趙 轉(zhuǎn),曹以龍,杜君莉,史書懷*

(1. 鄭州電力高等專科學(xué)校電力工程學(xué)院,河南 鄭州 450000; 2. 上海電力大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,上海 200438; 3. 國(guó)網(wǎng)河南省電力公司電力科學(xué)研究院,河南 鄭州 450000)

在鋰離子電池的測(cè)試和實(shí)際使用中,需要對(duì)荷電狀態(tài)(SOC)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)[1]。 鋰離子電池的等效電路模型是大多數(shù)SOC 估計(jì)算法的重要基礎(chǔ),如擴(kuò)展卡爾曼濾波、自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波等。

目前,電池等效電路模型主要包括內(nèi)阻(Rint)模型[2]、新一代汽車合作伙伴計(jì)劃(PNGV)模型[3]、Thevenin 模型[4]和n階RC 等效電路模型[5]。 Rint 模型是由直流電源和內(nèi)阻組成的內(nèi)阻模型,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、不考慮電池的內(nèi)部狀態(tài),屬于一種理想的模型,一般只用于簡(jiǎn)單的電路仿真。 考慮電容特性的PNGV 模型可準(zhǔn)確反映放電過(guò)程,但對(duì)充電過(guò)程的反映不佳。n階RC 電路等效模型能反映電池內(nèi)部參數(shù)與動(dòng)態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系,但模型的復(fù)雜度隨著階數(shù)的增加而增加,不利于實(shí)時(shí)在線計(jì)算。 等效電路模型通常選擇二階RC 模型,不僅精度和動(dòng)態(tài)仿真特性良好,而且復(fù)雜度較低。

鋰離子電池內(nèi)部有復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)和物理結(jié)構(gòu),實(shí)際使用時(shí),內(nèi)部狀態(tài)會(huì)受到環(huán)境溫度、操作條件和電池老化程度等因素的影響[6]。 一些參數(shù)在電池等效模型中會(huì)隨著工作條件的變化而變化,因此,實(shí)時(shí)且準(zhǔn)確地辨識(shí)電池等效參數(shù)模型中的參數(shù)很有必要。 遞推最小二乘(RLS)法[7]是常用的系統(tǒng)參數(shù)在線辨識(shí)方法,具有簡(jiǎn)單穩(wěn)定的特點(diǎn),但隨著遞推過(guò)程中數(shù)據(jù)的增加,新數(shù)據(jù)的生成會(huì)受到舊數(shù)據(jù)的影響,導(dǎo)致較大的誤差。 為此,本文作者提出遺忘因子遞推最小二乘(FFRLS)法,RLS 中引入遺忘因子,來(lái)調(diào)整新舊數(shù)據(jù)的比例,使算法能更快地收斂到實(shí)際值。 建立二階RC 等效電路模型,應(yīng)用FFRLS 在線辨識(shí)等效電路模型參數(shù),通過(guò)動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證FFRLS 算法的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性。

1 鋰離子電池建模

1.1 等效電路模型

鋰離子電池的二階RC 等效電路模型如圖1 所示。

圖1 二階RC 等效電路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model

該模型由理想電壓源Uoc、歐姆電阻R0和兩個(gè)RC 并聯(lián)電路組成。Uoc表示電池的開路電壓;R0為電池內(nèi)阻;R1和C1為電池電化學(xué)極化內(nèi)阻和電容;R2和C2為濃度極化效應(yīng)內(nèi)阻和電容;UL為電池端電壓;I為輸入電流。

1.2 等效電路狀態(tài)方程

根據(jù)圖1 以及電路原理,該模型時(shí)域下的電氣特性方程見式(1)。

式(1)中:Uoc(SOC(t))表示開路電壓Uoc是SOC 的函數(shù);t為時(shí)間。

式(1)寫成頻域下表達(dá)式,即式(2)。

式(2)中:E(s)表示端電壓與開路電壓的差值;s為復(fù)頻域下的變量。

將式(2)寫成傳函形式,如式(3)所示。

式(3)可整理為式(4)。

雙線性變換公式見式(5)。

式(5)中:T為采樣時(shí)間;z表示離散域。

令τ1=R1C1、τ2=R2C2,將式(5)代入式(4)中,得到式(6)。

式(6)中:k為變量;k1～k5為系數(shù),如式(7)所示。

定義參數(shù)a、b、c、d、e,如式(8)所示。

將式(8)代入式(7)中,簡(jiǎn)化為式(9)。

電池內(nèi)阻和電容參數(shù)整理為式(10)。

2 電池參數(shù)辨識(shí)方法

2.1 遞推最小二乘(RLS)法

RLS 法是常用的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法,以離散函數(shù)的平方準(zhǔn)則為理論基礎(chǔ),獲取辨識(shí)的參數(shù)。 基本原理見式(11)。

式(11)中:φ(t)為觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣;θ為參數(shù)矩陣。

RLS 算法的參數(shù)辨識(shí)如式(13)所示。

式(14)中:P(k)為協(xié)方差矩陣;K(k)為增益矩陣;e(k)為誤差;y為輸出變量;I為單位矩陣。

2.2 遺忘因子遞推最小二乘(FFRLS)法

FFRLS 算法是在RLS 算法的基礎(chǔ)上,在觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣和系統(tǒng)輸出向量中加入遺忘因子λ作為系數(shù),如式(14)所示。當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值獲得新數(shù)據(jù)時(shí),通過(guò)指數(shù)加權(quán)調(diào)整新舊數(shù)據(jù)的比例,然后進(jìn)行加權(quán)平均,修正最終獲得的識(shí)別參數(shù)。 因此,當(dāng)輸入變量發(fā)生變化時(shí),隨著系統(tǒng)觀測(cè)數(shù)據(jù)的增加,FFRLS算法能夠更快速響應(yīng)并獲得較好的辨識(shí)參數(shù)。

當(dāng)λ=1 時(shí),FFRLS 算法退化為RLS 算法,由于λ是常數(shù),當(dāng)在線辨識(shí)參數(shù)誤差很小時(shí),引入λ反而會(huì)增大在線辨識(shí)參數(shù)誤差。 當(dāng)在線辨識(shí)參數(shù)誤差很大時(shí),則可以通過(guò)優(yōu)化λ來(lái)加快在線辨識(shí)的收斂速度,從而減小誤差。 選擇合適的λ,不僅可以提高收斂速度,還可以減小誤差。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和分析

實(shí)驗(yàn)用電池測(cè)試設(shè)備為BTS-60V100A 測(cè)試系統(tǒng)(深圳產(chǎn))。 該設(shè)備可設(shè)定電壓電流的大小,以滿足不同充放電工況,為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)提供相關(guān)數(shù)據(jù)。 以IFP36130155-36Ah 型磷酸鐵鋰鋰離子電池(山東產(chǎn))為研究對(duì)象,參數(shù)見表1。

表1 磷酸鐵鋰鋰離子電池參數(shù)Table 1 Parameters of lithium iron phosphate Li-ion battery

3.1 開路電壓(OCV)-SOC 曲線

OCV-SOC 曲線是鋰離子電池建模過(guò)程中的一個(gè)重要組成部分。 由于存在極化和遲滯效應(yīng),僅在電池充分靜置條件下,OCV 才與端電壓近似相等,因此OCV 為靜態(tài)參數(shù)。

根據(jù)間歇恒流充電和放電實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),提取每次靜置結(jié)束時(shí)刻的SOC(SOC)和對(duì)應(yīng)的OCV,對(duì)充放電OCV 平均值進(jìn)行擬合,得到OCV-SOC 擬合結(jié)果,如式(15)所示。

為了減小遲滯特性產(chǎn)生的誤差,對(duì)充放電實(shí)驗(yàn)中OCV平均值進(jìn)行8 次多項(xiàng)式擬合,擬合曲線如圖2 所示。

圖2 OCV-SOC 擬合曲線Fig.2 Fitting curves of open circuit voltage (OCV)-state of charge(SOC)

3.2 動(dòng)態(tài)工況測(cè)試

動(dòng)態(tài)工況實(shí)驗(yàn)(DST)可模擬電池在實(shí)際道路工況下的隨機(jī)充放電工況,該工況是以美國(guó)聯(lián)邦城市道路工況為基礎(chǔ)簡(jiǎn)化而來(lái)的。 實(shí)驗(yàn)以SOC=100%為開始,在一個(gè)周期內(nèi),以不同電流(-12 A、-9 A、0 A、9 A、12 A 和18 A 等)對(duì)電池進(jìn)行充放電,循環(huán)若干個(gè)周期,以SOC=0 為結(jié)束,模擬電池電量被耗盡的整個(gè)周期。 電壓電流的曲線如圖3 所示,其中,電流大于0,定義為電池放電,電流小于0,定義為給電池充電。

圖3 DST 實(shí)驗(yàn)時(shí)的輸入電流與端電壓測(cè)量曲線Fig.3 Measurement curves of input current and terminal voltage under dynamic stress test (DST) experiment

從圖3 可知,大約存在6 個(gè)周期可放空電量。

3.3 電池參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

為了驗(yàn)證所提參數(shù)辨識(shí)方法的有效性,首先在離線狀態(tài)下對(duì)電池參數(shù)結(jié)果進(jìn)行辨識(shí),以此為基準(zhǔn),與在線辨識(shí)方法進(jìn)行比較,檢驗(yàn)在線辨識(shí)方法的準(zhǔn)確性。 離線參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果如圖4 所示。 所采用的離線辨識(shí)方法為傳統(tǒng)的電路微分求解方法,通過(guò)分段擬合的形式獲得不同SOC 值對(duì)應(yīng)的電池參數(shù)。

圖4 離線參數(shù)辨識(shí)結(jié)果 Fig.4 Offline parameter identification results

從圖4 可知,電池內(nèi)阻R0的值約為1 mΩ,電化學(xué)極化電阻R1和電容C1的值分別約為3 mΩ 和1 000 F,濃差極化電阻R2和電容C2的值分別約為2 mΩ 和50 000 F。 離線辨識(shí)的參數(shù)結(jié)果為在線實(shí)時(shí)辨識(shí)方法提供了比較基準(zhǔn)。

RLS 算法和FFRLS 算法在DST 條件下識(shí)別的參數(shù)曲線分別見圖5 和圖6。

圖5 RLS 算法辨識(shí)結(jié)果 Fig.5 Identification results of recursive least square (RLS) algorithm

圖5 和圖6 的結(jié)果均在離線參數(shù)值附近波動(dòng),體現(xiàn)了在線參數(shù)辨識(shí)算法的準(zhǔn)確性。 對(duì)比圖5 和圖6 可知,RLS 算法識(shí)別的參數(shù)相對(duì)穩(wěn)定,但對(duì)動(dòng)態(tài)參數(shù)變化的識(shí)別能力不足。而FFRLS 算法識(shí)別的參數(shù)具有明顯的波動(dòng)性,更準(zhǔn)確地反映了動(dòng)態(tài)工況下電流切換時(shí)電池內(nèi)部發(fā)生復(fù)雜變化的特性。

為了更好地研究FFRLS 算法特性以及λ對(duì)端電壓均方根誤差的影響,λ取0.80～1.00,精度為0.02,記錄各個(gè)λ對(duì)應(yīng)的端電壓均方根誤差,確定最優(yōu)的λ取值范圍。 當(dāng)λ=1.00 時(shí),FFRLS 算法等效為RLS 算法。 不同λ下的端電壓均方根誤差見表2。

表2 不同λ 下的端電壓均方根誤差Table 2 Root mean square error of terminal voltage with different forgetting factors(λ)

從表2 可知,與RLS 算法相比,采用FFRLS 算法的端電壓均方根誤差較小。 隨著λ的加入,當(dāng)λ從1.00 逐漸減小時(shí),端電壓均方根誤差也隨之減小,直至λ=0.84 時(shí),端電壓均方根誤差反而增大,表明λ在一定區(qū)間范圍內(nèi)具有正向優(yōu)勢(shì),符合理論說(shuō)法,λ的值不能過(guò)大或過(guò)小。 根據(jù)表2 的數(shù)值可知,當(dāng)λ=0.86～0.94 時(shí),電池模型精度達(dá)到最佳范圍。

4 結(jié)論

本文作者分析了鋰離子電池的二階RC 等效電路模型,研究了基于RLS 算法和FFRLS 算法的等效電路模型參數(shù)在線識(shí)別算法。 通過(guò)DST 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了充放電情況下等效電路模型參數(shù)識(shí)別的正確性,并對(duì)不同λ下模型參數(shù)得到的預(yù)測(cè)端電壓與實(shí)際端電壓進(jìn)行了比較,選擇合適的λ。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與RLS 算法相比,FFRLS 算法具有更精確的參數(shù)識(shí)別能力。 此外,通過(guò)對(duì)比不同λ下的端電壓均方根誤差可知,λ=0.86～0.94 為最佳范圍。