宋長芬

(福建省福州第八中學(xué),福建 福州 350004)

2021年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽(A1)卷的解析幾何題,作為一試的最后一題,對考生的數(shù)學(xué)能力要求較高,有很好的區(qū)分度,有助于選拔優(yōu)秀的競賽選手,是個(gè)難得的好題.筆者經(jīng)過探究,從解析法和參數(shù)法兩個(gè)視角給出四種解法,供讀者參考、研究.

1 賽題再現(xiàn)

圖1 競賽題圖

2 解法探究

解法1 易知F1的坐標(biāo)為(-1,0),F2的坐標(biāo)為(1,0).設(shè)P、Q1、Q2的坐標(biāo)分別為(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2), 由條件知x0,y0>0,y1<0,y2<0.

由橢圓定義,得

又|F1F2|=2,

以下先求y1-y2.

解法2利用橢圓的參數(shù)方程.

以下先求y1-y2.

解法3 利用橢圓的參數(shù)方程.

下面用α的三角函數(shù)表示sinβ.

由萬能公式及

解法4 利用橢圓的參數(shù)方程.

由焦半徑公式, 得

又因?yàn)閗PF1=kQ1F1,

①

②

由①②及比例性質(zhì),得

下同解法3.

對于一道經(jīng)典的聯(lián)賽題,學(xué)生不僅要會(huì)做、做全,更要思考如何從多角度來求解. 通過探究一道題,達(dá)到會(huì)做一類題的效果,這不僅可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,也開拓了學(xué)生數(shù)學(xué)視野,幫助其進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì),從而提高數(shù)學(xué)能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).