程全平

摘要：同構(gòu)意識是高中數(shù)學(xué)中解決問題時比較常見的一種解題意識與技巧方法.特別在解決一些比較陌生或復(fù)雜的三角函數(shù)問題時，結(jié)合三角關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，抓住三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理同構(gòu)與之相關(guān)的函數(shù)，進而利用函數(shù)的基本性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性等）來解決對應(yīng)的三角函數(shù)問題，總結(jié)規(guī)律.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；同構(gòu)；函數(shù)；參數(shù)；不等式

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基本知識內(nèi)容之一，也是高考考查的主干知識之一.三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，在解決一些相關(guān)的三角函數(shù)問題時，經(jīng)?？梢越柚瑯?gòu)函數(shù)，回歸函數(shù)本質(zhì)，挖掘函數(shù)內(nèi)涵，利用函數(shù)的相關(guān)概念、基本性質(zhì)、圖象等來巧妙轉(zhuǎn)化并加以處理.特別在解決三角函數(shù)中的參數(shù)取值、求函數(shù)值、大小比較、不等式證明等方面都有奇效＼.

1 參數(shù)取值

三角函數(shù)中的一些參數(shù)取值問題，經(jīng)常借助同構(gòu)函數(shù)思維，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來恒等變形與轉(zhuǎn)化，為參數(shù)取值的求解提供條件＼.

例1（2022年廣東省汕頭市普通高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷·16）若cos5θ-sin5θ<7（sin3θ-cos3θ）（θ∈＼.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，抓住三角關(guān)系式的共性特征進行恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化.利用三角函數(shù)同名歸類，借助不等式的恒等變形，尋找不等式兩邊的共性，巧妙同構(gòu)函數(shù)，進一步利用導(dǎo)數(shù)，合理確定函數(shù)的單調(diào)性，進而利用函數(shù)單調(diào)性來轉(zhuǎn)化不等式，即可確定θ的取值范圍.

解析：由cos5θ-sin5θ<7（sin3θ-cos3θ），移項整理，可得cos5θ+7cos3θ

同構(gòu)函數(shù)f（x）=x5+7x3，x∈＼，

那么不等式cos5θ+7cos3θ

求導(dǎo)可得f′（x）=5x4+21x2≥0，則知函數(shù)f（x）在區(qū)間＼上是增函數(shù).

由f（cos θ）

結(jié)合θ∈＼π4<θ<5π4，

所以θ的取值范圍是π4，5π4.

故填答案：π4，5π4.

點評：同構(gòu)函數(shù)來處理，相比三角恒等變形與轉(zhuǎn)化來說，更加簡單快捷，處理起來也更加巧妙.當(dāng)然，對于同構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的判斷，也可以采用其他方式，如以上問題中先判斷冪函數(shù)y=x3和y=x5在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，再綜合函數(shù)的運算形式與對應(yīng)的單調(diào)性性質(zhì)來確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性.而由三角不等式確定角的取值范圍時，也可以利用輔助角公式，結(jié)合三角不等式，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來轉(zhuǎn)化.

2 求函數(shù)值

三角函數(shù)的求值問題中，有時比較復(fù)雜難以直接下手，可以觀察三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理恒等變形，巧妙同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的基本性質(zhì)來變形與應(yīng)用，實現(xiàn)求函數(shù)值的目的.

例2（多選題）設(shè)sinβ+π6+sin β=3+12，則sinβ-π3=（）.

A.32

B.12

C.-12

D.-32

分析：根據(jù)題中三角函數(shù)的特殊值，有意識地確定兩個特殊角滿足三角函數(shù)關(guān)系式，同構(gòu)三角函數(shù)，確定其周期，結(jié)合求導(dǎo)處理以及三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形（和差化積公式），利用三角函數(shù)在一個周期長度內(nèi)的單調(diào)性來確定對應(yīng)角的取值，從而得以求解對應(yīng)的三角函數(shù)值.

解析：由于sinβ+π6+sin β=3+12=sinπ3+sinπ6，sinβ+π6+sin β=3+12=sin5π6+sin2π3，因此可

同構(gòu)函數(shù)f（x）=sinx+π6+sin x，x∈R，易知函數(shù)f（x）的周期為2π.

求導(dǎo)可得f′（x）=cosx+π6+cos x=2cosπ12＼5cosx+π12.

不妨取一個周期長度x+π12∈-π2，3π2〗.

當(dāng)x+π12∈-π2，π2〗時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時β=π6，可得sinβ-π3=-12.

當(dāng)x+π12∈π2，3π2〗時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，此時β=2π3，可得sin（β-π3）=32.

故選擇答案：AC.

點評：此題以三角等式為問題背景，結(jié)合條件來求解相應(yīng)的三角函數(shù)值.常用的解題方法就是利用三角函數(shù)的公式變形來處理，過程比較繁雜，運算量比較大.而抓住特殊角滿足的三角等式加以切入，巧妙同構(gòu)三角函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)法來處理，思維性較強，可以減少數(shù)學(xué)運算，優(yōu)化解題過程＼.

3 大小比較

三角函數(shù)中也存在一些比較變量大小關(guān)系的問題，經(jīng)?？梢越柚}設(shè)條件，尋找特征，同構(gòu)函數(shù)，進而利用函數(shù)的基本性質(zhì)來合理轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用，實現(xiàn)大小關(guān)系的判斷.

例3已知實數(shù)a，b滿足asin a-4bsin bcos b=4b2-a2+1，則以下各選項中大小關(guān)系正確的是（）.

A.a＞2b

B.a＜2b

C.|a|＞|2b|

D.|a|＜|2b|

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合題設(shè)中的等式進行同一參數(shù)的變形轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)等式兩邊的同型轉(zhuǎn)化，巧妙同構(gòu)函數(shù)；結(jié)合函數(shù)的奇偶性，以及借助導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而利用函數(shù)的基本性質(zhì)來綜合分析與處理，實現(xiàn)參數(shù)大小關(guān)系的判斷.

解析：由asin a-2bsin 2b=4b2-a2+1，可得asin a+a2=4b2+2bsin 2b+1.

又由于asin a+a2=（2b）2+2bsin 2b+1＞（2b）2+2bsin 2b，因此

同構(gòu)函數(shù)f（x）=xsin x+x2，x∈R.

因為f（-x）=-xsin（-x）+（-x）2=xsin x+x2=f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

求導(dǎo)，可得f′（x）=sin x+xcos x+2x.

當(dāng)x∈0，π2〗時，f′（x）≥0；當(dāng)x∈π2，+∞時，f′（x）=sin x+xcos x+2x=sin x+x+xcos x+x=（sin x+x）+x（cos x+1）＞0.

所以當(dāng)x≥0時，f′（x）≥0，則知函數(shù)f（x）在區(qū)間＼點評：在解決此類三角函數(shù)問題時，經(jīng)常要通過三角恒等變換，利用一些相關(guān)的關(guān)系加以變形，從而尋找問題的同型，實現(xiàn)地位同等策略同構(gòu)函數(shù)的目的，進而借助函數(shù)的基本性質(zhì)來比較大小.

4 不等式證明

三角函數(shù)中的不等式證明問題，有時也可以借助代數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，尋找共性，同構(gòu)函數(shù)，通過函數(shù)的基本性質(zhì)，從函數(shù)的思維視角來解決.

例4在銳角三角形ABC中，A，B，C是該三角形的三個內(nèi)角，試證明：sin Asin Bsin C>sin A+sin B+sin C-2.

分析：結(jié)合題目所要證明的三角不等式，以其中一個內(nèi)角的正弦值為主元進行恒等變形，通過同構(gòu)函數(shù)，利用銳角三角形各內(nèi)角的正弦值的取值情況來確定一次函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)值，巧妙轉(zhuǎn)化思維，綜合利用函數(shù)的單調(diào)性來證明對應(yīng)的三角不等式問題.

證明：要證sin Asin Bsin C>sin A+sin B+sin C-2，即證（sin Asin B-1）sin C-（sin A+sin B）+2>0.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=（sin Asin B-1）x-（sin A+sin B）+2，x∈（0，1）.

而f（1）=sin Asin B-1-（sin A+sin B）+2=（1-sin A）（1-sin B）>0（這里0

結(jié)合sin Asin B-1<0，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上恒有f（x）>f（1）>0，則有f（sin C）>0.

因此f（sin C）=（sin Asin B-1）sin C-（sin A+sin B）+2>0.

變形轉(zhuǎn)化，可得sin Asin Bsin C>sin A+sin B+sin C-2成立，不等式得證.

點評：在解決以上三角不等式的證明問題時，如果沒有頭緒或無從下手，可以合理改變解題方向，通過題目的條件或結(jié)論的分析與考查，合理拓展思維，借助主元法等其他方法加以巧妙變形與轉(zhuǎn)化，同構(gòu)出與問題有關(guān)的基本初等函數(shù)，利用相應(yīng)函數(shù)的相關(guān)知識來尋找與轉(zhuǎn)化解決問題的方法與途徑，實現(xiàn)問題的巧妙破解.

在破解一些三角函數(shù)的相關(guān)問題時，關(guān)鍵是抓住題目中三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，

慧眼識別與尋找同型或共性，特別是結(jié)合三角恒等變形，巧妙抽象，合理同構(gòu)函數(shù)，利用共性，將一些不熟知的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的其他基本初等函數(shù)問題來分析與處理，不斷增強創(chuàng)新意識、同構(gòu)意識等，提升創(chuàng)新應(yīng)用能力，拓展思維，形成數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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