劉勝男

摘要：極化恒等式是解決向量數(shù)量積問題的利器，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.本文中介紹了極化恒等式的兩個(gè)模型及幾何意義，并結(jié)合極化恒等式的具體應(yīng)用案例，通過比較解法，分析極化恒等式在解決問題時(shí)的優(yōu)點(diǎn).

關(guān)鍵詞：極化恒等式；平面向量；解題研究

高考對(duì)于向量部分知識(shí)點(diǎn)的考查中，數(shù)量積運(yùn)算占比極大，解決平面向量數(shù)量積問題主要有公式法和坐標(biāo)法這兩種常規(guī)方法.本文中介紹一種新的解法，利用極化恒等式解決一般方法不容易計(jì)算的數(shù)量積問題，特別在“求取值范圍”問題中有著廣泛應(yīng)用.“極化恒等式”這一內(nèi)容源自大學(xué)數(shù)學(xué)“泛函分析”，它表明數(shù)量積可以由它誘導(dǎo)出的范數(shù)來表示，把極化恒等式降維至二維平面，則可以非常巧妙地建立起向量數(shù)量積與向量模長(zhǎng)之間的聯(lián)系，即僅用向量模長(zhǎng)表示向量的數(shù)量積，從而實(shí)現(xiàn)向量和幾何、向量和代數(shù)的精妙結(jié)合.

1 極化恒等式

極化恒等式標(biāo)準(zhǔn)形式：對(duì)于兩個(gè)非零向量a，b，有

a＼5b=14［（a+b）2－（a－b）2］.

其幾何意義為非零向量a，b的數(shù)量積等于以這組向量對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的14.由此可以得到極化恒等式在平行四邊形中的推廣.

推廣1如圖1，在ABCD中，有AB＼5AD=14（AC2－BD2）.

在平行四邊形中，可以用它來解決一些與數(shù)量積范圍或最值相關(guān)的問題，同時(shí)保留了更直觀的幾何意義.當(dāng)然，也可以在三角形中構(gòu)造極化恒等式，這也是極化恒等式的第二個(gè)推廣.

推廣2如圖2，在△ABC中，I為BC的中點(diǎn)，有AB＼5AC=AI2－14BC2=AI2－BI2.

2 極化恒等式的優(yōu)越性

例1（2017年新課標(biāo)Ⅱ卷）已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA＼5（PB+PC）的最小值是.

解法1：（坐標(biāo)法）如圖3所示，以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，直線AO為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0，3），B（-1，0），C（1，0）.

設(shè)P（x，y），則PA=（－x，3－y），PB=（－1－x，－y），PC=（1－x，－y）.

所以PA＼5（PB+PC）=2x2－23y+2y2=2x2+y－322－34，當(dāng)x=0，y=32時(shí)，取得最小值，且最小值為2×－34=－32.

解法2：（極化恒等式法）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，OA中點(diǎn)為D，由向量加法法則和極化恒等式，可得PA＼5（PB+PC）=2PA＼5PO=2（PD2－OD2）=2PD2－34≥－32.故PA＼5（PB+PC）的最小值為-32.

變式在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=π2，AB=BC=2，M，N（不與A，C重合）為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|MN|=2，則BM＼5BN的取值范圍為.

解法1：（坐標(biāo)法）如圖4，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則直線AC的方程為x+y=2.設(shè)M（a，2－a），0

所以BM=（a，2－a），BN=（a+1，1－a），可得BM＼5BN=a（a+1）+（2－a）（1－a）=2a2－2a+2=2a－122+32.又0

解法2：（極化恒等式法）設(shè)MN的中點(diǎn)為D，點(diǎn)D（t，2－t），12

點(diǎn)評(píng)：從例1及其變式的解法可以發(fā)現(xiàn)，使用常規(guī)坐標(biāo)法步驟繁瑣，在計(jì)算上花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，還可能會(huì)由于疏忽導(dǎo)致做錯(cuò)，而采用極化恒等式法，只需找到三角形邊的中點(diǎn)，可以代入公式，題目便迎刃而解.把平面向量數(shù)量積這種抽象的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題進(jìn)行求解，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.解法2體現(xiàn)出極化恒等式在計(jì)算向量的數(shù)量積中的優(yōu)越性.

3 極化恒等式的應(yīng)用舉例

題型1：定值問題.

例2如圖5，在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則EF＼5FG+GH＼5HE等于.

解：設(shè)HF的中點(diǎn)為O，則EF＼5FG=EF＼5EH=EO2－OH2=1－122=34，GH＼5HE

=GH＼5GF=GO2－OH2=1－122=34.

故EF＼5FG+GH＼5HE=32.

題型2：范圍問題.

例3邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，PM＼5PN的取值范圍是.

解：如圖6，設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓為圓O，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，MN為圓O的一條直徑，

則PM＼5PN=|PO|2－|OM|2=|PO|2－14.

當(dāng)P為正方形ABCD的某邊中點(diǎn)時(shí)，|OP|min=12；當(dāng)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)重合時(shí)，|OP|max=22.所以12≤|OP|≤22.

故PM＼5PN=|PO|2－14∈0，14.

題型3：求參問題.

例4如圖7，已知AB是圓O：x2+y2=1的任意一條直徑，點(diǎn)P在直線x+2y－a=0（a>0）上運(yùn)動(dòng)，若PA＼5PB的最小值為4，則實(shí)數(shù)a的值為.

解：由題意可知，O為AB的中點(diǎn)，AB=2.由極化恒等式，得PA＼5PB=|PO|2－14|AB|2=|PO|2-1.故當(dāng)PA＼5PB取最小值4時(shí)，|PO|min=5，此時(shí)，|PO|為點(diǎn)O到直線x+2y－a=0的距離，因此|－a|12+22=5，解得a=5.

例5設(shè)P0是△ABC中AB邊上的定點(diǎn)，滿足P0B=14AB，且對(duì)于AB邊上任意一點(diǎn)P，恒有PB＼5PC≥P0B＼5P0C，則△ABC的形狀為.

解：如圖8，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，P0D，則PB＼5PC=|PD|2－14|BC|2，P0B＼5P0C=|P0D|2－14|BC|2.因?yàn)镻B＼5PC≥P0B＼5P0C恒成立，即|PD|2－14|BC|2≥|P0D|2－14|BC|2，亦即|PD|≥|P0D|恒成立，所以P0D⊥AB.設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連接OC，則P0B=12OB，可得P0D∥OC，所以O(shè)C⊥AB且AC=BC，即△ABC是以C為頂角的等腰三角形.

4 總結(jié)

數(shù)學(xué)解題不是簡(jiǎn)單的做題訓(xùn)練，它更像是知識(shí)的再創(chuàng)造.解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要一環(huán)，學(xué)會(huì)了解題意味著學(xué)生不僅具備了解決新問題的能力，同時(shí)也培養(yǎng)了他們的邏輯思維、創(chuàng)造性思維和問題解決的技能.利用極化恒等式可以求數(shù)量積的值、界定數(shù)量積的取值范圍、探求數(shù)量積的最值、處理長(zhǎng)度問題，以及解決一些綜合性問題.因此，教師站在更高層面，為學(xué)生講解一類新的解題模型是有必要的［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］陳曉明.極化恒等式在平面向量中的應(yīng)用舉例[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2021（12）：3-5.