何求解得到振動方程中的內(nèi)阻尼系數(shù)CI和外阻尼系數(shù)CE。

單自由度系統(tǒng)阻尼比的定義為[30]：

式中，ζ為切削系統(tǒng)的總阻尼比，可以表示成內(nèi)阻尼比與外阻尼比之和，即ζ=ζE+ζI。

內(nèi)阻尼項為：

當給定了系統(tǒng)的總阻尼比ζ 和內(nèi)阻尼比 ζI，通過式(43)和式(44)，可求得內(nèi)阻項和外阻項，再由式(42)中的第四、第五式，可求得內(nèi)阻尼系數(shù)CI和外阻尼系數(shù)CE。模型中的內(nèi)阻尼比ζI，可以通過錐形復合材料刀桿的損耗因子 ηI來求解得到。

對于弱阻尼情況，模態(tài)阻尼比與損耗因子之間存在下列關(guān)系[44]：

式中， ηI為錐形復合材料刀桿的損耗因子，其數(shù)值可以通過能量法求解得到[45]：

式中：U為不旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的無阻尼撓度；和分別為不旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿的剛度矩陣和阻尼矩陣，其計算表達式分別為：

其中，剛度矩陣元素計算表達式與方程組式(42)中的第三式相同。

阻尼矩陣的元素計算表達式為：

1.3.3 復合材料刀桿轉(zhuǎn)子動力學

為了對旋轉(zhuǎn)復合材料錐形刀桿的轉(zhuǎn)子動力學特性進行分析，令式(40)右端的切削力為0，由此導出自由振動方程，其自由振動解可其轉(zhuǎn)化為求解下列特征問題：

式中，0 和I分別為零矩陣和單位矩陣。

特征方程式(49)的根可以表示成λk=σk+iωdk,(k=1,2,3,···)，實部 σk為系統(tǒng)的衰減率，虛部ωdk為系統(tǒng)的渦動頻率，它們與轉(zhuǎn)速有關(guān)。如果衰減率是負的，那么該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果衰減率是正的，那么該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

1.3.4 銑削過程穩(wěn)定性

1.3.4.1 頻域零階近似解

對固定坐標系下的離散顫振方程式(40)進行拉氏變換，令s=λ+iω，s的取值與銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性存在以下關(guān)系：如果λ>0，那么銑削系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；如果λ<0，那么銑削系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果λ=0，那么銑削系統(tǒng)處在穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界狀態(tài)。

令λ=0，將s=iωc代入式(40)拉氏變換后的方程中，可以得到：

式中，ωc為顫振頻率。

銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題等價于下列特征值問題：

式中，I為單位矩陣。

復合材料刀桿傳遞函數(shù)：

銑削過程的極限切削深度可以通過(52)中的第一式求得如下：

將復特征值Λ=ΛR+iΛI以及歐拉公式e-iωcT=cos(ωcT)-isin(ωcT)代入式(54)，并且令其虛部等于0，可得：

由式(55)，可得：

注意，κ=ΛI/ΛR=arctanψ ， ψ為相位角。

由式(56)，進一步可得：

式中，ε=π-2ψ表示當前刀齒和前一個刀齒振痕間的相移。于是，旋轉(zhuǎn)速度為?=60/S T。

最后，將式(56)代入式(54)的實部，可得極限切削深度：

由于旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的傳遞函數(shù)是隨轉(zhuǎn)速變化的，ALTINTAS 和BUDAK[35]提出的穩(wěn)定性極限圖計算方法和步驟不能直接應(yīng)用。為此，將采用如下迭代過程計算穩(wěn)定性極限：

1) 根據(jù)刀具的材料參數(shù)和幾何參數(shù)計算方向系數(shù)矩陣。

2) 給定轉(zhuǎn)速Ω，并開始循環(huán)。

3) 計算刀桿的一階固有頻率。

4) 參考計算得到的一階固有頻率，設(shè)定掃描頻率的范圍，計算刀桿結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)。

5) 根據(jù)特征方程式(51)求解特征根的實部和虛部，將特征根代入式(58)，得到極限切削深度及相對應(yīng)的轉(zhuǎn)速。

6) 如果步驟5)中的轉(zhuǎn)速與給定轉(zhuǎn)速的差值滿足給定的精度要求，那么以轉(zhuǎn)速為橫軸、以極限切削深度為縱軸繪制穩(wěn)定性極限圖；如果兩者的差值不滿足精度要求，繼續(xù)循環(huán)步驟2)～步驟6)，直到兩者的差值達到要求的精度。

7) 選擇新的j并計算相鄰的葉瓣。

1.3.4.2 時域半離散解

將采用時域半離散法，對旋轉(zhuǎn)坐標系下的銑削系統(tǒng)(式(25))進行顫振穩(wěn)定性分析。對于固定坐標下的銑削系統(tǒng)(式(19))而言，時域半離散法的求解過程可以采用完全類似的計算格式和計算步驟。

采用Galerkin 法對方程式(25)進行離散化，得：

切削力表達式為：

式中，矩陣Z中的元素表示為Zk f=ψk(l)ψf(l),(k,f=1,2,···,n)。

根據(jù)柯西變換，顫振方程式(59)可以用下列一階微分方程表示：

式中：

將延遲時間τ劃分成n個時間間隔 ?t，q(ti-τ)可近似為：

因此，動力系統(tǒng)(式(62))在離散時域內(nèi)有下列形式：

在時間間隔 ?t內(nèi)，微分方程式(65)的解可以表示為齊次通解和特解之和[2]：

C0依賴于初始條件，其值可通過在t=ti+1時求解式(61)得到：

當t=ti+1時，

從式(68)可以看出，求解qi+1時，需要用到qi、qi-n+1和qi-n。

離散時域內(nèi)的離散映射可以表示成：

式中：

在時間間隔Δt內(nèi)，通過求解式(69)的離散解集，可以模擬時變銑削過程。

由于銑削過程在刀齒周期內(nèi)是周期性變化的，所以，只需要求解m個時間間隔內(nèi)的微分方程就足夠了。

在m個時間間隔內(nèi)運用方程式(69)，可以計算銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性

根據(jù) Floquet 理論，銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過矩陣T的特征值進行評價[32]：如果矩陣T的特征值小于1，系統(tǒng)穩(wěn)定，如果矩陣T的特征值等于1，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，如果矩陣T的特征值大于1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

時域半離散法計算復合材料刀桿銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性極限圖的主要驟如下：

1) 定義齒數(shù)、切向切削力系數(shù)、徑向切削力系數(shù)等切削參數(shù)，根據(jù)刀桿的性能給出y方向和z方向上刀桿的質(zhì)量、阻尼、剛度等參數(shù)；

2) 給定系統(tǒng)的起始轉(zhuǎn)速與結(jié)束轉(zhuǎn)速，設(shè)定切削深度的掃描范圍；

3) 定義離散時間間隔的個數(shù)與步長，分別計算y方向和z方向上的動態(tài)切削力；

4) 設(shè)定轉(zhuǎn)速與切削深度的掃描步長，并開始循環(huán)；

5) 計算傳遞矩陣T；

6) 計算傳遞矩陣的特征值，并分別保存使得矩陣特征值小于1 的轉(zhuǎn)速值和切削深度值；

7) 循環(huán)計算，直至完成給定的轉(zhuǎn)速范圍和切削深度范圍內(nèi)的計算。

將步驟6)中滿足條件的轉(zhuǎn)速值和切削深度值分別取出，以轉(zhuǎn)速為橫軸、以切削深度為縱軸便可以繪制出穩(wěn)定性極限圖。

2 結(jié)果與討論

2.1 阻尼耗散因子

為了檢驗本文復合材料刀桿內(nèi)阻模型和求解方法的正確性，下面針對圓形空心截面復合材料懸臂梁，其平均直徑d=352 mm，厚度h=10.16 mm，鋪層數(shù)為16 層，復合材料的性能參數(shù)，見文獻[45]。

表1 給出對應(yīng)于不同鋪層方式和長徑比的模態(tài)損耗因子，并且與文獻[45]中的結(jié)果進行比較。

表1 復合材料圓形截面梁的模態(tài)損耗因子Table 1 Modal loss factors of circular composite beam

從表1 中可以看出，采用本文模型計算得到的不同長徑比、鋪層方式的模態(tài)損耗因子的數(shù)值結(jié)果，與文獻[45]的有限元計算數(shù)值結(jié)果較為吻合，說明本文阻尼模型與求解方法是正確的。

在下面的算例中對復合材料刀桿的損耗因子進行數(shù)值計算，刀桿的材料為碳纖維環(huán)氧樹脂復合材料，其材料性能參數(shù)見表2，刀桿的外圓直徑為0.06 m、內(nèi)圓直徑為0.04 m，鋪層方式為[±θ]8，計算時選取的振型函數(shù)個數(shù)為3。

表2 碳纖維環(huán)氧樹脂復合材料性能參數(shù)[41]Table 2 Mechanical properties of carbon/epoxy composite material[41]

圖5 表示復合材料刀桿的模態(tài)損耗因子隨鋪層角的變化圖，從圖中看出，當鋪層角從0°增加到81°，損耗因子隨之增加。當鋪層角等于0°時，損耗因子最小(約為0.45%)；當鋪層角等于81°時，損耗因子最大(約為4.28%)；當鋪層角從81°增加到90°時，損耗因子略微減小。鋪層角較大時的耗散因子較大的原因，是纖維橫向阻尼能力大于其縱向阻尼能力。

圖5 模態(tài)損耗因子隨鋪層角變化圖(l/d=10，σ=1)Fig.5 Variation of modal loss factor with ply angle(l/d=10，σ=1)

圖6 表示模態(tài)損耗因子隨長徑比的變化圖，從圖中可以清晰地看出，長徑比對損耗因子的影響非常小，可以忽略不計，這與文獻[45]中的結(jié)論是一致的。圖7 表示模態(tài)損耗因子隨錐度比的變化圖，從圖中可以看出，錐度比的變化對損耗因子的影響很小。

圖6 模態(tài)損耗因子隨長徑比變化圖(σ=1)Fig.6 Variation of modal loss factor with aspect ratio(σ=1)

圖7 模態(tài)損耗因子隨錐度比變化圖Fig.7 Variation of modal loss factor with taper ratio

2.2 復合材料刀桿試件的錘擊實驗

實驗測試平臺以及測試現(xiàn)場如圖8 所示。試件錘擊模態(tài)測試系統(tǒng)包括LC02 型號力錘、3A102型號力傳感器、DH187E 型號IEPE 壓電式加速度傳感器、DH5857 電荷適調(diào)器以及DH5923N 動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)等。試件根部加持固定在車床卡盤上，試件長度450 mm、外徑22 mm、內(nèi)徑6 mm，鋪層方式 [0°/±45°]7，由碳纖維HR40 與環(huán)氧樹脂采用纏繞成型工藝制作而成，纖維含量46%。試件組分的力學性能參數(shù)，分別如表3 和表4 所示。

表3 碳纖維HR40 的材料性能參數(shù)Table 3 Mechanical properties of carbon fiber HR40

表4 環(huán)氧樹脂的材料性能參數(shù)Table 4 Mechanical properties of epoxy resin

圖8 實驗測試臺及測試現(xiàn)場Fig.8 Experiment test bench and experiment test site

表5 給出刀桿前三階固有頻率和阻尼比的實驗和模型分析結(jié)果。當懸伸長度增加時，刀桿固有頻率隨之減小，而阻尼比幾乎不受懸伸長度變化的影響，從理論和實驗數(shù)據(jù)中反映出的上述變化趨勢是相同的。但是，由于刀桿的根部與卡盤間存在間隙，可能會影響實驗結(jié)果。此外，試件加工誤差也會影響其力學性能參數(shù)的準確性，從而導致理論與實驗之間的偏差。

表5 不同懸伸長度下刀桿1 的前三階固有頻率與阻尼比Table 5 The first three natural frequencies and damping ratios of cutter bar 1 under different overhang lengths

2.3 臨界轉(zhuǎn)速與失穩(wěn)閾

利用旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的特征方程，可以計算旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的渦動頻率、衰減率、臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾等振動特性(如不特殊指明，刀桿的幾何尺寸和材料性能參數(shù)都與2.2 節(jié)相同)。

表6 表示鋪層角對不旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的前三階固有頻率和衰減率的影響，其中，分別列出采用本文模型以及ANSYS 有限元軟件的計算結(jié)果；利用方程式(49)計算時選取的振型函數(shù)個數(shù)為3。圖9 給出錐形復合材料刀桿的ANSYS 三維有限元模型，采用六面體掃描法對模型進行網(wǎng)格劃分，共生成8032 個單元，設(shè)置瑞利阻尼，通過QR阻尼特征值提取法可以得到模型的模態(tài)分析結(jié)果。

表6 不同鋪層角的不旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的前三階固有頻率與衰減率(ζ=0.01, l/d=10, σ=1)Table 6 The first three natural frequencies and decay rates of the non-rotating composite cutter bar with different ply angles(ζ=0.01, l/d=10, σ=1)

圖9 錐形復合材料刀桿的三維有限元結(jié)構(gòu)模型Fig.9 3D FEM structural model of the tapered composite cutter bar

從表6 中可以看出，隨著鋪層角的增加，刀桿的前三階固有頻率減小，衰減率的絕對值增加，本文模型結(jié)果與ANSYS 分析結(jié)果之間較為接近。

表7 給出了具有不同錐度比的旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿在不同轉(zhuǎn)速下的第一階正進動渦動頻率(FW1)和第一階反進動渦動頻率(BW1)。

表7 不同轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿的FW1 和BW1(ζ=0.01, θ=30°, l/d=10)Table 7 The first forward and backward whirl frequenciesof the tapered rotating composite cutter bar with different rotating speeds (ζ=0.01, θ=30°, l/d=10)

從表7 中可以看出，采用本文提出的求解方法得到FW1 和BW1 與采用ANSYS 有限元仿真得到的結(jié)果較為吻合。

旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的臨界轉(zhuǎn)速可通過直線和正進動渦動曲線的交點獲得；正進動衰減率由負變?yōu)檎霓D(zhuǎn)速代表失穩(wěn)閾。

表8 表示鋪層角對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響(鋪層方式[±θ]8)。結(jié)果表明：臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾隨著鋪層角的增加而減小。此外，從表8 還可以看出，在考慮內(nèi)外阻的情況下，失穩(wěn)閾總是大于臨界轉(zhuǎn)速。

表8 鋪層角對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響(ζ=0.01, l/d=10, σ=1)Table 8 Effect of ply angle on critical rotating speed and instability threshold (ζ=0.01, l/d=10, σ=1)

表9 表示3 種不同的對稱鋪層對復合材料刀桿臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響。對稱鋪層方式包含6 個單層，具有0°和90°鋪層角，結(jié)果表明，0°的層數(shù)越多，臨界轉(zhuǎn)速越大，失穩(wěn)閾也越大，這是由于纖維角為0°的層數(shù)越多，刀桿的縱向剛度越大。

表9 對稱鋪層方式對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響(ζ=0.01, l/d=10, σ=1)Table 9 Effect of symmetric laminate on critical rotating speed and instability threshold (ζ=0.01, l/d=10, σ=1)

表10 表示5 種不同的非對稱鋪層對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響。鋪層方式包含10 層，從刀桿內(nèi)部開始鋪設(shè)，其中0°鋪層數(shù)為6，90°鋪層數(shù)為2，45°和-45°鋪層數(shù)均為1。結(jié)果表明，0°鋪層越接近復合材料刀桿的外表面，臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾越大。由于靠近復合材料刀桿的外表面的層具有更大的周長和體積，它們承受更多的彈性應(yīng)力和耗散應(yīng)力產(chǎn)生的彎矩，因此，外表面層控制著復合材料刀桿的剛度以及阻尼。與其他鋪層相比，0°鋪層具有更高的剛度和更小的阻尼，因此將0°鋪層設(shè)置在復合材料刀桿的外表面，可以提高剛度和穩(wěn)定性。

表10 非對稱鋪層方式對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響(ζ=0.01, l/d=10, σ=1)Table 10 Effect of asymmetric laminate on critical rotating speed and instability threshold (ζ=0.01, l/d=10, σ=1)

2.4 穩(wěn)定性葉瓣曲線

為了對旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行數(shù)值計算，考慮一個半侵入逆銑加工過程，對應(yīng)的切削參數(shù)均取自文獻[35]。銑削力剛度為Kt=1500MPa，Kr=450MPa，刀齒數(shù)N=8，切入角和切出角?st=0?，?ex=90?。

2.4.1 模型驗證

首先要驗證本文提出的銑削系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性時域半離散求解方法的正確性，數(shù)值算例模型是旋轉(zhuǎn)坐標系下的銑削系統(tǒng)模型，刀桿結(jié)構(gòu)參數(shù)與切削參數(shù)均與文獻[37]中的一致：

圖10 為旋轉(zhuǎn)坐標下銑削系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性葉瓣圖，由圖10 可以看出，采用本文模型得到的葉瓣圖，位于文獻[37]的葉瓣圖的上方，這是由于本文模型同時考慮了內(nèi)、外阻的影響，而文獻[37]的模型中僅包含外阻。如果在本文模型中不考慮內(nèi)阻，那么，采用本文的葉瓣圖，將退化為文獻[37]的葉瓣圖。

圖10 旋轉(zhuǎn)坐標系下的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖Fig.10 Chatter stability diagrams in rotating coordinate frame

2.4.2 基于不同方法的穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果對比

圖11 表示采用頻域零階近似法和時域半離散法獲得的銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性葉瓣圖。結(jié)果表明：基于兩種方法的葉瓣圖是基本重合的。此外，從圖11還可以看到，除了位于低轉(zhuǎn)速區(qū)的穩(wěn)定性葉瓣圖之外，在高轉(zhuǎn)速區(qū)，旋轉(zhuǎn)刀桿銑削系統(tǒng)出現(xiàn)了新的不穩(wěn)定區(qū)域，這是由于考慮了復合材料的阻尼、刀桿旋轉(zhuǎn)以及再生切削力綜合作用的結(jié)果。在隨后的計算過程中，將對這種新的顫振不穩(wěn)定現(xiàn)象進行分析與討論。

圖11 不同鋪層方式下頻域零階近似法與半離散結(jié)果比較(ζ=0.01, σ=0.75, l/d=15, [90°]6)Fig.11 Comparison between zero-order frequency domain method and semi-discretization method under different laminates (ζ=0.01, σ=0.75, l/d=15, [90°]6)

需要指出的是，在對顫振方程進行Galerkin離散化，繪制穩(wěn)定性葉瓣圖的過程中，分別取刀桿的振型函數(shù)個數(shù)n=1, 2, 3，并將計算結(jié)果進行了比較，發(fā)現(xiàn)n=2 和3 的葉瓣圖基本重合，這說明取3 項振型函數(shù)即可得到收斂的結(jié)果。因此，在隨后的計算中，如不加以說明，振型函數(shù)的個數(shù)均取n=3。

2.4.3 基于不同坐標系的穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果對比

圖12 給出了固定坐標系和旋轉(zhuǎn)坐標系下，銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖?？梢钥闯?，這些葉瓣圖是重合的。

圖12 對稱鋪層方式[0°]6 對兩種坐標系下銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)Fig.12 Effect of symmetric laminate [0°]6 on the stability of milling system in two coordinate frames(ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)

文獻[37]和文獻[38]基于簡單的二自由度銑削動力學模型，研究了銑削系統(tǒng)在固定坐標和旋轉(zhuǎn)坐標系下的顫振穩(wěn)定性，結(jié)果表明，當?shù)稐U具有對稱動力學特性時(在兩個自由度方向上的集中質(zhì)量、剛度和阻尼參數(shù)分別相等)，在兩個坐標系下的葉瓣圖是一致的。本文從更為復雜的復合材料刀桿連續(xù)分布的銑削動力學模型出發(fā)，預(yù)測了銑削系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性，研究發(fā)現(xiàn)，具有軸對稱刀桿的銑削系統(tǒng)切削的穩(wěn)定性分析結(jié)果，不會因動力學模型參照系選取的不同而有所不同。因此，相對于文獻[37 - 38]而言，本文的研究結(jié)果顯然更具有一般性。

2.4.4 顫振穩(wěn)定性的參數(shù)影響分析

圖13(a)表示旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖，圖13(b)表示旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿的衰減率曲線，圖14 表示與圖13(a)中的4 個參數(shù)點對應(yīng)的時間響應(yīng)曲線。這些響應(yīng)曲線是采用4 階龍格-庫塔法對方程式(40)進行數(shù)值積分獲得。表11 給出了四個點的轉(zhuǎn)速值和切削深度。在圖13(a)中，深色區(qū)域代表不穩(wěn)定，其它區(qū)域代表穩(wěn)定，因此，所選取的點1 和點3 對應(yīng)穩(wěn)定切削狀態(tài)，點2 和點4 對應(yīng)不穩(wěn)定切削狀態(tài)。從圖14中可以看到，點1 和點3 的時間響應(yīng)曲線是收斂的，說明這兩個點對應(yīng)的是穩(wěn)定切削狀態(tài)，點2 和點4 的時間響應(yīng)曲線是發(fā)散的，說明這兩個點對應(yīng)的是不穩(wěn)定切削狀態(tài)，這與圖13(a)中的預(yù)測結(jié)果是一致的。圖13(a)顯示的新的顫振不穩(wěn)定啟動速度等于64 890 rad/s，這與旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)閾是相等的，如圖13(b)所示。

表11 圖13(a)中參數(shù)點對應(yīng)的切削參數(shù)Table 11 Process parameters according to the points in Fig.13(a)

圖13 旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性葉瓣圖與衰減率曲線(ζ=0.01, θ=0°, σ=0.75, l/d=10)Fig.13 Stability lobe diagram and decay rate curve of the rotating tapered composite cutter bar milling system (ζ=0.01,θ=0°, σ=0.75, l/d=10)

圖14 時間響應(yīng)曲線Fig.14 Time domain response curves

2.4.4.1 鋪層角的影響

圖15 表示鋪層角對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。從圖15 中可以看出，隨著鋪層角的增加，新的顫振不穩(wěn)定啟動速度隨著鋪層角的增加而減小，這是由于旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的內(nèi)阻會隨著鋪層角的增加而增加。

圖15 鋪層角對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)Fig.15 Effect of ply angle on the stability of milling system(ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)

2.4.4.2 長徑比的影響

圖16 表示長徑比對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域的影響。由圖16 可以看出，隨著長徑比的增加，新的顫振不穩(wěn)定啟動速度減小，因此，細長刀桿相對更容易引起切削顫振。

圖16 長徑比對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(ζ=0.01, σ=0.75, θ=30°)Fig.16 Effect of aspect ratio on the stability of milling system (ζ=0.01, σ=0.75, θ=30°)

2.4.4.3 內(nèi)阻與外阻的影響

圖17 表示內(nèi)、外阻對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖17 中的三種情形分別表示只考慮內(nèi)阻(圖17(a))、考同時慮內(nèi)、外阻(圖17(b))和只考慮外阻(圖17(c))。結(jié)果表明：無論是否考慮外阻，只要考慮將內(nèi)阻的影響，高轉(zhuǎn)速區(qū)必定出現(xiàn)新的不穩(wěn)定區(qū)域，不穩(wěn)定啟動速度與旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的失穩(wěn)閾相同；如果只考慮外阻，由于失穩(wěn)閾為無窮大，在高轉(zhuǎn)速區(qū)將不會出現(xiàn)新的不穩(wěn)定區(qū)域；如果不考慮外阻，不穩(wěn)定啟動速度則為臨界轉(zhuǎn)速(遠低于考慮外阻時的失穩(wěn)閾)，這意味著銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性將會減弱。綜上所述，如果忽略內(nèi)阻的影響，將會高估顫振穩(wěn)定性；反之，如果忽略外阻的影響，將會低估顫振穩(wěn)定性。內(nèi)阻在低轉(zhuǎn)速區(qū)起到提高銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用，但在高轉(zhuǎn)速區(qū)會引起新的不穩(wěn)定現(xiàn)象。

圖17 內(nèi)阻和外阻對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(σ=0.75, θ=90°, l/d=10)Fig.17 Effect of internal and external damping on the stability of milling system (σ=0.75, θ=90°, l/d=10)

2.4.4.4 錐度比的影響

圖18 表示錐度比對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域的影響，其中包含錐形復合材料刀桿的體積與等截面復合材料刀桿的體積相等(圖18(a))和體積不相等(圖18(b))兩種情形。圖18(a)表明：在低轉(zhuǎn)速區(qū)，隨著錐度比的減小，穩(wěn)定性葉瓣圖的位置升高；在高轉(zhuǎn)速區(qū)，新不穩(wěn)定區(qū)域開始出現(xiàn)的起始轉(zhuǎn)速值增大，銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高。圖18(b)中的結(jié)果是與圖18(a)中的結(jié)果剛好相反的。說明，只有當錐形與等截面刀桿的體積相等時，減小錐度比，才能提高系統(tǒng)的切削穩(wěn)定性。

圖18 錐度比對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(ζ=0.01, θ=90°, l/d=10)Fig.18 Effect of taper ratio on the stability of milling system(ζ=0.01, θ=90°, l/d=10)

2.4.4.5 鋪層方式的影響

圖19 表示對稱鋪層方式對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。3 種對稱鋪層方式均為6 層，兩種鋪層角為0°和90°。在低轉(zhuǎn)速區(qū)，0°的鋪層越多，葉瓣圖的位置越高，穩(wěn)定性越好，這是由于，0°鋪層越多，刀桿的剛度越大；在高轉(zhuǎn)速區(qū)，0°的鋪層越多，顫振不穩(wěn)定啟動速度越大，這是因為，0°的鋪層越多，刀桿的阻尼越小。

圖19 對稱鋪層方式對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)Fig.19 Effect of different symmetric laminates on the stability of milling system (ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)

圖20 表示非對稱鋪層方式對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。五種鋪層方式均包含10 層，從內(nèi)部開始鋪設(shè)，其中，0°鋪層共6 層，90°鋪層共2 層，45°和-45°鋪層各1 層。由于靠近外表面的鋪層具有更大的周長和體積，它們承受更多的彈性應(yīng)力和耗散應(yīng)力產(chǎn)生的彎矩，所以，外表面層控制著刀桿的剛度及阻尼。與其他角度的鋪層相比，0°鋪層具有更高的剛度和更小的阻尼，因此，將0°鋪層放在外表面的位置，可以提高刀桿的剛度和穩(wěn)定性。此外，從圖20 還可以看出，五種不同的鋪層方式中，在低轉(zhuǎn)速區(qū)，鋪層方式[90°/45°/-45°/90°/0°6]對應(yīng)的穩(wěn)定性葉瓣圖位置最高，鋪層方式[0°6/90°/45°/-45°/90°]對應(yīng)的穩(wěn)定性葉瓣圖位置最低；在高轉(zhuǎn)速區(qū)，鋪層方式[90°/45°/-45°/90°/0°6]對應(yīng)的不穩(wěn)定啟動速度最大，系統(tǒng)穩(wěn)定性最好。

圖20 非對稱鋪層方式對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)Fig.20 Effect of different asymmetric laminates on the stability of milling system (ζ=0.01, σ=0.75, l/d=10)

表12 和表13 分別表示對稱鋪層復合材料刀桿銑削系統(tǒng)的顫振啟動速度隨長徑比和錐度比的變化規(guī)律。表14 和表15 分別表示長徑比和錐度比對非對稱鋪層復合材料刀桿銑削系統(tǒng)的顫振啟動速度的影響。

表12 長徑比對三種對稱鋪層方式的不穩(wěn)定啟動速度的影響(ζ=0.01, σ=0.75)Table 12 Onset rotating speeds of new unstable region for three symmetric laminates with variable aspect ratios(ζ=0.01, σ=0.75)

表13 錐度比對三種對稱鋪層方式的不穩(wěn)定啟動速度的影響(ζ=0.01, l/d=10)Table 13 The onset rotating speeds of new unstable region for three symmetric laminates with variable taper ratios(ζ=0.01, l/d=10)

表14 長徑比對五種非對稱鋪層方式的不穩(wěn)定啟動速度的影響(ζ=0.01, σ=0.75)Table 14 The onset rotating speeds of new unstable region for five asymmetric laminates with variable aspect ratios(ζ=0.01, σ=0.75)

表15 錐度比對五種非對稱鋪層方式的不穩(wěn)定啟動速度的影響(ζ=0.01, l/d=10)Table 15 The onset rotating speeds of new unstable region for five asymmetric laminates with variable taper ratios(ζ=0.01, l/d=10)

表12 和表13 表明，隨著長徑比/錐度比的增加，不同對稱鋪層方式的不穩(wěn)定啟動速度之間的差基本不變。例如，當長徑比分別為10、12、15 時，鋪層方式A 與C 之間的差分別是179%、180%、180%；當錐度比分別為0.5、0.75 和1 時，鋪層方式A 與C 之間的差分別是178%、179%、181%。但是，從表14 和表15 中可以看出，隨著長徑/錐度比的增加，不同非對稱鋪層方式之間的差是變化的。

3 結(jié)論

由于復合材料的高阻尼特性，當轉(zhuǎn)速大于失穩(wěn)閾時，旋轉(zhuǎn)復合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將會發(fā)生內(nèi)阻失穩(wěn)。為了揭示內(nèi)阻對高速旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿銑削系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的影響，本文分別在固定和旋轉(zhuǎn)坐標系下，推導出具有旋轉(zhuǎn)錐形復合材料刀桿的銑削系統(tǒng)的偏微分運動模型?；趶秃喜牧险硰椥员緲?gòu)關(guān)系并結(jié)合能量法，對復合材料刀桿的阻尼耗散特性進行理論分析。采用Galerkin 法對偏微分方程進行離散化。采用時域半離散法和頻域零階近似解法，預(yù)測銑削系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性。研究結(jié)果如下：

(1) 鋪層角和鋪層方式影響阻尼耗散因子從而對銑削系統(tǒng)的內(nèi)阻產(chǎn)生重要影響；只有在考慮旋轉(zhuǎn)的情況下，才能捕捉內(nèi)阻對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，如果不考慮旋轉(zhuǎn)，顫振只存在于低速區(qū)，而在高速區(qū)是穩(wěn)定的；在同時考慮旋轉(zhuǎn)和內(nèi)阻的情況下，在高速區(qū)將出現(xiàn)一個新的不穩(wěn)定區(qū)域，新的不穩(wěn)定區(qū)域的起始轉(zhuǎn)速等于旋轉(zhuǎn)復合材料刀桿的失穩(wěn)閾。

(2) 顫振起始速度隨著長徑比、鋪層角或者錐度比的增加而減小；在刀桿外表面一側(cè)盡可能多地鋪設(shè)具有較高軸向剛度和較低軸向阻尼的層，能夠提高銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3) 在固定和旋轉(zhuǎn)坐標系下，軸對稱復合材料刀桿銑削系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果是相同的。

(4) 基于Galerkin 法的穩(wěn)定性葉瓣圖振型截斷近似計算過程，具有較好的收斂性；基于時域半離散法和頻域零階近似解法的穩(wěn)定性葉瓣圖的一致性；極限切削深度-轉(zhuǎn)速參數(shù)平面上點的時間響應(yīng)特征(收斂、發(fā)散)與穩(wěn)定性葉瓣圖的預(yù)測結(jié)果具有一致性。

(5) 加工制造復合材料刀桿時，將更小角度的鋪層鋪設(shè)在刀桿外表面，有助于提高刀桿的剛度和穩(wěn)定性。