李碩

“轉(zhuǎn)化與化歸”思想是高學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想，運用非常廣泛，尤其是一些特殊的問題，運用“轉(zhuǎn)化與化歸”思想解題可以提高效率，同時還可以降低問題解決的難度.因此，在數(shù)學(xué)課堂引入并應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及解題的過程中，加深對數(shù)學(xué)概念的理解，同時也能有效鍛煉數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，基于“轉(zhuǎn)化與化歸”思想的三大原則，主要運用的解題方法包括特殊與一般的轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化等一些常見的轉(zhuǎn)化方法.

1 特殊與一般的轉(zhuǎn)化

將一般問題進(jìn)行特殊化處理，可使問題的解決變得更為直接和簡便，并且還能從特殊情況中尋找問題解決的常規(guī)思維；除此之外，對特殊性問題進(jìn)行概括性研究，實現(xiàn)特殊問題一般化，也能從宏觀與全局的角度把握特殊性問題的普遍規(guī)律，并能有效地解決特殊性問題.

例1“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓C：x2a+1+y2a=1（a>0）的離心率為12，則橢圓C的蒙日圓的方程為（）.

A.x2+y2=9

B.x2+y2=7

C.x2+y2=5

D.x2+y2=4

分析：根據(jù)題目中的已知條件，在橢圓上，兩條相互垂直的切線可以隨意選擇，但其交點位于與橢圓同心的圓卻是唯一的，也即答案是唯一的.由此，可以通過選取一般問題的特殊情形找到一般的解題思路，不妨利用過橢圓的右頂點和上頂點的兩條切線進(jìn)行解題.

解：因為橢圓C：x2a+1+y2a=1（a>0）的離心率為12，所以1a+1=12，解得a=3.

所以橢圓C的方程為x24+y23=1，且橢圓C的上頂點為A（0，3），右頂點為B（2，0），

則橢圓在A，B兩點的切線方程分別為y=3和x=2，

這兩條切線的交點坐標(biāo)為M（2，3）.

由題意可知，交點M必在一個與橢圓C同心的圓上，可得與橢圓C同心的圓的半徑r=22+（3）2=7.

所以橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=7.

故選：B.

以問題的特征為依據(jù)，對命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的、容易解決的新問題，這也是解決數(shù)學(xué)問題常見的轉(zhuǎn)化思路，并且可以通過這種轉(zhuǎn)化逐步培養(yǎng)識別關(guān)鍵信息的能力.

2 命題的等價轉(zhuǎn)化

把題目中已有的條件或者結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，化難為易，是解決較難問題常用的轉(zhuǎn)化手段.其主要方法包括：數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、圖形形體及位置的轉(zhuǎn)化等.

例2由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是（－∞，a），則實數(shù)a的值是.

分析：利用轉(zhuǎn)化思想可以將命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題轉(zhuǎn)化為“對任意x∈R，e|x－1|－m>0是

真命題”，由此得出m

解：由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，可知“對任意x∈R，e|x－1|－m>0是真命題”，由此可得m的取值范圍是（－∞，1），而（－∞，a）與（－∞，1）為同一區(qū)間，故a=1.

例3若對于任意t∈［1，2］，函數(shù)g（x）=x3+m2+2x2－2x在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.

分析：根據(jù)函數(shù)g（x）=x3+m2+2x2－2x在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)，可以利用正難則反的轉(zhuǎn)化思想先找出g（x）在（t，3）上單調(diào)的條件，再利用補集思想求出m的取值范圍.

解：求得g′（x）=3x2+（m+4）x－2.

若g（x）在（t，3）上單調(diào)遞增，則g′（x）≥0，即3x2+（m+4）x－2≥0，

亦即m+4≥2x－3x在x∈（t，3）上恒成立.

故m+4≥2t－3t在t∈［1，2］上恒成立，則m+4≥－1，

即m≥－5.

若g（x）在（t，3）上單調(diào)遞減，則g′（x）≤0，即

m+4≤2x－3x在x∈（t，3）上恒成立，所以m+4≤23－9，即m≤－373.

綜上，符合題意的m的取值范圍為－373

根據(jù)命題的等價性對題目條件進(jìn)行明晰化處理是解題常見的思路；對復(fù)雜問題采用正難則反的轉(zhuǎn)化思想，更有利于問題得到快速解答.

3 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程、不等式之間有著千絲萬縷的關(guān)聯(lián)，通過結(jié)合函數(shù)y=f（x）圖象可以確定方程f（x）=0，不等式f（x）>0和f（x）<0的解集.

例4若2x－2y<3－x－3－y，則（）.

A.ln（y－x+1）>0

B.ln（y－x+1）<0

C.ln|x－y|>0

D.ln|x－y|<0

分析：由題意，可將2x－2y<3－x－3－y轉(zhuǎn)化為2x－3－x<2y－3－y，進(jìn)而實現(xiàn)不等式與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，從而解得答案.

解：由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y.

故構(gòu)造函數(shù)y=2x－3－x，即y=2x－13x.

由于函數(shù)y=2x－13x在R上單調(diào)遞增，

因此x1.

所以ln（y－x+1）>ln 1=0.

故選擇：A.

例5已知函數(shù)f（x）=eln x，g（x）=1ef（x）－（x+1）.（e=2.718……）

（1）求函數(shù)g（x）的最大值；

（2）求證：1+12+13+……+1n>ln（n+1）

（n∈N+）.

分析：第（1）問要求函數(shù)g（x）的最大值，關(guān)鍵在于需要運用轉(zhuǎn)化與劃歸思想，通過g′（x）得出函數(shù)g（x）單調(diào)性，即可求出g（x）的最大值.將第（1）問得出的g（x）最大值-2轉(zhuǎn)化成ln x－（x+1）≤－2，即ln x≤x－1

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立），再利用換元法最終證明出結(jié)論.

解：（1）由g（x）=1ef（x）－（x+1），

即g（x）=ln x-（x+1），得

g′（x）=1x－1（x>0）.

令g′（x）>0，則0

令g′（x）<0，則x>1.

所以，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減.

故g（x）的最大值為=g（1）=－2.

（2）證明：由（1）知x=1是函數(shù)g（x）的極大值點，也是最大值點，故g（x）≤g（1）=－2.

所以ln x－（x+1）≤－2，即ln x≤x－1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立）.

令t=x－1，則有t≥ln（t+1）（t>－1）.

取t=1n（n∈N+），則有1n>ln1+1n=

lnn+1n.

故1>ln 2，12>ln32，13>ln43，

……，1n>lnn+1n.

上面n個不等式疊加，得1+12+13+……+1n>ln2×32×43×……×n+1n=ln（n+1）.

故1+12+13+……+1n>ln（n+1）（n∈N+）.

在分析此類題目的過程中，利用函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸更有利于問題的解決，因此，利用轉(zhuǎn)化與劃歸思想不僅能讓整個數(shù)學(xué)知識的體系變得更加緊密，同時也能對學(xué)生從系統(tǒng)性角度掌握數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系提供非常大的幫助.

轉(zhuǎn)化與化歸思想所蘊含的內(nèi)容豐富且深奧，為高中數(shù)學(xué)問題的解決提供了多種思路，對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也有極大的指導(dǎo)與啟發(fā)作用，值得我們不斷地探索與研究.因此，在解決高中數(shù)學(xué)問題的過程中，要靈活運用“轉(zhuǎn)化與化歸”的解題思想.有些數(shù)學(xué)問題看似復(fù)雜，但通過分析可知出題者采用的是“障眼法”，其中有的是多余或無用的條件.同時，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以在解題教學(xué)過程中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，加強(qiáng)學(xué)生在特殊與一般轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化以及函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化等方面的技能，逐步鍛煉學(xué)生簡化題目內(nèi)容的能力和意識，最大程度提高解題效率.