向 越，譚 平，賀 輝，陳倩敏

(1.廣州大學(xué)土木工程學(xué)院，廣州 510006；2.廣州大學(xué)工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006；3.湖南工學(xué)院土木與建筑工程學(xué)院，衡陽(yáng) 421002)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)作為結(jié)構(gòu)被動(dòng)控制策略，其應(yīng)用在機(jī)械、土木行業(yè)取得重大進(jìn)展[1-3]。歐進(jìn)萍等[4]彌補(bǔ)了我國(guó)調(diào)諧控制體系的空缺，提出了適用于調(diào)諧質(zhì)量控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)框架。李春祥等[5]研究了TMD 高層鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的風(fēng)振舒適度控制設(shè)計(jì)方法。眾所周知，TMD 的參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)控制效果十分重要。傳統(tǒng)TMD 的參數(shù)優(yōu)化有三大準(zhǔn)則，分別是H∞優(yōu)化準(zhǔn)則[6]、H2優(yōu)化準(zhǔn)則[7]以及穩(wěn)定性優(yōu)化準(zhǔn)則[8]，三者分別代表了簡(jiǎn)諧激勵(lì)下使結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)峰值的最小化、隨機(jī)激勵(lì)下使結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)覆蓋的頻域能量最小化以及使結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)最小化。WARBURTON[9]從理論推導(dǎo)并總結(jié)了適用于各種優(yōu)化工況的黏滯阻尼TMD 最優(yōu)參數(shù)。VILLAVERDE[10]對(duì)減震控制的TMD 進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析并提出使結(jié)構(gòu)-TMD 體系的綜合阻尼比等于結(jié)構(gòu)阻尼比和TMD 阻尼比的平均值的優(yōu)化思路。隨后，SADEK 等[11]重新定義了該TMD 的減震優(yōu)化準(zhǔn)則并得到最優(yōu)參數(shù)公式。

相較于簡(jiǎn)諧激勵(lì)，利用隨機(jī)激勵(lì)來(lái)控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率更加符合實(shí)際情況。ASAMI 等[12-13]運(yùn)用H2優(yōu)化推導(dǎo)出TMD 適用于無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)解析式和有阻尼結(jié)構(gòu)在不同激勵(lì)下的代數(shù)解析解。同時(shí)，他提出了附加空氣阻尼的三元素吸振器模型并得到了基于H2優(yōu)化準(zhǔn)則的最優(yōu)參數(shù)解析式[14]。BAKRE 等[15]通過(guò)數(shù)值擬合方法對(duì)有阻尼結(jié)構(gòu)的TMD 在金井清譜和白噪聲下的最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行分析研究并發(fā)現(xiàn)兩者的最優(yōu)參數(shù)差異不大。他指出，這是由于過(guò)濾白噪聲的金井清譜屬于慢變寬頻帶體系與白噪聲差異較小導(dǎo)致的。TIGLI[16]推導(dǎo)出以速度為優(yōu)化目標(biāo)的H2最優(yōu)參數(shù)解析解，并證明按速度為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)能使總體上呈現(xiàn)較好性能體現(xiàn)。MATTA[17]基于H2優(yōu)化方法提出了地質(zhì)條件對(duì)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)頻率的最壞情況濾波下參數(shù)優(yōu)化方法，該方法可以適用于所有場(chǎng)地條件下的最壞情況。彭凌云等[18]對(duì)風(fēng)荷載作用下的復(fù)剛度阻尼TMD 進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化研究。孫攀旭等[19]從復(fù)阻尼模型的滯變阻尼模型角度出發(fā)，提出了基于傅里葉變換的時(shí)域計(jì)算方法和基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法，克服了復(fù)阻尼模型天然時(shí)域發(fā)散問(wèn)題。作為TMD 的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，CHEN 等[20]研究了非線性TVMD 在隨機(jī)白噪聲下的最優(yōu)參數(shù)變化。HE 等[21]基于H2優(yōu)化和阻尼比增效準(zhǔn)則提出了TVMD 最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)理論解。羅一帆等[22]從基于H2優(yōu)化理論得到了電磁調(diào)諧雙質(zhì)阻尼器的最優(yōu)參數(shù)公式。王寶順等[23]克服了 TMD 和 PSSPD 的不足，提出的質(zhì)量調(diào)諧-顆粒阻尼器復(fù)合減振體系具有更寬的減振頻帶和更好的魯棒性。盛曦等[24]將TID 應(yīng)用于鋼彈簧浮置板軌道中，并使軌道低頻減振性能得到有效提高。王奇等[25]利用粒子群對(duì)以彈簧作為擺動(dòng)連接構(gòu)件的擺式TMD 進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

由于高層高聳結(jié)構(gòu)裝配TMD，通常要考慮裝配TMD 的空間，更少的TMD 行程將提供更多的結(jié)構(gòu)空間利用率和經(jīng)濟(jì)效益。譚平等[26]基于首次穿越破壞準(zhǔn)則對(duì)隨機(jī)風(fēng)振下TMD 進(jìn)行限位控制，并表明由于TMD 位移比層間位移要大，為防止TMD 與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞須進(jìn)行TMD 限位設(shè)計(jì)。

滯變阻尼是一種與速度同相位且阻尼力大小正比于位移的阻尼形式[27]如圖1。MURAVSKII[28]對(duì)單自由度滯變模型的頻率無(wú)關(guān)特性進(jìn)行分析。然而，這些分析和研究只存在在于理論之中，尚未有做出上述力學(xué)模型的真實(shí)TMD 設(shè)備。直到近年來(lái)，MATTA 等[29]和KANG 等[30]分別提出了摩擦力隨TMD 位移增加而增加的變摩擦擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(VFP-TMD)和Reid-TMD，并相繼提出基于動(dòng)力數(shù)值分析和應(yīng)用諧波平衡法的參數(shù)優(yōu)化方法。理論上，上述兩種TMD 通過(guò)庫(kù)侖-摩擦定理中的變摩擦系數(shù)[31]和變壓力大小從而使TMD 具有與位移相關(guān)的變摩擦阻尼力特性。與傳統(tǒng)的常摩擦以及多級(jí)變摩擦TMD[32]相比，滯變阻尼調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(HD-TMD)具有能為不同幅值激勵(lì)提供穩(wěn)定的減振效果，實(shí)現(xiàn)有效縮小的TMD 行程等優(yōu)勢(shì)。值得注意的是，目前理論上針對(duì)隨機(jī)白噪聲下的HD-TMD 最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)尚存不足。出的方法的有效性。

圖1 滯變阻尼與黏滯阻尼滯回環(huán)Fig.1 Hysteretic damping loops for hysteretic damping and viscous damping

1 HD-TMD 基本方程

HD-TMD 由質(zhì)量塊、剛度元件和滯變阻尼元件組成。與速度型傳統(tǒng)黏滯阻尼TMD 相比，HDTMD 具有線性位移相關(guān)特征。滯變阻尼元件的力學(xué)表達(dá)式如式(1)：

式中：xt為TMD 相對(duì)于結(jié)構(gòu)的位移行程； η為滯變阻尼比；kt為TMD 的剛度。以控制結(jié)構(gòu)第一振型的單質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)-HD-TMD 體系為例(如圖2)，利用拉格朗日定理推導(dǎo)得到風(fēng)振下結(jié)構(gòu)-HD-TMD 運(yùn)動(dòng)方程如下：

圖2 結(jié)構(gòu)-HD-TMD 體系Fig.2 Structure-HD-TMD system

式中：x1、m1、k1和c1指結(jié)構(gòu)的位移、質(zhì)量、剛度和阻尼；mt為TMD 的質(zhì)量；f定義為結(jié)構(gòu)遭遇的外力荷載。在無(wú)量綱化處理(表1)和拉普拉斯變換下(式(3))可將時(shí)域方程轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)和HD-TMD的頻響函數(shù)表達(dá)式如式(4)和式(5)：

表1 無(wú)量綱化參數(shù)備注Table 1 Notations for dimensionless parameter

式中，X1和Xt為結(jié)構(gòu)和TMD 的頻率響應(yīng)。

2 H2 優(yōu)化

2.1 理論推導(dǎo)

作為成熟的振動(dòng)控制優(yōu)化策略，隨機(jī)白噪聲下的H2優(yōu)化的結(jié)構(gòu)位移目標(biāo)函數(shù)如下[9]：

式中，S0為歸一化常數(shù)譜強(qiáng)度?？梢?jiàn)，該目標(biāo)函數(shù)是在統(tǒng)計(jì)學(xué)概念上的方差位移，是通過(guò)對(duì)頻響函數(shù)的平方積分得到的。然而，如式(4)所示，頻響函數(shù)將因滯變阻尼的符號(hào)函數(shù)而分成兩種表達(dá)式如下：

鑒于此，本文對(duì)隨機(jī)白噪聲下HD-TMD 進(jìn)行減振分析與研究，進(jìn)一步為HD-TMD 的參數(shù)設(shè)計(jì)提供理論設(shè)計(jì)指導(dǎo)。首先，介紹了HD-TMD 的力學(xué)性能以及結(jié)構(gòu)-HD-TMD 體系的運(yùn)動(dòng)方程；然后，應(yīng)用H2優(yōu)化準(zhǔn)則推導(dǎo)出性能目標(biāo)表達(dá)式并通過(guò)數(shù)值擬合得到HD-TMD 最優(yōu)參數(shù)擬合公式；同時(shí)，為了考慮TMD 行程受限的影響，在H2優(yōu)化的前提下進(jìn)一步提出性能平衡設(shè)計(jì)；最后，通過(guò)實(shí)際結(jié)構(gòu)在600 s 脈動(dòng)風(fēng)荷載中的響應(yīng)，檢驗(yàn)所提

其中：

為了方便積分運(yùn)算，應(yīng)用留數(shù)定理簡(jiǎn)化積分表達(dá)式。首先，對(duì)式(8)中的分母進(jìn)行復(fù)數(shù)分解如下：

式中，λi(i=1,2,3,4)定義為復(fù)平面中的奇點(diǎn)。

應(yīng)用留數(shù)定理可將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步提煉如下：

其中：

利用代數(shù)運(yùn)算，發(fā)掘出上述系數(shù)的深層聯(lián)系如下：

其中：

整理式(11)～式(14)，可得目標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化表達(dá)式如下：

根據(jù)式(9)可得奇點(diǎn)之間的關(guān)系如下：

進(jìn)一步推導(dǎo)可得到奇點(diǎn)耦合關(guān)系如下：

通過(guò)復(fù)平面轉(zhuǎn)換，可將式(17)中的虛部消除并得到奇點(diǎn)耦合系數(shù)如下：

其中：

將式(9)、式(18)和式(19)代入式(15)便可得到目標(biāo)函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式。

2.2 H2 最優(yōu)參數(shù)公式

通常而言，最優(yōu)參數(shù)解析解可以通過(guò)令I(lǐng)2對(duì)ft和 η的偏微分方程為0 得到解決。但對(duì)于HDTMD 的最優(yōu)參數(shù)來(lái)說(shuō)，由于通過(guò)簡(jiǎn)化后的目標(biāo)函數(shù)代數(shù)式階數(shù)過(guò)高，用上述方法將受限于阿貝爾定律(the theorem of Ruffini-Abel)難以獲得解析解。因此，基于式(15)用分支界限法獲取HD-TMD的數(shù)值最優(yōu)頻率比和最優(yōu)滯變阻尼比并進(jìn)行曲線擬合如下：

其中：

式(20)適用于TMD 質(zhì)量比分布區(qū)間為0%～50%的范圍內(nèi)，這一范圍覆蓋了實(shí)際的常規(guī)TMD的應(yīng)用場(chǎng)景。值得注意的是，最優(yōu)頻率比的擬合最大誤差和均方差誤差分別為0.0873%和0.0219%，而最優(yōu)滯變阻尼比的最大誤差和均方差誤差分別為3.629%和0.8464%。HD-TMD 最優(yōu)參數(shù)與Den hartog[6]和Warburton[9]的經(jīng)典最優(yōu)參數(shù)對(duì)比如圖3所示。其中，用于對(duì)比的Warburton[9]最優(yōu)參數(shù)公式所選的是基于外激勵(lì)荷載和隨機(jī)白噪聲的最優(yōu)參數(shù)公式。

圖3 最優(yōu)參數(shù)對(duì)比圖Fig.3 Comparisons for optimal parameters

同時(shí)，基于黏滯阻尼在同一位移和循環(huán)中產(chǎn)生的阻尼能量相等原則，推導(dǎo)出經(jīng)典最優(yōu)阻尼比對(duì)應(yīng)的等效最優(yōu)滯變阻尼比如式(22)所示，并在圖3 中進(jìn)行對(duì)比。由圖3(a)和圖3(b)可知，最優(yōu)頻率比隨質(zhì)量比的增加而降低，而且HD-TMD 最優(yōu)頻率比高于傳統(tǒng)黏滯阻尼TMD 的最優(yōu)頻率比。然而，最優(yōu)(滯變)阻尼比與質(zhì)量比正相關(guān)，HDTMD 最優(yōu)滯變阻尼比要低于傳統(tǒng)黏滯TMD 的等效最優(yōu)滯變阻尼比。由圖3(c)可知，HD-TMD 的最優(yōu)參數(shù)能提供最小的性能目標(biāo)，從而具有比傳統(tǒng)黏滯TMD 更加優(yōu)異的性能，凸顯出HD-TMD采用H2優(yōu)化的有效性，詳細(xì)的HD-TMDH2優(yōu)化步驟如圖4 所示。

圖4 HD-TMD 的H2 優(yōu)化步驟Fig.4 Procedure for H2 optimization of HD-TMD

3 性能平衡設(shè)計(jì)

3.1 性能目標(biāo)

為了創(chuàng)造更多的經(jīng)濟(jì)利益和提高結(jié)構(gòu)空間利用率，高層高聳結(jié)構(gòu)裝配TMD 時(shí)往往有場(chǎng)地限制的影響。因此，在HD-TMD 的優(yōu)化設(shè)計(jì)階段時(shí)，需要考慮HD-TMD 行程的影響。鑒于此，對(duì)HDTMD 進(jìn)行性能平衡設(shè)計(jì)，通過(guò)加入一預(yù)先設(shè)定的權(quán)重百分比因子 α考量加入HD-TMD 行程的綜合性能目標(biāo)如下：

類似地，基于留數(shù)定理應(yīng)用如圖4 所示的H2優(yōu)化步驟可得到HD-TMD 位移的性能目標(biāo)表達(dá)式如下：

結(jié)合式(15)和式(25)，性能平衡設(shè)計(jì)的綜合性能目標(biāo)如下：

式中，奇點(diǎn)耦合系數(shù)可參考式(9)、式(18)和式(19)。

3.2 參數(shù)分析

基于式(26)用分支界限法獲取HD-TMD 性能平衡設(shè)計(jì)的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)滯變阻尼比，如圖5所示。由圖5 可知，同一權(quán)重因子下，最優(yōu)參數(shù)隨質(zhì)量比變化的規(guī)律與2.2 節(jié)中分析的結(jié)論一致。同一質(zhì)量比下，最優(yōu)頻率比的變化在給出的0%～5%權(quán)重因子區(qū)間內(nèi)無(wú)變化，而最優(yōu)滯變阻尼比隨權(quán)重因子的增加而增大。

圖5 性能平衡設(shè)計(jì)的HD-TMD 最優(yōu)參數(shù)Fig.5 Optimal parameters for performance balance design of HD-TMD

質(zhì)量比分別為1%、2%和10%的HD-TMD性能平衡設(shè)計(jì)的最優(yōu)性能目標(biāo)如圖6 所示，考慮HD-TMD 行程的最優(yōu)綜合性能指標(biāo)I1與結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)I2隨這權(quán)重因子的增加而增加，而最優(yōu)綜合性能指標(biāo)由于I3的加入比相對(duì)于結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)對(duì)權(quán)重因子更加敏感。這表明：HD-TMD 性能目標(biāo)值I3的數(shù)量級(jí)在權(quán)重因子較小時(shí)相比于I2較大，因此權(quán)重因子的選擇應(yīng)該慎重，否則將得到無(wú)現(xiàn)實(shí)意義的最優(yōu)參數(shù)。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，權(quán)重因子對(duì)質(zhì)量比大的HD-TMD 影響較小。

圖6 性能平衡設(shè)計(jì)的最優(yōu)性能目標(biāo)Fig.6 Optimal performance indices for performance balance design

由于結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨權(quán)重因子的增加而增加，這意味著HD-TMD 的振動(dòng)控制能力降低。因此，提出結(jié)構(gòu)控制容忍度約束上述控制損失。容忍度可視為對(duì)權(quán)重因子的物理意義具現(xiàn)化指標(biāo)，代表考慮HD-TMD 位移后的可接受的控制損失。

質(zhì)量比為3%的結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)如圖7 所示，其中各容忍度對(duì)應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)在圖中標(biāo)注為虛線?？梢郧逦目闯霾煌萑潭葹榻Y(jié)構(gòu)性能目標(biāo)的增長(zhǎng)提供了不同級(jí)別的防線，反映出使用性能平衡設(shè)計(jì)并不是盲目的而是具有現(xiàn)實(shí)意義的約束HD-TMD的位移同時(shí)達(dá)到給定條件下結(jié)構(gòu)最優(yōu)控制的效果。

圖7 μt=0.03時(shí)性能平衡設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)Fig.7 Structural performance index for performance balance design ofμt=0.03

不同容忍度下最優(yōu)參數(shù)的動(dòng)力放大系數(shù)如圖8所示。由圖8(a)和圖8(b)可知，當(dāng)α=0時(shí)結(jié)構(gòu)和HD-TMD 的動(dòng)力放大系數(shù)都表現(xiàn)出明顯的頻域雙峰調(diào)諧效果。隨著容忍度的增加，結(jié)構(gòu)動(dòng)力系數(shù)的峰值不斷攀升，意味著振動(dòng)控制損失的產(chǎn)生越來(lái)越大。此時(shí)，HD-TMD 的動(dòng)力放大系數(shù)峰值和覆蓋范圍不斷減小，證明基于容忍度的性能平衡設(shè)計(jì)能有效控制HD-TMD 的位移行程。

圖8 μt =0.03時(shí)性能平衡設(shè)計(jì)的動(dòng)力放大系數(shù)Fig.8 Dynamic amplification factor for performance balance design ofμt=0.03

眾所周知，頻率比對(duì)TMD 的影響至關(guān)重要，性能平衡設(shè)計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)在不同頻率變化階段下HDTMD 的控制效果如圖9 所示。由圖9 可知，一旦HD-TMD 產(chǎn)生失諧控制，結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)值將迅速攀升，意味著HD-TMD 的控制效果迅速減弱。然而，隨著容忍度的增加，高權(quán)重因子的性能平衡設(shè)計(jì)結(jié)果展現(xiàn)出HD-TMD 較好的魯棒性，即隨著失諧因子的絕對(duì)值增加結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)值的增長(zhǎng)速率較α=0的增長(zhǎng)速率低。HD-TMD 性能平衡設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)步驟如圖10 所示，值得突出的是基于容忍度的性能平衡設(shè)計(jì)能精確的調(diào)整所需要的權(quán)重因子從而確定最優(yōu)參數(shù)，這是與已有參數(shù)設(shè)計(jì)思路不同的。

圖9 μt=0.03時(shí)性能平衡設(shè)計(jì)的失諧影響Fig.9 Detuning effect for performance balance design ofμt=0.03

圖10 性能平衡設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)步驟Fig.10 Procedure for performance balance design

4 實(shí)際應(yīng)用的數(shù)值驗(yàn)證

4.1 算例參數(shù)

為更好地驗(yàn)證本文提出的H2優(yōu)化最優(yōu)參數(shù)和性能平衡設(shè)計(jì)方法，本節(jié)采用實(shí)際應(yīng)用TMD 的某高層景觀塔模型的第一模態(tài)數(shù)據(jù)[33]以及實(shí)際可用的HD-TMD—VFP-TMD 進(jìn)行順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)荷載下的仿真計(jì)算，模型具體參數(shù)如表2 所示。脈動(dòng)風(fēng)根據(jù)Davenport 譜應(yīng)用諧波合成法，按照《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》[34]中的百年一遇基本風(fēng)壓0.6 kPa 進(jìn)行模擬。頂點(diǎn)處風(fēng)速譜對(duì)比以及脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程如圖11 所示，模擬結(jié)果表示模擬譜與目標(biāo)譜走勢(shì)一致且誤差較小證明模擬脈動(dòng)風(fēng)荷載的有效性。

表2 具體參數(shù)Table 2 Detail parameters for verification

圖11 百年重現(xiàn)期脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程與功率譜Fig.11 Time history simulation and power spectrum of 100-year return period fluctuating wind speed

VFP-TMD 由變摩擦擺裝置(Variable friction pendulum bearing, VFPB)和質(zhì)量塊組合，頻率由擺長(zhǎng)半徑?jīng)Q定，通過(guò)變摩擦系數(shù)式的布置使VFPTMD 具有滯變阻尼特性。VFPB 的可用性在隔震體系中已有成熟的應(yīng)用[35]，其依賴于滯變阻尼特性克服常摩擦摩擦擺的受限于激勵(lì)幅值的控制不穩(wěn)定性[36-38]。具有初始摩擦的實(shí)際VFP-TMD 的摩擦阻尼力表達(dá)式如下[38]：

當(dāng)滯變阻尼部分為0 時(shí)，式(27)可退化成常摩擦阻尼力的表達(dá)式。相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)-VFP-TMD體系運(yùn)動(dòng)方程為：

為了突出HD-TMD 在隨機(jī)白噪聲下的減振控制效果，采用容忍度為5%的性能平衡設(shè)計(jì)并增加已有文獻(xiàn)的最優(yōu)參數(shù)參照組結(jié)果作為對(duì)比，如表3所示。表3 中：TMD1 和TMD2 分別為Warburton的黏滯阻尼TMD 和等效滯變阻尼HD-TMD 最優(yōu)參數(shù)；TMD3 和TMD4 分別為本文所用的H2最優(yōu)參數(shù)公式結(jié)果和性能平衡設(shè)計(jì)下的HD-TMD 最優(yōu)參數(shù)；TMD5 為的是Matta 數(shù)值H2優(yōu)化下的HDTMD 最優(yōu)參數(shù)結(jié)果[29]。

表3 TMD 最優(yōu)參數(shù)對(duì)照表Table 3 Optimal parameters for comparison

4.2 算例分析

為表明算例減振控制效果，定義峰值減振率Rmax和均方根值減振率Rrms如式(29)和式(30)所示。

式中：x1,max,TMD和x1,max,unc為TMD 工況下的結(jié)構(gòu)位移峰值和無(wú)控工況下的結(jié)構(gòu)位移峰值；和為TMD 工況下的結(jié)構(gòu)位移均方根和無(wú)控工況下的結(jié)構(gòu)位移均方根。脈動(dòng)風(fēng)荷載下的時(shí)程響應(yīng)和綜合指標(biāo)結(jié)果分別如圖12 和表4 所示。從圖12和表4 的算例指標(biāo)數(shù)值可以看出，5 種最優(yōu)參數(shù)的黏滯阻尼TMD 和HD-TMD 都可以為有阻尼結(jié)構(gòu)提供有效可靠的減振控制效果。其中，TMD3 能提供最好的峰值減振率、均方根減震率，同時(shí)使結(jié)構(gòu)加速度最小化。上述現(xiàn)象證明本文提出的基于H2優(yōu)化的最優(yōu)參數(shù)公式的有效性，同時(shí)證明HD-TMD 的減振控制作用不弱于傳統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)下的黏滯阻尼TMD。

表4 算例指標(biāo)值Table 4 Objective values for verification

圖12 脈動(dòng)風(fēng)作用下的數(shù)值響應(yīng)Fig.12 Numerical response for fluctuating wind

值得注意的是，VFP-TMD 是一種擺式運(yùn)動(dòng)裝置，其線性化的運(yùn)動(dòng)方程將在TMD 產(chǎn)生較大位移時(shí)失效，同時(shí)意味著TMD 控制頻率的失穩(wěn)。而XU 等[39]研究表明擺式TMD 在擺動(dòng)角度為9。內(nèi)時(shí)為線性階段，本研究以此為線性擺動(dòng)最大幅值并體現(xiàn)在圖12(c)中。在本算例中，TMD3 對(duì)應(yīng)的最大擺動(dòng)幅度為9.53。這表明盡管達(dá)到了最優(yōu)的控制效果，但由于TMD 的行程過(guò)大將導(dǎo)致體系出現(xiàn)非線性以及響應(yīng)可能出現(xiàn)失真的情況。然而，TMD4 的擺動(dòng)幅度為8.33。這表明本文提出的性能平衡設(shè)計(jì)能有效降低TMD 的行程，保持了TMD的魯棒性并使體系整體依舊體現(xiàn)線性。與TMD3相比，TMD4 在峰值減震率和均方根減振率中的控制損失僅為3.19%和0.74%。

5 結(jié)論

本文對(duì)隨機(jī)白噪聲下的HD-TMD 進(jìn)行減振控制研究。構(gòu)建了單質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)-HD-TMD 體系的運(yùn)動(dòng)方程，并推導(dǎo)出其頻響函數(shù)。基于H2優(yōu)化準(zhǔn)則推導(dǎo)出最優(yōu)性能指標(biāo)的簡(jiǎn)化表達(dá)式，并得到最優(yōu)參數(shù)擬合公式。隨后，考慮HD-TMD 行程對(duì)控制效果的影響，引入基于容忍度的性能平衡設(shè)計(jì)方法。具體結(jié)論如下：

(1) 相較于其他傳統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)，基于H2優(yōu)化的最優(yōu)參數(shù)能提供使頻響函數(shù)頻域面積最小的最優(yōu)結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)。由于阿貝爾定理的影響，本文通過(guò)數(shù)值擬合，得到了質(zhì)量比從0%～50%的能應(yīng)用于絕大多數(shù)TMD 場(chǎng)景的最優(yōu)擬合公式結(jié)果。

(2) 在百分比權(quán)重因子的連接下，得到了考慮HD-TMD 行程的性能平衡設(shè)計(jì)。在容忍度的加入下，可以得到不同具體設(shè)想下HD-TMD 的最優(yōu)參數(shù)。參數(shù)分析結(jié)果表示，權(quán)重因子對(duì)最優(yōu)頻率比的影響較小，對(duì)最優(yōu)滯變阻尼比的影響較大。失諧分析表示，權(quán)重因子越高時(shí)，得到的最優(yōu)滯變阻尼比最高，從而使HD-TMD 的魯棒性越強(qiáng)。

(3) 實(shí)際應(yīng)用案例驗(yàn)證了本文所采用的兩種優(yōu)化方法的有效性和優(yōu)越性?；贖2優(yōu)化的最優(yōu)參數(shù)能提供最優(yōu)的控制效果，但由于HD-TMD 行程過(guò)大將導(dǎo)致實(shí)現(xiàn)HD-TMD 的VFP-TMD 出現(xiàn)非線性。采用性能平衡設(shè)計(jì)能有效降低HD-TMD 的行程，保證了體系的線性和控制的魯棒性，同時(shí)提供了與傳統(tǒng)黏滯阻尼TMD 相當(dāng)?shù)目刂菩Ч?/p>