王相平，李 星，王劍鋒，吳少培，丁旺才，李國(guó)芳

（1.蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.包頭鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院鐵道機(jī)車(chē)車(chē)輛系，內(nèi)蒙古 包頭 014060）

引言

中低速磁浮交通是中國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的新技術(shù)，近年來(lái)得到了廣泛發(fā)展。空氣彈簧懸掛系統(tǒng)作為中低速磁浮車(chē)輛的關(guān)鍵隔振部件，其動(dòng)力學(xué)性能直接影響車(chē)輛的安全性、舒適性，是決定中低速磁浮車(chē)輛發(fā)展前景的重要因素［1-2］。

近年來(lái)，以線性彈簧、阻尼并聯(lián)的空氣彈簧等效模型因其簡(jiǎn)單、高效的計(jì)算優(yōu)勢(shì)而被廣泛應(yīng)用于中低速磁浮車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型中［3-6］，但難以準(zhǔn)確表征空氣彈簧系統(tǒng)的幅頻依賴性也致使其計(jì)算結(jié)果存在較大誤差［7］。羅英昆等［8］運(yùn)用AMESim 建立了考慮氣動(dòng)特性的空氣彈簧非線性模型，并結(jié)合SIMPACK模擬了小半徑豎曲線上高速磁浮車(chē)輛空氣彈簧系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)；Berg［9］根據(jù)鐵道車(chē)輛空氣彈簧力學(xué)特征建立了包含彈性力、摩擦力和黏性力的空氣彈簧一維非線性模型，該模型對(duì)求解精度和計(jì)算效率的合理折衷使得其在軌道車(chē)輛動(dòng)力學(xué)分析中被廣泛使用；戚壯等［10-11］進(jìn)一步考慮空氣彈簧膠囊材料的黏彈性特性，運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分理論修正、優(yōu)化了鐵道車(chē)輛空氣彈簧氣動(dòng)熱力學(xué)模型，并將其與UM 結(jié)合進(jìn)行了整車(chē)動(dòng)力學(xué)計(jì)算；陳俊杰等［12-13］采用摩擦模型和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin-Voigt 模型對(duì)空氣彈簧橡膠氣囊的頻率、振幅相關(guān)性進(jìn)行描述，建立了汽車(chē)空氣彈簧非線性模型。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)中低速磁浮車(chē)輛空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型的相關(guān)研究極少，采用等效線性模型或?qū)⑸鲜鲕?chē)輛空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型移植于磁浮車(chē)輛進(jìn)行計(jì)算是最為常見(jiàn)的做法［1-8］。但中低速磁浮車(chē)輛無(wú)導(dǎo)向電磁鐵，橫向阻尼主要由空氣彈簧懸掛裝置提供［1］，車(chē)輛橫向欠阻尼特性導(dǎo)致其空氣彈簧結(jié)構(gòu)與一般鐵道車(chē)輛存在顯著差別。以中低速磁浮車(chē)用SRI1R160A 和SRI1R160B 系列空氣彈簧［14-15］為例，與鐵道車(chē)輛空氣彈簧［16］相比，為滿足其特定安裝方式與功能特點(diǎn)，中低速磁浮車(chē)輛空氣彈簧膠囊呈筒形并逐步演化出中央導(dǎo)柱。兩者結(jié)構(gòu)與功能上的巨大差異對(duì)現(xiàn)有鐵道車(chē)輛空氣彈簧模型是否適用于中低速磁浮車(chē)輛提出了新的質(zhì)疑與挑戰(zhàn)，在充分考慮二者結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，建立合理的中低速磁浮車(chē)輛空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型就顯得極為必要。

鑒于此，首先在充分考慮中低速磁浮車(chē)輛空氣彈簧結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，分析各向載荷作用下空簧的受力特征，建立各關(guān)鍵部件的力學(xué)模型，再依據(jù)力學(xué)等效原理，建立方便用于動(dòng)力學(xué)計(jì)算的空氣彈簧等效模型；其次進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)，并以某型空氣彈簧為例對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證；最后將本文模型應(yīng)用于中低速磁浮車(chē)輛，通過(guò)線路動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證本文模型工程應(yīng)用的可靠性。研究結(jié)論以期為中低速磁浮車(chē)輛動(dòng)力性能預(yù)測(cè)提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)保障。

1 中低速磁浮車(chē)輛空氣彈簧系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

全文總體技術(shù)路線如圖1 所示。圖1 中，F(xiàn)=表示以合力F等于各分力Fi之和建立空簧等效模型；線性剛度K由各部件剛度k1和k2疊加而成；阻尼C由節(jié)流孔阻尼效應(yīng)等效計(jì)算得到，表示為與阻尼孔有效面積s相關(guān)的函數(shù)f(s)［8］。

圖1 技術(shù)路線Fig.1 Technical route

1.1 結(jié)構(gòu)特征

中低速磁浮車(chē)輛空氣彈簧懸掛系統(tǒng)由空氣彈簧、附加氣室、滑臺(tái)、防脫開(kāi)裝置等部件組成，其安裝位置及結(jié)構(gòu)如圖2 所示。圖2 中，空氣彈簧下部經(jīng)錐形銷(xiāo)定位后安裝于懸浮托臂上的空氣彈簧安裝筒內(nèi)，上部通過(guò)圓柱銷(xiāo)定位后采用螺栓將其與滑臺(tái)固接，滑臺(tái)可在導(dǎo)軌上移動(dòng)，導(dǎo)軌固接于車(chē)體，同時(shí)連接車(chē)體的還有位于懸浮架縱梁上的牽引拉桿。

圖2 空氣彈簧安裝位置及結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Installation position and structure diagram of air spring

1.2 理論分析

空氣彈簧系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3（a）所示。圖3（a）中，H0為空簧標(biāo)準(zhǔn)工作高度；H1為上蓋螺栓高度；H3為上蓋螺栓距摩擦塊距離；D0和D2分別為止擋和膠囊直徑。由于空簧安裝位置較小故將活塞制作為中空結(jié)構(gòu)，使其同時(shí)兼具附加氣室和應(yīng)急止擋的作用。

圖3 空氣彈簧結(jié)構(gòu)特征及其受力分析Fig.3 Structural characteristics and force analysis of air spring

1.2.1 垂向動(dòng)力學(xué)模型

由于上蓋板到摩擦塊的距離H2小于下蓋板到中央導(dǎo)柱底部的距離H4，因此垂向載荷Fz作用下空氣彈簧垂向位移zi＜H2時(shí)所受到的力主要有：膠囊本體變形產(chǎn)生的黏彈性力Fze、氣動(dòng)作用力Fza以及中央導(dǎo)柱與兩側(cè)壁面的摩擦力Fzf；當(dāng)zi≥H2時(shí)上蓋板與摩擦塊接觸，壓迫應(yīng)急止擋，故還需考慮應(yīng)急止擋作用力Fzs，受力分析如圖3（b）所示。垂向作用力表示為：

式中zu和zd分別為上蓋板和活塞垂向位移。

膠囊由簾線橡膠復(fù)合材料制成，其變形產(chǎn)生的彈性力Fze為典型 的黏彈性力［10，12］，故以分 數(shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin-Voigt 模型表征；摩擦力Fzf與空簧垂向位移zi密切相關(guān)，故以庫(kù)侖摩擦模型表征［9］；應(yīng)急止擋由橡膠與金屬材料粘合而成，具有顯著的非線性特性，故以非線性彈簧-阻尼模型等效；氣動(dòng)作用力Fza為空氣彈簧系統(tǒng)主要的作用力，結(jié)合其幾何特征依據(jù)氣動(dòng)熱力學(xué)相關(guān)理論計(jì)算。各模型示意圖如圖4所示。

圖4 各非線性模型示意圖Fig.4 Schematic diagram of each nonlinear model

以分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin-Voigt 模型表征的膠囊黏彈性力Fze為［17-18］：

式中Kze為垂向線彈性剛度；bz為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)阻尼參數(shù)；az為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階次；Dazzi(t)表示位移zi(t)的az階分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)。

以庫(kù)侖摩擦模型表征的摩擦力Fzf為［9］：

式中Ffs_z和zs分別為參考狀態(tài)的初始力和初始位移；Ffmax_z為最大摩擦力；z2為時(shí)所對(duì)應(yīng)的位移大小

以非線性彈簧-阻尼等效的應(yīng)急止擋力Fzs為：

式中FCzs()和FKzs(zi)分別為阻尼力和彈性力；Kzs和Czs分別為其非線性剛度和阻尼。

氣動(dòng)作用力Fza為［13］：

式中Se(zi)為空氣彈簧有效面積；p為膠囊內(nèi)氣體壓強(qiáng)；pa為大氣壓強(qiáng)。

考慮中央導(dǎo)柱幾何特征，膜式空氣彈簧的有效面積Se(zi)為［19-20］：

式中κ為空簧高度對(duì)有效面積的影響因子［19-20］；z0為空簧初始工作高度；Ra為壓強(qiáng)變化后的氣囊半徑；RD為氣囊初始半徑；Tz為氣囊厚度；δ=0.8；Q1和Q2為與鋪層角相關(guān)的值；D1為中央導(dǎo)柱直徑。

理想氣體過(guò)程方程與體積表達(dá)式如下式所示：

式中p0為初始狀態(tài)氣體壓強(qiáng)；V和V0分別為當(dāng)前和初始狀態(tài)氣體體積；α為有效體積變化率；n為氣體多變指數(shù)，取n=1.30～1.38。

結(jié)合式（10），可將式（6）中的氣體壓強(qiáng)p表示為下式形式：

將式（7）和（11）代入式（6），則氣動(dòng)作用力Fza為：

1.2.2 縱/橫向動(dòng)力學(xué)模型

空簧為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其縱/橫向動(dòng)力學(xué)模型一致［9］。本節(jié)縱/橫向力求解的目的是構(gòu)建其與垂向的力學(xué)/幾何關(guān)系，如此僅完全解析某一方向作用力便可得到整體模型的力學(xué)關(guān)系。限于文章篇幅，后文僅給出橫向模型計(jì)算過(guò)程，縱向計(jì)算與橫向計(jì)算完全一致，僅將y替換為x即可，故不再贅述。

橫向力Fy作用下空氣彈簧上下蓋板發(fā)生相對(duì)橫移，此時(shí)系統(tǒng)所受作用力主要有：中央導(dǎo)柱橫向力Fyf、膠囊體積變化引起的橫向氣動(dòng)作用力Fya、膠囊自身變形產(chǎn)生的橫向力Fye和應(yīng)急止擋橫向力Fys，受力分析如圖3（c）所示。圖3（c）中，yd和yu分別為活塞和上蓋板橫移量；yi為任意狀態(tài)下的空簧橫向位移。橫向力Fy表示為：

應(yīng)急止擋以金屬材料為主，為各向同性材料，其橫向力Fys可按式（5）計(jì)算。以空簧中軸線為Z軸，上蓋板處為XOY平面建立坐標(biāo)系，膠囊結(jié)構(gòu)各向應(yīng)力如圖5 所示。

圖5 膠囊結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析Fig.5 Structural stress analysis of rubber balloon

在上蓋板與應(yīng)急止擋約束作用下，膠囊軸向變形橫截面為平面上的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，故軸向應(yīng)力σφ為：

式中R0(zi)，R1(zi)分別為與高度相關(guān)的膠囊內(nèi)、外徑。

在膠囊囊壁取徑向長(zhǎng)度dr、軸向長(zhǎng)度單位1、周向dθ角度的微元體，如圖5（c）所示。則由法線方向上∑F⊥=0 可得：

式中σr為徑向應(yīng)力；σθ為周向應(yīng)力；r為所取微元體到回轉(zhuǎn)中心的徑向距離，r∈[R0，R1]。

周向應(yīng)力σθ作用下囊壁周向纖維伸長(zhǎng)，橫截面圓環(huán)周長(zhǎng)增大，半徑對(duì)應(yīng)增大，記增大量為w；徑向應(yīng)力σr作用下囊壁徑向拉伸，膠囊壁厚增大，記增大量為dw，如圖5（c）所示，則周向應(yīng)變?chǔ)纽取较驊?yīng)變?chǔ)舝分別為：

結(jié)合式（17），對(duì)周向應(yīng)變?chǔ)纽惹髮?dǎo)，整理后可得：

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，εθ和εr可分別表示為：

式中E和μν分別為膠囊材料的彈性模量和泊松比。

聯(lián)立式（18）和（19），可得膠囊變形的應(yīng)力微分方程為：

系統(tǒng)的邊界條件為：

結(jié)合式（14），由式（20）和（21）可得三向應(yīng)力之間的函數(shù)關(guān)系式為：

則各向作用力為：

式中Si為i向應(yīng)力作用面積，i分別表示軸向φ、周向θ和徑向r。

則膠囊自身變形產(chǎn)生的橫向力Fye為：

即最終可建立如式（24）和（25）所示的Fye與Fze（Fφ）的函數(shù)關(guān)系，在式（3）計(jì)算出軸向力Fze的基礎(chǔ)上求得橫向力Fye。

與垂向類(lèi)似，橫向氣動(dòng)作用力Fya為：

式中Se_y(yi)為影響橫向剛度的有效面積，是空簧有效半徑Re和氣囊自由圓弧中心垂向位移Δzi的函數(shù)，可按下式計(jì)算［21］：

根據(jù)幾何關(guān)系，圓弧中心垂向位移Δzi為［21］：

式中Ha為膠囊高度；Hb為氣囊自由圓弧中心距膠囊橫向邊界的距離。Ha，Hb和H3等參數(shù)見(jiàn)圖3（a）。

中央導(dǎo)柱橫向力Fyf主要為導(dǎo)柱抵抗變形的作用力，其值較大，故以彈性模量表征剛度。

1.2.3 模型等效

依據(jù)各作用力特性所建立的空氣彈簧垂向、橫向動(dòng)力學(xué)模型如圖6（a），（b）所示。模型復(fù)雜、參數(shù)較多導(dǎo)致其難以直接用于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)計(jì)算，故基于力學(xué)等效原理，建立空氣彈簧等效模型如圖6（c）所示。

圖6 空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型Fig.6 Dynamics model of air spring

圖6（c）中，Kz和Cz分別為垂向剛度和阻尼，其各項(xiàng)組成如圖6（a）所示；Ky和Cy分別為橫向剛度和阻尼，其各項(xiàng)組成如圖6（b）所示。圖6（a），（b）中，符號(hào)K和C分別表示剛度和阻尼，其下標(biāo)首字母z和y分別表示垂向和橫向，下標(biāo)第二位字母e，f，a和s分別表示彈性項(xiàng)、摩擦項(xiàng)、氣動(dòng)項(xiàng)和應(yīng)急止擋非線性項(xiàng)。各向剛度按下式計(jì)算：

系統(tǒng)中的庫(kù)侖阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼以及其他非黏性阻尼，均采用能量法轉(zhuǎn)化為等效黏性阻尼，即：

式中 ΔE為黏性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量，庫(kù)侖阻尼ΔE=-4μFzA，結(jié)構(gòu)阻尼ΔE=-vA2，其中μ和v分別為摩擦系數(shù)和比例系數(shù)；A和ω0分別為激振力的振幅和圓頻率。

2 系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法

需要辨識(shí)的系統(tǒng)參數(shù)有：庫(kù)侖摩擦模型中的初始力Ffs_z和初始位移zs，最大摩擦力Ffmax_z及對(duì)應(yīng)的位移z（2式（4））；分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin-Voigt 模型中的剛度Kze、阻尼參數(shù)bz和導(dǎo)數(shù)階次az（式（3））；應(yīng)急止擋、膠囊材料、氣動(dòng)作用力所對(duì)應(yīng)的剛度與阻尼（圖6）。庫(kù)侖摩擦模型參數(shù)通過(guò)空氣彈簧靜態(tài)試驗(yàn)辨識(shí)；分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin-Voigt 模型參數(shù)通過(guò)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)辨識(shí)；剛度與阻尼通過(guò)滯回曲線辨識(shí)。力-位移滯回曲線如圖7 所示［9］。

圖7 力-位移滯回曲線Fig.7 Hysteretic curve of force-displacement

主氣室靜態(tài)試驗(yàn)加載頻率極低，膠囊黏彈性特性可以忽略，此時(shí)主氣室靜剛度Kz僅取決于摩擦模型和氣動(dòng)特性，即［9］

其中，Kze+Kza由滯回曲線zi=±z0兩點(diǎn)處斜率求得；KAB由靜態(tài)滯回曲線兩端點(diǎn)所連直線AB的斜率求得。

則庫(kù)侖摩擦模型中相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系為：

式中Kmax為zi=±z0時(shí)滯回曲線的最大斜率；Ffmax_z為滯回曲線在zi=±z0時(shí)兩切線垂向距離的一半，如圖7 所示［9］。庫(kù)侖摩擦模型中的初始力Ffs_z和初始位移zs可由加載特性獲取。

主氣室靜態(tài)試驗(yàn)低頻加載時(shí)節(jié)流孔中氣體流動(dòng)速度緩慢，阻尼效果不明顯［11］，故結(jié)合式（6），已知空簧內(nèi)壓時(shí)氣動(dòng)剛度Kza為：

式中Ve(zi)為空簧有效體積。

則分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin-Voigt 模型中線彈性剛度Kze為：

主氣室動(dòng)態(tài)試驗(yàn)時(shí)膠囊黏彈性不可忽略，記動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)時(shí)主氣室動(dòng)剛度為KD_Z，則分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型中分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)主氣室總體剛度的貢獻(xiàn)KK_V為：

式中Kzf為摩擦模型剛度與圖7 中的“Kze+Kza”類(lèi)似，KD_Z可由動(dòng)態(tài)試驗(yàn)滯回曲線zi=±z0兩點(diǎn)處斜率求得。已知KK_V時(shí)，式（3）分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可等效表示為：

動(dòng)特性加載曲線為正弦型，即

式中AD為加載位移幅值；ω為圓頻率。式（38）可寫(xiě)為：

在求得不同頻率對(duì)應(yīng)的KK_V后，將其用形如下式的曲線擬合：

則根據(jù)下式可求得分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的值：

應(yīng)急止擋、膠囊材料、氣動(dòng)作用力所對(duì)應(yīng)的剛度和阻尼按照式（31）和（32）計(jì)算。在已知滯回曲線時(shí)，式（32）中ΔE可表示為滯回環(huán)面積的函數(shù)，按文獻(xiàn)［11］計(jì)算。

3 基于測(cè)試的模型參數(shù)辨識(shí)

3.1 模型參數(shù)與測(cè)試方法

本文所建立的空氣彈簧模型參數(shù)見(jiàn)表1。表1中，尺寸參數(shù)各符號(hào)與圖3（a）對(duì)應(yīng)，特征參數(shù)各符號(hào)與式（6）～（9）對(duì)應(yīng)。需要說(shuō)明的是，部分模型參數(shù)及后續(xù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)源自文獻(xiàn)［14-15］，有效面積、有效體積及其變化率等部分特征參數(shù)通過(guò)幾何關(guān)系計(jì)算得到，限于文章篇幅，此處僅給出計(jì)算結(jié)果。

表1 空氣彈簧模型參數(shù)Tab.1 Parameters of air spring model

空氣彈簧的垂向靜、動(dòng)態(tài)特性測(cè)試依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)文獻(xiàn)［16］執(zhí)行，加載曲線如圖8 所示。

圖8 空氣彈簧靜、動(dòng)態(tài)測(cè)試加載過(guò)程Fig.8 Loading process of static and dynamic test of air spring

靜態(tài)測(cè)試時(shí)安裝高度為標(biāo)準(zhǔn)工作高度260±2 mm，加載波形為三角波，加載速度為0.8 mm/s，采用10 mm 振幅時(shí)的結(jié)果評(píng)定空簧垂向剛度，在氣囊內(nèi)分別充入0.7，0.6，0.5，0.4，0.3 MPa 壓縮空氣，每個(gè)工況循環(huán)3 次，取第3 次測(cè)得的力-位移曲線，靜剛度測(cè)試加載過(guò)程如圖8（a）所示。動(dòng)態(tài)測(cè)試安裝高度為260±2 mm，加載幅值為70 mm 的正弦波，在氣囊內(nèi)分別充入0.6 和0.3 MPa 壓縮空氣，每個(gè)工況循環(huán)5 次，取第5 次測(cè)得的力-位移曲線，動(dòng)剛度測(cè)試加載過(guò)程如圖8（b）所示。

空氣彈簧滿載載荷Fm=13 kN，在進(jìn)行應(yīng)急止擋的力-位移特性測(cè)試時(shí)，最大加載載荷取1.25Fm［16］，即16.25 kN。測(cè)試時(shí)，將0～16.25 kN 的載荷以10 mm/min 進(jìn)行加載，兩相鄰載荷之間測(cè)試不停頓，進(jìn)行3 次循環(huán)加載，從第3 次循環(huán)開(kāi)始記錄數(shù)據(jù)。

3.2 參數(shù)辨識(shí)與結(jié)果對(duì)比

內(nèi)壓為0.3 MPa 時(shí)，空氣彈簧主氣室靜態(tài)測(cè)試得到的力-位移滯回曲線如圖9 所示。

圖9 主氣室靜態(tài)測(cè)試滯回曲線Fig.9 Hysteresis curve of static test of main gas chamber

將圖9 中的結(jié)果代入式（34）～（36），得：z2=1.22 mm；Kza=45.68 N/mm；Kze=3.91 N/mm；Kzf=9.95 N/mm。再將上述參數(shù)代入式（37）～（44），結(jié)合動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果辨識(shí)分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)參數(shù)，得：az=0.1997，bz=2.1985。

應(yīng)急止擋載荷-位移曲線如圖10 所示。對(duì)其線性擬合，95%置信區(qū)間內(nèi)其剛度可用斜率表示為：

圖10 應(yīng)急止擋載荷-位移曲線Fig.10 Emergency stop load-displacement curve

結(jié)合式（32），其阻尼為：

至此，垂向模型各參數(shù)辨識(shí)完畢。將各參數(shù)代入式（1）～（6），繪制出內(nèi)壓為0.3 MPa 時(shí)的各作用力如圖11（a）所示；內(nèi)壓為0.3 和0.6 MPa 時(shí)垂向力Fz的計(jì)算值與測(cè)試值對(duì)比如圖11（b）所示。圖11（a），（b）表明，±70 mm 范圍內(nèi)，氣動(dòng)作用力Fza為空簧垂向力Fz的主要成分；大于70 mm 時(shí)，應(yīng)急止擋力Fzs發(fā)揮主要作用。計(jì)算值與測(cè)試值能夠較好吻合，驗(yàn)證了本文垂向模型及其參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的正確性。但式（1）結(jié)構(gòu)成分的復(fù)雜性導(dǎo)致其應(yīng)用難度大，故擬通過(guò)擬合Fz-z曲線以建立圖6（c）模型對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

圖11 空氣彈簧測(cè)試結(jié)果及計(jì)算結(jié)果Fig.11 Test results and calculation results of air spring

圖10 和11 表明，大于70 mm 時(shí)止擋力Fzs可線性表示，故以70 mm 為臨界點(diǎn)對(duì)Fz進(jìn)行擬合。zi∈[-70，70] mm 時(shí)，由式（1）可知，F(xiàn)z由三項(xiàng)組成，考慮常數(shù)項(xiàng)，采用三次多項(xiàng)式擬合Fz-z曲線，0.3 和0.6 MPa 時(shí)擬合結(jié)果分別為：

其中，F(xiàn)z單位為N，擬合度R2分別為0.9982和0.9987。

圖11（c）為標(biāo)準(zhǔn)高度下不同內(nèi)壓對(duì)應(yīng)的空簧載荷曲線。對(duì)測(cè)試值進(jìn)行線性擬合，擬合度高達(dá)0.99987，這表明Fz-p呈線性關(guān)系。故可對(duì)式（47）進(jìn)行線性插值，得到不同內(nèi)壓與±70 mm 行程范圍內(nèi)的垂向力為：

依據(jù)式（24），（25）和（27）計(jì)算得 到內(nèi)壓0.3 MPa 時(shí)各橫向力如圖12 所示。圖12 中Fya和Fye分別為與膠囊變形和加載頻率相關(guān)的力，F(xiàn)ys和Fyf幾乎不受加載頻率影響，當(dāng)橫向位移達(dá)到對(duì)應(yīng)值后即會(huì)作用。

圖12 內(nèi)壓0.3 MPa 時(shí)的橫向力Fig.12 Transverse force at 0.3 MPa internal pressure

依據(jù)前述結(jié)果，根據(jù)式（31）和（32）計(jì)算出空氣彈簧系統(tǒng)的剛度和阻尼特性如圖13 所示。

圖13 空氣彈簧系統(tǒng)剛度、阻尼特性曲線Fig.13 Stiffness and damping characteristic curves of air spring system

圖13（b）中，橫向位移0～0.5 mm 為空簧上、下蓋板最大橫向相對(duì)位移，在此范圍內(nèi)主要為膠囊變形產(chǎn)生的氣動(dòng)剛度、摩擦剛度以及膠囊自身的黏彈性力對(duì)應(yīng)的剛度；0.5～6 mm 為應(yīng)急止擋變形區(qū)，剛度即為圖10 中的擬合斜率b；大于6 mm 時(shí)系統(tǒng)橫向剛度主要由剛度更大的中央導(dǎo)柱提供。

4 不同空氣彈簧模型的動(dòng)力學(xué)特征比較

結(jié)合線路動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果，基于UM 建立磁浮車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)比本文模型與線性模型的差異。線性模型中的剛度與阻尼通過(guò)空氣彈簧動(dòng)剛度試驗(yàn)確定，即剛度由橡膠氣囊和附加氣室等效計(jì)算獲得，阻尼由節(jié)流孔阻尼效應(yīng)等效計(jì)算得到［8］。線性模型參數(shù)取值為：縱/橫向剛度為2.6×106N/m，阻尼為1860 N·s/m；垂向剛度為5.3×104N/m，阻尼為3110 N·s/m。

軌道不平順?lè)禐椤?.5 mm，依據(jù)文獻(xiàn)［22-23］反演。以空簧上部固接于車(chē)體的導(dǎo)軌安裝座評(píng)估其隔振性能，10～80 km/h 運(yùn)行速度下導(dǎo)軌安裝座處各向加速度有效值（RMS）如圖14（a）～（c）所示。由圖14（a）～（c）可見(jiàn)，速度低于30 km/h 時(shí)本文模型與線性模型計(jì)算結(jié)果相當(dāng)，大于30 km/h 時(shí)線性模型計(jì)算結(jié)果逐漸偏大，且速度大于60 km/h 時(shí)偏大程度進(jìn)一步增大。由前文分析結(jié)果可知，空簧剛度、阻尼與其動(dòng)位移相關(guān)，以垂向?yàn)槔?，?0 和60 km/h 速度下30 s 內(nèi)導(dǎo)軌安裝座處垂向動(dòng)位移計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，數(shù)據(jù)采樣總數(shù)6000 個(gè)，不同位移出現(xiàn)頻次如圖14（d）所示。對(duì)比圖14（d）可見(jiàn)，速度為60 km/h 時(shí)兩模型計(jì)算結(jié)果差異顯著，主要是動(dòng)位移大于平均數(shù)時(shí)線性模型對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于非線性模型。

圖14 直線線路模型對(duì)比Fig.14 Comparison of straight line model

中低速磁浮車(chē)輛可通過(guò)最小曲線半徑50 m，目前實(shí)際運(yùn)營(yíng)線路最小曲線半徑100 m，全線最高運(yùn)營(yíng)速度100 km/h，為兼顧120 km/h 提速運(yùn)營(yíng)的需求，進(jìn)一步考慮選取800 m 半徑曲線，各曲線線路參數(shù)依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)文獻(xiàn)［23］設(shè)置。半徑50，100，200，300，800 m 曲線對(duì)應(yīng)最大通過(guò)速度15，40，60，70，120 km/h［23］。由于空簧縱/橫向模型相同，且平曲線線路橫向動(dòng)態(tài)作用顯著，故以下僅給出各曲線上導(dǎo)軌安裝座處橫向、垂向計(jì)算結(jié)果，如圖15 所示。

圖15 曲線線路模型對(duì)比Fig.15 Comparison of curve line model

R=100 m 時(shí)，速度為5，15，25 km/h 時(shí)的測(cè)試結(jié)果分別為橫向0.05，0.18，0.56 m/s2，垂向0.02，0.07，0.12 m/s2；R=300 m 時(shí)，速度為20，40，60 km/h 時(shí)的測(cè)試結(jié)果分別為橫向0.33，0.96，1.72 m/s2，垂向0.09，0.27，0.51 m/s2，與 圖15（a）～（b）對(duì)比可見(jiàn)其與本文模型較為接近。由圖15（a）～（b）可見(jiàn)，同一速度下（低速）曲線半徑越小，線性模型計(jì)算結(jié)果偏差越大，同一曲線半徑車(chē)輛通過(guò)速度越大，線性模型偏差越大。以車(chē)輛速度為60 km/h 通過(guò)200 m 半徑曲線為例，如圖15（c）所示（圖15（c）中：區(qū)間①為直線；②為緩和曲線；③為圓曲線），可見(jiàn)導(dǎo)軌安裝座處垂向加速度線性模型幾乎全程均略大于本文模型，圓曲線處尤為顯著；橫向加速度線性模型在緩和曲線與圓曲線過(guò)渡處以及圓曲線處顯著大于本文模型，直線處兩者較為接近。這表明，在提速時(shí)車(chē)輛動(dòng)力學(xué)性能預(yù)測(cè)以及100 m 以下小半徑曲線工程應(yīng)用中線性模型的計(jì)算結(jié)果存在較大誤差。

進(jìn)一步對(duì)比兩種模型的頻率特性。車(chē)輛以15 km/h 通過(guò)R105 m+45‰曲線線路時(shí)，經(jīng)空簧減振后導(dǎo)軌安裝座處各向振動(dòng)加速度功率譜密度如圖16 所示。

圖16 導(dǎo)軌安裝座處各向振動(dòng)加速度功率譜密度（PSD）Fig.16 Power spectral density（PSD）of vibration acceleration in each direction at guide rail mounting seat

圖16（a）為0～1000 Hz 內(nèi)導(dǎo)軌安裝座處的垂向PSD 圖，可見(jiàn)低頻內(nèi)兩模型PSD 幅值和變化趨勢(shì)均存在顯著差異，但隨著頻率增加兩者變化趨勢(shì)逐漸接近，線性模型PSD 值略大于非線性模型?？栈上到y(tǒng)固有頻率一般在0.7～3 Hz［21］，該型空簧固有頻率f0＝2.62 Hz，當(dāng)激勵(lì)頻率大于時(shí)發(fā)揮隔振效果，故選取0～6 Hz 對(duì)比分析兩模型頻率特性的差異。由圖16（b）～（d）可見(jiàn)，縱/垂向頻率小于1 Hz、橫向頻率小于5 Hz 時(shí)線性模型PSD 值顯著小于非線性模型。結(jié)合前文空簧系統(tǒng)剛度、阻尼特性曲線，可認(rèn)為兩模型出現(xiàn)差異的原因是：線性模型恒定的剛度與阻尼導(dǎo)致其對(duì)低頻減振特性表征不足而過(guò)高地評(píng)價(jià)了中高頻減振特性。

5 結(jié)論

基于振動(dòng)力學(xué)與彈性力學(xué)基本原理，構(gòu)建了考慮膠囊、中央導(dǎo)柱、應(yīng)急止擋等關(guān)鍵部件力學(xué)特性的中低速磁浮車(chē)輛空氣彈簧垂向、橫/縱向動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了垂向-橫/縱向力學(xué)關(guān)系，探究了系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)方法，基于力學(xué)等效原理給出了簡(jiǎn)化模型，并以某型空氣彈簧為例，通過(guò)空簧試驗(yàn)與車(chē)輛線路動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性與優(yōu)越性，主要結(jié)論如下：

（1）建立了考慮膠囊黏彈性特性、中央導(dǎo)柱摩擦/支撐特性以及整體氣動(dòng)特性的磁浮車(chē)輛空氣彈簧垂向、橫/縱向非線性模型，構(gòu)建了垂向與橫/縱向的力學(xué)關(guān)系，探究了系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)方法，試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

（2）±70 mm 行程范圍內(nèi)，磁浮車(chē)輛空氣彈簧垂向力與內(nèi)壓、高度之間的關(guān)系可用三次多項(xiàng)式準(zhǔn)確表述；垂向位移大于70 mm 時(shí)，載荷與位移呈線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)的特殊性導(dǎo)致磁浮車(chē)輛空氣彈簧橫向剛度遠(yuǎn)大于垂向，且近似呈分段線性。

（3）磁浮車(chē)輛提速時(shí)的動(dòng)力學(xué)性能預(yù)測(cè)以及半徑100 m 以下曲線線路動(dòng)態(tài)通過(guò)性能計(jì)算時(shí)線性模型誤差較大。具體表現(xiàn)為：直線線路上車(chē)輛速度大于30 km/h 時(shí)線性模型計(jì)算結(jié)果大于本文模型，且速度越高偏差越大；半徑小于100 m 的曲線線路上線性模型計(jì)算結(jié)果顯著大于本文模型；同一半徑曲線線路車(chē)輛通過(guò)速度越大線性模型偏差越大，車(chē)輛速度大于60 km/h 時(shí)尤為顯著。剛度與阻尼恒定的線性模型對(duì)低頻減振特性的表征不足和對(duì)高頻減振特性的過(guò)高估計(jì)是造成計(jì)算誤差的主要原因。