姜一帆,陸媛媛

(吉林師范大學數(shù)學學院,吉林 四平 136000)

0 引言

近年來,老年人口規(guī)模龐大,根據(jù)我國人口最新數(shù)據(jù)調(diào)查顯示,2021年全國總人口約為14.12億人,其中60歲以上老齡人口約為2.64億,占全國人口的18.7%,相較2010年上升幅度提高了5.44個百分點,65歲以上人口約為1.91億,占全國人口的13.5%.中國發(fā)展基金會在低預測情形下,預計我國2032年左右進入占比超20%的“超級老齡化社會”.隨著空巢家庭逐漸增多,家庭養(yǎng)老功能顯著弱化,逐年增大的老年人群體特別關注養(yǎng)老問題,對養(yǎng)老服務、社會福利、醫(yī)療保健等方面的需求越來越大,提升對養(yǎng)老機構的重視程度是解決養(yǎng)老問題的努力方向.截止到2021年末,全國各類養(yǎng)老機構數(shù)量達4.2萬,床位數(shù)達501.6萬.為更好拓寬養(yǎng)老服務市場,保證公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構的協(xié)調(diào)共存,政府給予民辦養(yǎng)老機構許多優(yōu)惠政策和補貼激勵,在機構達到老年人基本養(yǎng)老要求的同時,政府不斷完善多種補貼機制.

隨著我國老齡化趨勢愈來愈嚴峻,養(yǎng)老服務需求急速上漲,政府、公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構都希望老人享受更好的服務.但如今,類比公辦養(yǎng)老機構,民辦養(yǎng)老機構收費價格偏高等因素導致民辦養(yǎng)老機構存在入住率低、維持困難等問題,民辦養(yǎng)老機構自身很難解決這些問題,此時就需要依靠政府給予適當?shù)难a貼以保證公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構協(xié)調(diào)共存.為了激勵老年人選擇民辦養(yǎng)老機構,政府對入住民辦養(yǎng)老機構的老人發(fā)放優(yōu)越的基準補貼,從而提高入住量,因此研究政府補貼下公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構的最優(yōu)定價和最優(yōu)服務水平是十分必要的.

人口老齡化是全球面臨的共同課題.許多國家很早就已經(jīng)步入人口老齡化行列,為健全養(yǎng)老社會體系,激發(fā)養(yǎng)老市場的潛力,各國紛紛建立有效的養(yǎng)老機構扶持補貼機制.養(yǎng)老機構獲得補貼受哪些條件的影響,補貼方制定怎樣的補貼政策以及補貼政策帶來的最終成果是重要的研究方向.目前,利用博弈方法探究政府補貼[1]的文獻有很多,其中針對養(yǎng)老問題,舒斯亮等[2]針對公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構先后決策和同時決策兩種情形,構建兩種博弈模型,通過模型仿真對比研究了養(yǎng)老機構最終定價問題,減少兩機構的投入邊際成本差距,延長老年人入住公辦養(yǎng)老機構的等待時長,能夠?qū)崿F(xiàn)養(yǎng)老市場的穩(wěn)定發(fā)展.高曉波等[3]在政府多種補貼機制和服務標準的前提下,研究政府與養(yǎng)老機構在合作與非合作條件下兩博弈方的最優(yōu)決策問題,討論了重要參數(shù)補貼因子對決策變量和利潤的影響.郭倩等[4]引進了替代因子,建立公辦養(yǎng)老機構與民辦養(yǎng)老機構的古諾寡頭競爭模型,研究了政府補貼機制對養(yǎng)老市場的影響,當政府補貼民辦養(yǎng)老機構時可以提高養(yǎng)老行業(yè)的穩(wěn)定性,同時養(yǎng)老機構更希望獲得建設補貼.裴詩宇等[5]探究了政府在按照“需方”補貼政策下與養(yǎng)老機構的博弈行為.周成等[6]建立了政府和民辦養(yǎng)老機構兩者之間的演化博弈模型,以雙方利益最大化為目的,考慮雙方的差異性,政府和養(yǎng)老機構均需采取相應措施來應對養(yǎng)老市場的動態(tài)發(fā)展,體現(xiàn)養(yǎng)老公共價值提升的必要性.FENG等[7]調(diào)查了養(yǎng)老機構在運營中需要的資金來源,發(fā)現(xiàn)有二分之一到三分之二的機構設施是由非政府部門投資建設的,而約85 %的私營養(yǎng)老機構享受著政府的每床補貼政策,減少了機構的營業(yè)支出壓力.POTTER等[8]采用雙重差分的方法,衡量了醫(yī)療補助政策的長期實施對養(yǎng)老機構服務質(zhì)量的影響,引入了敏感性分析,包括三重差分模型(按醫(yī)療補助支付組合分層),并為進一步完善補貼制度提出了建議.陳炳羽[9]著眼于養(yǎng)老機構補貼政策的優(yōu)化與完善,運用多種理論基礎建立補貼機制優(yōu)化模型,提出優(yōu)化補貼政策的基本方法和基本準則,為確保支付能力較弱的老年群體能夠享受較好的養(yǎng)老服務,政府補貼政策有效且合理實施至關重要.上述國內(nèi)外學者普遍研究的是養(yǎng)老機構的經(jīng)營與管理現(xiàn)狀、國家及地方政府財政補貼機構的政策、優(yōu)化養(yǎng)老機構服務質(zhì)量的措施等內(nèi)容,且有關公辦和民辦養(yǎng)老機構的研究成果中,大部分只針對其他補貼機制或不考慮任何補貼建立的模型,幾乎沒有涉及政府對入住民辦養(yǎng)老機構老人給予補貼的前提下公辦及民辦養(yǎng)老機構最佳策略的研究,特別是對于養(yǎng)老機構最優(yōu)定價和最優(yōu)服務水平的問題.

本文著眼于政府補貼民辦養(yǎng)老機構老人的機制,從實際情況出發(fā),為保證公辦養(yǎng)老機構與民辦養(yǎng)老機構的協(xié)調(diào)運營,在補貼模型中引入入住等候時長,對固有博弈模型進行了改進和創(chuàng)新.針對兩種養(yǎng)老機構,以各自自身利潤最大化為目標,建立公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構的Stackelberg主從博弈模型與Nash博弈模型,并對政府基準補貼金額進行討論.利用博弈論和數(shù)學規(guī)劃有關知識,將理論基礎與數(shù)理分析聯(lián)系起來,為公辦養(yǎng)老機構與民辦養(yǎng)老機構的協(xié)調(diào)共存提供參考.

1 問題描述與符號假設

本文研究的補貼是指政府對入住民辦養(yǎng)老機構的老人的補貼,而對入住公辦養(yǎng)老機構的老人,政府不給予補貼;假設老人入住民辦養(yǎng)老機構無須等候,入住公辦養(yǎng)老機構需等候,其中老年人入住公辦養(yǎng)老機構需等候的時長為t,默認民辦養(yǎng)老機構需等候時長為0,t服從[0,T]上的均勻分布,T為最長入住等候時長,T越大表示入住公辦養(yǎng)老機構的難度越大.本文以公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構兩方作為博弈主體,分別進行Stackelberg主從博弈和Nash博弈,各變量符號如表1所示.

表1 符號說明

根據(jù)研究的問題,給出如下假設:

(iii)假設市場容量等于1,則公辦養(yǎng)老機構需求函數(shù)D1j與民辦養(yǎng)老機構需求函數(shù)D2j分別為:

2 模型的建立與求解

根據(jù)上述假設和符號說明,可以得到如下函數(shù).

公辦養(yǎng)老機構利潤函數(shù):

(1)

民辦養(yǎng)老機構利潤函數(shù):

(2)

2.1 養(yǎng)老機構Stackelberg主從博弈模型

首先,公辦養(yǎng)老機構進行決策,公辦養(yǎng)老機構以自身利潤最大化為目標,求解公辦養(yǎng)老機構的最優(yōu)定價和最優(yōu)服務水平;其次,民辦養(yǎng)老機構進行決策,民辦養(yǎng)老機構以自身利潤最大化為目標,求解民辦養(yǎng)老機構的最優(yōu)定價和最優(yōu)服務水平.

證明 當兩博弈方采取Stackelberg博弈時,可得到民辦養(yǎng)老機構利潤函數(shù):

將π21分別對p21和x21求偏導:

π21(p21,x21)的Hessian矩陣為:

由性質(zhì)1可知,如果市場中公辦養(yǎng)老機構定價上漲,民辦養(yǎng)老機構定價也會有所上漲,主要在于選擇民辦養(yǎng)老機構的老人獲得的政府補貼金,可以有效地緩解由于民辦養(yǎng)老機構高價格而帶來的不利影響,并不會減少老人的入住積極性;同時為了增加收益,民辦養(yǎng)老機構會提高其服務水平使愈來愈多的老人入住;當公辦養(yǎng)老機構服務水平較高時,為了避免老人選擇公辦養(yǎng)老機構,民辦養(yǎng)老機構會通過降價來提高老人的選擇意識,同時為了維持自身最大效益,其服務水平也會適當降低.

證明 將定理1中求出的最優(yōu)定價p21和最優(yōu)服務水平x21代入(1)式中,再將π11分別對p11和x11求偏導:

其中,A=2k1k2Tη-k1,B=k2(Tη-c2-c1+t0)-1.

π11(p11,x11)的Hessian矩陣為:

即Hessian矩陣負定,π11(p11,x11)是關于p11和x11的凹函數(shù),公辦養(yǎng)老機構定價及服務水平在駐點處取極大值,則定理2得證.

由性質(zhì)2可知,民辦養(yǎng)老機構老人獲得補貼,由于補貼機制致使許多老人選擇民辦養(yǎng)老機構,民辦養(yǎng)老機構即使增加定價也不會降低入住率,為了激勵更多的老人入住,民辦養(yǎng)老機構也會適當升級養(yǎng)老服務;當政府給予的基準補貼金額較高時,民辦養(yǎng)老機構具有價格優(yōu)勢,此時公辦養(yǎng)老機構只有提高服務水平才會引起老人的關注,同時為了維持自身最大效益,其收費價格也會小幅度提高.

2.2 養(yǎng)老機構Nash博弈模型

公辦養(yǎng)老機構與民辦養(yǎng)老機構同時做出決策,兩種養(yǎng)老機構以各自獲得利潤最大化為目標,根據(jù)Nash博弈模型的求解原理,最終確定兩種養(yǎng)老機構的最優(yōu)定價和最優(yōu)服務水平.

證明 當兩博弈方采取Nash博弈時,公辦養(yǎng)老機構利潤函數(shù)π12和民辦養(yǎng)老機構利潤函數(shù)π22如下:

將π12分別對p12和x12求偏導,π22分別對p22和x22求偏導:

π12(p12,x12)的Hessian矩陣為:

π22(p22,x22)的Hessian矩陣為:

由性質(zhì)3可知,基于民辦養(yǎng)老機構老人獲得補貼,公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構同時做出決策.若提高基準補貼金額,對于公辦養(yǎng)老機構,由于政府不給予公辦養(yǎng)老機構老人補貼,則該機構通過降低收費價格來提升入住率,同時公辦養(yǎng)老機構考慮利益最大,服務水平也會下降;對于民辦養(yǎng)老機構,由于政府補貼激勵,導致民辦養(yǎng)老機構即使增加收費價格也不會降低入住率,為了讓盡可能多的老人入住,民辦養(yǎng)老機構的服務會適當升級.

3 算例分析

目前,以提高養(yǎng)老機構服務供給為目的,政府就民辦養(yǎng)老機構補貼開展了一系列實踐.以北京市大興區(qū)福壽園養(yǎng)老院為例,按照相關補貼政策及自身條件的補貼標準,對每位入住養(yǎng)老機構的老人按年進行補貼.假設系統(tǒng)參數(shù)滿足:t0=30(百元),c1=10(百元),c2=30(百元),T=2(天),η=10,k1=0.4,k2=0.6,計算結果見表2.通過Matlab軟件仿真t0對其他因素影響的分析,其他參數(shù)不變,得到圖1、圖2、圖3.

表2 最優(yōu)算例結果

圖1 t0對pij的影響

圖2 t0對xij的影響

圖3 t0對πij的影響

通過對不同博弈方式下公辦養(yǎng)老機構與民辦養(yǎng)老機構最優(yōu)收費價格和服務水平的分析,在政府單位基準補貼民辦養(yǎng)老機構老人的條件下,根據(jù)圖1、圖2、圖3,得出如下結論:第一,無論哪種養(yǎng)老機構,對于最優(yōu)收費價格和最優(yōu)服務水平,Stackelberg博弈模型均高于Nash博弈模型;第二,無論哪種博弈模型,對于最優(yōu)收費價格,民辦養(yǎng)老機構大于公辦養(yǎng)老機構;第三,無論哪種博弈模型,對公辦養(yǎng)老機構來說,隨著政府單位基準補貼金額提高,養(yǎng)老機構利潤均下降,而對民辦養(yǎng)老機構來說,隨著政府單位基準補貼金額的提高,養(yǎng)老機構的利潤均增加;第四,無論哪種養(yǎng)老機構,從博弈方式出發(fā),與Nash博弈同時決策相比,兩方先后決策的Stackelberg博弈會相對更好一些.

4 結語

本文基于政府補貼民辦養(yǎng)老機構老人的機制,求解了公辦養(yǎng)老機構和民辦養(yǎng)老機構的Stackelberg主從博弈模型和Nash博弈模型,對兩種博弈模型進行對比分析,以各自機構利潤最大化為目標求出了最優(yōu)解.為了提升老年人的生活幸福感,增強老年人對養(yǎng)老服務需求的滿足感,兩方養(yǎng)老機構進行Stackelberg博弈將更有利于機構的協(xié)調(diào)發(fā)展,政府也可根據(jù)財政狀況,適當提高老人獲得的基準福利,加快養(yǎng)老服務行業(yè)的完善與發(fā)展.