閆文曉 趙云波

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023)

0 引言

無線網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(wireless networked control systems,WNCSs)一般是由傳感器、控制器、執(zhí)行器、被控對象和無線網(wǎng)絡(luò)共同組成的閉環(huán)系統(tǒng)[1-2]。WNCSs 克服了傳統(tǒng)控制系統(tǒng)的一些局限性,在傳感器難以集中的分布式系統(tǒng)中有著得天獨厚的優(yōu)勢[3-4]。因此,WNCSs 在電力系統(tǒng)、工業(yè)控制和物聯(lián)網(wǎng)等諸多領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[5-7]。

近年來,WNCSs 中的多包傳輸問題成為了新的研究熱點,多包傳輸是指每一步的傳感數(shù)據(jù)或控制數(shù)據(jù)通過多個單獨的數(shù)據(jù)包傳輸[8]。尤其在含多個無線傳感器的大型系統(tǒng)中,它們因地理因素分布廣泛,難以把采集到的各部分的采樣信息匯總并整合成單個數(shù)據(jù)包進行傳輸[9]。然而在多包傳輸方式下,WNCSs 容易出現(xiàn)時延不匹配、傳感器多采樣率和部分?jǐn)?shù)據(jù)包丟失等問題[10-11]。多包傳輸?shù)腤NCSs 丟包是一個重要的問題,它不僅會影響控制系統(tǒng)的性能,嚴(yán)重時甚至造成系統(tǒng)崩潰[12-13]。

相比傳統(tǒng)控制系統(tǒng)的丟包,多包傳輸方式下的WNCSs 的丟包問題更難以解決,其原因之一就是無線通信網(wǎng)絡(luò)更容易受到限制[14]。不同于有線通信方式,無線網(wǎng)絡(luò)信道采用隨機退避的方式避免用戶間的沖突。當(dāng)無線網(wǎng)絡(luò)信道擁塞時,站點通常會為每個用戶分配一個隨機的退避時間,退避時間少的用戶可以更快地發(fā)送數(shù)據(jù)。不僅如此,用戶等待退避時間結(jié)束過程中,若有用戶占用了無線網(wǎng)絡(luò)信道,退避時間計時會凍結(jié),等待其發(fā)送完畢才能繼續(xù)計時[15]。因此,隨機等待時間往往會比隨機退避時間更大。在實時性要求較高的系統(tǒng)中,若隨機等待時間過長,數(shù)據(jù)傳輸時間超過系統(tǒng)采樣周期,系統(tǒng)會主動丟棄這種過期無用的數(shù)據(jù),這個過程造成了系統(tǒng)的主動丟包,這種情況往往會影響系統(tǒng)的性能。因此,如何在有限的通信資源下減少多包傳輸WNCSs的丟包影響備受科研人員的關(guān)注。

迄今為止,很多方法和理論被應(yīng)用到多包傳輸WNCSs 的丟包問題上。文獻[16,17]討論并分析了出現(xiàn)多包傳輸?shù)脑?。文獻[18]建立了傳感器到控制器通道和控制器到執(zhí)行器通道中多包傳輸和丟包的NCS 模型,并給出了多包傳輸NCS 的穩(wěn)定性條件,最后提出了一種新的控制器設(shè)計方法。文獻[19]考慮到單包和多包傳輸并提供了新的NCS 模型,通過將丟包過程建模為馬爾可夫鏈給出了隨機穩(wěn)定性條件和控制器增益。文獻[20]研究了多包傳輸策略下的WNCSs 在丟包和網(wǎng)絡(luò)延遲的情況下的穩(wěn)定性分析并建立了一種新穎的隨機系統(tǒng)來描述WNCSs。這些研究明確考慮了多包傳輸?shù)奶卣?但大多數(shù)集中在控制器設(shè)計方面,忽略了通過主動補償丟失的部分?jǐn)?shù)據(jù)來改善系統(tǒng)性能的可能性。文獻[21]在基于包的網(wǎng)絡(luò)控制框架下,針對多包傳輸?shù)呢撁嬗绊?采用基于包的控制方法,對控制器端的傳感數(shù)據(jù)進行重構(gòu),對通信約束進行補償,有效地解決了這個問題。文獻[22]在文獻[21]的基礎(chǔ)上,設(shè)計了狀態(tài)重構(gòu)方法并提出了閉環(huán)系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性。文獻[23]考慮到重建的系統(tǒng)狀態(tài)和實際觀察到的系統(tǒng)狀態(tài)的準(zhǔn)確度是不同的,將系統(tǒng)設(shè)置為切換系統(tǒng),對重構(gòu)部分和系統(tǒng)最新接收狀態(tài)信息分別設(shè)計了反饋增益。以上這些研究缺少了對不同狀態(tài)信息的重要性考慮,每個傳感器測的狀態(tài)信息對系統(tǒng)的影響程度是不同的,對系統(tǒng)影響越大的狀態(tài)信息越重要。傳輸過程中數(shù)據(jù)包的丟失,可能導(dǎo)致對系統(tǒng)影響較大的數(shù)據(jù)包無法及時到達控制器,造成系統(tǒng)性能下降,若在傳輸數(shù)據(jù)時聯(lián)合考慮數(shù)據(jù)信息重要性將有助于提高控制系統(tǒng)性能。

基于以上分析,本文提出了基于預(yù)測器的動態(tài)傳輸(predictor-based dynamic transmission,PBDT)策略,在幾乎不增加無線網(wǎng)絡(luò)信道資源占用下,減少系統(tǒng)丟包的影響,提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。PBDT 策略由優(yōu)先級預(yù)測器、傳輸調(diào)節(jié)器和控制器3 部分組成。首先,針對多包傳輸?shù)腤NCSs 的傳感器無差別地競爭發(fā)送數(shù)據(jù)后傳輸中產(chǎn)生丟包問題,設(shè)計了優(yōu)先級預(yù)測器,實時預(yù)測下一時刻每個傳感器數(shù)據(jù)對WNCSs保持系統(tǒng)穩(wěn)定的重要性,幫助系統(tǒng)決策每個傳感器的發(fā)送優(yōu)先級;其次,設(shè)計了傳輸調(diào)節(jié)器,通過對不同優(yōu)先級傳感器補償相應(yīng)的隨機退避時間上限,進而讓優(yōu)先級高的傳感器數(shù)據(jù)在隨機退避的方式下優(yōu)先傳輸;然后,在此傳輸策略下設(shè)計控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定;最后,通過數(shù)值仿真驗證了所提出方法的有效性。本文組織結(jié)構(gòu)如下:第1 節(jié)描述研究問題,第2節(jié)詳細說明了PBDT 策略,第3 節(jié)給出了閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件和控制器的求解方法,第4 節(jié)通過仿真驗證了該策略的有效性,第5 節(jié)總結(jié)全文。

1 問題描述

如圖1 所示,為本文考慮的多包傳輸WNCSs 被控對象模型可被描述為

圖1 多包傳輸WNCSs 控制框圖

其中,x(k) ∈Rn,u(k) ∈Rm分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸入向量,x(k)=[x1(k),x2(k),…,xn(k)]Τ,其中x(k) 為系統(tǒng)的狀態(tài)信息,A∈Rn×n,B∈Rn×m分別為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣。

圖1 中,傳感器到控制器間采用多包傳輸?shù)姆绞竭M行數(shù)據(jù)傳輸,所有傳感器使用同一信道,系統(tǒng)其他環(huán)節(jié)使用的有線網(wǎng)絡(luò)可看作完美傳輸。由于無線網(wǎng)絡(luò)與其他應(yīng)用或用戶共享,將會造成信道擁塞,傳感器數(shù)據(jù)可能因為等待時間tw過長,從而無法在一個采樣周期內(nèi)傳輸?shù)娇刂破?系統(tǒng)會主動丟包。如IEEE802.11 使用帶有沖突避免的載波偵聽多路訪問(carrier sense multiple access with collision avoid,CSMA/CA)協(xié)議,協(xié)議規(guī)定接入擁塞信道時,站點會隨機分配退避時間以避免數(shù)據(jù)的碰撞。退避時間越長,發(fā)送數(shù)據(jù)所等待的時間越久,造成主動丟包的概率就越大。

因系統(tǒng)規(guī)模小以及實時性高,時延的影響可忽略不計。每個傳感器獨立地向控制器發(fā)送數(shù)據(jù),傳輸過程中的丟包過程服從獨立的伯努利分布,可用來描述第r個傳感器數(shù)據(jù)xr(k) 是否傳輸成功。

本文的目標(biāo)是針對使用多用戶共享的多包傳輸WNCSs,因信道擁塞產(chǎn)生主動丟包的情況下,設(shè)計合適的數(shù)據(jù)傳輸策略,減少丟包對系統(tǒng)所帶來的影響。其難點在于,在網(wǎng)絡(luò)信道資源限制的丟包情況下,如何確定數(shù)據(jù)重要性的標(biāo)準(zhǔn)以及設(shè)計相應(yīng)的數(shù)據(jù)傳輸策略。因此,本文的研究問題具有一定的挑戰(zhàn)性。

2 PBDT 策略設(shè)計

本節(jié)針對共享無線網(wǎng)絡(luò)中丟包的多包傳輸WNCSs 設(shè)計了PBDT 傳輸策略。該策略的主要思想如下:(1)為了盡可能地減少主動丟包對系統(tǒng)所造成的影響,設(shè)計優(yōu)先級預(yù)測器在當(dāng)前時刻預(yù)測下一時刻各傳感器數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的重要性,幫助傳輸調(diào)節(jié)器進行決策;(2)設(shè)計合理的傳感器數(shù)據(jù)傳輸調(diào)節(jié)規(guī)則,降低高優(yōu)先級數(shù)據(jù)的等待時間,提高低優(yōu)先級數(shù)據(jù)的等待時間,讓對系統(tǒng)更重要的數(shù)據(jù)優(yōu)先傳輸;(3)在上述基礎(chǔ)上,設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器,減少數(shù)據(jù)連續(xù)丟失的影響,保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。根據(jù)以上思想,該策略由優(yōu)先級預(yù)測器、傳輸調(diào)節(jié)器和控制器組成,如圖2 所示。下面將分別詳細介紹這3 部分。

圖2 PBDT 策略下的WNCSs 示意圖

2.1 優(yōu)先級預(yù)測器

在線性反饋下,因系統(tǒng)式(1)存在丟包,控制器只能獲得系統(tǒng)部分狀態(tài)Θkx(k),因此控制輸入為

控制器把收到的信息轉(zhuǎn)發(fā)到優(yōu)先級預(yù)測器,k+1 時刻系統(tǒng)狀態(tài)有:

優(yōu)先級預(yù)測器根據(jù)式(4)得到(k+1) 時刻狀態(tài)向量。

線性離散系統(tǒng)滿足大范圍漸近穩(wěn)定,在k時刻傳感器r的數(shù)據(jù)xr(k) 丟失,若使ΔV(x(k)) 變大,則系統(tǒng)可能失穩(wěn),即系統(tǒng)穩(wěn)定性越依賴xr(k)。

在線性系統(tǒng)中,每個傳感器數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的控制作用滿足疊加性:

其中,Λ1、Λ2、…、Λn均為對角矩陣,且滿足:

優(yōu)先級預(yù)測器計算(k+1) 時刻傳感器r的數(shù)據(jù)丟失對系統(tǒng)的影響。

其中,Γ(r) ∈Λn×n,Γ(r)x(k+1) 表示傳感器r的數(shù)據(jù)丟失。

進一步地,優(yōu)先級預(yù)測器計算受(k+1)時刻傳感器r數(shù)據(jù)xr(k+1) 丟失影響的系統(tǒng)狀態(tài)(k+2):

命題1若離散系統(tǒng)式(4)在線性反饋控制輸入u(k)=Kx(k) 下能夠保持穩(wěn)定,V(x(k)) 是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù):

其中,P是正定對稱矩陣,當(dāng)h(k+1,r) 值越大時,若(k+1) 時刻傳感器r丟失,系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。

證明根據(jù)李雅普諾夫大范圍穩(wěn)定定理ΔV(x(k)) 決定了系統(tǒng)的收斂速度,其值越小表明系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

k+1 時刻系統(tǒng)xr(k+1) 發(fā)生丟包,其他數(shù)據(jù)傳輸成功的情況下,(k+2) 時刻李雅普諾夫函數(shù)為

進一步有:

則(k+1) 時刻傳感器r發(fā)生丟包對系統(tǒng)收斂速度的變化有:

得到式(13),其中c∈R 為任意常數(shù)。命題1 得證。

命題1 表示,h(k+1,r) 越大時,(k+1) 時刻由傳感器r丟失對系統(tǒng)穩(wěn)定性破壞越大,傳感器r在(k+1) 時刻重要性越高。

設(shè)計優(yōu)先級預(yù)測器:

其中,sort(·) 表示從大到小的排名,最大值排名為1,最小值排名為n;J(r,k+1) 為優(yōu)先級預(yù)測器給出的(k+1) 時刻傳感器r的傳輸優(yōu)先級。

注1命題1 表明,(k+1) 時刻傳感器r數(shù)據(jù)的重要性不僅與控制量有關(guān),還與開環(huán)輸出有關(guān)。僅僅根據(jù)控制量變化來預(yù)測傳感器數(shù)據(jù)的優(yōu)先級,效果可能不夠理想;若使用作為系統(tǒng)優(yōu)先級指標(biāo),數(shù)據(jù)丟失,其變化方向可能為正也可能為負,李雅普諾夫函數(shù)變化方向也是不定的,進而某些時刻性能可能會下降,具體效果將在第4 節(jié)中給出。

2.2 傳輸調(diào)節(jié)器

假設(shè)1傳感器r以隨機退避的方式接入無線網(wǎng)絡(luò)信道時,信道已發(fā)生擁塞,傳感器r需要隨機等待一段時間tw,才能發(fā)送數(shù)據(jù)。

其中,tτ表示隨機退避時間,ttr等待其他數(shù)據(jù)傳送的時間,tISF表示數(shù)據(jù)幀間間隔引起的等待時間,表示最大隨機等待時間,tw包含其他等待時間可忽略不計。通常,tτ的增大也會引起ttr和tISF的增大。

假設(shè)2tτ、ttr和tISF的變化滿足線性關(guān)系:

其中λ＞1,λ∈R 為退避時間系數(shù)。

假設(shè)3等待時間滿足均勻分布:

一般而言,由于網(wǎng)絡(luò)資源受限,系統(tǒng)在隨機退避方式下的傳輸成功率為

其中T為系統(tǒng)采樣周期。

對每個傳感器根據(jù)式(16)、(20)等距地補償?shù)却龝r間,則等待時間上限為

根據(jù)式(18)對傳感器r的退避時間上限的設(shè)置如下,則傳輸調(diào)節(jié)器設(shè)計可表示為

系統(tǒng)依據(jù)優(yōu)先級分配等待時間上限后有:

式(23)表明動態(tài)隨機退避上限下系統(tǒng)平均最大上限不會增加,即傳輸調(diào)節(jié)器幾乎不會增加系統(tǒng)的信道資源占用。

2.3 控制器設(shè)計

對系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)式(1),采用線性反饋控制:

數(shù)據(jù)丟包使用上一時刻的開環(huán)響應(yīng)進行反饋控制,這樣做的好處是:(1)補償數(shù)據(jù)缺失帶來的影響;(2)能降低某個傳感器連續(xù)丟包帶來的影響。

定義:

則閉環(huán)控制系統(tǒng)可以改寫為

3 穩(wěn)定性分析和控制增益設(shè)計

接下來的系統(tǒng)分析中,會使用到以下定義。

定義1[24]對于線性離散系統(tǒng)式(1),如果系統(tǒng)的狀態(tài)解x(k) 滿足‖x(k)‖ ≤σk‖x(0)‖,其中0＜σ＜1,則該系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的,σ為系統(tǒng)的衰減率。

引理1對于給定的正定對稱矩陣X、Y、Z,并且它們有合適的維度,如果存在標(biāo)量γ＞0 滿足不等式:

則有:

定理1對于給定的控制增益矩陣K,如果存在標(biāo)量s∈(0,1),β＞0 和對稱正定矩陣Q∈R2n×2n滿足:

則系統(tǒng)式(29)是指數(shù)穩(wěn)定的,并且衰減率μ=

證明設(shè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為

假設(shè)λ1=minλ(P) 和λ2=maxλ(P) 分別為P的最大特征值和最小特征值,有:

李雅普諾夫函數(shù)的差分方程為

令v=minλ(ΦΤPΦ-P),根據(jù)式(35)、(36)可得:

將約束條件式(35)、(38)改寫成:

得到約束條件,證明完畢。

定理2若存在標(biāo)量0＜v＜1,0＜β＜1,γ＞0 以及滿足合適維度的矩陣Q和K^,滿足下列優(yōu)化的約束:

則閉環(huán)系統(tǒng)式(28)是指數(shù)穩(wěn)定的,且控制增益矩陣有:

證明根據(jù)Schur 補引理很容易證明此定理。優(yōu)化變量相乘可用錐補線性化算法求解。

上述PBDT 策略可以總結(jié)為算法1。

4 數(shù)值仿真

本節(jié)中將用一個數(shù)值仿真的例子來驗證PBDT策略的效果。

考慮如下三階不穩(wěn)定系統(tǒng)[25]:

其中系統(tǒng)矩陣為

依據(jù)本文方法的求得控制增益矩陣為

系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)=[-7 6 4]Τ,系統(tǒng)采樣周期為T=0.01 s。設(shè)置超參數(shù)無策略下傳輸成功率為Pr(α=1)=0.4。退避時間系數(shù)為λ=100,原始隨機退避時間上限為=0.025 ms。

系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖3～7 所示。

圖3 系統(tǒng)丟包情況示意圖

上述參數(shù)設(shè)置下,系統(tǒng)丟包情況如圖3 所示,采用PBDT 策略后,系統(tǒng)平均丟包率無提升,表明PBDT策略幾乎不增加信道資源的占用。圖4 為無策略的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡,控制器使用開環(huán)響應(yīng)補償丟包數(shù)據(jù),經(jīng)過一段時間的波動后系統(tǒng)達到穩(wěn)定。圖5為相同設(shè)置PBDT 策略的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡,采用PBDT 策略后,系統(tǒng)的收斂速度更快,幾乎以沒有波動的軌跡趨于穩(wěn)定,即系統(tǒng)在PBDT 策略下有了更好的性能。圖6 為優(yōu)先級預(yù)測器使用作為傳感器r的重要性指標(biāo),結(jié)果表明相同實驗設(shè)置下,對系統(tǒng)有一定的提升,但效果比PBDT 策略差,這也驗證了注1 的理論解釋。圖7 是圖4、5 和6 實驗設(shè)置的李雅普諾夫函數(shù)的軌跡對比圖,無策略時系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)下降最慢,李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)數(shù)指標(biāo)下的PBDT策略次之,PBDT 策略下的李雅普諾夫函數(shù)下降最快。可見,在相同丟包率下,采用PBDT 策略顯著提升系統(tǒng)性能。

圖4 無策略下的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖5 PBDT 策略下的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖6 李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)數(shù)指標(biāo)下的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖7 系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)軌跡對比圖

5 結(jié)論

本文針對WNCSs 因網(wǎng)絡(luò)擁塞造成的主動丟包問題設(shè)計了PBDT 策略。通過數(shù)學(xué)證明和仿真實驗說明了PBDT 在不消耗額外信道資源的情況下,可在一定程度上減小丟包帶來的影響,提升系統(tǒng)性能。PBDT 策略能廣泛應(yīng)用于通信資源有限下存在丟包的控制系統(tǒng)中。以后研究將進一步探索在系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況下確定數(shù)據(jù)的重要性,這將加深對PBDT 的探索。