何崇榮 張 黎

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

彈簧振子是高中階段的一個(gè)重要物理模型,借助該模型可以考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量和能量等高考主干知識(shí).然而在命制彈簧振子類試題設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)容易想當(dāng)然,造成數(shù)據(jù)不自洽.下面結(jié)合具體的兩個(gè)案例,分別給出單彈簧振子和雙彈簧振子類試題數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)是否自洽的論證方法.

1 彈簧連一物體的單振子

【例1】如圖1(a)所示,在傾角為37°足夠長(zhǎng)的粗糙斜面底端,一質(zhì)量m=1 kg的滑塊壓縮著一輕彈簧且鎖定,但它們并不相連,滑塊可視為質(zhì)點(diǎn).t=0時(shí)解除鎖定,計(jì)算機(jī)通過(guò)傳感器描繪出滑塊的v-t圖像如圖1(b)所示,其中Oab段為曲線,bc段為直線,在t1=0.1 s時(shí)滑塊已上滑x=0.2 m的距離(取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).則( )

圖1 例1題圖

A．滑塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1

B．滑塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2

C．t=0.4 s時(shí)滑塊的速度大小為1.0 m/s

D．0～0.1 s內(nèi)彈簧彈力做功4 J

解析：由題意可知,滑塊在t1=0.1 s時(shí)與彈簧分離,之后沿斜面向上做勻減速,根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

由圖1(b)可知

于是解得

μ=0.5

在0～0.1 s內(nèi),根據(jù)動(dòng)能定理有

解得

W=4 J

滑塊沿斜面下滑過(guò)程,根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinθ-μmgcosθ=ma2

滑塊與彈簧分離后,沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間t3,則

vb=a1t3

t=0.4 s時(shí)滑塊的速度

v=a2(t-t3)

解得

v=2 m/s

所以正確選項(xiàng)為D.

疑問(wèn)：題目給出的條件是否存在不自洽問(wèn)題?

滑塊沿斜面向上的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),以平衡位置為原點(diǎn),沿斜面向上為正方向,設(shè)t=0時(shí)滑塊距離彈簧原長(zhǎng)處的距離為d,振幅為A,周期為T,則滑塊偏離平衡位置的位移

x=-Acosωt

速度

v=ωAsinωt

其中

t1=0.1 s時(shí),滑塊位移

x1=-Acosωt1=d-A

(1)

滑塊速度

vb=ωAsinωt1

(2)

已知

d=0.2 mt1=0.1 s

vb=2 m/sT>0.1 s

可以求出A與ω,具體求解如下.

由式(1)得

將其代入式(2)得

(3)

物體在平衡位置時(shí)

mgsinθ+μmgcosθ=κx1=κ(d-A)

(4)

解得

代入數(shù)據(jù),結(jié)合T>0.1 s,利用式(3)由數(shù)值計(jì)算可得

ω=23.3 rad/s

此時(shí)A=0.118 m,μ=4.815,而根據(jù)圖1(b)中的bc段可得μ=0.5,兩者相矛盾,所以題目數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)不自洽.

也可以通過(guò)圖1(b)中bc段的條件:t1=0.1 s時(shí),vb=2 m/s;t2=0.2 s時(shí),vc=1 m/s,來(lái)驗(yàn)證0.1 s內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)距離d是否等于0.2 m,具體驗(yàn)證如下:

設(shè)0.1～0.2 s內(nèi)滑塊加速度大小為a,根據(jù)牛頓第二定律有

a=g(sinθ+μcosθ)=10 m/s2

(5)

聯(lián)立式(1)、(2)、(4)、(5)解得

(6)

(7)

代入數(shù)據(jù),結(jié)合T>0.1 s,利用式(6)由數(shù)值計(jì)算可得ω=18.35 rad/s,此時(shí)d=0.143 m.這與題目給出d=0.2 m相矛盾,說(shuō)明數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)不自洽.

改進(jìn)方案：要么不用給出在t1=0.1 s時(shí)滑塊已上滑距離d(題目中用x表示)的值,就用字母表示,這樣計(jì)算0～0.1 s內(nèi)彈簧彈力做功用d表示即可.或者通過(guò)已知t1=0.1 s時(shí)vb=2 m/s,t2=0.2 s時(shí)vc=1 m/s,這些條件計(jì)算出d的值,設(shè)置d=0.14 m,兩種處理都可以確保題目數(shù)據(jù)嚴(yán)謹(jǐn)自洽.

2 彈簧連兩物體的雙振子

【例2】(2022年高考全國(guó)乙卷)如圖2(a),一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上:物塊B向A運(yùn)動(dòng),t=0時(shí)與彈簧接觸,到t=2t0時(shí)與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖2(b)所示.已知從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同.斜面傾角為θ(sinθ=0.6),與水平面光滑連接.碰撞過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi).求:

(1)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧彈性勢(shì)能的最大值;

(2)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù).

圖2 例2題圖

解析：略.

疑問(wèn)：題目已知從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0,這個(gè)數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)是否嚴(yán)謹(jǐn)?接下來(lái)我們作具體的研究.

設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l0,勁度系數(shù)為κ,A、B的質(zhì)量分別為mA和mB,以B與彈簧接觸時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,建立如圖3所示的一維坐標(biāo)系.

圖3 光滑水平面上雙彈簧振子

解：對(duì)A,根據(jù)牛頓第二定律有

-F=-κ(xA-xB-l0)=mAaA

(8)

對(duì)B,根據(jù)牛頓第二定律有

F=κ(xA-xB-l0)=mBaB

(9)

分析A相對(duì)B的運(yùn)動(dòng),A相對(duì)于B的位移

x=xA-xB

(10)

A相對(duì)于B的加速度

a=aA-aB

(11)

A相對(duì)于B的速度

v=vA-vB

聯(lián)立式(8)～(11)得

令

則

a=-ω2(x-l0)

所以A相對(duì)于B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

x-l0=Acos(ωt+φ)

v=-ωAsin(ωt+φ)

初始條件t=0時(shí)

x=l0v=-vB0<0

則

Acosφ=0 -ωAsinφ=-vB0

所以

vB0=ωA

v=-vB0cosωt

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律有

mBvB0=mBvB+mAvA

A相對(duì)B的速度

v=vA-vB=-vB0cosωt

解得

由圖2(b)可知

T=4t0vB0=1.2v0

A、B分離時(shí)

vA=2v0vB=0.8v0

于是可得

mB=5m

vA=v0(1-cosωt)

從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為

所以題目設(shè)計(jì)A運(yùn)動(dòng)距離為0.36v0t0是很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?不存在數(shù)據(jù)不自洽.

上面推導(dǎo)兩物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí),采用學(xué)生容易接受的地面參考系來(lái)研究,推導(dǎo)出兩者間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).我們也可以在系統(tǒng)質(zhì)心系中研究?jī)晌矬w的運(yùn)動(dòng)情況,這里不具體展開(kāi).

3 總結(jié)

我們?cè)诿茝椈烧褡宇愒囶}設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)不能想當(dāng)然,要根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程得出物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,然后恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)數(shù)據(jù).如果涉及的動(dòng)力學(xué)方程求解比較困難,可以借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值求解或模擬.這種方法對(duì)于其他問(wèn)題數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)也是適用的,比如機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題、含彈簧系統(tǒng)的能量問(wèn)題、電磁感應(yīng)中動(dòng)力學(xué)及能量問(wèn)題等等.