文／趙維坤

今天，我們來(lái)研究A4 紙中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí)。A4 紙的形狀是長(zhǎng)方形，其核心問(wèn)題是長(zhǎng)與寬之間的數(shù)量關(guān)系。長(zhǎng)與寬的和是半周長(zhǎng)，長(zhǎng)與寬的積是面積，而長(zhǎng)與寬的比值是我們今天要研究的對(duì)象。

用目測(cè)的方法估算A4 紙長(zhǎng)與寬的比值是最常用的方法，但可能誤差較大。既然“看”不行，那就“量”和“算”，利用刻度尺，度量A4 紙的長(zhǎng)與寬，并計(jì)算長(zhǎng)與寬的比值，結(jié)果精確到0.001。

通過(guò)計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)得到的比值在1.414 附近，從而引發(fā)猜想：A4 紙長(zhǎng)與寬的比可能是。雖是無(wú)理數(shù)，卻是一個(gè)準(zhǔn)確值，要驗(yàn)證這一猜想，顯然度量的方法已不再適合，因此，我們需要另辟蹊徑。

我們可以通過(guò)折紙的方式進(jìn)行驗(yàn)證，將A4 紙按圖1方式折疊，易知△ABE為等腰直角三角形。設(shè)AB=1，則有BE=。再折疊，如圖2 所示，發(fā)現(xiàn)折痕BE與BC恰好重合，從而說(shuō)明A4紙的長(zhǎng)是。

圖1

圖2

利用研究A4 紙的經(jīng)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)，A3 紙與A4 紙具有相同的規(guī)律：長(zhǎng)與寬的比都是，即形狀相同，大小不同。實(shí)際上，將A3 紙沿著長(zhǎng)邊的中垂線對(duì)折，折疊后的圖形就是A4紙。

其實(shí)，保持A3、A4 紙相同的長(zhǎng)寬比，我們可以等比例地放縮打印的文檔或圖片，這樣的設(shè)計(jì)可以為工作和生活提供很大的便利。但為何設(shè)計(jì)的是這個(gè)比值，而不是其他比值呢？

這樣，我們就需要研究其他的A型紙。

反過(guò)來(lái)，兩張A6 紙拼成了一張A5 紙，兩張A5 紙又拼成了一張A4紙，以此類(lèi)推，還可以拼出A3、A2、A1紙，最終拼出A0紙。

事實(shí)上，工廠生產(chǎn)紙張便是通過(guò)不斷切割A(yù) 型紙較長(zhǎng)對(duì)邊中線，逐步得到各類(lèi)A 型紙。這樣的設(shè)計(jì)可以最大限度地節(jié)約資源，避免邊角料的浪費(fèi)。

通過(guò)查閱A 型紙國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)尺寸表（如表1），這張初始的A0 紙的長(zhǎng)與寬為何設(shè)置成這樣的數(shù)值呢？通過(guò)計(jì)算兩者的乘積：1189×841=999949mm2，改用m2做單位后，發(fā)現(xiàn)原來(lái)A0紙的面積大約是1m2。

表1

生活中常見(jiàn)的紙除了A 型紙，還有B 型紙和K 型紙，它們的長(zhǎng)與寬的比值還是嗎？如果不是，又具有什么樣的關(guān)系呢？同學(xué)們可以自己嘗試著探索。