鄒慧妤

(福建省龍巖市第二中學(xué),福建 龍巖 364000)

圓錐曲線不僅是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí),還是一大難點(diǎn).學(xué)生通過(guò)對(duì)圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí),可以有效培養(yǎng)自身的邏輯思維、計(jì)算推理、數(shù)形分析、空間轉(zhuǎn)換與想象等多項(xiàng)能力,還有助于學(xué)生轉(zhuǎn)化思想、完整思維與樂(lè)觀心態(tài)的形成.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師需指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圓錐曲線的幾何性質(zhì)處理部分特殊試題,使其根據(jù)題意靈活運(yùn)用圓、拋物線、雙曲線、橢圓等相關(guān)知識(shí)來(lái)解題,助推他們順利突破解題障礙,不斷提升個(gè)人的解題水平.

1 運(yùn)用圓錐曲線定義,有效解答數(shù)學(xué)最值問(wèn)題

解析當(dāng)讀完題目?jī)?nèi)容以后,教師要求學(xué)生把圓錐曲線的定義、最值等基礎(chǔ)知識(shí)羅列出來(lái),結(jié)合現(xiàn)有現(xiàn)象研究本題所考查的知識(shí)要點(diǎn).圍繞題干中提供的兩個(gè)條件,他們可采用橢圓的第一定義與不等式的基本性質(zhì)等知識(shí),把原題轉(zhuǎn)變?yōu)榍簏c(diǎn)D與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離積問(wèn)題,據(jù)此求解[1].

由于只有當(dāng)|DF1|=|DF2|時(shí),等號(hào)才能夠成立,根據(jù)題意是求點(diǎn)D距橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之積A的最大值,所以當(dāng)|DF1|=|DF2|時(shí)距離之積的最大值是16,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,2)或者(0,-2).

本題主要考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義的具體應(yīng)用.通過(guò)分析題目能明確這一點(diǎn),但是需注重對(duì)圓錐曲線定義的拆分,使學(xué)生快速掌握解題思路,提高解題效率.

2 借助數(shù)形結(jié)合思想,解決動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中一類難度比較大的題目,既考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用,又對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力有著較高要求.教師可提示學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì),深化個(gè)人邏輯思維,使其快速找到解題的切入點(diǎn).

解析本題是一道典型的動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,結(jié)合題干中給出的信息讓學(xué)生進(jìn)行梳理,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A不僅在l1上,還在l2上,l1和l2又是垂直關(guān)系,所以與斜率肯定有所聯(lián)系,學(xué)生從斜率著手幾何恒等關(guān)系列出相關(guān)方程來(lái)解決.

設(shè)直線l1的斜率是k,根據(jù)題意可知l1過(guò)定點(diǎn)A(0,1),則直線l1的方程是y=kx+1.

圖1 例2題圖

3 幾何性質(zhì)入手分析,驅(qū)使學(xué)生簡(jiǎn)潔解答試題

在一些解析幾何類試題中往往含有一定的幾何圖形結(jié)構(gòu),教師應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生從圓錐曲線的幾何性質(zhì)入手分析題意,認(rèn)真審理題目?jī)?nèi)容,找出各個(gè)條件及條件之間的聯(lián)系,使其從中迅速找到解題思路,驅(qū)使學(xué)生簡(jiǎn)潔解答試題.

解析學(xué)生通過(guò)對(duì)題目?jī)?nèi)容的閱讀與分析,可以根據(jù)題意畫出圖形,如圖2所示,根據(jù)正弦定理求sin∠AFB值,然后根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)求出a與c的值.

圖2 例3題圖

由此可知sin∠AFB=1,則∠AFB=90°,那么在Rt△ABF中,BF2=AB2-AF2=102-62=64,所以|BF|=8.

設(shè)F′是該橢圓的右焦點(diǎn),那么四邊形AFBF′是矩形,|BF′|=|AF|=6.

所以2a=6+8=14,解得a=7.

4 注重融入相關(guān)知識(shí),有效降低學(xué)生解題難度

數(shù)學(xué)是一門典型的邏輯性科目,各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間有著關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的特點(diǎn),尤其是在解題訓(xùn)練中,在處理一些數(shù)學(xué)題目時(shí)往往要用到與之有關(guān)的知識(shí).要求學(xué)生閱讀題目?jī)?nèi)容時(shí),深入發(fā)掘題目中涉及的知識(shí)點(diǎn),找到這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,使其形成清晰、簡(jiǎn)便的解題思路,有效降低解題難度.

解析大部分學(xué)生看到這一題目時(shí),一般都能夠明確解題的大致方向,即采用坐標(biāo)求解矩形面積.不過(guò)由于受到思維的限制,導(dǎo)致他們習(xí)慣性把坐標(biāo)設(shè)為x與y,這樣后續(xù)計(jì)算量較大,十分麻煩.結(jié)合題意發(fā)現(xiàn)求解這一最值時(shí)要用到函數(shù)知識(shí),其中三角函數(shù)是一種有界函數(shù),能夠提供很好的助力,可聯(lián)系三角函數(shù)及圓錐曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行解題.

5 巧妙利用幾何性質(zhì),解答軌跡類型問(wèn)題

在軌跡類型題目中,圓錐曲線主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面,即根據(jù)方程對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行判斷、利用圓錐曲線性質(zhì)求解方程式.軌跡類型題目主要考查學(xué)生對(duì)曲線性質(zhì)的掌握以及運(yùn)用,靈活利用曲線性質(zhì)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析,列出相應(yīng)的方程式[2].

例5 方程x2+(y-2)2=x-y-4對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡是____.

A.橢圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.兩直線

解析在解題時(shí),通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行變形,可以看出動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(0,2)的距離與其到直線l:x-y-4=0的距離的比值是2,根據(jù)曲線的性質(zhì)可以得出,離心率大于1的只有雙曲線,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是雙曲線.

6 靈活利用曲線性質(zhì),有效解決三角形問(wèn)題

在高考數(shù)學(xué)中,圓錐曲線與三角形結(jié)合是高考命題的一個(gè)重要趨勢(shì),要求學(xué)生利用曲線性質(zhì),結(jié)合已知條件做出判斷,構(gòu)建圓錐曲線與三角形的關(guān)系,完成三角形問(wèn)題解題.

例6已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2作出橢圓長(zhǎng)軸的垂線,和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)是P,如果△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是____.

根據(jù)題意得知∠F1PF2=90°,∠PF1F2=45°.

總而言之,圓錐曲線是一類極為重要的數(shù)學(xué)知識(shí),在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程體系中占據(jù)著非常關(guān)鍵的位置,而圓錐曲線的幾何性質(zhì)不僅有著自身的特殊性,還能夠應(yīng)用到解題中.數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中,應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況有的放矢地運(yùn)用圓錐曲線的幾何性質(zhì),使其形成清晰的解題思路,找到更為便捷的解題方法,繼而提高他們的數(shù)學(xué)解題能力.