趙成兵,章睿敏,汪 瑤,儲立錚

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 合肥 230022)

1 射流黎曼拉格朗日幾何

設(shè)T=[a,b]?R是一個實數(shù)集合,對于一維仿射纖維叢

J1(T,R)→T×Rn,n≥2

顯然d-張量場X生產(chǎn)一階射流微分系統(tǒng)

(1)

利用如下記號

假設(shè)有歐式結(jié)構(gòu)(T,1)和(Rn,δij),這里δij是Kronecker符號,那么一階射流微分系統(tǒng)(1)自動生成射流最小平方拉格朗日函數(shù)

JLS:J1(T,Rn)→R+

表達(dá)式為

這里x=(xk),k=1,…n,整體最小平方拉格朗日函數(shù)能量的最小點

是一階射影流系統(tǒng)(1)的C2類的精確解,換句話說一階射流微分系統(tǒng)(1)的C2類的精確解通過二階歐拉拉格朗日方程JLS產(chǎn)生,這里c(t)=(x(t))是上Rn的未知曲線。

定義1:任何通過射流最小平方拉格朗日函數(shù)JLS的二階歐拉方程產(chǎn)生的在J1(T,Rn)的幾何標(biāo)價被稱為由一階射流微分系統(tǒng)(1)所產(chǎn)生。

為了表達(dá)一階射流微分系統(tǒng)(1)的射流拉格朗日幾何標(biāo)價的特點,利用下面的Jacobian矩陣符號

2 考慮技術(shù)進步模型

考慮資本家只消費剩余價值的一部分,而把其余部分用于積累,這就是擴大再生產(chǎn)情況,其一般均衡條件為:

(2)

UC>0,UCC<0,UB>0,UBB<0,

Lucas研究了如下形式的經(jīng)濟模型[1]:

(3)

Rebelo研究了如下形式的改進的經(jīng)濟模型[2]:

(4)

這里K和H是在物質(zhì)和人力資本的投資,C是整體消費,0

周少波等改進了Rebelo的模型,討論了帶技術(shù)進步的經(jīng)濟模型系統(tǒng)[3]:

(5)

這里L(fēng)是勞動輸出因素,N是整個人口,τ是用于政府服務(wù)的部分,λ>0是人力資本的貶值率。

利用M.Neagu的射流拉格朗日幾何理論研究Kadlor流(5),得到如下的幾個結(jié)果。

定理2.1:在J1(M,R2)上由Kadlor流(5)產(chǎn)生的典范非線性聯(lián)絡(luò)有局部分支

這里:

證明:讓n=3,x1=K,x2=H,x3=A,則

其中

其中

其中

定理2.3:由Kaldor流(5)產(chǎn)生的一階微分方程系統(tǒng)得到的幾何電磁特異形式有如下的表達(dá)式:

具體的證明過程可以參考文獻[4]。

定理2.4:由Kaldor流(5)產(chǎn)生經(jīng)濟幾何Yang-Mills能量有如下的表達(dá)式:

證明: