陳維義，何 凡，劉國(guó)強(qiáng)，毛偉偉

（1.海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院，武漢 430030；2.海軍士官學(xué)校兵器系，安徽 蚌埠 230000）

0 引言

目前，卡爾曼濾波及其改進(jìn)形式已經(jīng)廣泛應(yīng)用在目標(biāo)跟蹤問題中。但是當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)十分復(fù)雜時(shí)，會(huì)出現(xiàn)濾波模型與目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型不匹配的情況，影響目標(biāo)跟蹤精度［1-4］。針對(duì)這一問題，交互式多模型（interacting multiple model，IMM）展現(xiàn)出更加優(yōu)越的性能［5-7］。正因?yàn)槿绱耍琁MM 算法受到了很多學(xué)者的關(guān)注，并在結(jié)構(gòu)和參數(shù)等層面對(duì)IMM 算法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)［4］基于恒速和當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型設(shè)計(jì)了IMM算法，該算法中，當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型的平均速度通過(guò)最小二乘法估計(jì)得到，然后將當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型應(yīng)用于IMM 算法。該方法通過(guò)提高模型精度來(lái)提高濾波精度。文獻(xiàn)［5］在多個(gè)層面對(duì)IMM 算法進(jìn)行了改進(jìn)，包括采用改進(jìn)的卡爾曼濾波器作為子濾波器、不同模型之間的非對(duì)稱狀態(tài)估計(jì)和基于熵的模型概率更新公式。文獻(xiàn)［3，6］提出了IMM 的一種替代方法，模型集中的模型都由勻加速模型構(gòu)成，降低了模型集的復(fù)雜程度。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［7］提出了一種自適應(yīng)IMM 算法，首先利用濾波器對(duì)目標(biāo)的加速度進(jìn)估計(jì)，然后選取估計(jì)加速度附近的值構(gòu)建模型，該方法可以減少模型集中模型的數(shù)量，在降低計(jì)算量的同時(shí)提高了模型精度。文獻(xiàn)［8］基于二階馬爾科夫鏈提出了一種二階IMM 算法，由于利用了更多的先驗(yàn)信息，進(jìn)一步提高了濾波精度。由于上述IMM 的模型集中的模型種類和數(shù)量不變，所以又稱為固定結(jié)構(gòu)IMM（fixed structure IMM，F(xiàn)SIMM）。

為了避免因模型不匹配而造成的精度誤差，在使用IMM 算法時(shí)，應(yīng)使用盡可能多的模型覆蓋目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型。但值得注意的是，單個(gè)模型集中模型過(guò)多，同樣會(huì)降低濾波精度［9］。在此背景下，變結(jié)構(gòu)IMM（variable structure IMM，VSIMM）應(yīng)運(yùn)而生［14］。VSIMM 經(jīng)過(guò)不斷的發(fā)展和改進(jìn)，大致可以分為4種：模型組切換（model group switching，MGS）、可能模型集（likely mode set，LMS）、期望模型增強(qiáng)（expected mode augmentation，EMA） 和自適應(yīng)網(wǎng)格（adaptive grid，AG）［10-11］。其中，MGS 將模型集分成模型子集，一個(gè)時(shí)刻只會(huì)選中一個(gè)模型子集進(jìn)行估計(jì)，模型子集之間根據(jù)模型子集轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行切換［12］。LMS 在每個(gè)時(shí)刻模型都分為3 種類型：不可能的、重要的和主要的模型，每個(gè)時(shí)刻用于估計(jì)的模型子集由主要的模型和接近主要的模型構(gòu)成［13］。與MGS 類似，EMA 將一個(gè)大的模型集分成小的模型子集，然后計(jì)算下一時(shí)刻所有模型子集的概率，選擇概率最大的模型子集用于估計(jì)［9，14-15］。AG 算法結(jié)合圖理論，將所有的模型構(gòu)成一個(gè)網(wǎng)格，利用先驗(yàn)信息和當(dāng)前數(shù)據(jù)得到一個(gè)局部細(xì)化網(wǎng)格，細(xì)化網(wǎng)格中的模型構(gòu)成候選模型子集，然后根據(jù)規(guī)則選擇模型構(gòu)成下一時(shí)刻用于估計(jì)的模型子集。

值得注意的是，上述EMA 方法在計(jì)算似然函數(shù)和模型子集概率時(shí)，對(duì)公式進(jìn)行了近似。針對(duì)這一問題，本文設(shè)計(jì)了一種新的VSIMM 濾波算法（novel VSIMM，NVSIMM），給出精確的數(shù)學(xué)模型。另外，EMA 將大的模型集分成小的模型子集時(shí)，為了降低計(jì)算成本，構(gòu)建的模型子集并非所有模型的全排列組合。為了保證所有模型子集中存在與目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式最匹配的模型子集，在已有模型子集的基礎(chǔ)上，根據(jù)規(guī)則構(gòu)建一個(gè)新的模型子集，從而得到了自適應(yīng)VSIMM 算法（adaptive VSIMM，AVSIMM）。由于新的模型子集中的模型與目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型最為匹配，可進(jìn)一步提高目標(biāo)跟蹤精度。

1 交互式多模型算法

1.1 問題描述

系統(tǒng)離散化的狀態(tài)方程如下：

其中，zk為量測(cè)向量，Hj為模型j 的測(cè)量矩陣，是均值為0 的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Rj。

基于上述狀態(tài)方程、量測(cè)方程和貝葉斯理論，IMM 濾波算法根據(jù)量測(cè)集合和模型集Ω 估計(jì)系統(tǒng)k 時(shí)刻的狀態(tài)xk。

1.2 IMM 算法

IMM 算法框圖如下頁(yè)圖1 所示，一般可以分為以下4 個(gè)步驟［2-3］：

圖1 IMM 算法框圖Fig.1 Block diagram of IMM algorithm

Step 1 輸入交互

Step 2 濾波

分別基于每一個(gè)模型進(jìn)行卡爾曼濾波：

1）預(yù)測(cè)狀態(tài)

2）預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣

3）卡爾曼增益

4）濾波

5）濾波值的協(xié)方差

Step 3 模型概率更新

模型概率更新公式為：

Step 4 輸出交互

最終的狀態(tài)估計(jì)和協(xié)方差估計(jì)：

2 自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)交互式多模型算法

2.1 NVSIMM 算法

為了避免模型集中模型數(shù)量過(guò)多，提高模型精度，本節(jié)設(shè)計(jì)了NVSIMM 算法。NVSIMM 濾波算法包括多個(gè)模型子集，每個(gè)模型子集獨(dú)立運(yùn)行IMM，通過(guò)選取概率最高的模型子集的估計(jì)結(jié)果作為最終的估計(jì)狀態(tài)輸出［16-18］。NVSIMM 算法框圖如圖2所示，包括以下幾個(gè)步驟：

圖2 NVSIMM 算法框圖Fig.2 Block diagram of NVSIMM algorithm

Step 1 并行獨(dú)立IMM 狀態(tài)估計(jì)

Step 2 計(jì)算每個(gè)模型子集的似然函數(shù)

模型子集的似然函數(shù)為：

Step 3 計(jì)算模型子集概率

Step 4 NVSIMM 濾波狀態(tài)估計(jì)

選擇概率最大的模型子集的IMM 估計(jì)結(jié)果作為最終的狀態(tài)估計(jì)輸出，首先求出概率最高的模型子集編號(hào)：

從而可以得到最終的狀態(tài)估計(jì)和對(duì)應(yīng)的協(xié)方差為：

2.2 AVSIMM 算法

假設(shè)NVSIMM 算法中模型子集中模型數(shù)量為L(zhǎng)，若全排列組合可以得到CrL個(gè)模型子集，但為了降低計(jì)算成本，往往只需構(gòu)造r-1 個(gè)模型子集即可覆蓋所有的模型（記為原始模型子集）。但是這r-1個(gè)模型子集可能并非是與目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式最為匹配的模型子集，為了在不過(guò)度增大計(jì)算量的情況下，提高模型子集的匹配性，下文在NVSIMM 的基礎(chǔ)上，基于所有原始模型子集構(gòu)建一個(gè)新的模型子集?；谛碌哪Ｐ妥蛹驮寄Ｐ妥蛹瘜?duì)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，為AVSIMM 算法的主要思想［19-20］。AVSIMM算法包括以下幾個(gè)步驟：

Step 1 并行獨(dú)立IMM 狀態(tài)估計(jì)

對(duì)所有的原始模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 1 相同。

Step 2 計(jì)算每個(gè)模型子集的似然函數(shù)

對(duì)所有的原始模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 2 相同。

Step 3 計(jì)算模型子集概率

對(duì)所有的原始模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 3 相同。

Step 4 構(gòu)建新的模型子集

根據(jù)下式尋找概率前L 大的模型子集：

Step5 并行獨(dú)立IMM 狀態(tài)估計(jì)

對(duì)所有的原始模型子集和新模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 1 相同。

Step 6 計(jì)算每個(gè)模型子集的似然函數(shù)

對(duì)所有的原始模型子集和新模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 2 相同。

Step 7 計(jì)算模型子集概率

對(duì)所有的原始模型子集和新模型子集進(jìn)行操作，具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 3 相同。

Step 8：AVSIMM 狀態(tài)估計(jì)

具體內(nèi)容與2.1 節(jié)Step 4 相同。

3 仿真與討論

為了驗(yàn)證AVSIMM 的有效性，針對(duì)兩種目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況展開分析討論，這兩種情況下，均假設(shè)目標(biāo)在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（比如地面目標(biāo)、海面目標(biāo)或機(jī)動(dòng)過(guò)程中高度變化較小的空中目標(biāo)）。在第1 種情況下，目標(biāo)為某空中飛行器，飛行高度變化較小，近似為平面運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)的初始位置、速度和加速度分別為（10 km，40 km）、（300 m/s，0）和（0，0）。該空中目標(biāo)航跡規(guī)劃后設(shè)置的機(jī)動(dòng)參數(shù)如下：

1）30 s 的勻速直線運(yùn)動(dòng)；

2）30 s 的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為（-10 m/s2，10 m/s2）；

3）30 s 的勻速直線運(yùn)動(dòng)；

4）30 s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)彎角速率為0.2 rad/s；

5）30 s 的勻速直線運(yùn)動(dòng)。

第2 種情況下，目標(biāo)為某地面車輛，目標(biāo)的初始位置、速度和加速度分別為（300 m，100 m）、（5 m/s，0）和（0，0），該目標(biāo)的機(jī)動(dòng)參數(shù)如下：

1）20 s 的勻速直線運(yùn)動(dòng)；

2）20 s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)彎角速率為0.157 rad/s；

3）10 s 的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為（-2 m/s2，0 m/s2）；

4）10 s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)彎角速率為0.157 rad/s；

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3 所示。利用蒙特卡洛法分析對(duì)比IMM、NVSIMM 和AVSIMM 的性能。其中，IMM 算法包括3 個(gè)模型：勻速直線運(yùn)動(dòng)模型（constant velocity，CV）、勻加速運(yùn)動(dòng)模型（constant acceleration，CA）和勻速轉(zhuǎn)彎模型（constant turn，CT）［21-23］。AVSIMM 算法包括兩個(gè)模型子集，第1 個(gè)模型子集包括CV、CA，第2 個(gè)模型子集包括CV、CT；NVSIMM濾波算法包括的模型子集和AVSIMM 相同?？梢宰⒁獾剑珹VSIMM 和NVSIMM 僅需兩個(gè)原始模型子集即可包括所有的模型，但這兩種算法的原始模型子集并不包括模型子集CA、CT。設(shè)模型轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

圖3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 Target trajectory

假設(shè)過(guò)程噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為1 m/s2，測(cè)量值通過(guò)雷達(dá)或GPS 等傳感器得到，第1 種情況下轉(zhuǎn)換成橫縱坐標(biāo)后的噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為50 m，第2 種情況下的標(biāo)準(zhǔn)差為5 m，仿真結(jié)果如圖4 ～圖10 所示。

圖4 IMM 中模型概率Fig.4 Model probability in IMM

圖4 給出了IMM 中模型概率變化曲線，可以觀察到最大概率所對(duì)應(yīng)的模型與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動(dòng)模型相同。圖5 給出了NVSIMM 中模型子集概率的變化曲線，其中，概率最大的模型子集總是包括與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動(dòng)模式相符的模型。從圖6 中可以看出，AVSIMM 模型子集概率曲線與圖5 大致相同。但是，對(duì)于第1 種情況而言，在區(qū)間（90 s，120 s），模型子集CACT 的概率最大，說(shuō)明新的模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動(dòng)方式最為匹配；對(duì)于第2 種情況而言，大約在區(qū)間（50 s，60 s），模型子集CACT 的概率最大，說(shuō)明在此時(shí)間段新的模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動(dòng)方式最為匹配。圖7 描述了構(gòu)建新模型子集的時(shí)刻，分析該圖可以得到與圖6 相同的結(jié)論。

圖5 NVSIMM 中模型子集概率Fig.5 Model subset probability in NVSIMM

圖6 AVSIMM 中模型子集概率Fig.6 Model subset probability in AVSIMM

圖7 AVSIMM 中是否構(gòu)建了新的模型子集CAVTFig.7 Whether a new model subset CAVT is constructed in AVSIMM

圖8 給出了IMM、NVSIMM 和AVSIMM 對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤效果，這3 種方法都能夠?qū)δ繕?biāo)軌跡進(jìn)行較好的估計(jì)，三者之間的差異具體體現(xiàn)在圖9 中。圖9 描述了IMM、NVSIMM 和AVSIMM 對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)的均方根誤差曲線，從圖中可以看出，在絕大多數(shù)時(shí)間里，NVSIMM 和AVSIMM 的均方根誤差小于IMM，只有在目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型改變的短暫時(shí)間里，NVSIMM 和AVSIMM 性能會(huì)降低，但是會(huì)立刻恢復(fù)。值得注意的是，NVSIMM 和AVSIMM 的性能非常接近，二者主要的區(qū)別體現(xiàn)在構(gòu)建新的模型子集的時(shí)間段，第1 種情況下體現(xiàn)在區(qū)間段（90 s，120 s），第2 種情況下體現(xiàn)在區(qū)間段（50 s，60 s）。圖10 單獨(dú)對(duì)比了這兩種情況下相應(yīng)區(qū)間段AVSIMM和NVSIMM 的性能，從圖中可以看出，AVSIMM 的性能優(yōu)于NVSIMM，原因在于新構(gòu)建的模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動(dòng)模型更加匹配。

圖8 目標(biāo)軌跡跟蹤效果Fig.8 Tracking effects of target trajectory

圖9 位置跟蹤的均方根誤差Fig.9 Root mean square errors of position tracking

圖10 位置跟蹤的均方根誤差Fig.10 Root mean square errors of position tracking

4 結(jié)論

為了進(jìn)一步提高對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度，本文設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)交互式多模型算法。建立了NVSIMM 的精確模型，在NVSIMM 基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)，得到了AVSIMM 算法，該方法在原始模型子集的基礎(chǔ)上，構(gòu)建新的模型子集，可以在不過(guò)度增加計(jì)算成本的情況下，提高模型子集與目標(biāo)實(shí)際機(jī)動(dòng)模型的匹配程度，從而提高對(duì)目標(biāo)的跟蹤精度。通過(guò)與IMM 和NVSIMM 比較，AVSIMM 具有最好的跟蹤效果。