劉文靜,史江濤

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺 264005)

本文所討論的群都是有限群。設(shè)G是群,H是G的子群,如果對任意x∈G都有Hx∩H=1或H,則稱H是G的TI-子群,見文獻[1]。

對于群G的任意子群H,H要么是G的TI-子群要么是G的非TI-子群?？紤]非循環(huán)的非TI-子群的個數(shù),文獻[2]的定理1.1證明了如果G是至多含26個非循環(huán)的非TI-子群的非可解群,則G同構(gòu)于交錯群A5或特殊線性群SL2(5)。注意,非TI-子群一定是非正規(guī)子群但非正規(guī)子群不一定是非TI-子群。顯然一個群的非交換的非正規(guī)子群的個數(shù)等于它的非正規(guī)的非交換子群的個數(shù),文獻[3]的定理1.2(2)證明了如果G是一個至多含21個非交換的非正規(guī)子群的非可解群,則G?A5。

作為文獻[2]的定理1.1和文獻[3]的定理1.2(2)的推廣,本文的主要目的是考察群G的非交換的非TI-子群的個數(shù)。顯然,如果G不含非交換的非TI-子群(即G的所有非交換群均為TI-子群),則由文獻[4]的定理1知G的所有非交換子群皆正規(guī),進而易知G是可解群。本文得到了下述結(jié)論成立,證明見第2部分。

定理1設(shè)G是非可解群,如果G至多含21個非交換的非TI-子群,則G?A5。

注意,文獻[3]的定理1.2(2)是定理1的直接推論。

顯然任意非交換單群G的每個非TI-子群都是非次正規(guī)子群。但是對一般的群G,G的非次正規(guī)子群未必是非TI-子群且G的非TI-子群也未必是非次正規(guī)子群。文獻[5]的定理1證明了如果群G的每個非交換子群皆為TI-子群或次正規(guī)子群,則G的每個非交換子群皆次正規(guī)。考慮群G的非次正規(guī)的非交換子群的個數(shù),文獻[3]的定理1.3(2)證明了如果群G為至多含21個非次正規(guī)的非交換子群的非可解群,則G?A5。

作為文獻[2]的定理1.1、文獻[3]的定理1.3(2)和本文定理1的進一步推廣,只考慮群G的非次正規(guī)的非交換的非TI-子群的個數(shù),本文證明了下述結(jié)論成立,證明見第3部分。

定理2 設(shè)G是非可解群,如果G至多含21個非次正規(guī)的非交換的非TI-子群,則G?A5。

顯然下述結(jié)論是定理2的直接推論。

推論1 設(shè)G是非可解群,如果G至多含21個非次正規(guī)的非循環(huán)的非TI-子群,則G?A5。

1 預(yù)備引理

引理1[6]設(shè)群G含一個交換的極大子群,則G可解。

引理2[7-8]設(shè)群G恰含m個極大子群,

(1) 如果m≤20,則G可解。

(2) 設(shè)G為m=21的非可解群,則G/φ(G)?A5,其中φ(G)是G的Frattini子群。

引理3[9]設(shè)G為恰含21個非交換真子群的非可解群,G?A5。

引理4[2]如果群G的每個極大子群皆為TI-子群,則G可解。

2 定理1的證明

證明因為群G非可解,則由引理1知G的每個極大子群皆非交換。

斷言(1):任意至多含20個非交換的非TI-子群的群F總可解。

否則,假設(shè)F非可解。令F為極小階反例,則F是內(nèi)可解群。得F/φ(F)是一個極小非交換單群。顯然由引理1知F的每個極大子群均非交換。而且,由于F/φ(F)是非交換單群,知F的每個極大子群都不是TI-子群。于是,F的每個極大子群均為非交換的非TI-子群。由假設(shè),得F至多含20個極大子群。進而由引理2知,F可解,矛盾。

因此,斷言(1)成立。

于是,G恰含21個非交換的非TI-子群。

斷言(2):G的每個極大子群均可解。

反證。令K為G的一個非可解的極大子群。注意K的任一非交換的非TI-子群亦為G的非交換的非TI-子群。由斷言(1)和假設(shè)知K恰含21個非交換的非TI-子群。說明G的每個極大子群均為TI-子群。從而由引理4知G可解,矛盾。

因此,斷言(2)成立。

于是,G是內(nèi)可解群。說明G/φ(G)是極小非交換單群。因此,G的每個極大子群均為非交換的非TI-子群。由假設(shè),G至多含21個極大子群。特別地,因為G非可解,由引理2(1)知G恰含21個極大子群。于是由引理2(2),得G/φ(G)?A5。

用符號π(G)表示群G的階|G|的所有素因子的集合,則π(G)={2,3,5}。

顯然φ(G)交換。下證φ(G)=1。

假設(shè)φ(G)≠1,分兩種情形進行討論。

(i) 假設(shè)G恰含21個非交換真子群。由引理3,知G?A5。于是φ(G)=1,與假設(shè)φ(G)≠1矛盾。

(ii)假設(shè)G的非交換真子群的個數(shù)大于21,則存在G的極大子群M使得M含一個非交換的極大子群H。由假設(shè),知H為G的TI-子群。因為φ(G)交換,說明H不是φ(G)的子群。于是,Hφ(G)/φ(G)是G/φ(G)的非平凡子群,知H不正規(guī)于G。又因為H為G的TI-子群,則φ(G)不是H的子群。于是H

(a)假設(shè)H∩φ(G)=1。

首先,假設(shè)H正規(guī)于M,則φ(G)=(H×φ(G)/H=M/H?Zp,其中p=2,3或5。因為G/φ(G)?A5,則必有p=2且G?SL2(5)。但是,SL2(5)恰含26個非交換的非TI-子群,與假設(shè)矛盾。

(b)假設(shè)H∩φ(G)≠1。

顯然H∩φ(G)正規(guī)于H。而且,由于φ(G)交換,有H∩φ(G)正規(guī)于φ(G)。因此,H∩φ(G)正規(guī)于Hφ(G)=M。因為H是M的TI-子群,得到H正規(guī)于M。注意H不正規(guī)于G,則M=NG(H)。說明對每個x∈GNG(H)=GM都有Hx∩H=1。觀察到對p=2,3或5有φ(G)/(H∩φ(G))?Hφ(G)/H=M/H?Zp,說明H∩φ(G)是φ(G)的極大子群。因為Hx∩φ(G)=(H∩φ(G))x<φ(G)x=φ(G),且對每個x∈GM有(H∩φ(G))∩(Hx∩φ(G))=1,得φ(G)=(H∩φ(G))×(Hx∩φ(G))。說明對每個x∈GM和p=2,3或5,有Hx∩φ(G)?φ(G)/(H∩φ(G))?Zp。因此,φ(G))?Zp×Zp,其中p=2,3或5。

令L1是G的子群使得L1/φ(G)?K4?Z2×Z2,令L2是G的子群使得L2/φ(G)?Z3,令L3是G的子群使得L3/φ(G)?Z5。對任意1≤i≤3,易知任一Li不是G的TI-子群且任一Li不是G的極大子群。說明每個Li都是交換的,其中1≤i≤3。

令P為G的Sylow 2-子群滿足P≤L1,Q為G的Sylow 3-子群滿足Q≤L2,R為G的Sylow 5-子群滿足R≤L3,則有φ(G)≤CG(P),φ(G)≤CG(Q)和φ(G)≤CG(R)。因此,φ(G)≤CG(〈P,Q,R〉)=CG(G)=Z(G)。特別地,因為G/φ(G)是非交換單群,所以有φ(G)=Z(G)。令T是φ(G)的一個真子群使得T?Zp,則T正規(guī)于G。故(G/T)/φ(G/T)=(G/T)/(φ(G)/T)?G/φ(G)?A5。因為對p=2,3或5有φ(G/T)=φ(G)/T?Zp,則必有p=2且G/T?SL2(5)。說明G的非交換的非TI-子群的個數(shù)大于21,矛盾。

綜上,由(i) 和(ii)中的討論知φ(G)=1。因此,G?A5。

3 定理2的證明

證明用符號ω(G)表示群G的非次正規(guī)的非交換的非TI-子群的個數(shù)。注意G非可解,我們斷言必有ω(G)=21。

否則,假設(shè)ω(G)<21。因為G非可解,則存在G的子群H使得H是內(nèi)可解群。于是H/φ(H)是極小非交換單群。顯然H的任一非次正規(guī)的非交換的非TI-子群也是G的非次正規(guī)的非交換的非TI-子群,說明ω(H)≤ω(G)。如果φ(H)非交換,則H的每一個滿足A>φ(H)的真子群A均為H的非次正規(guī)的非交換的非TI-子群。說明ω(G)>21,矛盾。因此φ(H)交換。令K是H的一個非交換的非TI-子群,顯然有K1。如果K在H內(nèi)次正規(guī),則Kφ(H)/φ(H)次正規(guī)于H/φ(H)。因為H/φ(H)是非交換單群,從而我們有Kφ(H)/φ(H)=H/φ(H)。進而得到K=H,矛盾。故H的所有非交換的非TI-子群皆在H內(nèi)非次正規(guī)。由于ω(H)≤ω(G)<21,知H至多含20個非交換的非TI-子群。由定理1 得H可解,矛盾。因此,ω(G)=21。

由引理1知G的每個極大子群皆非交換。令M是G的任一極大子群,由上知ω(M)≤ω(G)。如果存在G的極大子群N使得ω(N)=ω(G),則G的每個極大子群要么在G內(nèi)次正規(guī)要么為G的TI-子群。進而,G的每個極大子群要么正規(guī)于G要么為G的TI-子群,說明G的所有極大子群皆為TI-子群。由引理4,知G可解,矛盾。因此,對G的每個極大子群L均有ω(L)<ω(G)=21。根據(jù)上述討論,知L可解。于是,G是內(nèi)可解群,從而G/φ(G)是極小非交換單群。類似上述討論,知G的所有非交換的非TI-子群皆在G內(nèi)非次正規(guī)。說明G恰含21個非交換的非TI-子群。從而由定理1,得G?A5。