高詠詠

(克拉瑪依市高級中學(xué),新疆 克拉瑪依 834000)

筆者在一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中,梳理近些年高考試題,發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)解決三角函數(shù)的交匯命題很多,而學(xué)生面對此類問題常因方法不當(dāng),或運(yùn)算過程繁雜,導(dǎo)致雖做對但耗時(shí)太多,或做錯(cuò)丟分,成績不理想.在高考復(fù)習(xí)備考中遇到此類問題時(shí),如何幫助學(xué)生能夠準(zhǔn)確、快速、高效地解答呢? 筆者通過梳理,現(xiàn)將該類問題整理成文,與讀者交流,以期拋磚引玉[1].

1 命題點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)的性質(zhì)主要包含周期性、單調(diào)性、奇偶性等,解題時(shí)要能夠充函數(shù)與0的大小來研究函數(shù)的性質(zhì)[2]

C.若f(x)在區(qū)間[a,b]上遞增,則b-a的最大值為π

D.f(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)

點(diǎn)評本題結(jié)合三角恒等變換將三角函數(shù)進(jìn)行化簡,考查三角函數(shù)的單調(diào)性,對稱性,零點(diǎn)、最值和極值等,需要考生熟練掌握三角恒等變換的變形公式,通過求導(dǎo),分析出f(x)的單調(diào)性,可判斷AC,計(jì)算f(x)+f(π-x),可判斷B,結(jié)合f(x)的單調(diào)性、奇偶性和極值符號(hào)可判斷D.

2 命題點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的零點(diǎn)

利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的零點(diǎn)問題,經(jīng)常設(shè)計(jì)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍或以三角函數(shù)為載體,證明所給函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例2(2023寧夏銀川二中統(tǒng)測)設(shè)函數(shù)f(x)=aex+cosx,其中a∈R.

(1)若a=1,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>2;

(2)若f(x)在區(qū)間[0,π]內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍.

解析(1)f′(x)=ex-sinx,由x>0,得ex>1,sinx∈[-1,1],則f′(x)=ex-sinx>0,即f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).故f(x)>f(0)=2,即f(x)>2.

點(diǎn)評函數(shù)的零點(diǎn)問題,解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn),三種方式中(一平一曲、一斜一曲、兩曲)最為常見的是一平一曲.方法一是直接考慮函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況,方法二是分離參數(shù)法,兩種方法的本質(zhì)都是一平一曲.另外,我們對某些函數(shù)或許可以通過換元,來降低函數(shù)的解決難度.

3 命題點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的最值

利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的最值問題,關(guān)鍵在于能夠正確判斷出所給三角函數(shù)的單調(diào)性.

例3 (2023陜西安康模擬)函數(shù)f(x)=(1-cosx)sinx的最大值為____.

解析因?yàn)閒(x)=(1-cosx)sinx,

所以f2(x)=(1-cosx)2sin2x=(1-2cosx+cos2x)(1-cos2x)=-cos4x+2cos3x-2cosx+1,

令t=cosx(-1≤t≤1),g(t)=f2(x),則g(t)=-t4+2t3-2t+1(-1≤t≤1),

所以g′(t)=-4t3+6t2-2=-2(t-1)2(2t+1),

點(diǎn)評該解法巧妙地利用換元法將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成了冪函數(shù)問題,通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最值[3].

4 命題點(diǎn)四 利用導(dǎo)數(shù)研究三角不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)不等式恒成立問題要區(qū)別于能成立問題,要能夠?qū)⒑愠闪栴}進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

得sinx>kx-1.

點(diǎn)評(1)已知不等式f(x·λ)>0(λ為實(shí)參數(shù))對任意的x∈D恒成立,求參數(shù)λ的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運(yùn)用分離參數(shù)法．

(2)如果無法分離參數(shù),可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解,如果是二次不等式恒成立的問題,可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(a>0,Δ<0或a<0,Δ<0)求解.

三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,考查的分值比例和上課課時(shí)數(shù)量都相對較高,因此兩者的交匯命題會(huì)是高考命題的趨勢.因此,在高考備課中,要深入研究三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),準(zhǔn)確把握導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的命題題型,進(jìn)行針對性訓(xùn)練.