文| 劉 寧

一、GGB 數(shù)學(xué)軟件概述

GeoGebra 數(shù)學(xué)建模軟件（簡稱GGB），可拆分為“Geo”+“Gebra”，是幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）名稱的組合，是2002 年由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter 以及其國際開發(fā)團(tuán)隊共同開發(fā)的，是全世界的學(xué)校都可以免費(fèi)使用的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件。這款軟件可以有效實(shí)現(xiàn)數(shù)、參數(shù)方程、圖形的相互轉(zhuǎn)化和動態(tài)顯示，并且可以很好地將其中的關(guān)系表達(dá)出來，幫助學(xué)生理解。教師利用這個軟件可以將數(shù)學(xué)知識以圖形的形式呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生在腦海中形成可視化的直觀形象，促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維能力的發(fā)展。GGB 建模軟件涵蓋了許多功能，在每個功能區(qū)都有獨(dú)特的功能，完善了各功能區(qū)之間的關(guān)聯(lián)和協(xié)作性能。

GGB 建模軟件主要分為六個功能區(qū)，即代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、運(yùn)算區(qū)、電子表格區(qū)、3D 繪圖區(qū)以及概率與統(tǒng)計繪圖區(qū)等，各個區(qū)域?qū)Ω咧袛?shù)學(xué)知識的可視化呈現(xiàn)發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。在代數(shù)區(qū)，主要呈現(xiàn)的是不同圖形的參數(shù)方程，將其參數(shù)、坐標(biāo)等繪制出來，如平面圖形、空間圖形、圓錐曲線等；在繪圖區(qū)，可以通過手動輸入?yún)?shù)方程的形式，在這個區(qū)域自動生成圖形；在運(yùn)算區(qū)，可以輸入相應(yīng)的運(yùn)算法則，從而快速進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，并且計算出正確的結(jié)果；而在電子表格區(qū)、3D 繪圖區(qū)以及概率與統(tǒng)計繪圖區(qū)，可以根據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，通過系統(tǒng)的深度學(xué)習(xí)功能實(shí)現(xiàn)智能化生成圖形的目標(biāo)。

二、GGB 數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)的可行性分析

以溧陽市光華高級中學(xué)為例，筆者通過對高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際進(jìn)行分析并對高中部學(xué)校進(jìn)行實(shí)地考察可知，當(dāng)前，雖然許多學(xué)校的高中數(shù)學(xué)教學(xué)獲得了廣泛的多媒體教學(xué)技術(shù)支持，但是很多高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中仍然使用傳統(tǒng)教學(xué)模式。對于一些抽象的幾何問題，教師在講解過程中只是進(jìn)行語言講解，無法將其具體、形象地表達(dá)出來，學(xué)生只能憑空想象這些知識點(diǎn)。這種方式對缺乏抽象思維能力的學(xué)生來說，具有一定的學(xué)習(xí)難度。在這種教學(xué)方式的影響下，學(xué)生缺乏發(fā)散性思維，只能對知識點(diǎn)進(jìn)行死記硬背、簡單套用。而高中數(shù)學(xué)的題型豐富多樣，這就導(dǎo)致學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)過程中無法靈活運(yùn)用知識解決問題，數(shù)學(xué)思維和實(shí)際運(yùn)用能力較差。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，許多方便、快捷、高效的教學(xué)軟件應(yīng)運(yùn)而生，如GGB 數(shù)學(xué)軟件。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以自己動手拖動圖形、觀察圖形，通過實(shí)際操作和直接觀察理解數(shù)學(xué)知識，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提升學(xué)生的思維能力。此外，教師以動態(tài)的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性，將抽象、晦澀的數(shù)學(xué)知識生動、形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生深入理解這些數(shù)學(xué)知識，在一定程度上提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解能力，充分激發(fā)學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性，更好地解決高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

三、GGB 軟件動態(tài)化教學(xué)的優(yōu)勢

高中數(shù)學(xué)知識比較抽象，邏輯性強(qiáng)，對學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力要求比較高。利用GGB軟件開展動態(tài)化教學(xué)，能夠使抽象的數(shù)學(xué)知識更加形象化，通過這種直觀的方式幫助學(xué)生構(gòu)建更加完整的知識體系，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)用GGB軟件，不僅可以向?qū)W生展示直觀、靜態(tài)的圖形，還可以利用動畫生成圖形變化的過程，使學(xué)生在觀察圖形的動態(tài)變化過程中理解抽象的數(shù)學(xué)知識。動態(tài)化的呈現(xiàn)形式可以幫助學(xué)生積極思考圖形和代數(shù)理論之間的關(guān)系，以繪圖的形式進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)換，使學(xué)生深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，從而提高學(xué)生的自主探究能力以及抽象思維能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

四、GGB 軟件動態(tài)數(shù)學(xué)可視化教學(xué)設(shè)計

（一）教材分析

“直線與圓的位置關(guān)系”這節(jié)內(nèi)容選自新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章的第5 小節(jié)。本節(jié)內(nèi)容旨在利用代數(shù)方法研究直線與圓的位置關(guān)系，在學(xué)生對初中幾何中直線和圓的形狀有一定認(rèn)識的基礎(chǔ)上，挖掘兩者之間“數(shù)”的關(guān)系，進(jìn)一步提升學(xué)生理解和解析幾何數(shù)學(xué)知識的能力，有效實(shí)現(xiàn)幾何問題和代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化能力提升。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生經(jīng)過初中幾何知識的學(xué)習(xí)，已經(jīng)基本了解直線與圓相交、相切、相離的位置關(guān)系，并且學(xué)會了判斷位置關(guān)系的兩種方法。在本章前4 節(jié)的內(nèi)容中學(xué)習(xí)了直線的傾斜角與斜率、圓的方程、直線方程以及直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式等知識，為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了基礎(chǔ)準(zhǔn)備。學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了利用方程組確定直線的交點(diǎn)的方法，并且具有運(yùn)用坐標(biāo)法研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)，以及一定的數(shù)形結(jié)合思想，但是其抽象思維和空間想象能力需要進(jìn)一步提升。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.利用GGB 軟件演示直觀性的圖象，以此引發(fā)學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系的思考，打破學(xué)生在之前學(xué)習(xí)中對直線與圓的思辨模式，幫助學(xué)生更快地形成完整、系統(tǒng)的知識框架。

2.學(xué)生可以在GGB 軟件的動態(tài)演示下，概括出直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)形式，同時幫助學(xué)生掌握不同位置關(guān)系的圖象形式。

3.提升學(xué)生的觀察、分析、思辨等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更進(jìn)一步掌握數(shù)形結(jié)合的思維方式，提升學(xué)生的抽象思維能力。

（四）教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系的分類判斷和應(yīng)用。

2.教學(xué)難點(diǎn)：將直線與圓的位置關(guān)系由幾何圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式；建立直線與圓的方程，利用方程組的解來研究直線與圓的位置關(guān)系以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

（五）教學(xué)方法

教師以GGB 數(shù)學(xué)軟件構(gòu)建模型，以直觀性教學(xué)法、啟發(fā)性教學(xué)法以及合作探究等教學(xué)方法為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生在GBB 軟件支持下能夠更好地學(xué)習(xí)和理解直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)表達(dá)形式，提升學(xué)生的空間想象力、抽象思維培養(yǎng)以及邏輯思辨能力。

（六）教學(xué)過程

1.情境創(chuàng)設(shè)，問題驅(qū)動

基于當(dāng)前學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系有著基本的幾何關(guān)系掌握的學(xué)情基礎(chǔ)上，基本掌握了直線與圓相切、相交、相離的位置關(guān)系。因此，教師利用GGB軟件繪制出一個直線與圓無限接近的情況（如圖1所示），并且請大家思考和討論圖中直線與圓的位置關(guān)系。

圖1 直線與圓無限接近但并未相切或相交

教師：請大家觀察圖中直線和圓的位置，并且思考圖中直線和圓的關(guān)系，談?wù)勀銈兊南敕ā?/p>

生A：直線與圓相切。

生B：圖中沒有直接給出直線和圓的切點(diǎn)，所以并不能直接判定直線是與圓相切的。

師：既然同學(xué)們對圖片上直線和圓的位置有不同的看法，那么我們利用GGB 數(shù)學(xué)軟件將該圖進(jìn)行局部放大之后，大家觀察這條直線是否和圓出現(xiàn)交點(diǎn)。

利用GGB 數(shù)學(xué)軟件將圖片中直線與圓的位置無限接近處進(jìn)行放大（如圖2 所示），發(fā)現(xiàn)圖中直線與圓的位置的確如學(xué)生B 說，直線與圓并沒有相切或相交。

圖2 局部放大示意圖

教師：通過觀察圖2，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生B 說的沒錯，圖中的直線并沒有與圓相切。由此我們知道，單純通過觀察圖片并不能得到真實(shí)的數(shù)據(jù)信息，圖象只能作為片面的參考，想要獲取精確的直線與圓的位置關(guān)系，我們就要明白：直線和圓的位置關(guān)系不僅僅體現(xiàn)在圖象上，還需要利用代數(shù)公式進(jìn)一步進(jìn)行直線與圓位置關(guān)系的判斷。

（設(shè)計意圖：利用GGB 軟件的直觀性優(yōu)勢，直接引入本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)，通過圖象中看似相切，實(shí)則相離的直線與圓的位置關(guān)系來引發(fā)學(xué)生的討論，并且引導(dǎo)學(xué)生思考如何才能更加精準(zhǔn)地判斷直線與圓的位置關(guān)系，提升學(xué)生自主探究、自主學(xué)習(xí)的積極性。）

2.動態(tài)模擬，構(gòu)建知識架構(gòu)

教師利用GGB 數(shù)學(xué)軟件繪制出既定條件：點(diǎn)O（x0，y0）、直線l:x0x+y0y=r2以及圓C：x2+y2=r2下的圖象，并且在軟件中不斷給x0、y0以及r 賦值，將制作的圖象展示給學(xué)生（如圖3 所示）。

圖3 直線與圓位置關(guān)系設(shè)計圖

教師在教學(xué)過程中，通過滑動圖形中設(shè)定r 及F點(diǎn)，以此改變圓的大小及直線的位置，并且讓學(xué)生合作探究、觀察思考直線與圓的位置關(guān)系變化。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在老師保持圓的直徑不變，拖動F點(diǎn)的位置，大家觀察直線與圓的位置關(guān)系是怎么樣呢？

生C：當(dāng)F 點(diǎn)保持在圓C 外時，無論怎么滑動r按鈕，直線l 和圓C 始終相交并且有兩個交點(diǎn)；而當(dāng)F 點(diǎn)在圓C 上時，直線l 與圓C 只有一個交點(diǎn)，但是當(dāng)F 點(diǎn)在圓C 內(nèi)時，直線l 和圓C 沒有交點(diǎn)。

教師：對，在不斷改變F 點(diǎn)位置的過程中，對應(yīng)的直線l 和圓C 的位置就會產(chǎn)生相應(yīng)的變化。這三種對應(yīng)的位置關(guān)系可以分為相切、相離、相交，而利用直線方程將圖中三個位置關(guān)系的變化表示出來，可以表示為：x0x+y0y=r12，當(dāng)r12=r2時，直線與圓相切；當(dāng)r12＞r2時，直線與圓相離；當(dāng)r12＜r2時，直線與圓相交。這就是直線與圓的位置關(guān)系在代數(shù)上的體現(xiàn)。

（設(shè)計意圖：利用GGB 軟件設(shè)計直線與圓的位置關(guān)系，動態(tài)演示二者位置關(guān)系的變化過程，以直觀、動態(tài)的形式讓學(xué)生觀察圖片上直線與圓的位置變化，繼而積極思考并總結(jié)直線與圓的代數(shù)方程形式，從而實(shí)現(xiàn)更加準(zhǔn)確地表達(dá)直線與圓的位置關(guān)系。）

（七）家庭作業(yè)設(shè)計

根據(jù)以下給出的條件，判斷直線與圓的位置關(guān)系：

（1）l：x+y-1=0，C：x2+y2=4

（2）l：4x-3y-8=0，C：x2+（y+1）2=4

（3）l：x+y-4=0，C：x2+y2+2x=4

（4）l：y=0，C：（x-1）2+（y-1）2=1

（設(shè)計意圖：通過設(shè)計相關(guān)的題目，讓學(xué)生在實(shí)踐操作中加強(qiáng)對課上所學(xué)知識的理解，深刻地認(rèn)識直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)表達(dá)形式。學(xué)生還在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固了對直線與圓的不同關(guān)系的認(rèn)知，從而對直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)形式形成完整的應(yīng)用框架。）

五、結(jié)語

綜上所述，GGB 數(shù)學(xué)建模軟件為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了動態(tài)性的輔助教學(xué)功能，教師可以利用這個軟件對抽象化的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行動態(tài)化、可視化呈現(xiàn)，讓學(xué)生在動態(tài)模擬中領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。