馬向華,陳 浩,包晗秋,許 敏

(1.上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院,上海 201418;2.同濟(jì)大學(xué) 控制科學(xué)與工程系,上海 201804;3.無錫安起科技有限公司,江蘇 無錫 214000)

0 引言

作為制造業(yè)的關(guān)鍵物流設(shè)備,橋式起重機(jī)作業(yè)的安全高效與智能化不僅可以實(shí)現(xiàn)機(jī)器換人,更能有效保證制造過程向智能制造縱深方向發(fā)展。保障起重機(jī)安全高效作業(yè)的關(guān)鍵核心技術(shù)為負(fù)載防搖技術(shù),即起重機(jī)以負(fù)載零擺動或近似零擺動的方式精準(zhǔn)到達(dá)目標(biāo)落吊點(diǎn)[1],這也是提高起重機(jī)智能化甚至無人化的關(guān)鍵核心技術(shù)。目前起重機(jī)防搖控制技術(shù)分為開環(huán)防搖控制算法和閉環(huán)防搖控制算法。常見的開環(huán)控制算法包括輸入整形算法[2-3]、離線軌跡規(guī)劃[4-5]等。開環(huán)控制算法簡單,可滿足簡單防搖的需求,但不能消除初始擺角,且當(dāng)先驗(yàn)信息不準(zhǔn)確或受到擾動(比如風(fēng)擾、碰撞)時會降低防搖控制精度。閉環(huán)防搖控制算法因?qū)[角實(shí)時反饋給防搖控制器,提高了防搖控制精度、抵御外界擾動和系統(tǒng)不確定性能力強(qiáng),因此更適合復(fù)雜作業(yè)場合以及對防搖效果要求高的場合。目前主流閉環(huán)防搖控制算法有比例積分微分控制(Proportion,Integral,Derinative,PID)[6-7]、反饋線性化算法[8-9]、滑?？刂芠10-11]以及復(fù)合防搖算法[12-13]等。

隨著智能制造技術(shù)的發(fā)展,起重機(jī)不僅需要完成搬運(yùn)任務(wù),還要將整個制造過程高效地連接起來。因此,對起重機(jī)作業(yè)提出了更高要求,即在更為復(fù)雜多變的智能制造車間,更穩(wěn)、更準(zhǔn)、更快地搬運(yùn)不同規(guī)格、形狀和質(zhì)量的工件,這些要求和挑戰(zhàn)需要設(shè)計(jì)自適應(yīng)性和魯棒性更強(qiáng)的防搖控制系統(tǒng),而關(guān)鍵技術(shù)為準(zhǔn)確有效的起重機(jī)建模技術(shù)。目前針對橋式起重機(jī)的數(shù)學(xué)建模,通常做法是將起重機(jī)首先分類為單擺或雙擺系統(tǒng),然后利用起重機(jī)系統(tǒng)的動能和勢能之間的關(guān)系建立力學(xué)模型,通過求解拉格朗日方程以獲得其數(shù)學(xué)模型[14]。在相對簡單的起重機(jī)作業(yè)環(huán)境中,起重機(jī)被建模為具有理想約束的二維線性動力學(xué)模型[15],這也是目前在橋式起重機(jī)防搖控制系統(tǒng)研究中常用的數(shù)學(xué)模型。環(huán)境相對復(fù)雜或者控制效果要求更高的場合,需要建立相對更為準(zhǔn)確的線性或非線性數(shù)學(xué)模型以匹配控制性能的要求,例如MARTIN等[16]建立的非線性二維數(shù)學(xué)模型,考慮了行車在軌道上運(yùn)行時產(chǎn)生的摩擦力的變化。截至目前,對起重機(jī)非線性建模時考慮的基本上都是因摩擦力變化而引起的參數(shù)時變性[17-19]。如果考慮起重機(jī)在起吊過程的防搖問題,則需將起重機(jī)建模為三維模型,目前應(yīng)用的主要是三維線性模型[20]。

智能制造車間環(huán)境下,起重機(jī)的非線性和參數(shù)時變性不容忽略。智能制造車間的起重機(jī)因主梁長且有柔性、復(fù)雜頻繁的搬運(yùn)任務(wù)會加劇主梁上拱下?lián)系膯栴},不僅會影響臺車在主梁上運(yùn)行的動靜態(tài)摩擦力,還會進(jìn)一步影響大車和臺車的實(shí)際運(yùn)行速度,并最終影響防搖控制效果。因此,為獲得更高精度的起重機(jī)數(shù)學(xué)模型,需要首先了解起重機(jī)非線性和參數(shù)時變規(guī)律。傳感器、大數(shù)據(jù)以及機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)的發(fā)展為起重機(jī)控制研究提供了新思路和方法。高斯回歸方法作為一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法,因其模型學(xué)習(xí)不需要先驗(yàn)過程知識,直接提供模型誤差與不確定性的度量便可以建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型[21-22]。另外,模型預(yù)測控制(Model Predictiv Control,MPC)可以處理有約束以及模型不確定性的問題,近年來常被用于解決起重機(jī)的控制問題[23]。預(yù)測模型作為模型預(yù)測控制中的重要組成部分,其精度對控制性能有顯著影響,而通過基于數(shù)據(jù)驅(qū)動方式提高M(jìn)PC模型預(yù)測精度,是近年來對MPC研究的重要方向[24]。將基于高斯回歸建立的數(shù)學(xué)模型作為MPC的預(yù)測模型,可進(jìn)一步提升MPC的控制效果。綜上所述,本文結(jié)合高斯回歸理論以及起重機(jī)運(yùn)行數(shù)據(jù)訓(xùn)練構(gòu)建殘差數(shù)據(jù)模型,與目前通用的線性模型組成起重機(jī)的混合模型,并設(shè)計(jì)基于此混合模型的防搖魯棒控制算法,保障防搖控制系統(tǒng)具有更強(qiáng)的自適應(yīng)與抗干擾能力,有效提升防搖控制效果,以滿足智能制造車間對起重機(jī)安全高效作業(yè)的要求。

1 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的起重機(jī)混合建模方法

1.1 橋式起重機(jī)通用建模方法

本論文不考慮橋式起重機(jī)在起吊階段的防搖控制,因此以二維起重機(jī)為研究對象,探索基于數(shù)據(jù)驅(qū)動建模方法的有效性。橋式起重機(jī)的二維平面簡化物理模型如圖1所示。

(1)

式中:M,m為臺車質(zhì)量和貨物質(zhì)量;l為吊繩長度;F為臺車驅(qū)動力,令:

m11=ml2,m12=mlcosθ,m21=mlcosθ,m22=M+m;
G1=mglsinθ,G2=0。

(2)

由于橋式起重機(jī)模型(1)為非線性系統(tǒng),為便于控制器設(shè)計(jì),通常做法是將其在工作點(diǎn)附近線性化。本文利用基于等價輸入干擾的方法對起重機(jī)進(jìn)行線性化,可以得到線性化后的線性模型[23]。線性化后的連續(xù)時間模型為:

(3)

1.2 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的混合建模方法

雖然通過線性化能夠降低控制器設(shè)計(jì)難度,但由于起重機(jī)參數(shù)的時變特性,線性化處理方式會增大起重機(jī)實(shí)際模型與線性模型之間的模型誤差,不同作業(yè)任務(wù)會對起重機(jī)本身結(jié)構(gòu)和參數(shù)產(chǎn)生影響,會進(jìn)一步加大模型誤差。因此,采用線性化模型必然導(dǎo)致算法魯棒性差、應(yīng)用范圍有限等問題。本文采用高斯建模技術(shù)來解決起重機(jī)非線性特性與線性化模型之間的模型誤差,通過對起重機(jī)的位移與擺角變量歷史殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí),獲得對應(yīng)的輸入與殘差數(shù)據(jù)輸出的變化規(guī)律,從而建立起重機(jī)非線性特性的殘差數(shù)據(jù)模型。

基于模型(3),設(shè)計(jì)起重機(jī)離散時間混合模型如下:

(4)

(5)

(6)

式中LT∈Rnz×nz為一個正對角長度標(biāo)度矩陣。因此可得到如下條件的高斯分布:

(7)

因此未知g的GP模型近似表達(dá)式如等式如下:

d(z)～N(μd(z),∑d(z))。

(8)

式中uk∈nu和zk∈nx分別是在時間k的系統(tǒng)輸入變量臺車驅(qū)動力F和系統(tǒng)狀態(tài)變量擺角θ和臺車位移x,且假設(shè)是具有獨(dú)立同分布高斯概率的未知干擾,空間上不相關(guān)。

(9)

2 橋式起重機(jī)防搖魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的橋式起重機(jī)防搖魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

將所獲得的混合模型作為模型預(yù)測控制中的預(yù)測模型,則基于混合模型的起重機(jī)防搖模型預(yù)測控制(MPC)優(yōu)化問題可描述為:

(10)

(11)

(12)

(13)

2.2 可行性分析

證明假設(shè)k時刻優(yōu)化問題可行,則:

(14)

(15)

在k+1時刻,假設(shè)備選控制序列為:

(16)

(17)

因此式(14)～式(15)滿足優(yōu)化問題(10)的約束,并且通過數(shù)學(xué)歸納法可知本定理得證。

2.3 穩(wěn)定性分析

假設(shè)2線性化。 假設(shè)橋式起重機(jī)二自由度模型可以線性化為關(guān)于(A,B)的狀態(tài)方程。

假設(shè)3終端權(quán)重。 假設(shè)終端成本函數(shù)的權(quán)重P滿足李雅普諾夫方程:

(A+BK)TP(A+BK)-P=-(Q+KTRK)。

(18)

其中K為關(guān)于 (A,B,Q,R)的無約束最優(yōu)控制器。

定理1若假設(shè)2和假設(shè)3成立,且下面條件成立:

(19)

則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。

證明假設(shè)價值函數(shù)為:

(20)

則

(21)

兩式相減得

(22)

由定理1可得

(23)

如果滿足定理2中的條件,則J*,k+1-J*,k≤0,同時因?yàn)镴*,k是一個李雅普諾夫方程并且單調(diào)遞減,所以系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)字仿真與分析

考慮不同運(yùn)行工況與目標(biāo)期望對控制效果的影響,因此設(shè)置了3類實(shí)驗(yàn)。每次仿真包括兩方面的信息:行車水平移動位移x,載荷擺角角度θ變化。

3.1 驗(yàn)證不同吊運(yùn)要求下控制方法有效性驗(yàn)證

仿真一的目標(biāo)期望值行車水平移動距離Pdx和不同規(guī)定時間tf分別設(shè)定為:Pdx=4.5 m,tf=30 s,仿真結(jié)果如圖2所示。

仿真二的目標(biāo)期望值Pdx保持不變,tf增加到60 s,意味著臺車的速度要較之仿真實(shí)驗(yàn)一慢很多,因此在臺車吊運(yùn)過程相對更加平穩(wěn)。目標(biāo)期望值分別設(shè)定為:Pdx=4.5 m,tf=60 s,其仿真結(jié)果如圖3所示,能看出擺角變化很平穩(wěn),僅在加速和減速階段出現(xiàn)過搖擺。

由圖2和圖3的實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可知:在不同的負(fù)載吊運(yùn)到達(dá)時間的要求下,應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的控制方法控制臺車在水平移動時,載荷擺角始終控制在0.32°以內(nèi),起重機(jī)能夠在期望時間tf內(nèi)到達(dá)目標(biāo)地點(diǎn)且停止擺角是小于0.05°,幾乎衰減到0。

3.2 在隨機(jī)性干擾時控制算法的魯棒性驗(yàn)證

在與3.1節(jié)相同的仿真條件下,增加隨機(jī)性外界干擾,將工程上常用的PID算法與本文采用的算法進(jìn)行對比,驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制算法抑制隨機(jī)性外界干擾的有效性。PID參數(shù)選為[24,0.1,50],MPC的參數(shù)選為Q=[5,1]I,R=5。仿真三在目標(biāo)期望值為Pdx=4.5 m,tf=60 s時,在吊運(yùn)加速階段增加隨機(jī)性干擾,即在ts=15 s的時候加入一個0.1度的外界擾動擺角,判斷控制算法對外界干擾的魯棒性。仿真四驗(yàn)證臺車減速階段時控制算法的魯棒性。在減速階段,由于即將到達(dá)目標(biāo)落吊點(diǎn),干擾對防搖效果影響很明顯,加之定位功能與防搖功能本身存在沖突,進(jìn)一步提高了防搖算法魯棒性的要求。具體參數(shù)如下:Pdx=5 m,tf=30 s在ts=20 s的時候加入一個0.15°的外界擾動擺角。仿真結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5的仿真結(jié)果可知:當(dāng)人為增加一個外界擾擾動時,使用兩種方法均可在規(guī)定的時間內(nèi)將物料搬運(yùn)到規(guī)定的地點(diǎn),但是在增加干擾到搬運(yùn)結(jié)束期間,二者的防搖效果卻有極大不同。使用PID控制算法,負(fù)載的擺動更為激烈,在搬運(yùn)期間都處于擺動調(diào)節(jié)的狀態(tài);而本文設(shè)計(jì)的控制方法能夠有效抑制隨機(jī)性外界擾動,調(diào)節(jié)過程中產(chǎn)生的擺角較小,更平穩(wěn),從而也意味著防搖算法魯棒性更好,系統(tǒng)安全性更高。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為了更好地分析本控制算法對作業(yè)環(huán)境的魯棒性,在實(shí)驗(yàn)階段,控制器參數(shù)設(shè)置與仿真階段的參數(shù)保持一致,即針對目標(biāo)位置x等于4.5 m時,PID參數(shù)選為[24,0.1,50],MPC的參數(shù)選為Q=[5,1]I,R=5。得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。根據(jù)圖7位移和擺角實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出:在第32 s的時候,小車的速度才能降為0,此時的位移為4.501 2 m,在32 s之后的所有時間內(nèi),小車的擺角都小于0.1°。該實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果表明:本文提出的基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的MPC防搖策略可使小車的定位誤差小于2 mm,且負(fù)載的擺角小于0.1°,具有較好的定位精度和消擺能力。

為更好地驗(yàn)證本文提出的防搖策略的有效性,將本文設(shè)計(jì)的控制算法與實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中常用的PID防搖控制算法進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)。為了保證相同的實(shí)驗(yàn)條件,選擇小車行駛?cè)L為4.5 m,且要求定位精度為5 mm。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

圖8中的藍(lán)色曲線表示基于本文設(shè)計(jì)的防搖控制器所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),橙色曲線表示PID防搖控制算法的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。圖8的對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:相比于基于PID防搖控制算法,本文設(shè)計(jì)的控制算法在跟蹤特性和平穩(wěn)性方面都取得較好結(jié)果。小車在29 s就到達(dá)了目標(biāo)位置且定位精度為1.2 mm,而PID控制算法需要32 s并且定位精度只有9.4 mm。通過對擺角變化分析可知,本文設(shè)計(jì)的控制算法在停止時的擺角只有0.090°,而PID防搖控制算法在停止時的擺角0.335°。因此,本文設(shè)計(jì)的控制算法的防搖效果要明顯優(yōu)于PID防搖控制算法的防搖效果。另外,基于本文設(shè)計(jì)的控制方法的控制效果平滑,更利于將擺角控制在較小的范圍內(nèi)。在實(shí)際工業(yè)控制中,軌跡跟蹤精度一般與平滑性相悖,但是本文設(shè)計(jì)的起重機(jī)防搖控制算法,在實(shí)現(xiàn)較好地定位精度的情況下,也盡可能地做到了平滑性。

5 結(jié)束語

考慮到起重機(jī)建模的難度和復(fù)雜性,本文創(chuàng)新性地提出了基于高斯回歸對起重機(jī)進(jìn)行建模的方法,并基于實(shí)時數(shù)據(jù)更新起重機(jī)數(shù)據(jù)模型。這種閉環(huán)式建模方法可有效體現(xiàn)起重機(jī)自身結(jié)構(gòu)和參數(shù)的變化規(guī)律?；谒@得的混合模型設(shè)計(jì)的起重機(jī)防搖魯棒控制算法,可保證復(fù)雜多變車間環(huán)境下起重機(jī)作業(yè)的安全性和高效性。實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果均證明了本文所提方法能夠滿足橋式起重機(jī)更穩(wěn)、更準(zhǔn)更快的控制目標(biāo),因此具有良好的實(shí)際應(yīng)用價值,該研究成果也可推廣應(yīng)用于其他欠驅(qū)動系統(tǒng)。未來,將深入研究塔式起重機(jī)以及門座式起重機(jī)防搖控制系統(tǒng)。