李曉娜

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

浮游生物系統(tǒng)是海洋生態(tài)學(xué)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域.作為海洋食物鏈中的第一營養(yǎng)級(jí),浮游植物通過吸收周圍環(huán)境中的二氧化碳,將能量、無機(jī)化學(xué)物質(zhì)轉(zhuǎn)化為碳水化合物,浮游動(dòng)物則以浮游植物為食.由于浮游生物數(shù)量很難被監(jiān)測,所以對其建立數(shù)學(xué)模型就是一個(gè)很好的研究方法.

近幾年,許多學(xué)者對浮游生物系統(tǒng)進(jìn)行了研究.浮游植物生長的主要特點(diǎn)是,細(xì)胞快速的增殖使其數(shù)量快速增長的速率幾乎等于其數(shù)量快速減少的速率.這種浮游植物種群密度的快速變化稱為“水華”[1].由于高生物量的積累和毒素的存在,有些水華稱為“有害海藻水華族”[2].眾所周知,有害海藻水華族會(huì)造成大量的水生生物死亡或中毒,這不僅會(huì)影響人類身體健康,還會(huì)造成巨大的社會(huì)危害.毒素在浮游動(dòng)植物數(shù)量的增長過程中扮演著重要角色. JANGA等[3]建立了有毒浮游植物與浮游動(dòng)物相互作用的模型.研究表明,毒素既可以抑制浮游植物與浮游動(dòng)物數(shù)量的增長,還可以抑制它們的營養(yǎng)水平.但浮游植物釋放毒素不是一個(gè)瞬時(shí)過程,需要考慮浮游植物的成熟時(shí)間,因此有必要研究帶有時(shí)滯的浮游動(dòng)植物相互作用模型的動(dòng)力學(xué)行為.REHIM[4]和MEHBUBA[5]研究了具有時(shí)滯的產(chǎn)毒浮游植物與浮游動(dòng)物相互作用的模型,分析了其動(dòng)力學(xué)行為.

但是很少有人關(guān)注捕獲對浮游動(dòng)植物種群的影響.隨著社會(huì)的發(fā)展,一方面人類對食物和能源有了更多的需求,導(dǎo)致人類對幾種生物資源的開發(fā)力度增大,特別是高價(jià)值漁業(yè),在過去的半個(gè)世紀(jì),魚類數(shù)量已經(jīng)大大減少;另一方面,保護(hù)生態(tài)系統(tǒng)又是全球關(guān)注的問題.面對兩者的矛盾,近年來,與可持續(xù)發(fā)展有直接關(guān)系的可再生資源受到越來越多的重視[6-7].Lü等[8]建立了具有捕獲的浮游生物系統(tǒng),研究了捕獲因素對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,結(jié)論表明,過度的開采會(huì)導(dǎo)致物種的滅絕,而適度的放養(yǎng)策略會(huì)確保物種的可持續(xù)性,所以捕獲因素對于浮游動(dòng)植物的研究也非常重要.

SAHA[1]建立有毒浮游植物與浮游動(dòng)物相互作用的模型:

(1)

基于以上模型,本文建立了具有捕獲的一種產(chǎn)毒浮游植物與兩種浮游動(dòng)物相互作用的模型:

(2)

其中,常數(shù)c,c1,c2表示三種物種的可捕獲率,E表示對物種的捕獲.此模型還考慮了浮游動(dòng)物為了生存而相互競爭因素,g1,g2表示兩種浮游動(dòng)物的競爭系數(shù).

1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性

下面給出系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)的存在性.

定理1 (i)系統(tǒng)(2)存在滅絕平衡點(diǎn)E0(0,0,0);

且

2 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

下面分析系統(tǒng)(2)當(dāng)τ≠0時(shí)共存平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和Hopf分支存在的條件.

引理2.1[9]考慮如下的指數(shù)多項(xiàng)式:

當(dāng)(τ1,τ2,…,τm)變化時(shí), 若有一個(gè)零根出現(xiàn)或穿過虛軸,則在開的右半平面上,指數(shù)多項(xiàng)式p(λ,e-λτ1,…,e-λτm)的零根的順序也發(fā)生變化.

(3)

系統(tǒng)(3)的特征方程為:

G(λ,τ)=λ3+Aλ2+Bλ+C+e-λτ(Dλ+E)=0,

其中,A=-(a11+a23+a33),B=a11a23+a33(a11+a23)-a12a21-a13a31,C=a33(a12a21-a11a23)+a13a23a31,D=-(a13a32+a12a22),E=a31a32a23+a12a22a33.

當(dāng)τ≠0時(shí),設(shè)λ=iω(ω>0)是方程G(λ,τ)=0的一個(gè)根,則

-iω3-Aω2+Biω+C+(cos(ωτ)-isin(ωτ))(iDω+E)=0.

分離實(shí)部和虛部得到:

(4)

對方程兩邊先同時(shí)平方,再求和得到:

ω6+(A2-2B)ω4+(B2-2AC-D2)ω2+C2-E2=0.

(5)

令R=ω2,則(5)式變?yōu)?

R3+b1R2+b2R+b3=0,

(6)

其中,b1=A2-2B,b2=B2-2AC-D2,b3=C2-E2>0.

令

g(R)=R3+b1R2+b2R+b3.

(7)

下面討論方程(6)零點(diǎn)的分布.由g(0)=b3=C2-E2>0,可得下面的引理.

引理2.2 方程(6)至少有一個(gè)根.

引理2.3 假設(shè)Δ=b1-3b2≤0,則方程(6)沒有正根.

3R2+2b1R+b2=0,

(8)

則方程(8)的根為:

(9)

引理2.4 方程(6)有正根當(dāng)且僅當(dāng)R1>0且g(R1)≤0.

令

其中,k=1,2;j=0,1,2,….

證明 方程G(λ,τ)=0的兩端同時(shí)對τ求導(dǎo):

則

由(4)可得:

因此,

3 結(jié)語

本文研究了具有捕獲的一種產(chǎn)毒浮游植物和兩種浮游動(dòng)物相互作用的模型.由于浮游植物產(chǎn)生毒素不是瞬時(shí)的,而需要一個(gè)成熟的過程,所以在捕獲因素的基礎(chǔ)上還考慮了時(shí)滯因素的影響,討論了模型的平衡點(diǎn)的存在性, 得出模型可能存在五個(gè)平衡點(diǎn),并討論了模型的共存平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.研究結(jié)果表明,時(shí)滯會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性,當(dāng)時(shí)滯經(jīng)過臨界值時(shí),系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定狀態(tài),且在這個(gè)過程中會(huì)出現(xiàn)Hopf分支.除了本文所考慮的影響浮游動(dòng)植物系統(tǒng)的因素外,可能還存在其他影響因素,這將是今后的研究方向.