金 毅

(呼和浩特市第二中學(xué),內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000)

“蒙日圓”是一種非常重要的幾何模型,在高考和數(shù)學(xué)競賽中均有考查.本文從蒙日圓的軌跡方程出發(fā),給出與蒙日圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,以求多方面展示“蒙日圓”的考查特點(diǎn),以便我們從不同的角度了解這種軌跡.

1 “蒙日圓”與軌跡

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線互相垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.

思考1 對例1一般化結(jié)論的探討.

化簡,可得s2+t2=a2+b2.

點(diǎn)評求“蒙日圓”的方程本質(zhì)上屬于解析幾何中的軌跡方程問題.從結(jié)論1與結(jié)論2可以看出,橢圓與雙曲線都存在對應(yīng)的一個(gè)蒙日圓.從方程的形式上看,兩種曲線的蒙日圓方程有較強(qiáng)的相似性.本文的證明方法是基于對斜率的構(gòu)造,所以追求方程在未知數(shù)上的次數(shù)相等,便于構(gòu)造斜率.值得一提的是,在證明結(jié)論2的過程中,兩條切線AP,BP斜率一直存在,故不必討論斜率不存在的情形.

2 “蒙日圓”與斜率

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程;

(2)過“蒙日圓”E上的任意一點(diǎn)M作橢圓C的一條切線MA,A為切點(diǎn),延長MA與“蒙日圓”E交于點(diǎn)D,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OM,OD的斜率存在,且分別設(shè)為k1,k2,證明:k1k2為定值.

思考2 對例2一般化結(jié)論的探討.

事實(shí)上,根據(jù)橢圓本身的特點(diǎn),我們可以得到基于結(jié)論3的一個(gè)推廣.

結(jié)論4 在結(jié)論3基礎(chǔ)上,當(dāng)OA,MA斜率均存在時(shí),k1k2=kOAkMA.

類似結(jié)論3,4的情況也在雙曲線中成立.

3 “蒙日圓”與面積

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程;

(2)若斜率為1的直線l與“蒙日圓”E相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓C相切,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積.

思考3對例3一般化結(jié)論的探討.

回到例3,易得a2=3,b2=1,代入結(jié)論6,可得面積為2.

類似結(jié)論在雙曲線中也成立.

(a2k2-b2)x2+2a2kmx+a2m2+a2b2=0.

點(diǎn)評與蒙日圓有關(guān)的面積問題的處理可以與垂徑定理、勾股定理相結(jié)合,充分利用圓本身的特征解決面積問題,這樣的計(jì)算方式會(huì)極大減少運(yùn)算量,在較短時(shí)間內(nèi)得到準(zhǔn)確的結(jié)果.從結(jié)果中可以看出這類三角形的面積由橢圓和雙曲線的參數(shù)以及AB的斜率決定.

“蒙日圓”是一種重要的幾何模型,我們通過對軌跡、斜率、面積三個(gè)方面的分析,從不同的角度了解了這種曲線,增加了對模型的認(rèn)識(shí).同樣的模型,不同的角度,可以提出不同的數(shù)學(xué)問題.不同角度的數(shù)學(xué)問題可以使幾何模型的學(xué)習(xí)變得更豐富、更形象、更生動(dòng).在不同的數(shù)學(xué)問題中,蘊(yùn)含著不同的處理策略與計(jì)算方法,經(jīng)過一番學(xué)習(xí)與討論,可以在方法的選擇上增加經(jīng)驗(yàn),深刻體會(huì)模型本身所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì).