丁潤(rùn)康，陳 剛

華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，上海 200062

人教版高中《物理》必修一“位置變化快慢的描述——速度”一節(jié)在瞬時(shí)速度概念的獲得過(guò)程中，有一句話(huà)“當(dāng)Δt 非常非常小時(shí)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異可以忽略不計(jì)，此時(shí)，我們就把叫作物體在時(shí)刻t 的瞬時(shí)速度”［1］。對(duì)于教材中的這句話(huà)，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)——多大的Δt 才是非常非常小的？瞬時(shí)速度概念實(shí)際上是位置關(guān)于時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但是初升高一的學(xué)生并沒(méi)有對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，作為替代需要使用極限推理的方法引導(dǎo)學(xué)生獲得相應(yīng)結(jié)論。

對(duì)于瞬時(shí)速度概念的獲得，通常存在兩種教學(xué)序列，一個(gè)是從位置－時(shí)間函數(shù)入手，另一個(gè)則是從位置－時(shí)間圖像入手，兩種序列均是合乎邏輯的，同時(shí)二者又具備著各自的優(yōu)勢(shì)以及不足之處。本文將從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度出發(fā)，通過(guò)教學(xué)任務(wù)分析的手段，分析兩種教學(xué)序列各自的主要結(jié)論以及結(jié)論獲得經(jīng)過(guò)的邏輯過(guò)程，基于此分析兩種序列的優(yōu)勢(shì)以及不足，并從易于學(xué)生理解的出發(fā)點(diǎn)給出一種結(jié)合兩種序列的教學(xué)方案。

1 基于學(xué)習(xí)心理學(xué)的物理概念與規(guī)律的信息加工機(jī)制

學(xué)習(xí)心理學(xué)通過(guò)研究人類(lèi)的學(xué)習(xí)機(jī)制提出，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是其內(nèi)部對(duì)信息進(jìn)行加工的過(guò)程，并遵循相應(yīng)的信息加工機(jī)制，符合學(xué)生學(xué)習(xí)機(jī)制的教學(xué)才是真正有效的教學(xué)［2］。

1.1 物理概念與規(guī)律的結(jié)論獲得的邏輯機(jī)制

學(xué)生在學(xué)習(xí)物理概念或規(guī)律時(shí)，總是通過(guò)實(shí)驗(yàn)歸納或者理論分析的途徑，并經(jīng)歷一系列邏輯的信息加工過(guò)程獲得結(jié)論。符合邏輯的信息加工方式包括穆勒五法（求同法、差異法、共變法、求同求異法和剩余法）以及演繹推理，學(xué)生通過(guò)以上的信息加工過(guò)程可以建立物理量之間的因果聯(lián)系，并由此完成對(duì)物理概念與規(guī)律的學(xué)習(xí)［3］。

瞬時(shí)速度教學(xué)的主要結(jié)論分別是通過(guò)共變法、演繹推理以及極限推理的信息加工方式獲得的。

共變法的運(yùn)用同樣需要提供若干個(gè)場(chǎng)合，這些場(chǎng)合中只有一個(gè)先行條件發(fā)生變化，被研究的現(xiàn)象同樣發(fā)生變化，如此便可以推斷該先行條件與被研究的現(xiàn)象之間存在因果聯(lián)系，其結(jié)構(gòu)如表1 所示。

表1 共變法的結(jié)構(gòu)

演繹推理策略是通過(guò)已知的具備一般性的前提得出有關(guān)特殊性知識(shí)的結(jié)論的一種推理方式，其最基本的形式是三段論，由大前提、小前提以及結(jié)論三個(gè)命題構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如表2 所示。

表2 三段論演繹推理的結(jié)構(gòu)

極限推理的運(yùn)用需要已知物理量隨著一個(gè)先行條件的連續(xù)單調(diào)變化而同時(shí)出現(xiàn)連續(xù)單調(diào)變化，假設(shè)該條件連續(xù)單調(diào)變化直至達(dá)到一個(gè)理想的極限狀態(tài)，這個(gè)極限狀態(tài)往往在現(xiàn)實(shí)中難以或者無(wú)法實(shí)現(xiàn)，可以推測(cè)被研究的物理量同樣隨之發(fā)生連續(xù)單調(diào)變化并達(dá)到對(duì)應(yīng)的一種極限狀態(tài)［4］。

1.2 教學(xué)任務(wù)分析

教學(xué)任務(wù)分析，可以將一個(gè)較為復(fù)雜結(jié)論的獲得，分解成一系列子結(jié)論的獲得，并且梳理完成獲得各子結(jié)論的序列以及學(xué)習(xí)者的必備技能。其重點(diǎn)在于確定教學(xué)活動(dòng)需要獲得的結(jié)論，以及對(duì)應(yīng)的一系列子結(jié)論，同時(shí)需要對(duì)子結(jié)論獲得所經(jīng)歷的邏輯過(guò)程進(jìn)行分析，并據(jù)此給出學(xué)習(xí)者參與教學(xué)活動(dòng)的必備技能。根據(jù)教學(xué)任務(wù)分析，教師可以篩選出服務(wù)于結(jié)論獲得的信息并進(jìn)行合理有序的呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)邏輯過(guò)程最終習(xí)得對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)結(jié)果。

2 “瞬時(shí)速度”兩種教學(xué)序列的教學(xué)任務(wù)分析

2.1 瞬時(shí)速度教學(xué)需要獲得的主要結(jié)論

從位置-時(shí)間函數(shù)入手的子結(jié)論：

從位置-時(shí)間圖像入手的子結(jié)論：

子結(jié)論b-1：x-t 圖像上A，B 兩點(diǎn)間平均速度的大小可以用割線(xiàn)AB 的斜率表示。

子結(jié)論b-2：當(dāng)B 點(diǎn)逐漸靠近A 點(diǎn)時(shí)，割線(xiàn)AB 也逐漸向A 點(diǎn)切線(xiàn)靠近。

子結(jié)論b-3：當(dāng)A，B 兩點(diǎn)重合時(shí)，割線(xiàn)AB也與A 點(diǎn)切線(xiàn)重合。

子結(jié)論b-4：當(dāng)Δt 趨近于0 時(shí)，x-t 圖像上A，B兩點(diǎn)間的平均速度的大小可以用過(guò)A 點(diǎn)的切線(xiàn)斜率表示為一個(gè)定值。

2.2 結(jié)論建立的邏輯過(guò)程

2．2．1 從位置－時(shí)間函數(shù)入手的教學(xué)序列

教師可以隨意列出一個(gè)表示物體位置x 與時(shí)刻t 關(guān)系的運(yùn)動(dòng)函數(shù)，如x（t）=t2-3t+7。取由時(shí)刻t 到時(shí)刻t+Δt 內(nèi)的一段時(shí)間，則物體對(duì)應(yīng)的位移Δx 可以用x（t+Δt）-x（t）得到。隨意取一個(gè)時(shí)刻t=1 s，分別在Δt=1 s，0.5 s，0.1 s，0.01 s，0.001 s的條件下計(jì)算出位移Δx 以及平均速度的值。

表3 運(yùn)用共變法獲得子結(jié)論a-1

遵循極限推理的邏輯方法，對(duì)子結(jié)論a-1進(jìn)行極限處理，可以得到子結(jié)論a-2：當(dāng)Δt 趨近于0 時(shí)，即t+Δt 十分接近t 時(shí)，平均速度的值等于一個(gè)定值。

2．2．2 從位置－時(shí)間圖像入手的教學(xué)序列

教師在位置－時(shí)間圖像上隨意繪制一條曲線(xiàn)，并在其上任意取A，B 兩點(diǎn)，如圖1 所示。讓學(xué)生找出x-t 圖像中蘊(yùn)含的A，B 兩點(diǎn)之間的時(shí)間ΔtAB以及位移ΔxAB的信息，并借此進(jìn)一步找到A，B 兩點(diǎn)之間的平均速度在x-t 圖像上的表示方式。

圖1 位置－時(shí)間圖像（x-t 圖像）

遵循三段論的演繹推理的邏輯過(guò)程，得出子結(jié)論b－1：x-t 圖像上A，B 兩點(diǎn)間的平均速度的大小可以用割線(xiàn)AB 的斜率表示。

表4 運(yùn)用演繹推理獲得結(jié)論

第二步，將“平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)斜率為縱坐標(biāo)的變化量與橫坐標(biāo)的變化量的比值”作為大前提，得到“割線(xiàn)AB 的斜率為，即”。

第三步，將“平均速度vAB的大小與割線(xiàn)AB的斜率大小相等”作為大前提，得到子結(jié)論b－1：x-t 圖像上A，B 兩點(diǎn)間的平均速度的大小可以用割線(xiàn)AB 的斜率大小表示。

將B 點(diǎn)逐漸向A 點(diǎn)靠近來(lái)縮小兩點(diǎn)的時(shí)間間隔Δt，如圖2 所示，并引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別割線(xiàn)AB隨之發(fā)生的變化。遵循共變的歸納方法，獲得子結(jié)論b－2，其邏輯過(guò)程如表5 所示。

圖2 x-t 圖像（取曲線(xiàn)上B1，B2，B3 三點(diǎn)）

表5 運(yùn)用共變法獲得子結(jié)論b－2

遵循極限推理的邏輯方法，對(duì)子結(jié)論b－2 進(jìn)行極限處理，當(dāng)B 點(diǎn)與A 點(diǎn)非常靠近，直至重合時(shí)，獲得子結(jié)論b－3：當(dāng)A，B 兩點(diǎn)重合時(shí)，割線(xiàn)AB 也與A 點(diǎn)切線(xiàn)重合。

遵循三段論的演繹推理的邏輯過(guò)程，將此前獲得的子結(jié)論b－1 和b－3 作為大前提，可以得出子結(jié)論b－4：當(dāng)Δt 趨近于0 時(shí)，x-t 圖像上A，B兩點(diǎn)間的平均速度的大小可以用過(guò)A 點(diǎn)的切線(xiàn)斜率的大小表示為一個(gè)定值。

2.3 兩種教學(xué)序列的分析

通過(guò)教學(xué)任務(wù)分析，兩種教學(xué)序列均能夠通過(guò)符合邏輯的方式引導(dǎo)學(xué)生獲得結(jié)論，但是二者在具體的結(jié)論建立過(guò)程中，對(duì)學(xué)生提出的要求有所不同。

從位置-時(shí)間函數(shù)入手的教學(xué)序列，對(duì)于學(xué)生而言不具有學(xué)習(xí)難點(diǎn)。學(xué)生易于通過(guò)具體的數(shù)值獲得隨Δt 變化，并據(jù)此進(jìn)行極限推理。當(dāng)Δt 不斷減小，趨近于0 時(shí)平均速度的值等于一個(gè)定值，從而習(xí)得瞬時(shí)速度的概念。其結(jié)論獲得的邏輯過(guò)程中選取的函數(shù)，雖然是隨意選取的，但由于子結(jié)論是針對(duì)選取的函數(shù)通過(guò)相應(yīng)的邏輯過(guò)程獲得的，與具體的數(shù)值存在比較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)，而對(duì)于其他運(yùn)動(dòng)狀態(tài)物體的位置-時(shí)間函數(shù)是否成立未知，需要通過(guò)類(lèi)似的邏輯過(guò)程進(jìn)行證明，普遍性稍弱。該教學(xué)序列適合學(xué)習(xí)基礎(chǔ)稍弱的學(xué)生。

從位置-時(shí)間圖像入手的教學(xué)序列，學(xué)生首先需要將平均速度轉(zhuǎn)化為x-t 圖像上的割線(xiàn)斜率，通過(guò)共變法以及極限推理得到子結(jié)論后，還需要經(jīng)過(guò)將割線(xiàn)斜率返回到平均速度的過(guò)程。相比于從位置-時(shí)間函數(shù)入手的教學(xué)序列，學(xué)生需要額外具備與位置-時(shí)間圖像相關(guān)的識(shí)圖能力，同時(shí)增加了速度與割線(xiàn)斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過(guò)程，教學(xué)過(guò)程更加復(fù)雜繁瑣，而且給學(xué)生帶來(lái)的思維負(fù)擔(dān)也更重。但是，由于位置-時(shí)間圖像屬于隨意繪制的一條曲線(xiàn)，同時(shí)圖像上的各點(diǎn)同樣是隨意選取的，具備相對(duì)較強(qiáng)的普遍性。該教學(xué)序列適合學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較強(qiáng)的學(xué)生。

3 結(jié)合兩種序列的教學(xué)詳案

從學(xué)生易于理解的角度來(lái)看，位置-時(shí)間圖像的部分內(nèi)容適合置于瞬時(shí)速度的概念學(xué)習(xí)之后，作為平均速度以及瞬時(shí)速度在圖像上的表示這一部分內(nèi)容供學(xué)生學(xué)習(xí)，學(xué)生在理解瞬時(shí)速度的概念之后，更加容易理解瞬時(shí)速度以x-t 圖像上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)斜率表示。

本文接下來(lái)將選取位置-時(shí)間函數(shù)作為出發(fā)點(diǎn)，在學(xué)生習(xí)得瞬時(shí)速度概念之后，通過(guò)與從位置-時(shí)間圖像入手的教學(xué)序列類(lèi)似的邏輯過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生習(xí)得瞬時(shí)速度在位置-時(shí)間圖像中的表示方式，并以教學(xué)問(wèn)題鏈的形式提供一種啟發(fā)式教學(xué)的詳案。

3.1 瞬時(shí)速度的概念（從位置－時(shí)間函數(shù)入手）

生：可以采用物體在某一時(shí)刻附近的很小一段時(shí)間內(nèi)的平均速度來(lái)近似表示物體在該時(shí)刻的速度。

師：我們來(lái)分析一下同學(xué)們的想法是否可行。要求平均速度需要知道哪些物理量？

生：物體運(yùn)動(dòng)的一段時(shí)間Δt 以及這段時(shí)間內(nèi)的位移Δx。

師：我們隨意取一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，其位置x 與時(shí)間t 存在關(guān)系：x（t）=t2-3t+7。取由t 到t+Δt 的一個(gè)時(shí)間段，這個(gè)時(shí)間段內(nèi)物體的位移如何表示？

生：末位置坐標(biāo)值減去初位置坐標(biāo)值，即Δx=x（t+Δt）-x（t）。

師：該時(shí)間段內(nèi)的平均速度怎么表示？

師：現(xiàn)在我們要將時(shí)間段縮短并接近時(shí)刻t，那么Δt 應(yīng)怎樣？

生：非常小。

師：怎么做到非常小呢？隨意取某一個(gè)時(shí)刻，比如在時(shí)刻t=1 s 時(shí)，我們先分別取Δt=1 s，0.5 s，0.1 s，0.01 s，0.001 s，不斷將Δt 變小，觀察這段時(shí)間內(nèi)的平均速度的值是怎樣變化的（表6）。

表6 位置－時(shí)間函數(shù)的各數(shù)據(jù)隨Δt 的變化

生：隨著Δt 的變小，平均速度在不斷接近一個(gè)定值（子結(jié)論a-1）。

師：按照同學(xué)們的想法，我們讓?duì) 不斷減小，使得Δt 無(wú)限小，甚至等于0，同學(xué)們認(rèn)為此時(shí)的平均速度會(huì)怎么樣？

生：平均速度會(huì)等于那一個(gè)定值（子結(jié)論a-2）。

師:經(jīng)過(guò)分析，當(dāng)Δt 無(wú)限小，趨近于0 時(shí)，即t+Δt 十分接近t，平均速度會(huì)成為一個(gè)定值，可以把此時(shí)的平均速度稱(chēng)為物體在時(shí)刻t 的瞬時(shí)速度，大小就等于這一個(gè)定值。

3.2 瞬時(shí)速度在位置－時(shí)間圖像上的表示方式

師：一個(gè)物體的位置與時(shí)間的關(guān)系，除了位置－時(shí)間函數(shù)以外，還能以位置－時(shí)間圖像的形式表示出來(lái)。物體位置變化的快慢可不可以在x-t圖像上表示出來(lái)？

生：相同的橫坐標(biāo)變化，即相同的時(shí)間間隔內(nèi)，位置變化越大，表現(xiàn)為縱坐標(biāo)變化大。物體位置變化快，則整體圖像會(huì)“陡”一些。

師：x-t 圖像能夠表現(xiàn)物體位置變化的快慢，那么也就是說(shuō)，它能夠體現(xiàn)出物體的速度，具體是如何表示的？ 比如說(shuō)這里有一個(gè)x-t 圖像（如圖1），這條曲線(xiàn)上面任取A，B 兩點(diǎn)，如何表示兩點(diǎn)之間的平均速度？ 根據(jù)平均速度的定義來(lái)思考。

師：因?yàn)锳，B 兩點(diǎn)是任取的，所以可以證明x-t 圖像上任意兩點(diǎn)之間的平均速度可以用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的割線(xiàn)的斜率表示。那么，瞬時(shí)速度又是如何表示的呢？ 首先回想一下，我們是如何獲得瞬時(shí)速度的概念的？

生：平均速度隨著Δt 的減小而不斷接近一個(gè)定值，在極限情況下，當(dāng)Δt 趨近于0 時(shí)，平均速度就等于那個(gè)定值，此時(shí)的就是物體在時(shí)刻t 的瞬時(shí)速度。

師：我們要求瞬時(shí)速度在x-t 圖像的表示方式，同樣可以遵循這一套步驟。第一步需要做什么？

生：減小Δt 的值。

師：我們可以將B 點(diǎn)逐漸向A 點(diǎn)靠近，依次取B1，B2，B3三個(gè)點(diǎn)（如圖2），滿(mǎn)足Δt 逐漸減小。接下來(lái)做什么？

生：觀察平均速度即割線(xiàn)斜率隨Δt 的變化。

師：發(fā)現(xiàn)隨著Δt 的變小，割線(xiàn)逐漸向A 點(diǎn)的切線(xiàn)靠近（子結(jié)論b－2）。接下來(lái)——

生：取極限情況，當(dāng)Δt 趨近于0 時(shí)，割線(xiàn)就成為A 點(diǎn)的切線(xiàn)（子結(jié)論b－3）。

師：此時(shí)平均速度就是物體在A 點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的瞬時(shí)速度vA。那么，A 點(diǎn)的瞬時(shí)速度在x-t圖像中如何表示？

生：A 點(diǎn)的瞬時(shí)速度就是x-t 圖像上該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率（子結(jié)論b－4）。

師：因?yàn)锳，B 兩點(diǎn)是隨意選取的，所以x-t圖像上的任意一點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以用該點(diǎn)的切線(xiàn)方向表示。

4 總 結(jié)

對(duì)于瞬時(shí)速度概念獲得的兩種教學(xué)序列，從學(xué)習(xí)心理學(xué)角度運(yùn)用教學(xué)任務(wù)分析的手段，對(duì)各自需要獲得的主要結(jié)論及其邏輯過(guò)程進(jìn)行分析，得到了以下結(jié)論：從位置－時(shí)間函數(shù)入手進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生相對(duì)易于理解，但是由于獲得結(jié)論的過(guò)程只對(duì)選取的函數(shù)有效，降低了結(jié)論的普遍性；而從位置－時(shí)間圖像入手進(jìn)行教學(xué)，其主要結(jié)論的獲得過(guò)程適用于位置－時(shí)間坐標(biāo)系上的任意一條曲線(xiàn)，普遍性相對(duì)更高，但是需要學(xué)生對(duì)速度與圖像上對(duì)應(yīng)的割線(xiàn)或切線(xiàn)的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在一定程度上又增加了學(xué)生的理解難度。

為便于學(xué)生理解，對(duì)于“位置變化的快慢——速度”一節(jié)“瞬時(shí)速度”部分的教學(xué)可以選擇從位置－時(shí)間函數(shù)入手，經(jīng)歷對(duì)應(yīng)的邏輯過(guò)程習(xí)得瞬時(shí)速度的概念以及在位置－時(shí)間圖像中的表達(dá)方式，從符合學(xué)生學(xué)習(xí)機(jī)制的角度進(jìn)行教學(xué)。