韓暢陽,王 碩,劉富文,宋學官

(大連理工大學機械工程學院,大連 116024)

0 引言

代理模型是目前解決工程優(yōu)化問題的有效途徑,通過少量樣本點構建真實系統(tǒng)的映射關系可以有效減少計算成本,提升設計效率[1]。然而隨著設計變量和精度要求的提升,獲取構建代理模型所需的樣本點對于復雜系統(tǒng)而言面臨計算成本過大的問題。對此,研究人員提出了變保真代理模型方法(multi-fidelity surrogate,MFS)[2],將樣本分為高保真和低保真,高保真樣本能描述物理系統(tǒng)的真實特征但計算成本高,低保真樣本只能描述物理系統(tǒng)的最顯著特征但計算效率高,因此需要融合兩種保真度的樣本建立代理模型,保證模型精度的同時平衡模型性能和建模效率的關系。值得注意的是,對于以某種方式獲得的樣本,無法簡單判斷其為高保真還是低保真[3],保真度概念是相對而言的,例如仿真數(shù)據(jù)相對于實驗數(shù)據(jù)為低保真,粗網格仿真相對于細網格仿真為低保真[4]。

多保真代理模型按照建模方法可以分為3類:基于Co-Kriging的方法、基于映射的方法、基于修正函數(shù)的方法。其中基于修正函數(shù)的方法應用最為普遍[5],具體可以分為3類:乘法修正函數(shù)、加法修正函數(shù)、綜合法修正函數(shù)。

乘法修正函數(shù)最早由HAFTKA[6]提出,假設高低保真度代理模型之間存在的差異為比例關系,因此通過修正因子描述相同樣本處高保真和低保真響應的差異。ALEXANDROV等[7]將該理論應用到了空氣動力學優(yōu)化問題中,但是乘法修正函數(shù)只能較好地描述局部映射關系,當真實系統(tǒng)比較復雜時,該方法的精度難以達到預期;另外遇到低保真響應值趨近于0的情況時,修正因子會趨向無限大,此特性一定程度限制了其在工程領域的應用。因此,研究學者提出了加法修正函數(shù)以避免上述情況的出現(xiàn)。加法修正函數(shù)假設高低保真度代理模型之間存在一個偏差項,因此添加了差異函數(shù)來表達高低保真樣本的偏差關系[8],該方法以其形式簡單、魯棒性強的特點被研究人員所青睞。綜合修正函數(shù)結合了前兩種方法的優(yōu)點,進一步提升了模型準確性,被廣泛應用于工程優(yōu)化問題中,DURANTIN等[9]提出了一種基于徑向基函數(shù)的變保真建模方法,通過留一法最小化高低保真模型的誤差來優(yōu)化參數(shù),并應用到氣體傳感器的設計問題。SONG等[10]基于徑向基函數(shù)建立變保真代理模型,并通過擴展矩陣快速計算模型系數(shù)。WANG等[11]提出了一種基于移動最小二乘法的變保真代理模型,該模型提供了一種影響域的自適應求解方案,并根據(jù)每個預測點影響域內的樣本計算權重及未知系數(shù)。

受綜合修正函數(shù)理論啟發(fā),本文提出了一種基于加權最小二乘法的變保真代理模型方法(MFS-WLS)。在MFS-WLS中,先使用修正因子對低保真響應進行縮放,使其與目標響應更為接近。再通過類似多項式的形式描述二者的差異關系。由于加權最小二乘法是由單項式組合形成的,因此在MFS-WLS系數(shù)求解過程中,以加權最小二乘法為基礎,把修正因子和低保真響應值作為多項式的一項,將其與差異多項式構成單項式線性組合的形式,并對每個高保真訓練樣本分配不同的權重以增加關鍵樣本的影響力,最后通過加權最小二乘法最小化高保真響應和MFS-WLS預測值之間的誤差。

1 MFS-WLS模型

1.1 加權最小二乘法估計原理

最小二乘法的核心思想是利用已有的自變量X和因變量Y的實驗數(shù)據(jù),通過最小化誤差的平方來尋找自變量和因變量之間的函數(shù)表達。一般最小二乘法解決曲線擬合問題的基礎公式可表述為:

f(x)=α1φ1(x)+α2φ2(x)+…+αnφn(x)

(1)

式中:αk(k=1,2,…,n)是待定系數(shù),φk(x)是事先選定好的一組線性無關的函數(shù)。在公式中,一般最小二乘法將不同采樣數(shù)據(jù)同等對待,而在實際情況中不同采樣數(shù)據(jù)重要性往往不同,因此加權最小二乘法給予了每個采樣點不同的權重因素wi,構建誤差平方和公式得:

(2)

對αk求偏導得:

(3)

式中:

(4)

(5)

1.2 MFS-WLS理論

在變保真代理模型的構建方法中,綜合法由于結合了靈活性高和預測能力強的優(yōu)勢而被廣泛應用,該方法的基礎公式可描述為:

ye(x)=ρyc(x)+z(x)

(6)

式中:x代表設計空間中的設計變量,ye(x)代表樣本x基于高保真模型的響應,yc(x)代表樣本x基于低保真模型的響應,ρ為修正因子,z(x)為差異函數(shù)。綜合修正法的原理是先采用修正因子對低保真響應進行縮放,然后用z(x)對縮放后的低保真數(shù)據(jù)進行校正,模型求解流程如圖1所示。

圖1 MFS-WLS模型求解流程圖

對式(1)進行以下轉化:

(7)

在MFS-WLS中,將縮放的低保真響應作為多項式中的首項,與差異函數(shù)集成為矩陣乘積的形式。具體的:

(8)

式中:

φ(x)=[yc(x)φ1(x)φ2(x) …φm(x)]

(9)

構建誤差平方和I(β):

(10)

式中:xi(i=1,2,…,n)為高保真樣本。將上述公式轉換為矩陣形式:

I(β)=(φβ-ye)TW(x)(φβ-ye)

(11)

式中:

ye=[ye(x1)ye(x2) …ye(xn)]T

(12)

(13)

(14)

對式(11)求β的偏導:

φTW(x)φβ(x)=φTW(x)ye

(15)

因此:

β(x)=(φTW(x)φ)-1φTW(x)ye

(16)

根據(jù)式(11)得:

(17)

1.3 權重系數(shù)

(18)

(19)

2 數(shù)值案例

本節(jié)將MFS-WLS模型與應用較廣的兩種變保真代理模型和一種單保真代理模型進行對比,驗證其預測能力及魯棒性。

2.1 試驗設計

試驗設計(design of experiment,DoE)[12]是一種結構化設計策略,通過DoE得到空間分布較為均勻的抽樣點,一般抽樣點越多空間填充性越好,建立的代理模型精度越高,然而抽樣成本也隨之升高,因此要選擇合適的抽樣策略,用盡量少的樣本點表達整體設計空間的均勻性和填充性。目前工程中較為常用的抽樣方法包括:拉丁超立方抽樣(LHS)、全析因抽樣(FFD)、正交抽樣(OA)和中心復合抽樣(CCD)等。在眾多的抽樣方法中,LHS作為一種分層抽樣方法,因其具有產生均勻、近似隨機樣本的強大能力而被廣泛應用,因此LHS作為本文的主要DoE方案。

由于本文將MFS與單保真和多保真兩類代理模型進行比較,因此需要考慮兩種保真度樣本的抽樣比例問題。以高保真樣本表示預算抽樣成本,假設總成本為5d,d為問題維度即設計變量的個數(shù),則構建單保真代理模型時的樣本個數(shù)為5d,構建變保真代理模型時,需要消耗一部分預算成本生成低保真樣本,將生成高保真樣本的成本和總預算成本的比值設置為θ,θ∈(0,1),將評估一個高保真樣本和評估一個低保真樣本的成本比值設為δ,則構建變保真代理模型時,低保真樣本的個數(shù)為5δ(1-θ),具體地令δ分別取10、20、30、40、θ分別取0.8、0.6、0.4,得到如表1所示的抽樣方案。

表1 抽樣方案表

2.2 評價指標

代理模型描述輸入變量X和輸出響應Y的映射關系,作為真實系統(tǒng)的近似模型能夠被工程實例問題采用的前提是精度符合預期要求,因此需要對MFS-WLS模型的預測性能進行評估。本文以應用最廣的決定系數(shù)(coefficient of determination,R2)作為模型的評價指標。R2可以表示模型的全局預測精度,其數(shù)學表達式為:

(20)

2.3 數(shù)值測試函數(shù)

高保真函數(shù):

ye(x)=(x1-1)2+(x1-x2)2+x2x3+0.5

(21)

低保真函數(shù):

yc(x)=ye(x)-0.5x1-0.2x1x2-0.1

(22)

式中:x1,x2,x3∈[0,1]。

選取5d(d=3)高保真的預算成本來構建代理模型,其中80%用于產生高保真樣本,剩余的20%產生低保真樣本。成本比率分別設為10、20、30、40,產生不同的訓練樣本數(shù)量如表2所示。

表2 訓練樣本統(tǒng)計表

針對每種情況進行30次獨立抽樣,分別生成30組抽樣點,再針對每組抽樣點分別構建MFS-WLS模型、CoPRS模型、MFS-RBF模型和RBF單保真模型并計算決定系數(shù)R2,繪制R2平均值條形圖(圖2)、R2箱型圖(圖3)、MFS-WLS優(yōu)于其他模型的次數(shù)統(tǒng)計圖(圖4)。

圖2 模型精度均值統(tǒng)計圖

圖3 模型精度箱型圖

圖4 MFS-WLS優(yōu)于其他模型的次數(shù)統(tǒng)計圖

從圖2中可以看出,絕大多數(shù)情況中MFS-WLS模型的平均值較其他模型更大,說明MFS-WLS模型具有更好的預測能力。圖3箱型圖中異常值用十字號表示,箱型圖的高度(第1、3四分位數(shù)之間的距離)代表統(tǒng)計數(shù)據(jù)的大致范圍,箱型圖的高度越小,表示數(shù)據(jù)越集中魯棒性越好,模型越穩(wěn)定。反之表示魯棒性越差。從圖中可以看出,MFS-WLS模型箱型圖的高度更小,因此性能更好。圖4顯示了MFS-WLS模型具有比其他模型精度結果更高的次數(shù),次數(shù)最大值為30,值越大表示即使在樣本分布情況不同時,MFS-WLS也具有良好的預測能力和更強的魯棒性。例如成本比為20時,在27組樣本中MFS-WLS比同組樣本創(chuàng)建的MFS-RBF更精確,在全部30組樣本中MFS-WLS均比CoPRS和RBF更精確。值得注意的是,隨著成本比增大,低保真點越多,MFS-WLS模型性能表現(xiàn)越好,這是因為構建的低保真模型越精確,對應的修正模型也越精確。

為了進一步驗證MFS-WLS的預測性能,另取10個測試函數(shù),設置高保真樣本點數(shù)為4d,成本比為20,對每個測試函數(shù)生成30組初始隨機樣本,依次建模并進行精度計算,最后統(tǒng)計模型R2的均值。結果表明,對于大部分測試函數(shù),MFS-WLS均有更好的預測能力。

3 工程實例

壓力機是機械制造領域中的一種重大裝備,在汽車、輪船等制造過程中發(fā)揮著重要作用。在設計過程中,壓力機橫梁通常需要較高的強度和剛度以承受液壓缸的推力,然而保守的經驗設計經常造成質量過重,剛度冗余過大的問題,因此對壓力機橫梁的質量與應力的有效預測在其結構設計中具有重要意義。本節(jié)將針對壓力機上梁進行輕量化設計,該上梁采用的材料為Q235-B,相關參數(shù)如表3所示。圖5為模型示意圖,在原有設計基礎上進行優(yōu)化,提取4個可優(yōu)化設計變量,其中x1為肋板厚度,x2為壁板厚度,x3為上下板中線距離,x4為上蓋板厚度。在保證橫梁剛度前提下,通過優(yōu)化橫梁尺寸和形狀參數(shù),達到降低橫梁重量的目的。經有限元分析,上梁的變形峰值為3.129 mm,將其作為重要約束條件;模型最大應力較小,為120 MPa,因此僅作為結果的驗證條件。本節(jié)的優(yōu)化問題可以寫成一個標準非線性方程:

表3 橫梁結構材料屬性

圖5 上梁結構設計變量示意圖

(23)

式中:x2單位為mm,M(x)為待優(yōu)化上梁質量,G(x)為最大應力,D(x)為最大變形,w為最大變形系數(shù)。

本節(jié)使用網格質量作為區(qū)分有限元模型精度的指標,將網格尺寸分別設置為80 mm和55 mm,并計算不同網格質量對應的樣本響應值。設置高保真點抽樣成本為4d,成本比為20,本案例為4維問題,因此取16個高保真樣本和20個低保真樣本,分別構建質量(M)函數(shù)、變形(D)函數(shù)、應力(G)函數(shù)的變保真模型,另取20個高保真樣本作為測試樣本。使用MFS-WLS與前文提到的CoPRS、MFS-RBF以及RBF分別創(chuàng)建預測模型,并對模型的精度進行評價,計算決定系數(shù)均值,比較結果如表4所示。

表4 模型精度比較表

由表中數(shù)據(jù)可知,MFS-WLS在構建M模型和D模型時精度更高,分別為0.989和0.976。構建G模型時精度略低于CoRBF模型,但數(shù)值相差不大。整體來看,MFS-WLS模型在實際工程問題中具有較好的預測能力。值得注意的是,單保真代理模型RBF的精度遠小于另外3種變保真代理模型,由此凸顯變保真代理模型在少量高保真樣本情況中的強大預測能力以及開發(fā)變保真代理模型算法的必要性。

4 結論

本文提出了一種基于加權最小二乘法的變保真代理模型算法(MFS-WLS),相比于大部分變保真算法,MFS-WLS通過加權的高保真樣本計算未知系數(shù),然后利用WLS結合低保真模型和差異函數(shù)表示高保真響應。 將MFS-WLS與多個主流代理模型算法進行對比測試,在測試函數(shù)和工程實例兩個方面,MFS-WLS均具有較好的預測能力和魯棒性。此外,在總預算成本相同情況下,成本比越高MFS-WLS表現(xiàn)越好。

在進行工程應用之前,需要考慮問題的維度和總預算成本,尤其對于高維問題,MFS-WLS可能因為求解速度慢而表現(xiàn)不佳,因此在未來將繼續(xù)改進模型,提升在高維問題中的計算效率和精度。