梁家豪，唐予軍，王霞

(河北大學 電子信息工程學院，河北 保定 071002)

在許多工程應(yīng)用中，控制系統(tǒng)經(jīng)常會產(chǎn)生一些延遲現(xiàn)象，例如網(wǎng)絡(luò)控制[1-2]、數(shù)據(jù)傳輸[3]、無線通信[4]等，這些延遲現(xiàn)象會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其性能產(chǎn)生不利的影響，因此，引起了學者們研究延遲系統(tǒng)的興趣.在過去的幾十年中，學者們對延遲系統(tǒng)進行了大量的研究[5].

在現(xiàn)有文獻中，延遲系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及鎮(zhèn)定的方法主要包括基于Lyapunov-Krasovskii泛函的方法[6]和設(shè)計預(yù)測反饋控制器的方法.文獻[7]研究了具有輸入延遲的連續(xù)互聯(lián)系統(tǒng)基于預(yù)測變量的鎮(zhèn)定問題.文獻[8]通過預(yù)測變量鏈研究了同時具有狀態(tài)輸入定常延遲和輸出延遲的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.該方法與線性矩陣不等式有很大的關(guān)聯(lián)，所以在系統(tǒng)反饋控制器的設(shè)計中經(jīng)常使用，而這種方法的基本思想是找到一個正定函數(shù)，使其沿延遲系統(tǒng)軌跡的時間導數(shù)是負定的.利用這種方法進行鎮(zhèn)定、跟蹤等控制器設(shè)計能夠確保狀態(tài)或誤差收斂，但難以分析和描述整個閉環(huán)系統(tǒng)的收斂動態(tài)，即使是線性被控系統(tǒng)，也難以用閉環(huán)特征根位置分析系統(tǒng)的收斂特性.在實際應(yīng)用中，穩(wěn)定是最基本的要求，工程師們關(guān)注更多的是系統(tǒng)的動態(tài).文獻[9]通過構(gòu)造多分布輸入延遲下的預(yù)測反饋控制，從而使閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.文獻[10]提出一種稱為嵌套預(yù)估器反饋的新方法，用來研究長輸入延遲補償問題.當延遲時間為時變的且系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)時，預(yù)測器的方法依然有效.文獻[11]為一種時滯系統(tǒng)設(shè)計了改進無模型自適應(yīng)預(yù)測控制器，使延遲系統(tǒng)穩(wěn)定.文獻[12]研究了一種高能隨機非線性系統(tǒng)，設(shè)計了一個自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換下所有信號有界.當預(yù)測器提供的預(yù)測狀態(tài)與系統(tǒng)未來狀態(tài)一致時，利用預(yù)測狀態(tài)進行控制相當于去掉了控制通道中的延遲，從而使常規(guī)設(shè)計方法得以應(yīng)用，只是用開環(huán)系統(tǒng)進行系統(tǒng)未來狀態(tài)的預(yù)測，會產(chǎn)生關(guān)于輸入的積分項，而輸入的積分項只能通過數(shù)值分析的方法進行求解，故所設(shè)計的預(yù)測器便不易于實現(xiàn).為了避免預(yù)測器中輸入積分項的影響，文獻[13]提出偽預(yù)測反饋(pseudo predictor feedback,PPF)控制，用于解決單輸入延遲系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.傳統(tǒng)的預(yù)測器反饋控制使用開環(huán)系統(tǒng)動力學預(yù)測未來狀態(tài)，與傳統(tǒng)的預(yù)測器不同，而PPF使用的是閉環(huán)系統(tǒng)動力學預(yù)測系統(tǒng)的未來狀態(tài)，這樣得到的控制器避免了預(yù)測器中輸入積分項的影響，更加容易實現(xiàn).文獻[14]中的PPF還可用于具有多個分布式輸入的延遲系統(tǒng)的控制器設(shè)計[13,15].但是在最初的延遲時間段內(nèi)，由于控制作用還未對系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生影響，偽預(yù)測器給出的預(yù)測狀態(tài)并非系統(tǒng)未來狀態(tài)，這會對系統(tǒng)動態(tài)的初始部分造成不可預(yù)測的影響.

本文提出一種切換偽預(yù)測器，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造預(yù)測反饋控制器，用于鎮(zhèn)定具有輸入延遲的系統(tǒng).以延遲時間為界將原系統(tǒng)分為開環(huán)和閉環(huán)2個子系統(tǒng)，再利用相應(yīng)子系統(tǒng)的解，分別構(gòu)造延遲系統(tǒng)的子偽預(yù)測器，使子偽預(yù)測器按照延遲時間切換，從而精準預(yù)測系統(tǒng)未來狀態(tài).切換偽預(yù)測器中同樣不存在輸入的積分項易于實現(xiàn).利用切換偽預(yù)測器為延遲系統(tǒng)構(gòu)造鎮(zhèn)定控制器，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.仿真表明，切換偽預(yù)測控制器能夠準確預(yù)估系統(tǒng)狀態(tài)，同時，利用預(yù)估狀態(tài)構(gòu)造的鎮(zhèn)定控制器能夠使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

1 問題描述

考慮以下帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)

(1)

其中,f(x,u)為可積函數(shù)，x為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)為系統(tǒng)輸入，h為已知延遲時間.

假設(shè)1對于無輸入延遲的非線性系統(tǒng)

(2)

可以設(shè)計出狀態(tài)反饋控制器

u(t)=α(x),

(3)

使閉環(huán)系統(tǒng)

(4)

穩(wěn)定.

為了消除系統(tǒng)(1)中輸入延遲的影響，要用系統(tǒng)未來狀態(tài)ξ(t)=x(t+h)取代式(3)中的x(t).傳統(tǒng)的預(yù)測器依據(jù)系統(tǒng)(1)預(yù)測未來狀態(tài)

(5)

根據(jù)控制器(3)可以得到系統(tǒng)(1)的控制器

u(t)=α(ξ).

(6)

由于式(5)中含有u(t)的積分項，需要使用數(shù)值分析法計算，不易于實現(xiàn).故可以使用式(4)設(shè)計如式(7)偽預(yù)測器以消除u(t)的積分項，使預(yù)測器易于實現(xiàn).

(7)

但是在最初的延遲時間段內(nèi)，由于延遲的存在使控制信號不能對系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生影響，這就會使偽預(yù)測器無法預(yù)測出系統(tǒng)初始部分的狀態(tài).設(shè)計切換偽預(yù)測器，使其可以精準預(yù)測系統(tǒng)未來狀態(tài).

2 切換偽預(yù)測器

2.1 非線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測器

以延遲時間為界，將系統(tǒng)分為2個子系統(tǒng)，設(shè)計以下切換偽預(yù)測器.

當t

(8)

則系統(tǒng)(8)的解為

(9)

將t作為t0，h作為t可以得出

(10)

式(4)的解為

(11)

則可得偽預(yù)測器為

(12)

當t≥h時，控制信號對系統(tǒng)產(chǎn)生作用，則用式(4)預(yù)測未來狀態(tài)，式(4)的解為

(13)

得到偽預(yù)測器

(14)

綜上，得到帶延遲的非線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測器為

(15)

2.2 線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測器

將帶延遲的非線性系統(tǒng)的偽預(yù)測器具體到帶延遲的線性系統(tǒng)中，并且進一步給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.

考慮以下帶輸入延遲的線性系統(tǒng)

(16)

其中,x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)為系統(tǒng)輸入，A∈Rn×n,B∈Rn×m為已知系數(shù)矩陣，h為已知延遲時間.

同理非線性系統(tǒng)，以延遲時間為界將系統(tǒng)分為2個子系統(tǒng).

當t

ξ(t)=x(t+h)=e(A+BK)teA(h-t)x(t).

(17)

根據(jù)式(17)設(shè)計系統(tǒng)反饋控制器

u(t)=Kξ(t)=Ke(A+BK)teA(h-t)x(t).

(18)

將式(18)代入式(16)中得到閉環(huán)系統(tǒng)

(19)

當t≥h時，使用無延遲閉環(huán)系統(tǒng)可以得到偽預(yù)測器為

ξ(t)=x(t+h)=e(A+BK)hx(t).

(20)

根據(jù)式(20)設(shè)計系統(tǒng)反饋控制器為

u(t)=Kξ(t)=Ke(A+BK)hx(t).

(21)

將式(21)代入式(16)得到閉環(huán)系統(tǒng)

(22)

綜上，得到帶延遲的線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測器

(23)

將式(23)帶入式(16)可得閉環(huán)系統(tǒng)

(24)

3 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

最后給出閉環(huán)系統(tǒng)(24)穩(wěn)定的充分條件.

定理1在滿足假設(shè)條件下，當且僅當積分延遲系統(tǒng)(integral delay system,IDS)

(25)

為漸近穩(wěn)定時,閉環(huán)系統(tǒng)(24)漸近穩(wěn)定.

證明:閉環(huán)系統(tǒng)(24)改寫成

(26)

其中,

ρ(t)=K(e(A+BK)hx(t-h)-x(t)).

(27)

由式(26)的解得出

(28)

將式(28)代入式(27)得

(29)

由上可知若積分延遲系統(tǒng)(29)為漸近穩(wěn)定，則式(26)漸近穩(wěn)定，因此可得閉環(huán)系統(tǒng)(24)為漸近穩(wěn)定.

設(shè)計輔助系統(tǒng)

(30)

其中，r(t)滿足積分延遲系統(tǒng)

(31)

由式(30)解得

(32)

將式(32)代入式(31)得

r(t)=K(e(A+BK)hy(t-h)-y(t)).

(33)

將式(33)代入式(30)得

(34)

由此可以得出：若系統(tǒng)(34)漸近穩(wěn)定，則式(33)為漸近收斂，因此系統(tǒng)(25)漸近穩(wěn)定.

將積分延遲系統(tǒng)(25)改寫成

(35)

其中，

G(t,s)=-Ke(A+BK)(t+s)B.

(36)

定理2若存在正定矩陣P,Q滿足：

(37)

則積分延遲系統(tǒng)(35)為指數(shù)穩(wěn)定.

證明：取Lyapunov-Krasovskii泛函

(38)

其對時間的導數(shù)為

(39)

由式(35)和式(37)可得

(40)

將式(40)代入式(39)可得

(41)

由此可以得出系統(tǒng)(25)為漸近穩(wěn)定的.

4 仿真實驗

4.1 非線性系統(tǒng)仿真實驗

考慮以下帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)

其中,x(0)=1，延遲時間h=0.1 s.控制器u(t)=-2x2(t).

通過計算得到帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測器為

則帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)的切換PPF控制的仿真結(jié)果如圖1所示：

圖1 非線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測器Fig.1 Switching pseudo predictor for non-linear systems

作為對比，帶輸入延遲的非線性系統(tǒng)的非切換偽預(yù)測器為

x(t+h)=x(t)+1/(t+h+1/x(0))-1/(t+1/x(0)).

仿真結(jié)果如圖2所示：

圖2 非線性系統(tǒng)非切換偽預(yù)測器Fig.2 Non-switching pseudo predictor for non-linear systems

4.2 線性系統(tǒng)仿真實驗

考慮以下帶輸入延遲的線性系統(tǒng)

通過計算得到帶輸入延遲的線性系統(tǒng)的切換偽預(yù)測器為

則帶輸入延遲的線性系統(tǒng)的切換PPF控制器的仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 線性系統(tǒng)切換偽預(yù)測器Fig.3 Switching pseudo predictor for linear system

作為對比，帶輸入延遲的線性系統(tǒng)的非切換偽預(yù)測器為x(t+h)=e(A+BK)hx(t),其仿真結(jié)果如圖4所示：

圖4 線性系統(tǒng)非切換偽預(yù)測器Fig.4 Non-switching pseudo predictor for linear system

通過比較上述2個仿真結(jié)果可以看出，本文所設(shè)計的切換偽預(yù)測反饋控制器能夠精準預(yù)測系統(tǒng)初始部分的狀態(tài)，同時鎮(zhèn)定輸入延遲系統(tǒng).

5 結(jié)論

本文考慮了具有輸入延遲系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，基于閉環(huán)系統(tǒng)為延遲系統(tǒng)設(shè)計了一種切換的偽預(yù)測器，使其能夠精準的預(yù)測系統(tǒng)的未來狀態(tài)，并且消除了傳統(tǒng)預(yù)測器中的積分項，使控制器更加容易實現(xiàn).最后通過數(shù)值示例說明了偽預(yù)測反饋(PPF)控制器的有效性和優(yōu)勢.后續(xù)工作可以對以下方面進行研究：帶有不確定性的線性系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)切換控制器設(shè)計和將對非線性系統(tǒng)的設(shè)計應(yīng)用到下三角系統(tǒng)中，以解決實際問題.