文｜黃美紅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》明確了數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求，豐富學(xué)生知識的同時，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。在教學(xué)改革中，傳統(tǒng)教學(xué)模式的弊端也不斷顯現(xiàn)，難以滿足學(xué)生的自我發(fā)展需要。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不僅強(qiáng)化了學(xué)生的感知與體驗(yàn)，還培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，在新時代的教育教學(xué)改革下，教師要改變陳舊的理念，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，通過全面的優(yōu)化與改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)在新時期的發(fā)展，同時為學(xué)生的全面發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合思想指的是將抽象的數(shù)學(xué)問題與形象直觀的圖形相結(jié)合的一種教學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是助力學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問題的重要手段。在數(shù)學(xué)活動中，通過滲透數(shù)形結(jié)合思想，借助代數(shù)簡潔與幾何直觀，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜知識的簡單化，化繁為簡有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

二、利用數(shù)形結(jié)合法開展數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題

（一）教師的講解不夠深入

不同知識點(diǎn)對數(shù)形結(jié)合應(yīng)用形式有著不同的要求。在以往的講解中，教師只是就題論題，未能將數(shù)形結(jié)合的方法、注意事項(xiàng)展示出來，幫助學(xué)生由淺入深地理解。因此，很多學(xué)生進(jìn)入一種固化思維模式中，只會就題論題，沒有運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，只會對教師講解過的類型的題目使用此方法。

（二）學(xué)生原有的基礎(chǔ)不扎實(shí)

學(xué)生原有基礎(chǔ)不牢固，無法實(shí)現(xiàn)圖形與數(shù)字語言的轉(zhuǎn)化，或未能形成知識體系，導(dǎo)致對知識的掌握是散亂的。和其他的固化解題步驟相比，數(shù)形結(jié)合的多變性、靈活性更強(qiáng)，所以對數(shù)學(xué)知識、知識融合度的要求也更高。但是，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)，利用數(shù)形結(jié)合開展問題的解答效果會大打折扣。因此，教師要努力夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，通過采取合理的措施達(dá)到能力的提升。

三、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的應(yīng)用方法

數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個重要概念，在課堂教學(xué)中有效地滲透數(shù)和形不僅能推動新課改理念的落實(shí)，還是課程改革的必然趨勢。因此，教師要明確數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用條件，將其有效地滲透于課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)，推動數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有序開展。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，展示了數(shù)學(xué)問題與圖形的關(guān)系。教師可以采取以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互變的方法。以下將結(jié)合實(shí)際的案例，對數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

（一）以形助數(shù)

新課標(biāo)指出：在數(shù)學(xué)活動開展中，教師要立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，采取不同的方式培養(yǎng)學(xué)生的空間能力。所謂的空間能力即從具體事物中抽象出幾何圖形，然后以幾何圖形為依據(jù)對實(shí)物特征進(jìn)行描繪。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助直觀實(shí)物，使學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上獲得感性認(rèn)識，從而明確數(shù)量之間的關(guān)系，即以形助數(shù)。

以形助數(shù)即借助形的直觀性表明數(shù)之間的關(guān)系。這其中，形是手段，數(shù)為目的，如運(yùn)用函數(shù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)。缺少形難以讓學(xué)生獲得直觀的感受，形少數(shù)時難以入微。因此，在初中數(shù)學(xué)課堂中，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系就可以借助圖形的直觀性來解決。

例如，在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，關(guān)于y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的解答中，教師可以在幾何畫板上畫出不同的圖形進(jìn)行直觀的展示，如圖1 所示。

圖1

然后設(shè)置例題“直線y=kx+b經(jīng)過A（0，2）和B（3，0）兩點(diǎn)，求一次函數(shù)的解析式”，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對問題進(jìn)行分析，通過分析與對比尋找相應(yīng)的圖形。

問題解析：如若按照以往的方法，學(xué)生會根據(jù)題目給出的條件，一步步地代入、求解。但數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用則可以很好地優(yōu)化解題過程。以形助數(shù)通過復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的直觀化展現(xiàn)，根據(jù)題目條件繪制圖形直觀展示，強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解，可以把復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。

不等式是初中數(shù)學(xué)的一部分，但以往的不等式問題的解答，因涉及參數(shù)多且解題過程復(fù)雜，加劇了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以很好地解決這一問題。

如圖2，直線y1=kx+b過點(diǎn)A（0，2）且與直線y2=mx交于點(diǎn)P（1，m），則不等式mx＞kx+b的解集是______。

圖2

問題解析：針對上面的不等式問題，如若采取直接法解答是無法完成的。因?yàn)轭}目給出的已知點(diǎn)代入解析式中無法求出參數(shù)k、b的值以及m。針對這個問題，可以觀察圖象交點(diǎn)和交點(diǎn)兩側(cè)的圖象，判斷當(dāng)x在什么范圍時y1＞y2或y2＞y1。

解答：不等式mx＞kx+b，即y2＞y1，通過對圖象的觀察，結(jié)合P點(diǎn)橫坐標(biāo)在交點(diǎn)P的右側(cè)，即當(dāng)x＞1時，y2＞y1，mx＞kx+b的解集是x＞1。

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形即借助數(shù)精確性、規(guī)范性的特征對形的特征進(jìn)行闡述。數(shù)是手段，形是目的。以數(shù)解形的關(guān)鍵在于用數(shù)量關(guān)系對幾何圖形進(jìn)行分析，用一定量的計(jì)算方式展現(xiàn)復(fù)雜的圖形，實(shí)現(xiàn)對圖形中有關(guān)內(nèi)容的計(jì)算。以數(shù)解形經(jīng)常用在幾何圖形問題的解答中，通過挖掘圖形內(nèi)無法展示的條件，對具體關(guān)系進(jìn)行分析。

例如，圖3 是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形。假設(shè)直角三角形較長的直角邊長為a，較短的直角邊長為b，如若（a+b）2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積是多少？”

圖3

問題解析：觀察圖3 可知，小正方形的面積＝大正方形的面積-4 個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案。

解答：∵（a+b）2＝21 ∴a2+2ab+b2＝21 ∵大正方形的面積為13 ∴2ab＝21-13＝8 ∴小正方形的面積是13-8=5。

在數(shù)學(xué)幾何問題的解答中，求某線段的長度是經(jīng)常出現(xiàn)的題型。針對這部分題型，如若采取以往的方法一步步地進(jìn)行分析，很容易將學(xué)生繞進(jìn)去。而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可以很好地解決這一問題。

如圖4，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=OB=OC，BO⊥CO，OD⊥AB于點(diǎn)D，DO交AC于點(diǎn)E，已知BC=3，AC=4，則AE的長為_______。

圖4

問題解析：當(dāng)問題中涉及線段較多，要想表達(dá)清楚這些線段之間的數(shù)量關(guān)系，可設(shè)其中一條或多條線段為未知數(shù)，再由線段成比例得到等量關(guān)系，從而列出方程（組），解出未知數(shù)，完成解題。

解答：連接BE，易得EB=AE，∠EAO=∠ECO=∠EBO。∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在Rt△BEC中，BC2-CE2=BE2，∴BC-CE=AE，設(shè)AE=x，則32-（4-x）2=x2，解得x=2+或（不合題意，舍去）

如若在教學(xué)中，教師能夠發(fā)揮以數(shù)解形的優(yōu)勢，不僅能幫助學(xué)生真正理解了數(shù)學(xué)知識，還能讓學(xué)生在靈活應(yīng)用中解決數(shù)學(xué)問題，并為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）數(shù)形互變

利用數(shù)形結(jié)合思想表達(dá)數(shù)量與圖形的關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)兩者的有效轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合的互相轉(zhuǎn)變，靈活變通，最終達(dá)到解答問題的目的。但關(guān)鍵還是要理解數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)，找到解題的規(guī)律，這樣才能靈活應(yīng)用，找到最佳的解題方法。

如圖5，已知方程｜x2-4x+3｜=m有四個根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是什么？

圖5

分析：此問題不涉及方程根的具體值，只是求根的個數(shù)，而求方程根的個數(shù)問題可以直接轉(zhuǎn)化為求兩條曲線交點(diǎn)的個數(shù)問題。

解：｜x2-4x+3｜=m根的個數(shù)問題就是，函數(shù)y=｜x2-4x+3｜與y=m的函數(shù)圖象的交叉點(diǎn)的個數(shù)。所以可以作出拋物線y=x2-4x+3 的圖象，將x軸下方的圖象沿著x軸翻折上去，可以得到y(tǒng)=｜x2-4x+3｜的圖象，根據(jù)圖5 再作直線y=m，可以看出拋物線y=x2-4x+3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1），經(jīng)過x軸翻折后可以變?yōu)椋?，1），當(dāng)0＜m＜1 時，有四個交點(diǎn)，由此可以確定m的取值范圍是0＜m＜1。

再如，設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0 恒成立，如若實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組f（m2-6m+23）+f（n2-8n），那么m2+n2的取值范圍是（）

解析：根據(jù)已經(jīng)知道的f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對稱，于是由f（m2-6m+23）+f（n2-8n）＜0 可知m2-6m+23+n2-8n＜2 即（m-3）2+（n-4）2＜4，可以得到圖6，然后借助圖6 可求出參數(shù)的范圍（13，49）。

圖6

在實(shí)際的數(shù)學(xué)問題的解答中，特別是遇到抽象的題型，經(jīng)常將以形助數(shù)和以數(shù)助形結(jié)合起來即數(shù)形結(jié)合的方式。一般先用以數(shù)助形，在圖上進(jìn)行直觀展現(xiàn)、分析，然后明確有關(guān)形的關(guān)系，再通過以形助數(shù)，分析和確定簡單、容易的有關(guān)數(shù)之間的關(guān)系。一般情況下，在數(shù)學(xué)簡答題中經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合法，在中考選擇題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法時，只需以形助數(shù)就可以直接求出結(jié)果，提升學(xué)生解題的效率。當(dāng)然，在選擇題的解答中，依然需要簡單的代數(shù)處理，即通過以數(shù)助形的方式完成簡單的代數(shù)計(jì)算。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用對學(xué)生的知識拓展、解題思維的開闊有著重要的作用，針對空間想象力弱的學(xué)生，可以借助“以數(shù)解形”來化解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難；對于計(jì)算能力弱的學(xué)生，可以采取“以形助數(shù)”幫助學(xué)生明確數(shù)量間的關(guān)系。初中數(shù)學(xué)知識抽象性和邏輯性都很強(qiáng)，由于學(xué)生的思維、已有的知識水平、掌握的知識基礎(chǔ)等不同，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果上有一定的偏差。因此，教師可以借助數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢組織數(shù)學(xué)活動，以實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容的進(jìn)一步深化，讓學(xué)生的基礎(chǔ)更扎實(shí)。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師要注重學(xué)生主體作用的發(fā)揮，并有意識地將數(shù)形結(jié)合思想滲透在教學(xué)活動中，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同時，提升學(xué)生的自主探究與創(chuàng)新能力。加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著很強(qiáng)的可行性，不僅提升了課堂教學(xué)質(zhì)量，還推動了數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的完成，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。