錢怡潔

(張家港市第二中學(xué),江蘇 張家港 215600)

數(shù)學(xué)中的齊次式是指一個多項式或者分式中各單項式的次數(shù)均相同的式子.初中數(shù)學(xué)中的許多乘法公式比如平方差公式、完全平方公式及勾股定理等都是典型的齊次式,它們體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)之美和對稱之美.對于一些非“齊次”的問題轉(zhuǎn)化為“齊次”問題來處理,這就是數(shù)學(xué)解題中的“齊次化思想”[1].運用“齊次化”思想解題,可以迅速尋找到解題的思路,將問題化繁為簡、化難為易,從而使問題得以圓滿地解答.下面舉例分類解析“齊次化”思想在解題中的應(yīng)用.

1 在整式問題中的應(yīng)用

例1 (2022年江蘇省南通市中考10)已知實數(shù)m、n滿足m2+n2=2+mn,則(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)的最大值為( ).

分析已知等式是非齊次式,目標式是“齊二次”多項式,首先分別將已知式代入完全平方和公式與完全平方差公式,利用非負性求出mn的范圍,然后將目標式展開并將已知式代入得到關(guān)于mn的式子求解.

解因為(m+n)2=m2+n2+2mn,

將m2+n2=2+mn

代入得(m+n)2=2+mn+2mn=2+3mn.

因為(m-n)2=m2+n2-2mn,

將m2+n2=2+mn

代入得(m-n)2=2+mn-2mn=2-mn.

由(m-n)2≥0,得2-mn≥0,解得mn≤2,

當m-n=0時,取等號.

故選B.

點評本題充分利用完全平方公式及目標式的“齊次化”解答,考查了完全平方公式、整式的乘法等知識,是“齊次化”思想應(yīng)用的典型考題.

2 在分式問題中的應(yīng)用

例2 (第13屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初三試題2)如果

分析已知給出的是“齊一次”連等整式,所求的是“齊一次”分式,將已知連等式引進參數(shù),然后解方程組分別用參數(shù)表示a,b,c,最后代入所求式整體約去參數(shù)即可.

點評本題若由已知連等式轉(zhuǎn)換得到的三元一次方程組分別求出a,b,c的值后,代入所求式求值,計算較繁,而這里應(yīng)用“齊次化”思想求解則比較簡捷.

分析所求式是一個“齊二次”分式,根據(jù)已知等式運用非負數(shù)的性質(zhì)和兩邊夾法則求出a的值,代回已知等式后求出變量x,y的關(guān)系,最后利用“齊次化”思想求解.

從而得a=0.

將所求式的分子、分母都除以y2,得所以

故選B.

3 在方程問題中的應(yīng)用

點評本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及“齊次化”思想的解題應(yīng)用.

4 在幾何問題中的應(yīng)用

圖1 例5題圖

解設(shè)FC=m,AF=n,因為Rt△AFB∽Rt△ABC,所以AB2=AF·AC.

又因為FC=DC=AB,

所以m2=n(n+m),

又Rt△AFE∽Rt△CFB,

點評本題通過引入?yún)?shù),運用“齊次化”思想求解幾何問題,體現(xiàn)了“齊次化”思想應(yīng)用的廣泛性.

5 在解直角三角形問題中的應(yīng)用

例6(2022年江蘇省揚州市中考18)如圖2,在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對邊,若b2=ac,則sinA的值為____.

分析條件等式是關(guān)于三角形三邊的“齊二次”關(guān)系,運用“齊次化”思想和直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義解答.

解如圖2所示,在△ABC中,∠C=90°,所以由勾股定理得c2=a2+b2,所以b2=c2-a2.

圖2 例6題圖

點評本題考查“齊次化”思想及勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義在解題中的應(yīng)用.