王維峰，黃林，梅俊

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074）

近年來(lái)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題成為熱門的研究課題之一.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步是指，在不同的初始條件下，經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的相互作用，節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)行為隨著時(shí)間的推移而逐漸接近并最終達(dá)到相同的狀態(tài).同步問題的一個(gè)明顯特征是，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)如何與整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信，以便完成一個(gè)同步任務(wù)［1］.

奇異系統(tǒng)又稱為廣義狀態(tài)空間系統(tǒng)、描述符系統(tǒng)等.與傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相比，奇異復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)多了代數(shù)方程部分來(lái)描述節(jié)點(diǎn)的奇異動(dòng)態(tài)行為.因此，奇異復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的實(shí)用性.例如，有限的通信資源要分配給不同級(jí)別的用戶，在資源的分配過程中，需要構(gòu)造具有約束條件的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)資源的有效分配［2］.另外，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，如果節(jié)點(diǎn)之間相互作用時(shí)出現(xiàn)了時(shí)變時(shí)滯現(xiàn)象，可能會(huì)極大地改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為［3］，比如可能會(huì)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性和遍歷性.因此，為了更加準(zhǔn)確地模擬實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，本文考慮了具有時(shí)變時(shí)滯的奇異復(fù)雜系統(tǒng).

到目前為止，很多學(xué)者在具有時(shí)變時(shí)滯奇異復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步領(lǐng)域上提出了一些控制方法，例如：事件觸發(fā)通信機(jī)制［1］、線性反饋控制［2］和釘扎控制［4-5］.同線性反饋控制和釘扎控制相比，間歇控制能夠更有效地節(jié)約成本.事件觸發(fā)控制需要連續(xù)或定期檢測(cè)反饋控制變量，以驗(yàn)證變量是否滿足事件觸發(fā)條件［6］.而間歇控制的工作原理是將時(shí)間區(qū)間分為控制區(qū)間和非控制區(qū)間，控制信號(hào)進(jìn)入控制區(qū)間時(shí)工作，進(jìn)入非控制區(qū)間時(shí)休息，所以間歇控制能夠更加節(jié)約控制成本.因此，研究基于周期性間歇控制的時(shí)變時(shí)滯奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.

基于上述因素，本文通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)闹芷谛蚤g歇控制器，以實(shí)現(xiàn)具有時(shí)變時(shí)滯的奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步.由于經(jīng)典的Lyapunov 函數(shù)不能很好地對(duì)奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，所以本文考慮了一種混合的Lyapunov 函數(shù)［7］，結(jié)合Wirtinger 型積分不等式［1］和LMI理論［8］，推導(dǎo)出基于周期性間歇控制的時(shí)變時(shí)滯奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步的充分條件，進(jìn)一步利用LMI 工具箱求解線性矩陣不等式，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證結(jié)論的有效性.

1 模型描述與知識(shí)準(zhǔn)備

考慮以下由N個(gè)具有時(shí)變時(shí)滯的耦合節(jié)點(diǎn)組成的奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，其中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程描述如下：

為簡(jiǎn)單起見，本文將模型稱為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，并且構(gòu)建對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)如下：

其中：E為n階奇異矩陣，即rank(E)=r＜n；xi(t)∈Rn，yi(t) ∈Rn是節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)向量；φi(θ)和φi(θ)分別是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在節(jié)點(diǎn)i的初值條件，ui(t)是控制輸入：Rn× R →Rn為一個(gè)非線性連續(xù)可微向量函數(shù)；Γk=diag(γk1，γk2，…，γkn)為內(nèi)耦合矩陣；ck表示節(jié)點(diǎn)i，j之間的耦合強(qiáng)度，k=1，2.定義矩陣D={dij}N×N為耦合構(gòu)型矩陣：如果節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j(i≠j)之間有聯(lián)系，則dij=dji=1；否則dij=dji=0，D的對(duì)角元素為定義函數(shù)τ(t)為時(shí)變時(shí)滯.

定義同步誤差ei(t)=yi(t)-xi(t)，i=1，2，…，N.聯(lián)立模型，可以得到下述誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

因此，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的之間的同步問題等價(jià)為誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定問題.

設(shè)計(jì)節(jié)點(diǎn)i（i=1，2，…，N）的周期性間歇控制器：

其中：Ki∈Rn×n為節(jié)點(diǎn)i的增益矩陣，T是控制周期，δ是控制區(qū)間的長(zhǎng)度.

定義 1［9］對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，若存在正常數(shù)k，N，使得誤差系統(tǒng)的所有解ei(t)滿足：

則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步，其中k為指數(shù)同步率

假設(shè) 1［10］假設(shè)時(shí)變時(shí)滯τ(t)及其導(dǎo)數(shù)(t)有界，且

假設(shè) 2［3］假設(shè)(·)是扇區(qū)有界非線性的，即對(duì)任意向量x，y∈Rn，有：

其中F1，F(xiàn)2為n階常數(shù)矩陣，并且F1-F2＞0.

引理 1［1］對(duì)于任意常數(shù)正定矩陣Z∈Rn×n，標(biāo)量α＞0，b＞a，及函數(shù)向量x(·) ∈C([a，b]，Rn)，有下述不等式成立：

引理 2［3］設(shè)a∈R，A，B，C，D為適當(dāng)維度的矩陣，克羅內(nèi)積具有以下性質(zhì)：

引理 3［11］設(shè)Y和Z是具有適當(dāng)維度的實(shí)矩陣，則存在一個(gè)正常數(shù)?，使得：

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，將通過周期性間歇控制方法分析具有時(shí)變時(shí)滯的奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題，并給出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的指數(shù)同步性準(zhǔn)則.

將誤差系統(tǒng)寫成克羅內(nèi)積形式：

定理 1假設(shè)存在自由權(quán)矩陣Nj，Tj∈Rn×n(j=1，2)和n階正定矩陣P，Q，R，Z，以及標(biāo)量α1＞0，α2＞0，?＞0，λ＜0，使得下面的矩陣不等式成立，則誤差系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步.

其中：ETP=PE ≥0，Q＞0，R＞0，Z＞0.

當(dāng)t∈ [nT，nT+δ)，n∈N，V1(e(t)，t)沿誤差系統(tǒng)的軌跡關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)：

接下來(lái)將分析Lyapunov-Krasosvkii 泛函V(t)的上界.對(duì)于任何n∈N，

當(dāng)t∈)[nT，nT+δ，聯(lián)立（25）式和（31）式，可得：

假設(shè)存在常數(shù)ν滿足0 ＜ν≤min{λmin(P1E)，λmin(P2E)}，使得下述條件成立：

另一方面，從Lyapunov-Krasosvkii 泛函V(t)的構(gòu)造中，可以推出：

綜上所述，由（34）～（36）式，可得：

因此，根據(jù)定義1，誤差系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.即在周期性間歇控制器下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步.

證畢.

由于定理1的條件不是以線性矩陣不等式的形式存在的，所以節(jié)點(diǎn)i控制增益矩陣Ki不能用LMI工具箱直接求解.接下來(lái)，將對(duì)定理1中的矩陣不等式進(jìn)行線性化，并得到以下基于LMI 的指數(shù)同步條件.

定理 2對(duì)于誤差系統(tǒng)，假設(shè)存在矩陣Gj∈Rn×n，Mj∈Rn×n(j=1，2)，Vi∈Rn×n，和n階正定矩陣L，，以及標(biāo)量η1＞0，η2＞0，?＞＜0，使得下述線性矩陣不等式成立，則誤差系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步，并且節(jié)點(diǎn)i的增益矩陣為Ki=ViP，i=1，2，…，N.

由（14）式和（15）式可知，Ω22＜0，Θ22＜0，則sym{(IN?T2)}和sym{(IN?N2)}是負(fù)定的，因此(IN?T2)和(IN?N2)可逆.設(shè)：

證畢.

3 數(shù)值仿真

考慮如下由6個(gè)耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的具有時(shí)變時(shí)滯的奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，其中的參數(shù)如下：

對(duì)于給定參數(shù)：τ(t)=0.08+0.02sin(t)，c1=0.2，c2=0.1，T=0.2，δ=0.16.利用MATLAB 的LMI工具箱求解定理2 中的線性矩陣不等式，得到如下控制增益矩陣：

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）的初值為：

在周期性間歇控制器（4）的作用下，圖1 和圖2分別描述了誤差系統(tǒng)（3）的狀態(tài)向量分量ei1(t)和ei2(t)(i=1，2，…，6)的運(yùn)動(dòng)軌跡.可以看出誤差系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨著時(shí)間的增加快速地趨于零點(diǎn)，即：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步，這證實(shí)了定理1的結(jié)論是有效的.

圖1 同步誤差分量ei1(t)(i=1，2，…，6)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.1 Motion trajectory diagram of synchronous error component ei1(t)(i=1，2，…，6)

圖2 同步誤差分量ei2(t)(i=1，2，…，6)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.2 Motion trajectory diagram of synchronous error component ei2(t)(i=1，2，…，6)

圖3 和圖4 分別描繪了周期性時(shí)間觸發(fā)控制器ui(t)(i=1，2，…，6)的軌跡圖，圖中縱坐標(biāo)的值不等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間是控制區(qū)間；如果縱坐標(biāo)的值等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間為非控制區(qū)間.

圖3 周期性間歇控制器分量ui1(t)(i=1，2，…，6)的軌跡圖Fig.3 Trajectory diagram of the periodic intermittent controller component ui1(t)(i=1，2，…，6)

圖4 周期性間歇控制器分量ui2(t)(i=1，2，…，6)的軌跡圖Fig.4 Trajectory diagram of the periodic intermittent controller component ui2(t)(i=1，2，…，6)

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯的奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題，已有文獻(xiàn)大都采用事件觸發(fā)控制、釘扎控制和線性反饋控制方法.本文采用了一種新的方法，即通過設(shè)計(jì)周期性間歇控制器，使奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了指數(shù)同步，再利用Lyapunov-Krasosvkii穩(wěn)定性理論，得到了具有時(shí)變時(shí)滯的奇異復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的有效性.