嚴(yán)格 整理

在學(xué)習(xí)過“勾股定理”之后，同學(xué)們了解了直角三角形三條邊的關(guān)系，知道了已知直角三角形兩條邊的長就可以求出第三條邊的長，并且認(rèn)識了3、4、5，5、12、13，7、24、25 這樣的勾股數(shù)。但是在完成一些習(xí)題時，我們還是會遇到一些困難。例如，已知直角三角形一條直角邊的長為3，一條斜邊的長為4，求另一條直角邊的長。在學(xué)習(xí)過“實(shí)數(shù)”之后，同學(xué)們才能知道該三角形的另一條直角邊的長為，它是一個無理數(shù)！

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)可以追溯到古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。在公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家們致力于研究數(shù)的本質(zhì)和性質(zhì)。他們相信世界上的一切事物都可以用整數(shù)（或整數(shù)的比值）來表示。

然而，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一個問題，即無法用有理數(shù)表示某些數(shù)，例如。可以看成是邊長為1 的正方形的對角線，而沒有任何整數(shù)或整數(shù)的比可以準(zhǔn)確地表示它。這個發(fā)現(xiàn)違背了他們的數(shù)學(xué)信念，對當(dāng)時的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派產(chǎn)生了巨大的沖擊。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。但是后來越來越多像這樣的數(shù)被發(fā)現(xiàn)，希帕索斯的理論也逐漸被古希臘數(shù)學(xué)家們所接受，西方世界也開始了對無理數(shù)的研究。不過實(shí)數(shù)的概念并沒有在古代得到完整的發(fā)展和系統(tǒng)化。直到17 世紀(jì)，人們才開始對實(shí)數(shù)進(jìn)行更深入的系統(tǒng)研究。