李春華 賀 盛,4 熊安平

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院, 南寧 530004; 2.廣西大學(xué), 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室, 南寧 530004; 3.廣西大學(xué), 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室, 南寧 530004; 4.廣西博世科環(huán)?？萍脊煞萦邢薰? 南寧 530007; 5.江西農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院, 南昌 330045)

0 引 言

單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)對缺陷高度敏感,實際網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)不可避免地具有各種初始缺陷[1],相關(guān)技術(shù)規(guī)程[2]中規(guī)定進(jìn)行網(wǎng)殼全過程分析時應(yīng)考慮初始幾何缺陷。國內(nèi)外學(xué)者對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)初始缺陷進(jìn)行了諸多研究,Kani等采用網(wǎng)殼的切線剛度矩陣求得網(wǎng)殼的失穩(wěn)模態(tài)[3],其結(jié)論說明,節(jié)點位置的偏差比桿件的缺陷影響更大。See等對由切線剛度矩陣得到的失穩(wěn)模態(tài)進(jìn)行了分析[4],其結(jié)論證實,用最低階失穩(wěn)模態(tài)可以準(zhǔn)確預(yù)測結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)區(qū)域,而且按最低階失穩(wěn)模態(tài)確定初始缺陷后其計算結(jié)果與試驗值比較接近。Borri等采用蒙特卡洛法模擬缺陷的大小和分布,研究單層網(wǎng)殼在隨機缺陷下的影響[5]。1992年國內(nèi)學(xué)者陳昕等提出隨機缺陷模態(tài)法和一致缺陷模態(tài)法后[6],這兩種方法被廣泛使用。一致缺陷模態(tài)法基本思路是試圖尋找最不利的缺陷分布,進(jìn)而通過一次計算,求出結(jié)構(gòu)最不利缺陷下的穩(wěn)定極限承載力,但求得的承載力在矢跨比較大時可靠度較低[7-8]。隨機缺陷模態(tài)法假設(shè)初始幾何缺陷分布是隨機的,通過多次計算求出結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力。由于計算量大,不利于在實際工程中的應(yīng)用。有學(xué)者對這兩種方法進(jìn)行了改進(jìn)[9-11],形成了改進(jìn)隨機缺陷模態(tài)法、特征缺陷模態(tài)法和改進(jìn)的一致缺陷模態(tài)法等,其中特征缺陷模態(tài)法也被稱為一致缺陷模態(tài)法。但一致缺陷模態(tài)法和隨機缺陷模態(tài)法的弊端依然沒有很好地解決,學(xué)者們還在研究帶有初始幾何缺陷的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力分析的方法[7,12-15]。其中蔡健等提出了計算量較少的N階特征缺陷模態(tài)法[7],認(rèn)為在N=20時,N階特征缺陷模態(tài)法能到達(dá)“3σ原則”概率可靠度。

目前實際工程設(shè)計中常用的模擬網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷的方法是特征缺陷模態(tài)法,其中,N階特征缺陷模態(tài)法受到了廣泛關(guān)注。但特征缺陷模態(tài)法在矢跨比較大時其概率可靠度較低[7],會帶來安全隱患,而N階特征缺陷模態(tài)法的計算量較特征缺陷模態(tài)法大。為了快速準(zhǔn)確地分析帶有初始幾何缺陷的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,對特征缺陷模態(tài)法在矢跨比較大時概率可靠度較低的原因進(jìn)行了分析,提出控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法。運用所提方法和N階特征缺陷模態(tài)法對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了彈塑性荷載-位移全過程分析。結(jié)果表明,控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法在矢跨比較大時依然可以安全地評估網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性能,解決了特征缺陷模態(tài)法在矢跨比較大時可靠度較低的問題。

1 特征缺陷模態(tài)法和隨機缺陷模態(tài)法初始幾何缺陷值分析

1.1 特征缺陷模態(tài)法

運用特征缺陷模態(tài)法進(jìn)行網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的主要步驟如下。

步驟1:對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行線性屈曲分析,得到結(jié)構(gòu)的最低階屈曲模態(tài)。

步驟2:用最低階屈曲模態(tài)作為初始幾何缺陷分布,根據(jù)初始幾何缺陷最大計算值R更新結(jié)構(gòu),R按JGJ 7—2010《空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[2]取結(jié)構(gòu)跨度的1/300。

步驟3:對更新后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性分析得到結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定極限承載力。

(1)

因為Δs,max為三維空間全位移,Δz,max為豎向位移,所以Δz,max/Δs,max<1,并且比值越小,所引入的豎向初始幾何缺陷最大值Rc,z越小于R。

1.2 隨機缺陷模態(tài)法

運用隨機缺陷模態(tài)法進(jìn)行網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析時,假設(shè)結(jié)構(gòu)每個節(jié)點的安裝誤差隨機變量都是相互獨立的,每個節(jié)點在空間直角坐標(biāo)三個方向的安裝偏差均符合兩倍均方差范圍內(nèi)的正態(tài)概率密度函數(shù)。即每個節(jié)點每個方向的安裝偏差隨機變量為RX/2,其中隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,R為最大安裝偏差,偏差隨機變量的范圍是[-R,R]。

運用隨機缺陷模態(tài)法進(jìn)行網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的基本步驟如下。

步驟1:確定初始幾何缺陷最大計算值R,對每個節(jié)點引入最大值為R的三個方向的初始安裝偏差,形成1個隨機的帶有初始幾何缺陷計算模型,對此模型進(jìn)行非線性穩(wěn)定分析,得到1個穩(wěn)定承載力,此穩(wěn)定承載力為樣本空間中的1個樣本。

步驟2:重復(fù)步驟1的內(nèi)容進(jìn)行多次計算,得到多個穩(wěn)定承載力,形成穩(wěn)定承載力樣本空間中的n個樣本。

步驟3:基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計方法,對穩(wěn)定承載力樣本進(jìn)行統(tǒng)計特性分析,確定結(jié)構(gòu)最終的穩(wěn)定承載力。

根據(jù)隨機缺陷模態(tài)法的假設(shè)和計算步驟,假設(shè)x軸、y軸和z軸方向的幾何缺陷最大值分別為Rr,x、Rr,y和Rr,z,則有Rr,x、Rr,y和Rr,z均等于R。

1.3 兩種方法的初始幾何缺陷值對比

特征缺陷模態(tài)法控制Rc,s=R,從而Rc,z

由于網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的豎向幾何缺陷往往起到控制作用,僅引入節(jié)點豎向安裝偏差所得的穩(wěn)定承載力值接近于全方向缺陷情況[14]。若以隨機缺陷模態(tài)法的計算結(jié)果為參考,顯然Δz,max/Δs,max明顯小于1時,Rc,z將明顯小于Rr,z。由文獻(xiàn)[16]可知,單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定極限承載力隨初始幾何缺陷最大值的增加而不斷降低,導(dǎo)致特征缺陷模態(tài)法計算的穩(wěn)定極限承載力將大于隨機缺陷模態(tài)法,因此高估了網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定極限承載力,使其在與隨機缺陷模態(tài)法比較時可靠度較低。

2 算例線性屈曲分析

線性屈曲分析的特征值方程為:

([KE]+λi[KG]){φi}=0

(2)

式中:[KE]為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣;[KG]為結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣,也稱為初應(yīng)力剛度矩陣;λi為第i階特征值;{φi}為與λi對應(yīng)的特征向量,是相應(yīng)該階屈曲荷載時結(jié)構(gòu)的變形形狀,即屈曲模態(tài)。

為考察不同矢跨比和不同階次線性屈曲模態(tài)節(jié)點全位移最大值Δs,max和節(jié)點豎向位移最大值Δz,max的變化規(guī)律,對算例進(jìn)行分析。

2.1 計算模型

以跨度50 m,矢跨比分別為1/4、1/5、1/6和1/7的K8型凱威特單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)為計算模型,環(huán)數(shù)均為7。桿件均采用外直徑168 mm,壁厚6 mm鋼管,鋼材彈性模量206 GPa,泊松比為0.3,質(zhì)量密度7 850 kg/m3。支座為周邊鉸接支承,施加豎向荷載1 000 N/m2,考慮荷載全跨均勻布置。施加荷載方式為施加節(jié)點荷載,每個節(jié)點荷載均為外荷載乘以結(jié)構(gòu)水平投影面積再除以節(jié)點總數(shù)。計算應(yīng)用通用有限元軟件ANSYS完成,用Beam 189單元對桿件進(jìn)行模擬。矢跨比1/5的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)分析模型如圖1所示。

圖1 1/5矢跨比結(jié)構(gòu)分析模型 m

2.2 屈曲模態(tài)節(jié)點位移分析

對模型進(jìn)行線性屈曲分析,得到1/4、1/5、1/6和1/7矢跨比網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的前20階屈曲模態(tài)的Δs,max和Δz,max,其結(jié)果見表1?？梢园l(fā)現(xiàn)2個規(guī)律:

表1 前20階特征值屈曲模態(tài)的Δs,max和Δz,max

1)對于不同矢跨比結(jié)構(gòu),當(dāng)矢跨比較大時,第1階的Δs,max明顯大于Δz,max,隨著矢跨比的減小,Δs,max與Δz,max的差值逐漸減小,幾乎相等。

2)對于同一矢跨比,Δs,max與Δz,max的相對誤差在某些階次會變小,甚至接近于零。

根據(jù)1.3節(jié)的分析,當(dāng)屈曲模態(tài)的Δz,max/Δs,max<1時,特征缺陷模態(tài)法計算的穩(wěn)定極限承載力將大于隨機缺陷模態(tài)法。那么規(guī)律1)就可以解釋當(dāng)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)矢跨比較大時,特征缺陷模態(tài)法較隨機缺陷模態(tài)法概率可靠度較低的原因。即矢跨比較大時,特征缺陷模態(tài)法第一階屈曲模態(tài)的Δz,max/Δs,max明顯小于1,進(jìn)而對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力起控制作用的豎向缺陷最大值Rc,z明顯小于Rr,z。特征缺陷模態(tài)法的計算結(jié)果也就明顯大于隨機缺陷模態(tài)法的,表現(xiàn)為概率可靠度較低。當(dāng)矢跨比較小時,第一階屈曲模態(tài)的Δs,max近似等于Δz,max,特征缺陷模態(tài)法引入的豎向缺陷最大值Rc,z近似等于隨機缺陷模態(tài)法引入的豎向缺陷最大值Rr,z,即特征缺陷模態(tài)法的計算結(jié)果近似等于隨機缺陷模態(tài)法的計算結(jié)果,概率可靠度較高。

3 控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法

針對在矢跨比較大時,特征缺陷模態(tài)法引入的豎向幾何缺陷Rc,z明顯小于隨機缺陷模態(tài)法的Rr,z,導(dǎo)致可靠度較低的原因分析,提出了控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法。該方法的計算步驟與特征缺陷模態(tài)法基本一樣,但改變了初始幾何缺陷值的確定方法,將特征缺陷模態(tài)法的控制Rc,s=R改為控制Rc,z=R,本質(zhì)上依然是特征缺陷模態(tài)法,是特征缺陷模態(tài)法的改進(jìn)。在ANSYS中具體的操作為使用Upgeom命令引入初始幾何缺陷時,設(shè)置Factor等于R除以屈曲模態(tài)節(jié)點的豎向最大位移Δz,max,從而實現(xiàn)Rc,z=R。隨機缺陷模態(tài)法一開始就假設(shè)Rr,z=R,而控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法充分考慮了豎向幾何缺陷最大值,實現(xiàn)了Rc,z=Rr,z。

4 算例彈塑性荷載-位移全過程分析

為了驗證控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法可以較特征缺陷模態(tài)法更安全地評估網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性能,分別使用控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法和N階特征缺陷模態(tài)法對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性荷載-位移全過程分析,當(dāng)后者只考慮第一階時,即為特征缺陷模態(tài)法。計算模型同第2節(jié),桿件材料彈塑性本構(gòu)采用兩段式,屈服準(zhǔn)則采用von Mises 準(zhǔn)則,屈服強度235 MPa,用Beam189單元對桿件進(jìn)行模擬,考慮材料非線性和幾何非線性,采用弧長法進(jìn)行雙重非線性穩(wěn)定分析。令穩(wěn)定極限承載力與設(shè)計荷載組合值的比值為安全系數(shù)K。對1/4,1/5,1/6和1/7這4種矢跨比完善結(jié)構(gòu)進(jìn)行雙重非線性穩(wěn)定分析時,完善結(jié)構(gòu)安全系數(shù)K分別為20.22,16.12,13.48,10.92。

當(dāng)運用N階特征缺陷模態(tài)法,但在更新模型時每階線型屈曲模態(tài)都用Upgeom命令控制豎向幾何缺陷最大值等于R,得到1/4、1/5、1/6和1/7共4種矢跨比結(jié)構(gòu)前20階屈曲模態(tài)模擬初始幾何缺陷的安全系數(shù)Kz。當(dāng)階次為1時,Kz所對應(yīng)的值為控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法的安全系數(shù)Kz1。用N階特征缺陷模態(tài)法得到1/4、1/5、1/6和1/7共4種矢跨比結(jié)構(gòu)前20階安全系數(shù)Ks,Ks的最小值即為N階特征缺陷模態(tài)法的安全系數(shù)Ksn。

4.1 豎向幾何缺陷值對網(wǎng)殼穩(wěn)定性影響分析

將1/4、1/5、1/6、1/7矢跨比結(jié)構(gòu)前20階屈曲模態(tài)的Δs,max與Δz,max的相對誤差用δd表示,Ks和Kz的相對誤差用δK表示,將δd和δK隨階次的變化繪制于圖2。

a—矢跨比1/4; b—矢跨比1/5; c—矢跨比1/6; d—矢跨比1/7。

由圖2可知,當(dāng)矢跨比相同時,δd與δK的變化趨勢相似,由1.3節(jié)分析可知,δd越大,實際引入的豎向幾何缺陷Rc,z會越小于R,δd與δK的變化趨勢相似可以認(rèn)為網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性對豎向幾何缺陷十分敏感。因此在分析帶初始幾何缺陷網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力時應(yīng)該充分考慮豎向幾何缺陷。

4.2 與N階特征缺陷模態(tài)法計算結(jié)果對比

控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法計算所得安全系數(shù)Kz1和N階特征缺陷模態(tài)法前20階安全系數(shù)Ks見圖3。

圖3 不同矢跨比結(jié)構(gòu)的Kz1和Ks

圖3中,各點線圖的第0階對應(yīng)控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法所得安全系數(shù)Kz1;點線圖第1～20階的最低點,對應(yīng)N階特征缺陷模態(tài)法安全系數(shù)Kz1;點線圖的第1階對應(yīng)特征缺陷模態(tài)法所得安全系數(shù)Ks1。對于1/4、1/5、1/6、1/7矢跨比結(jié)構(gòu),N階特征缺陷模態(tài)法安全系數(shù)Ksn對應(yīng)的階次分別為第19階、第18階、第17階和第20階。由圖3可知:對于各矢跨比,Kz1均接近該點線圖的最低點;當(dāng)矢跨比較大時,Ks1明顯高于Ksn。為了更清楚地對比Kz1、Ksn和Ks1,將三者繪制于圖4。

圖4 不同矢跨比結(jié)構(gòu)Kz1、Ksn和Ks1的比較

由圖4可知,對于各矢跨比結(jié)構(gòu),控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法的安全系數(shù)Kz1與N階特征缺陷模態(tài)法的Ksn接近,相對誤差均在工程允許誤差5%以內(nèi)。蔡健等認(rèn)為,在N=20時,N階特征缺陷模態(tài)法與隨機缺陷模態(tài)法相比能到達(dá)“3σ原則”概率可靠度,N階特征缺陷模態(tài)法可以安全地評估網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[7]。控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法計算結(jié)果Kz1與N階特征缺陷模態(tài)法計算結(jié)果Ksn誤差在工程允許的5%以內(nèi),所以控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法可以安全地評估單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的靜力穩(wěn)定性。當(dāng)矢跨比較大時,Ks1明顯高于Kz1和Ksn,即特征缺陷模態(tài)法會高估結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定極限承載力。

5 結(jié)束語

分析了特征缺陷模態(tài)法和隨機缺陷模態(tài)法初始幾何缺陷最大值,以1/4、1/5、1/6、1/7矢跨比K8單層凱威特網(wǎng)殼為研究對象,進(jìn)行線性屈曲分析,運用N階特征缺陷模態(tài)法和控制豎向幾何缺陷的N階特征缺陷模態(tài)法進(jìn)行彈塑性荷載-位移全過程分析,得出以下結(jié)論:

1)單層球面網(wǎng)殼靜力穩(wěn)定分析時,特征缺陷模態(tài)法的豎向幾何缺陷最大值小于隨機缺陷模態(tài)法的豎向幾何缺陷最大值,特別是當(dāng)矢跨比較大時,特征缺陷模態(tài)法所得穩(wěn)定極限承載力高于隨機缺陷模態(tài)法,概率可靠度較低。

2)單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)對豎向幾何缺陷十分敏感,控制豎向幾何缺陷最大值等于幾何缺陷最大計算值R更合理,并由此提出控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法。

3)對于不同矢跨比的單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu),控制豎向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法與N階特征缺陷模態(tài)法的計算結(jié)果接近,誤差在工程允許的5%以內(nèi)?？刂曝Q向幾何缺陷的特征缺陷模態(tài)法可以安全地評估單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的靜力穩(wěn)定性,解決了特征缺陷模態(tài)法在矢跨比較大時可靠度較低的問題。