陳曉哲，焦志成，石加聯(lián)

（1.東北大學(xué)秦皇島分?？刂乒こ虒W(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.遼寧科技大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

引言

目前，振動抑制的主要方法有：主動控制、被動控制、混合控制和半主動控制［1］。上述方式中，被動控制不需要外部能源，僅通過自身阻尼消耗振動能量進(jìn)而實現(xiàn)振動抑制，所以其結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，工程應(yīng)用也最為廣泛。

動力吸振是一種常見的被動減振方式，其原理是在振動過程中通過動力吸振器吸收振動系統(tǒng)的能量來降低主系統(tǒng)的振動［2］?；谠撐裨?，學(xué)者們對動力吸振器的工程應(yīng)用展開了研究。楊愷等［3］設(shè)計了一種主被動電磁式動力吸振器，其實驗結(jié)果表明，該吸振器在主動控制后對共振和非共振模態(tài)抑振效果更好，可用于抑制柔性結(jié)構(gòu)的多模態(tài)振動。邢昭陽等［4］提出了一種向振動控制系統(tǒng)中引入負(fù)剛度的動力吸振器，系統(tǒng)在低頻區(qū)的響應(yīng)由于負(fù)剛度特性被放大，減振性能提高。代晗等［5］在反共振點處對一種接地負(fù)剛度時滯反饋控制的動力吸振器進(jìn)行了優(yōu)化，結(jié)果表明該類吸振系統(tǒng)抑振效果優(yōu)越。

上述研究中，只考慮了對主結(jié)構(gòu)的振動進(jìn)行抑制，卻沒有考慮到對這些振動能量的回收。實際上，通過換能器不僅可以將多余的振動能量轉(zhuǎn)化為電能進(jìn)行儲存，為一些微型傳感器等設(shè)備提供電能，還能減小振動給設(shè)備帶來的危害。根據(jù)能量間不同的轉(zhuǎn)換機(jī)制，振動能量俘獲系統(tǒng)可以分為靜電式、電磁式、壓電式、磁致伸縮式、摩擦起電式以及它們的混合式［6］。在這些機(jī)制中，電磁式振動能量俘獲系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、發(fā)電量大、輸出阻抗小，已經(jīng)成為重要的振動能量采集方式之一，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［7］。例如，陳春明等［8］利用杠桿機(jī)構(gòu)，放大了磁鐵與線圈之間的相對位移，設(shè)計了一種新型電磁式振動能量采集器，通過與等效的線性振動能量采集器對比發(fā)現(xiàn)，相同激勵下該系統(tǒng)的能量采集效率是線性采集器的1.76 倍。劉仲琳等［9］采用磁化電流法分析非線性磁力，探索隨機(jī)激勵下雙穩(wěn)態(tài)振動的磁場變化對感應(yīng)電動勢的影響規(guī)律。曹淑瑛等［10］對電磁式振動能量的采集電路進(jìn)行了系統(tǒng)地分析，重點研究了在低輸入電壓下如何實現(xiàn)高效的電能轉(zhuǎn)換。

雖然振動能量回收機(jī)理成功地應(yīng)用在動力吸振器的設(shè)計上，但是對于動力吸振器的研究常常只針對某一特定頻率進(jìn)行回收效率方面的探討。由于工程中的振動頻帶往往以較寬形式存在，導(dǎo)致實際應(yīng)用中回收效率并不高。因此，設(shè)計合理的動力吸振器結(jié)構(gòu)，并拓寬其抑振頻帶，提高其回收效率是一個亟待解決的問題。考慮上述需求，本文基于自參數(shù)擺系統(tǒng)，將振動抑制和能量回收兩種工程需求結(jié)合在一起，設(shè)計了一種具有能量回收功能的自參數(shù)擺動力吸振器，并建立了該振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，通過理論分析和數(shù)值仿真研究了設(shè)計參數(shù)對系統(tǒng)抑振性能和俘能性能的影響。

1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計及數(shù)學(xué)模型

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計

圖1（a）為本文所提具有能量俘獲功能的自參數(shù)擺動力吸振器的結(jié)構(gòu)示意圖。與傳統(tǒng)擺類吸振器不同的地方在于此結(jié)構(gòu)采用封閉線圈來代替子結(jié)構(gòu)擺，并且在擺的運動平面上，擺的兩側(cè)對稱裝有兩塊大小相同的強(qiáng)磁鐵。當(dāng)系統(tǒng)受到外部激振時，可以將主結(jié)構(gòu)y方向上直線運動的振動能量傳遞給子結(jié)構(gòu)線圈ψ方向上的擺運動。因為線圈切割強(qiáng)磁鐵的磁感線時會產(chǎn)生感應(yīng)電流，所以該系統(tǒng)可以在抑制振動的同時也對振動能量進(jìn)行回收。

圖1 自參數(shù)擺動力吸振器Fig.1 The model of auto-parametric pendulum dynamic vibration absorber

1.2 數(shù)學(xué)模型

圖1（b）為該系統(tǒng)的力學(xué)模型，其主要包括一個主質(zhì)量塊m1和一個附著在主質(zhì)量塊上的線圈擺m2。主質(zhì)量塊與固定底座間由彈簧來連接，其剛度為k1、阻尼為c1。線圈m2的擺長為l，機(jī)械阻尼系數(shù)為c2，電阻尼系數(shù)為ce，擺角為ψ。一簡諧激振力F(t)=F0cos(ωt)作用在主質(zhì)量塊上。

基于拉格朗日方程建立該自參數(shù)振動系統(tǒng)的運動微分方程，如下［11］：

考慮到磁力是線圈擺角ψ的函數(shù)，可以將磁力以擺角ψ近似展開［12］，獲得其近似表達(dá)式如下：

2 理論分析

2.1 多尺度法求解

考慮到線圈擺在平衡點ψ≈0 附近為小振蕩，計算時可忽略式（4）中擺角ψ的高階項，同時可將非線性項sinψ和cosψ用泰勒級數(shù)展開為：sinψ≈ψψ3/6+o(ψ5)，cosψ≈1-ψ2/2+o(ψ4)，則式（3）和（4）可進(jìn)一步化簡為［13］：

為研究系統(tǒng)的主共振和2∶1 的內(nèi)共振，令Ω≈ω1+εσ，ω1≈2ω2+εσ1，其 中σ和σ1為調(diào)諧參數(shù)。應(yīng)用兩個不同的時間尺度T0和T1，其中Ti=εiτ，(i=0，1)，ε表示一 個小參 數(shù)，設(shè)方程 的一次近似解為［14］：

將式（7）分別代入式（5）和（6），分離虛部和實部后，最終整理得：

式中?1=σT1-γ1，?2=2γ2-γ1-σ1T1，γ1和γ2表示系統(tǒng)通解中的相位角。

2.2 穩(wěn)定性判斷

為判斷上節(jié)得到的兩種平衡解的穩(wěn)定性。需將非自治系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng)，令h1=a1cos?1，h3=a2cos [(?1-?2)/2]，h4=a2sin [(?1-?2)/2]，h2=a1sin?1并將其代入式（8）～（11）后，可得自治系統(tǒng)的雅可比矩陣B及特征方程為：

基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，解的穩(wěn)定性取決于雅可比矩陣的特征值［16］。如果其中一個特征值具有正實部，則系統(tǒng)的解將是不穩(wěn)定的。若所有特征值的實部均為負(fù)值，則系統(tǒng)解將是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值分析

3.1 抑振機(jī)理分析

基于理論分析，取各參數(shù)為f=0.01，q1=0.3，q2=0.1，q3=0.2，λ1=0.01，η=0.5，λ2=0.01 和ω2=0.711，分別代入式（12）和（13），把得到的結(jié)果用式（15）的穩(wěn)定性條件進(jìn)行判斷，可得上述參數(shù)對應(yīng)的系統(tǒng)幅頻曲線，如圖2 所示。其中，綠色點表示在相同條件下，用龍格庫塔法求解式（3）和式（4）的數(shù)值解。從圖2 可以看出，解析解和數(shù)值解的結(jié)果非常接近，這說明了解析解的正確性，也說明上述假設(shè)（擺的運動幅度較?。┑暮侠硇浴?/p>

圖2 幅頻特征曲線Fig.2 Amplitude frequency characteristic curves

接下來分析系統(tǒng)的抑振性能，當(dāng)橫坐標(biāo)Ω小于［i］值或大于［v］值時，系統(tǒng)處于單模態(tài)運動，即子結(jié)構(gòu)線圈擺不發(fā)生擺動，此時系統(tǒng)只存在主質(zhì)量塊的運動，沒有產(chǎn)生抑振效果。當(dāng)Ω在區(qū)間值［ii］～［iv］變化時，系統(tǒng)處于耦合態(tài)運動，即主系統(tǒng)和子系統(tǒng)都存在運動。隨著子系統(tǒng)產(chǎn)生擺動，振動能量從主系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到子系統(tǒng)。主質(zhì)量塊擺動的幅值變小，說明子結(jié)構(gòu)擺的擺動對主質(zhì)量塊的運動產(chǎn)生了抑振效果。當(dāng)Ω在區(qū)間值［i］～［ii］或［iv］～［v］變化時，此時系統(tǒng)存在兩種穩(wěn)定運動狀態(tài)。系統(tǒng)選擇在哪種穩(wěn)態(tài)下運動取決于初始的外部激勵條件。

觀察圖2（a）的幅頻曲線，可知在主共振區(qū)Ω=1時主系統(tǒng)的振動幅值最小，子系統(tǒng)對主系統(tǒng)的抑振效果最為明顯。因此，通過結(jié)構(gòu)設(shè)計使外激振源的頻率處于主共振區(qū)，不僅可使原系統(tǒng)幅值減小，而且通過擺的運動還可以將這部分振動能量轉(zhuǎn)化為電能進(jìn)行回收。

3.2 設(shè)計參數(shù)對抑振性能的影響

從圖2 可以看出，該動力吸振器有效的工作區(qū)間是［ii］～［iv］這段頻帶，稱其為抑振頻帶。該頻帶的寬窄是評價抑振性能的重要指標(biāo)之一。因此，研究不同設(shè)計參數(shù)對抑振頻帶的影響，是動力吸振器結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)式（12）和（13）中的解析式可得該非線性振動系統(tǒng)的幅頻特征方程為：

如果直接對式（16）進(jìn)行求解，過程將會十分復(fù)雜，所得結(jié)果的表達(dá)式也將非常繁瑣。為使求解過程變得簡單，接下來利用小參數(shù)法進(jìn)行化簡求解［17］。將下列參數(shù)進(jìn)行攝動f=εf1，Ω=1+εΩ1，λ1=ελ，并代入式（16）中整理得：

根據(jù)式（17），可得系統(tǒng)的抑振頻帶為：

從式（18）直接可以看出，抑振頻帶與參數(shù)λ1成反比，與參數(shù)f成正比。為了更直觀地說明參數(shù)λ1與f對系統(tǒng)抑振性能的影響，選擇幾組不同參數(shù)的組合進(jìn)行定量的數(shù)值分析。圖3 為主質(zhì)量塊的幅頻圖，其他參數(shù)與3.1 節(jié)相同。

圖3 不同λ1 與f 時的幅頻曲線Fig.3 Amplitude frequency curves for different λ1 and f

如圖3 所示，當(dāng)參數(shù)λ1減小或f增大時，主質(zhì)量塊在耦合模態(tài)下的振動幅值并不會發(fā)生明顯變化，但是在單模態(tài)下運行時，系統(tǒng)的抑振頻帶則會相應(yīng)地增寬，這與式（12）和（13）的結(jié)論相符合。

同時，在式（18）中，不易直接觀察到設(shè)計參數(shù)q1和ω2對抑振頻帶的影響。為了得到最優(yōu)的抑振頻帶，可令dΔ/dq1=0，可以得到q1和ω2的關(guān)系式為-ω2=q1。將該關(guān)系式代入式（12）和（13），進(jìn)一步分析q1和ω2與抑振頻帶之間的關(guān)系。采用表1中的參數(shù)來計算在不同參數(shù)條件下主質(zhì)量塊的幅頻響應(yīng)曲線，如圖4 所示。

表1 頻帶比較的系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 Parameters for frequency bandwidth comparison

圖4 不同參數(shù)的幅頻響應(yīng)Fig.4 Amplitude frequency response for different parameters

觀察圖4 中各曲線的交點，并對比I 和Ⅱ，發(fā)現(xiàn)相比于傳統(tǒng)的擺類吸振器（q1=0），在增加磁力后，主質(zhì)量塊的振動幅值減小，抑振頻帶加寬。對比Ⅰ和Ⅲ也可以看出，用封閉線圈代替?zhèn)鹘y(tǒng)結(jié)構(gòu)中的擺后，當(dāng)附加磁力較小時，主質(zhì)量塊的振動幅值變大，抑振頻帶減小。這是由于線圈擺在擺動時所產(chǎn)生的電阻尼ce導(dǎo)致系統(tǒng)參數(shù)λ2變大，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)抑振效果變差。但對比Ⅳ，Ⅴ和Ⅵ后可知，隨著附加磁力q1的增加，主質(zhì)量塊的振動幅值逐漸變小，抑振頻帶隨之變寬?；谝陨戏治隹梢缘贸?，該動力吸振器由于引入線圈擺的設(shè)計，其抑振性能相比于傳統(tǒng)擺動力吸振器得到了一定的提高。

3.3 俘能性能機(jī)理分析

基于本設(shè)計中引入的線圈擺，該動力吸振器會將部分振動能量轉(zhuǎn)換為電能。俘能器的瞬時功率P在負(fù)載電阻R上產(chǎn)生，可以表示為：

3.4 設(shè)計參數(shù)對俘能性能的影響

為分析設(shè)計參數(shù)對系統(tǒng)俘能性能的影響，取f=0.02，η=0.5，λ1=0.02，λ2=0.03，其余參數(shù)見3.1 節(jié)，來計算不同磁力q1作用下系統(tǒng)的平均功率曲線，計算結(jié)果如圖5 所示。圖中曲線均滿足條件

圖5 不同磁力下的平均功率Fig.5 Average power for different magnetic forces

由圖5 可知，隨著附加磁力的增加，能量收集的幅值和帶寬都在變大，該變化規(guī)律與設(shè)計參數(shù)對抑振性能的影響變化是相同的。

觀察式（21）和（22）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沒有附加磁力q1，即q1=0 時，參數(shù)ω2的最優(yōu)值為0.5。增加磁力后，即q1＞0 時，參數(shù)ω2的最優(yōu)值將變大，且大于0.5。因為參數(shù)ω2的增加會使主質(zhì)量塊的振動幅值amin減小，抑振頻帶Δmax變大，所以該狀態(tài)下系統(tǒng)的抑振效果較好，并且俘獲的能量也較多。

綜上所述，為了使系統(tǒng)的抑振性能更好，在結(jié)構(gòu)設(shè)計時，應(yīng)取較小的參數(shù)λ1和λ2，較大的參數(shù)ω2和q1。根據(jù)1.2 節(jié)中所設(shè)的無量綱參數(shù)，上述參數(shù)的變化可通過設(shè)計較小的機(jī)械阻尼c1，c2，彈簧剛度k1和擺長l，或增加附加磁鐵的磁力等來實現(xiàn)。

4 仿真驗證

為了更直觀地看出主質(zhì)量塊與子結(jié)構(gòu)擺的耦合運動關(guān)系，計算了不同頻率Ω下系統(tǒng)的時域曲線，如圖6 所示。其中各參數(shù)同3.1 節(jié)。從圖6（a）可以看出，系統(tǒng)此時處于穩(wěn)定的單模態(tài)運動，即擺不發(fā)生擺動，也不產(chǎn)生抑振效果。對于圖6（b），系統(tǒng)處于穩(wěn)定的耦合狀態(tài)，此時主質(zhì)量塊的振動幅值減小，其很大一部分振動能量被轉(zhuǎn)移到擺的運動中，使主質(zhì)量塊的振動得到了有效的抑制。當(dāng)頻率接近共振頻率時，此時主質(zhì)量塊的振動幅值最小，抑振效果最好，如圖6（c）所示。

圖6 時域仿真Fig.6 Time domain simulation

圖6 顯示了該動力吸振器從單模態(tài)（擺不發(fā)生擺動）到耦合模態(tài)（擺發(fā)生擺動，產(chǎn)生抑振效果）的過程。對比圖2，時域仿真與理論結(jié)果在各個階段的變化是一致的，這也驗證了本文所采用的解析方法是正確和有效的。

5 結(jié)論

針對傳統(tǒng)擺類動力吸振器抑振頻帶窄的現(xiàn)狀，本文設(shè)計了一種具有能量回收功能的自參數(shù)擺動力吸振器，研究了該非線性振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，并通過數(shù)值分析獲取了各設(shè)計參數(shù)對系統(tǒng)抑振性能和俘能性能的影響規(guī)律，得到了以下結(jié)論：

（1）通過設(shè)置自參數(shù)擺及附加結(jié)構(gòu)強(qiáng)磁鐵，應(yīng)用封閉線圈來代替擺結(jié)構(gòu)，有效地減小了主質(zhì)量塊的振動幅值，拓寬了動力吸振器的抑振頻帶，解決了傳統(tǒng)擺動力吸振器頻帶窄的問題，而且還實現(xiàn)了振動能量的回收。

（2）應(yīng)用簡化的頻帶表達(dá)式對比了不同情況下主質(zhì)量塊的幅頻曲線，發(fā)現(xiàn)在參數(shù)f較大或λ1較小時抑振頻帶變寬，但這兩個參數(shù)值不會影響到主質(zhì)量塊的振動幅值。當(dāng)參數(shù)q1和ω2較大時，主質(zhì)量塊的振動幅值變小，抑振頻帶變寬，收集功率也變大。特別是當(dāng)參數(shù)q1與ω2的關(guān)系為-ω2=q1時，系統(tǒng)的抑振頻帶最寬。

（3）參數(shù)λ1，λ2，q1和ω2決定著系統(tǒng)的抑振性能和俘能性能。通過改變系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)，如較小的機(jī)械阻尼c1，c2，彈簧剛度k1和擺長l，或增加附加磁鐵的磁力有利于提高該吸振器的工作性能。