王博厚，孫 遜，方立新

(1.東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇，南京 210096；2.東南大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，江蘇，南京 210096；3.東南大學(xué)建筑學(xué)院，江蘇，南京 210096)

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)因其在充分利用材料強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)功能的同時(shí)，能保持整體結(jié)構(gòu)的輕巧簡(jiǎn)潔，能適應(yīng)建筑功能及外觀需求等優(yōu)點(diǎn)，受到工程結(jié)構(gòu)界的廣泛關(guān)注。單層正交索網(wǎng)，由相互正交、曲率相反的兩組鋼索連接而形成，形成負(fù)高斯曲率的曲面。索網(wǎng)懸掛在強(qiáng)大的邊緣構(gòu)件(外環(huán)梁)上。單層正交索網(wǎng)可按其平面投影形狀分類(lèi)，如平面投影為菱形、橢圓形、圓形的單層正交索網(wǎng)結(jié)構(gòu)。

1952 年建成的道頓競(jìng)技館被公認(rèn)為是第一個(gè)具有現(xiàn)代意義的大跨度索網(wǎng)屋蓋[1]。隨后在國(guó)內(nèi)外的大型場(chǎng)館、公共建筑中得到廣泛應(yīng)用，如倫敦奧運(yùn)自行車(chē)館[2]、蘇州奧體中心游泳館[3]、國(guó)家速滑館[4]等。對(duì)于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的研究，主要包括找形與荷載分析[5]、解析計(jì)算[6-7]、靜力與動(dòng)力性能研究[8]、形態(tài)優(yōu)化[9-11]、斷索分析[12]、施工模擬等方面。

用于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始形態(tài)確定和荷載狀態(tài)分析的主要方法有：非線(xiàn)性有限元法[13]、動(dòng)力松弛法[14]和力密度法[15]。而非線(xiàn)性有限元法是一種更為精確的數(shù)值計(jì)算方法[16]，且隨著有限元計(jì)算軟件的發(fā)展，該方法在找形及荷載分析中應(yīng)用最廣。

沈世釗等[6]、金問(wèn)魯[7]將鞍形索網(wǎng)連續(xù)化為薄膜，分別利用平衡與變形協(xié)調(diào)關(guān)系、能量原理建立以豎向位移為未知量的非線(xiàn)性方程，其所得解析解精度極大程度依賴(lài)于所假定的位移函數(shù)。

肖康麗等[8]對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)靜力性能進(jìn)行參數(shù)分析，研究矢跨比、邊界形狀、索初始預(yù)張力、索直徑等參數(shù)對(duì)變形、內(nèi)力的影響，其結(jié)論可用于指導(dǎo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。目前在索膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，大多根據(jù)建筑造型要求，在所允許的范圍內(nèi)調(diào)整幾何參數(shù)以確定最終形態(tài)，在此過(guò)程中雖然會(huì)進(jìn)行一定的方案比選，但該過(guò)程大多依賴(lài)于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，很難保證最終形態(tài)在給定約束條件下最優(yōu)[17]。

對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形態(tài)的優(yōu)化，關(guān)鍵問(wèn)題在于選取合適的優(yōu)化目標(biāo)。形態(tài)優(yōu)化研究根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)可分為單目標(biāo)優(yōu)化、多目標(biāo)優(yōu)化，目前學(xué)者所提出的優(yōu)化目標(biāo)可概括為材料用量最少、豎向剛度最大兩大類(lèi)[9-11]，對(duì)于材料用料的優(yōu)化主要針對(duì)索和下部支撐結(jié)構(gòu)。已有形態(tài)優(yōu)化方法需借助有限元、優(yōu)化算法自編程序?qū)崿F(xiàn)，計(jì)算過(guò)程繁雜且不易收斂，不能快速判斷結(jié)構(gòu)形態(tài)是否合理。

索網(wǎng)屋蓋結(jié)構(gòu)中，外環(huán)梁材料用量大、受力復(fù)雜，其截面極大地影響著結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)性和安全性，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中未受到廣泛關(guān)注。外環(huán)梁大多處壓彎狀態(tài)，重力荷載方向的彎矩由支承條件決定，而鞍面的形態(tài)對(duì)外環(huán)梁的面內(nèi)彎矩有極大影響。外環(huán)梁越接近軸壓構(gòu)件，其材料利用越充分，則可相應(yīng)地減小外環(huán)截面尺寸和變形[18]。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文首先利用平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程，以豎向位移為未知量推導(dǎo)了正交單層索網(wǎng)連續(xù)化計(jì)算方法，提出一個(gè)新的位移函數(shù)，采用伽遼金法求解。其次以外環(huán)梁平面內(nèi)彎矩最小為優(yōu)化目標(biāo)，以中央承重索垂度為優(yōu)化變量，以索力、豎向位移和矢跨比為約束條件。利用外環(huán)梁上任一點(diǎn)彎矩計(jì)算公式，求解方程得到結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)。最后對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單算例分別采用有限元法、解析法計(jì)算，驗(yàn)證位移、索力、外環(huán)彎矩計(jì)算公式和形態(tài)優(yōu)化的準(zhǔn)確性。在結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)階段，利用本方法僅需求解一元方程，便可快速得到結(jié)構(gòu)的最優(yōu)形態(tài)，避免了有限元編程、反復(fù)試算的過(guò)程。

1 索網(wǎng)連續(xù)化計(jì)算方法

目前，單層正交索網(wǎng)的計(jì)算理論主要有離散化理論和連續(xù)化理論[6]。連續(xù)化理論通過(guò)假設(shè)索網(wǎng)在受力變形后的位移函數(shù)并以之為未知量，進(jìn)而求出索網(wǎng)面內(nèi)的索力分布，避免了離散化理論中大量方程、未知量造成的求解困難。

本文利用連續(xù)化理論，通過(guò)平衡微分方程、變形協(xié)調(diào)方程建立以豎向位移為未知量的方程，以變分原理求解，推導(dǎo)正交索網(wǎng)的解析公式。

1.1 基本假定

索網(wǎng)計(jì)算時(shí)采用如下基本假設(shè)：① 索是理想柔性的，只能承受拉力；② 索材料符合胡克定律；③ 兩個(gè)方向的索之間永遠(yuǎn)保持接觸，能相互傳遞豎向力的作用；④ 只考慮小垂度問(wèn)題，且僅考慮豎向均布荷載作用；⑤x方向索為承重索，y方向索為穩(wěn)定索，相同方向索的初始預(yù)拉力、截面面積、間距均相同。

1.2 索網(wǎng)的三種形態(tài)

根據(jù)索受力狀態(tài)和外荷載的不同，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)分為3 種狀態(tài)：零狀態(tài)、初始平衡態(tài)、荷載態(tài)。假設(shè)結(jié)構(gòu)在初始態(tài)下的曲面形狀為z0(x,y)，索自重折算為豎向均布荷載q0(x,y)，兩個(gè)方向索折算到單位寬度內(nèi)的薄膜預(yù)張力為Hx0、Hy0，折算到單位寬度內(nèi)的拉伸剛度為EAx、EAy。

假設(shè)對(duì)結(jié)構(gòu)施加的外荷載為Δq(x,y)，豎向荷載變?yōu)閝=q0+Δq。索網(wǎng)在外荷載作用下產(chǎn)生三個(gè)方向的位移分量u、v、w，但在小垂度情況下水平位移分量u、v與豎向位移分量w相比是高階微量，可以忽略其對(duì)曲面形狀的影響，變形后索網(wǎng)形狀變?yōu)閦=z0+w。索水平張力獲得增量ΔHx、ΔHy，達(dá)到Hx=Hx0+ΔHx、Hy=Hy0+ΔHy。

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在初始態(tài)時(shí)的各項(xiàng)參數(shù)均為已知，在荷載態(tài)時(shí)兩正交方向的水平拉力Hx(或ΔHx)、Hy(或ΔHy)及位形z(或w)是未知的，求解三個(gè)未知量需要三個(gè)方程，即x、y方向的變形協(xié)調(diào)方程和z方向的平衡微分方程。索在受到外荷載作用從初始態(tài)轉(zhuǎn)換為荷載態(tài)的過(guò)程中，索中應(yīng)變?cè)隽亢苄?，但位移較大。這時(shí)的平衡條件應(yīng)建立在變形后的位形上，應(yīng)變表達(dá)式也應(yīng)包含位移的二次項(xiàng)，即在建立方程時(shí)應(yīng)考慮幾何非線(xiàn)性的影響。

1.3 索網(wǎng)平衡方程

在荷載態(tài)，從連續(xù)化的索網(wǎng)中任取微分單元dxdy，受力情況如圖1 所示。

圖1 索網(wǎng)微分單元受力簡(jiǎn)圖Fig.1 Stress diagram of cable-net differential element

考慮x、y方向的平衡條件，可得Hx=Hx(y)、Hy=Hy(x)，即Hx在x方向不變，Hy在y方向不變。再考慮z方向平衡條件并將以上結(jié)論代入，可得：

式(1)即為荷載態(tài)時(shí)索網(wǎng)的平衡微分方程。同理可得初始態(tài)時(shí)索網(wǎng)的平衡微分方程：

若將q=q0+Δq、z=z0+w、Hx=Hx0+ΔHx、Hy=Hy0+ΔHy代入式(1)，并減去式(2)，可得索網(wǎng)平衡方程的增量形式：

1.4 索網(wǎng)變形協(xié)調(diào)方程

以x方向任意位置的承重索MN為例，假設(shè)MN從初始態(tài)轉(zhuǎn)換為荷載態(tài)時(shí)，兩端產(chǎn)生的位移為(uM、vM、wM)、(uN、vN、wN)，索溫度變化為Δtx。

1) 由幾何關(guān)系推導(dǎo)索長(zhǎng)變化

考察在初始態(tài)長(zhǎng)度為dsx0的微元AB，在荷載態(tài)移動(dòng)到A′B′，其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)至dsx，如圖2 所示。

圖2 由幾何關(guān)系計(jì)算索長(zhǎng)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematics of calculating cable length from geometric relations

由幾何關(guān)系可知，微元AB的伸長(zhǎng)量為：

在小垂度問(wèn)題中，略去水平位移u、v的高階微量，將根號(hào)利用級(jí)數(shù)展開(kāi)并保留級(jí)數(shù)前兩項(xiàng)，并將z=z0+w代入，可得：

承重索MN的總伸長(zhǎng)量為：

式中：M、N為承重索的兩個(gè)邊界點(diǎn)；uN、uM表示這兩點(diǎn)在x方向的位移。

2) 由物理關(guān)系推導(dǎo)索長(zhǎng)變化

由物理關(guān)系可知，索的伸長(zhǎng)由拉伸變形和溫度變化引起，即：

式中：lx為索MN的水平投影長(zhǎng)度；ΔHx為索MN索力增量的水平分量；α 為材料線(xiàn)膨脹系數(shù)；Δtx為索MN溫度變化。在小垂度問(wèn)題中，認(rèn)為(dz0/dx)2與1 相比是微量。則式(7)可簡(jiǎn)化為：

文獻(xiàn)[6]表明：當(dāng)f/l≤0.1 時(shí)，這種近似引起的索力誤差在5%左右。令式(6)與式(8)相等，可得x方向承重索MN的變形協(xié)調(diào)方程，即：

同理，y方向穩(wěn)定索PQ的變形協(xié)調(diào)方程為：

1.5 索網(wǎng)近似解

從理論上講，當(dāng)給定索網(wǎng)初始狀態(tài)、邊界條件、荷載增量時(shí)，即已知z0、Hx0、Hy0、q0、Δq，由變形協(xié)調(diào)方程和平衡方程，可解出ΔHx、ΔHy和w三個(gè)未知量。但由于三個(gè)未知量是函數(shù)式，三個(gè)方程是積分或微分方程，直接求解并不容易。

實(shí)際應(yīng)用中可求助于基于變分原理的各種近似解法，建立簡(jiǎn)便的實(shí)用計(jì)算公式。常用的近似解法有配點(diǎn)法、力矩法、最小二乘法和伽遼金法等，因伽遼金法求解精度相對(duì)較高，采用伽遼金法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行近似求解。具體步驟如下：

1) 根據(jù)索網(wǎng)的邊界條件和荷載分布情況，假設(shè)一個(gè)位移試函數(shù)w(x,y)，其中包含有限個(gè)待定常數(shù)，一般形式如下：

式中：fi(x,y) (i=0, 1, …,n)為選定的已知函數(shù)，f0在邊界處滿(mǎn)足給定的邊界條件；ci(i=1, 2, …,n)為n個(gè)待定參數(shù)。

2) 將假定的位移函數(shù)w代入變形協(xié)調(diào)方程，可得索水平張力增量ΔHx、ΔHy的函數(shù)，可寫(xiě)為：

3) 將w、z0、ΔHx和ΔHy代入式(3)，得包含各待定參數(shù)ci的函數(shù)S。

4) 按平衡條件要求，函數(shù)S應(yīng)恒等于0，但由于位移函數(shù)是事先假定的，不可能精確。此方法要求函數(shù)S與所選位移函數(shù)中的各已知函數(shù)fi正交，即：

可得n個(gè)方程，近似求解出n個(gè)待定參數(shù)ci。

2 橢圓鞍形正交索網(wǎng)解析解

平面投影為橢圓的鞍形索網(wǎng)由馬鞍面和橢圓柱面相切而成。馬鞍面與橢圓柱面相交而成的空間曲線(xiàn)即為結(jié)構(gòu)的外環(huán)，其在xoy面上的投影即橢圓柱面在xoy面上的投影。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的平面及側(cè)面投影、幾何參數(shù)、坐標(biāo)體系如圖3 所示，側(cè)視圖中實(shí)線(xiàn)代表索初始態(tài)位置，虛線(xiàn)代表索荷載態(tài)位置。初始態(tài)下馬鞍面、橢圓柱面方程如下：

圖3 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)平面及側(cè)視圖Fig.3 Plan and side view of cable-net structure

式中：f1為中央承重索的跨中垂度；f2為中央穩(wěn)定索的跨中拱度，設(shè)H為結(jié)構(gòu)最高點(diǎn)、最低點(diǎn)之間的高差，則H=f1+f2；a、b分別為橢圓的兩個(gè)半軸長(zhǎng)度?？梢?jiàn)，f1、f2、a、b這4 個(gè)參數(shù)將決定索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的形態(tài)。

由于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)跨度大、自重輕，在初始態(tài)忽略索網(wǎng)自重，令q0=0，根據(jù)初始態(tài)平衡方程，可得：

即兩個(gè)方向索的初始預(yù)張力與曲面在相應(yīng)方向的曲率成反比。若已知一個(gè)方向的預(yù)張力，則可確定滿(mǎn)足平衡方程的另一方向的預(yù)張力。

2.1 位移函數(shù)的選取

位移函數(shù)w需滿(mǎn)足以下條件：① 索網(wǎng)承受對(duì)稱(chēng)荷載時(shí)，位移函數(shù)應(yīng)同樣具有對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；② 索網(wǎng)的邊緣構(gòu)件支承于下部結(jié)構(gòu)之上，本身剛度很大，可認(rèn)為索網(wǎng)邊界上的豎向位移為0。位移函數(shù)的選取將極大地影響位移解的精度，此前文獻(xiàn)均采用如下形式的位移函數(shù)，區(qū)別在于所選取的待定參數(shù)和已知函數(shù)的個(gè)數(shù)不同。

式中：wmn為需求解的待定參數(shù)。對(duì)于承受豎向均布荷載的情況，沈世釗等[6]取1 個(gè)待定參數(shù)w00，其位移函數(shù)精度差，不能準(zhǔn)確描述索網(wǎng)的變形，但僅需求解一元方程。金問(wèn)魯[7]取3 個(gè)待定參數(shù)w00、w20、w02，其位移函數(shù)可準(zhǔn)確地描述索網(wǎng)變形，與有限元解十分接近；但需聯(lián)立求解方程組，很難寫(xiě)出各待定參數(shù)的表達(dá)式。

因此，本文提出一個(gè)新的位移函數(shù)，該函數(shù)既滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性和邊界條件，又在僅取一個(gè)待定參數(shù)的條件下，有較高的精度，以求解索網(wǎng)豎向位移及內(nèi)力 。位移函數(shù)形式如下：

式中：w0為待定參數(shù)，表示索網(wǎng)中點(diǎn)的豎向位移。

2.2 單參數(shù)三次方程解

采用伽遼金法求解位移函數(shù)中的待定參數(shù)，對(duì)馬鞍面方程式(15)、位移函數(shù)式(19)代入變形協(xié)調(diào)方程式(9)與式(10)，沿x、y方向積分，可得索力增量：

將馬鞍面方程式(15)、豎向位移函數(shù)式(19)及式(20)、式(21)代入平衡方程式(3)，經(jīng)整理后得：

式中：A0、A1、A2、均為x、y的函數(shù)。

由式(13)，伽遼金變分方程為：

將函數(shù)S代入伽遼金變分方程，利用橢圓積分運(yùn)算并整理后，可得用于確定待定參數(shù)w0的一元三次方程，即：

一元三次方程可用卡丹求根公式求解，但表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，實(shí)際中采用迭代法求解。

2.3 單參數(shù)一次方程解

索網(wǎng)在外荷載作用下的中點(diǎn)豎向位移與跨度的比值w0/a、w0/b通常是微量。在不考慮支座位移和溫度變化的條件下，為使一元三次方程便于求解與表達(dá)，忽略式(24)中w0/a及w0/b的二次項(xiàng)、三次項(xiàng)，將其簡(jiǎn)化為一次方程：

得待定參數(shù)w0的線(xiàn)性表達(dá)式：

與三次方程相比，此表達(dá)式大大簡(jiǎn)化，可快速計(jì)算出索網(wǎng)中點(diǎn)在荷載態(tài)下的豎向位移，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算各節(jié)點(diǎn)豎向位移及各索索力增量。索網(wǎng)中任一節(jié)點(diǎn)的位移可由式(19)計(jì)算，任一根索的索力增量計(jì)算公式便簡(jiǎn)化為：

3 索網(wǎng)形態(tài)優(yōu)化

外環(huán)梁大多處壓彎狀態(tài)，重力荷載方向的彎矩由支承條件決定，而鞍面的形態(tài)對(duì)外環(huán)梁的面內(nèi)彎矩有極大影響，外環(huán)梁越接近軸壓構(gòu)件，其材料利用越充分，可相應(yīng)地減小外環(huán)截面尺寸和變形。因此在結(jié)構(gòu)平面投影尺寸a和b、高差H、承重索預(yù)拉力Hx0不變的條件下，以外環(huán)梁平面內(nèi)彎矩最小為優(yōu)化目標(biāo)，以跨中承重索垂度f(wàn)1為優(yōu)化變量，以索力、位移及矢跨比為約束條件，采用解析方法求解結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)。

3.1 外環(huán)荷載

為簡(jiǎn)化計(jì)算做出以下假定：① 實(shí)際工程中馬鞍面高差與跨度相比較小，將空間曲梁簡(jiǎn)化為平面構(gòu)件；② 只考慮外環(huán)所受平面內(nèi)彎矩；③ 外環(huán)橫截面處處相等；④ 由于外環(huán)剛度較大，計(jì)算時(shí)不考慮幾何非線(xiàn)性的影響；⑤ 將索對(duì)外環(huán)的集中力作用轉(zhuǎn)換為分布荷載。

馬少華[19]將索對(duì)外環(huán)的作用轉(zhuǎn)換為雙向均布荷載，根據(jù)平衡條件推導(dǎo)出外環(huán)任一點(diǎn)軸力、彎矩的表達(dá)式。但其未考慮索力的真實(shí)分布情況，所得彎矩表達(dá)式精度較差。以外側(cè)受拉為正，其外環(huán)上任一點(diǎn)彎矩M表達(dá)式為：

本文考慮索力的真實(shí)分布情況，由于對(duì)稱(chēng)性，僅取1/4 外環(huán)進(jìn)行分析，外環(huán)受力如圖4 所示。

圖4 1/4 外環(huán)受力簡(jiǎn)圖Fig.4 Load condition of 1/4 outer-ring

承重索、穩(wěn)定索初始索力Hx0、Hy0呈均勻分布，索力增量ΔHx、ΔHy呈曲線(xiàn)分布，索力增量按式(27)、式(28)計(jì)算。如何選取形態(tài)優(yōu)化時(shí)采用的外荷載Δq，關(guān)系到形態(tài)優(yōu)化的優(yōu)劣，目前主要有兩種思路：① 取結(jié)構(gòu)全壽命周期內(nèi)發(fā)生概率最大的荷載組合作為外荷載；② 取各組合中最大、最小荷載增量的平均值作為外荷載[20]。

3.2 外環(huán)彎矩及其分布

考慮y方向平衡條件，可得：

式中：NA表示A點(diǎn)軸力。再對(duì)B點(diǎn)取距并將NA代入，可得B點(diǎn)彎矩值：

以外側(cè)受拉為正，結(jié)合式(29)和式(31)，假設(shè)外環(huán)上任一點(diǎn)彎矩M表達(dá)式為：

式(32)中的彎矩分布符合邊界條件，即θ=0°時(shí)，M=MA；θ=90°時(shí)，M=MB。MA為A點(diǎn)彎矩，可由等截面閉合環(huán)的彎矩沿周長(zhǎng)積分為零的條件確定，即解得：

將MA代回式(32)，便得到外環(huán)上任一點(diǎn)的彎矩M表達(dá)式，式中 γ 的含義同式(29)。

1/4 外環(huán)彎矩分布曲線(xiàn)如圖5 所示，彎矩在A、B兩點(diǎn)達(dá)到最大，即結(jié)構(gòu)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)。

圖5 1/4 外環(huán)彎矩圖Fig.5 Bending moment of 1/4 outer-ring

3.3 索網(wǎng)最優(yōu)形態(tài)求解

若式(34)中括號(hào)內(nèi)結(jié)果等于0，外環(huán)上任一點(diǎn)彎矩便為0。以f1為變量，固定a、b、H、Hx0保持不變，改變索網(wǎng)空間形態(tài)。將式(17)、式(26)代入，可得關(guān)于f1的一元四次方程式(35)。求解得到f1后，便得到外環(huán)平面內(nèi)彎矩處處為0 時(shí)的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形態(tài)。

3.4 約束條件

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)還需遵循一定的約束條件，也就是根據(jù)安全和設(shè)計(jì)要求對(duì)變量的限制，主要以索力、豎向位移、矢跨比為約束條件。

1) 索力。在任意荷載組合下，拉索不能松弛，索力應(yīng)始終為正，且最大索力應(yīng)滿(mǎn)足材料強(qiáng)度限值，以索水平力近似代替索力。索力約束條件為：

式中：αc為考慮材料安全儲(chǔ)備的安全系數(shù)；[σ]為材料容許應(yīng)力。

2) 豎向位移。結(jié)構(gòu)的豎向位移應(yīng)滿(mǎn)足《索結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[21]的要求，即最大撓度不宜大于跨度的1/250。位移約束條件為：

式中，[uz]為節(jié)點(diǎn)豎向位移限值。

3) 矢跨比。文獻(xiàn)[21]給出了承重索垂度、穩(wěn)定索拱度與其跨度比值的適宜取值區(qū)間，還應(yīng)根據(jù)建筑功能、造型具體考慮其限值。矢跨比約束條件為：

式中，[f/l]max、[f/l]min分別為矢跨比上限、下限值，應(yīng)分別考慮承重索與穩(wěn)定索。

綜上，用解析法對(duì)橢圓單層正交索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的完整步驟為：① 給定初始參數(shù)，包含橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度a、短半軸長(zhǎng)度b、高差H、承重索初始索力Hx0，確定索力、位移和矢跨比的限值；② 求解式(35)，計(jì)算使外環(huán)上任一點(diǎn)彎矩為0 時(shí)的承重索垂度f(wàn)1，得到結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)；③ 驗(yàn)算所得形態(tài)在各種荷載組合下是否滿(mǎn)足約束條件；④ 若滿(mǎn)足，則該形態(tài)為結(jié)構(gòu)的最優(yōu)形態(tài)；若不滿(mǎn)足，可調(diào)整初始索力Hx0或索截面面積Ax、Ay，返回步驟② 再次求解。

4 有限元驗(yàn)證

本節(jié)將前文所推導(dǎo)的索網(wǎng)位移和索力計(jì)算公式、外環(huán)彎矩計(jì)算公式、形態(tài)優(yōu)化結(jié)果，與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證解析計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。為便于比較，取與文獻(xiàn)[7]P212 算例相同的幾何參數(shù)、荷載條件，具體參數(shù)如表1 所示。

表1 橢圓單層正交鞍形索平網(wǎng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Parameters of elliptic saddle single-layer orthogonal cable-net structure

4.1 有限元找形、荷載分析方法

采用ANSYS APDL 參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言編寫(xiě)找形及荷載分析程序。由于索中預(yù)拉力遠(yuǎn)大于自重引起的張力，索可用只受拉的桿單元模擬，采用Link10 單元模擬懸索，初始預(yù)拉力通過(guò)初應(yīng)變施加；采用Surf154 單元模擬膜面施加均布荷載；采用Beam189 單元模擬外環(huán)梁。程序分為以下3 部分：

1) 找形分析

對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行荷載分析之前，首先應(yīng)通過(guò)找形分析，建立初始態(tài)時(shí)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型。找形分析將初始預(yù)張力分布、邊界條件作為已知，尋求對(duì)應(yīng)的平衡形態(tài)。本文采用一種改進(jìn)的綜合找形法[22]進(jìn)行初始形態(tài)分析。該方法在支座位移法找形后，約束邊界點(diǎn)，采用節(jié)點(diǎn)平衡法迭代求解，此時(shí)形態(tài)變化較大，控制位移達(dá)到要求精度；再恢復(fù)真實(shí)彈模、初應(yīng)變，再度采用節(jié)點(diǎn)平衡法迭代求解，此時(shí)索力變化較大，控制索力達(dá)到要求精度。共3 次找形過(guò)程，具體分析流程見(jiàn)圖6(a)。

圖6 有限元分析流程圖Fig.6 Finite element analysis process

對(duì)案例進(jìn)行分析，找形后各節(jié)點(diǎn)z坐標(biāo)值與理論雙曲拋物面最大相差3.5 mm，索力值與預(yù)設(shè)初始預(yù)拉力最大相差0.47 kN。該方法找形結(jié)果準(zhǔn)確，且找形過(guò)程共經(jīng)歷7 次計(jì)算，收斂快、計(jì)算效率高。

2) 索網(wǎng)荷載分析

在找形后的模型上，借助表面效應(yīng)單元施加豎向均布荷載，并將其轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)荷載施加于索網(wǎng)自由節(jié)點(diǎn)上，具體分析流程見(jiàn)圖6(b)。

3) 外環(huán)荷載分析

在荷載態(tài)模型基礎(chǔ)上，記錄邊界節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力，刪除索網(wǎng)并建立外環(huán)，將所記錄的節(jié)點(diǎn)力施加給外環(huán)梁，具體流程見(jiàn)圖6(c)。

4.2 索網(wǎng)位移、索力對(duì)比

將有限元所得位移、索力結(jié)果與上文及文獻(xiàn)[6 - 7]的解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，近似求解方法均采用伽遼金法。在所有節(jié)點(diǎn)中，中點(diǎn)附近位移最大，其值決定了結(jié)構(gòu)是否能滿(mǎn)足撓度限值，因此僅對(duì)比中點(diǎn)豎向位移結(jié)果，如表2 所示。在所有拉索中，中央承重索、穩(wěn)定索的索力變化量最大，其索力值決定了所有索是否松弛與是否滿(mǎn)足強(qiáng)度要求，因此僅對(duì)比中央承重索、穩(wěn)定索索力增量，如表3 所示。

表2 不同求解方式中點(diǎn)豎向位移解對(duì)比Table 2 Comparison of vertical displacement of midpoints in different solutions

表3 不同求解方式中央索索力增量對(duì)比Table 3 Comparison of central cable force increment in different solutions

應(yīng)用本文位移函數(shù)的單參數(shù)一次方程解所得位移、索力結(jié)果，與本文單參數(shù)三次解相比，結(jié)果相差很小，說(shuō)明將三次方程簡(jiǎn)化為一次方程是可行的。與有限元相比，其誤差在可接受范圍內(nèi)；與文獻(xiàn)[6]單參數(shù)解相比，位移解結(jié)果精度大大提高；與文獻(xiàn)[7]三參數(shù)解相比，雖然精度稍有差距，但所需運(yùn)算量大大減小且表達(dá)式簡(jiǎn)便，便于后續(xù)求解結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)。因此可使用本文所提出的計(jì)算方法快速估算索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在各種荷載作用下的位移、內(nèi)力。

4.3 外環(huán)彎矩對(duì)比

1) 不同位置彎矩值對(duì)比

取表1 算例，對(duì)1/4 外環(huán)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，每15°取一測(cè)點(diǎn)，分別采用有限元法、式(29)和式(34)計(jì)算，外環(huán)彎矩值隨角度θ 的變化如圖7所示。相比于式(29)的計(jì)算方法，本文的彎矩計(jì)算公式所得結(jié)果與有限元解更接近，在結(jié)構(gòu)最高點(diǎn)(θ=0°)、最低點(diǎn)(θ=90°)誤差分別為1.1%、3.4%。

圖7 不同角度θ 時(shí)外環(huán)彎矩值對(duì)比Fig.7 Comparison of outer-ring moment at different angles θ

2) 不同形態(tài)彎矩值對(duì)比

固定H=5 m，使f1在2.8 m～4.0 m 區(qū)間內(nèi)變化，f2、Hy0隨之改變，其余參數(shù)保持不變，分別采用有限元法、式(34)計(jì)算外環(huán)A、B點(diǎn)彎矩值。彎矩值隨f1的變化如圖8 所示，解析解與有限元結(jié)果基本吻合。A點(diǎn)彎矩隨著f1的增加，從內(nèi)側(cè)受拉轉(zhuǎn)變?yōu)橥鈧?cè)受拉，B點(diǎn)則相反；A、B點(diǎn)彎矩均接近0 時(shí)，外環(huán)越接近軸壓狀態(tài)。

圖8 不同垂度f(wàn)1 時(shí)外環(huán)彎矩值對(duì)比Fig.8 Comparison of outer-ring moment at different sags f1

綜上，通過(guò)與有限元結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提出的外環(huán)彎矩計(jì)算公式的準(zhǔn)確性。

4.4 最優(yōu)形態(tài)對(duì)比

采用表1 案例，固定H=5 m，改變f1、f2以求解結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)。通過(guò)式(35)解得f1=3.52 m，則f2=1.48 m，即為解析方法求得的索網(wǎng)最優(yōu)形態(tài)。

實(shí)際情況中并不存在一個(gè)使外環(huán)梁彎矩處處為0 的形態(tài)，在有限元模型中以外環(huán)彎矩絕對(duì)值的最大值最小為目標(biāo)，以f1為變量，尋求最優(yōu)形態(tài)。求得f1=3.53 m 時(shí)，為有限元法得到的結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)。

分別取表1 案例、解析法與有限元法所得最優(yōu)形態(tài)的幾何參數(shù)，采用有限元法進(jìn)行荷載分析，外環(huán)梁上最大彎矩、軸力值對(duì)比如表4 所示。

表4 不同形態(tài)下最大彎矩、軸力值對(duì)比Table 4 Comparison of maximum bending moment and axial force under different shapes

與表1 案例相比，解析法與有限元法所得最優(yōu)形態(tài)下，外環(huán)梁上最大彎矩均大幅度減小并接近于0，最大軸力小幅度增加。外環(huán)中應(yīng)力大大減小，可減小外環(huán)截面面積，使得材料強(qiáng)度充分利用。解析法與有限元法形態(tài)優(yōu)化結(jié)果僅相差0.01 m，且外環(huán)上彎矩、軸力最大值相差很小，解析法所得形態(tài)優(yōu)化結(jié)果具有相當(dāng)高的精度。

5 結(jié)論

本文推導(dǎo)了橢圓鞍形正交單層索網(wǎng)連續(xù)化計(jì)算方法和外環(huán)梁上任一點(diǎn)彎矩計(jì)算公式。隨后，提出一種快速求解此類(lèi)結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)的方法，該方法以外環(huán)面內(nèi)彎矩最小為優(yōu)化目標(biāo)，以中央承重索垂度為優(yōu)化變量，以索力、豎向位移和矢跨比為約束條件，利用外環(huán)彎矩計(jì)算公式，得到外環(huán)彎矩最小時(shí)的結(jié)構(gòu)形態(tài)。本文得到的主要結(jié)論如下：

(1) 對(duì)橢圓鞍形單層正交索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的連續(xù)化計(jì)算方法中所假設(shè)的位移函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，利用變形協(xié)調(diào)方程、平衡微分方程結(jié)合伽遼金法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)荷載態(tài)時(shí)的位移、內(nèi)力。改進(jìn)后的位移函數(shù)既具有較高的精度又使得表達(dá)式簡(jiǎn)便，并采用有限元驗(yàn)證了計(jì)算公式的準(zhǔn)確性，可利用本文公式快速計(jì)算出給定結(jié)構(gòu)的位移、內(nèi)力。

(2) 利用所得索力，對(duì)外環(huán)施加更符合真實(shí)情況的荷載作用，改進(jìn)了外環(huán)上任一點(diǎn)彎矩的計(jì)算公式。通過(guò)與有限元對(duì)比分析，本文外環(huán)彎矩計(jì)算公式具有較高的精度。

(3) 提出一種快速求解索網(wǎng)結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)的方法，該方法以外環(huán)梁面內(nèi)彎矩最小為優(yōu)化目標(biāo)，以中央承重索垂度為優(yōu)化變量，以索力、豎向位移和矢跨比為約束條件。利用外環(huán)彎矩計(jì)算公式，得到以?xún)?yōu)化變量為未知數(shù)的一元方程，求解方程便快速得到結(jié)構(gòu)的最優(yōu)形態(tài)。解析方法所得結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)與有限元結(jié)果基本一致，優(yōu)化結(jié)果具有相當(dāng)高的精度。在結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)階段，利用本文解析計(jì)算方法，可快速、準(zhǔn)確的獲得結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)，避免了有限元法編程、反復(fù)試算的繁雜過(guò)程。