王志超,關(guān)廣豐,熊 偉,王海濤

(大連海事大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院,大連 116026)

0 引言

電液振動(dòng)臺(tái)廣泛用于大型結(jié)構(gòu)件的振動(dòng)環(huán)境模擬試驗(yàn),可以在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)復(fù)現(xiàn)實(shí)際工況下產(chǎn)品所受的振動(dòng)環(huán)境和環(huán)境效應(yīng),鑒定產(chǎn)品的環(huán)境適應(yīng)性[1]。許多產(chǎn)品在工作環(huán)境中受到的振動(dòng)形式以隨機(jī)振動(dòng)為主,所以研究振動(dòng)臺(tái)時(shí)域隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)具有重要意義。

在波形復(fù)現(xiàn)控制系統(tǒng)中,兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)控制系統(tǒng)由伺服控制系統(tǒng)和振動(dòng)控制系統(tǒng)兩部分組成。伺服控制系統(tǒng)利用極點(diǎn)配置原理通過三狀態(tài)控制等方法,拓展系統(tǒng)頻寬,提高系統(tǒng)穩(wěn)定性[2]。但僅應(yīng)用伺服控制時(shí),受到系統(tǒng)頻寬及非線性特性的影響,系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與參考信號(hào)會(huì)有較大的偏差[3]。為了更好的復(fù)現(xiàn)參考信號(hào),要在系統(tǒng)內(nèi)環(huán)伺服控制的基礎(chǔ)上外環(huán)設(shè)計(jì)振動(dòng)控制系統(tǒng)。

振動(dòng)控制系統(tǒng)主要對(duì)伺服驅(qū)動(dòng)信號(hào)迭代,進(jìn)一步減小系統(tǒng)響應(yīng)誤差。UNDERWOOD等[4-5]詳細(xì)介紹了振動(dòng)控制的理論基礎(chǔ)和核心算法,并通過電液振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。MOTEN等[6]提出基于自適應(yīng)逆控制和迭代學(xué)習(xí)控制的復(fù)合控制算法,用于振動(dòng)臺(tái)時(shí)域波形復(fù)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)。EKSTEEN等[7]提出基于非線性逆模型的迭代學(xué)習(xí)控制器用于波形復(fù)現(xiàn)算法。NAJAFI等[8]在進(jìn)行地震臺(tái)模擬實(shí)驗(yàn)時(shí),外環(huán)通過離線迭代控制對(duì)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)信號(hào)不斷修正來提高加速度信號(hào)時(shí)域跟蹤效果。陳廣初等[9]在多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中引入牛頓迭代算法對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)迭代,使信號(hào)功率譜密度達(dá)到控制要求。ZHANG等[10]引入U(xiǎn)nderwood提出的自適應(yīng)迭代控制方法用于振動(dòng)臺(tái)臺(tái)陣系統(tǒng)的隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)。GUAN等[11]引入擬牛頓算法中的Broyden算法和DFP算法,考慮系統(tǒng)耦合時(shí)變影響,實(shí)時(shí)更新系統(tǒng)阻抗矩陣。其中,通過DFP算法可以較好的實(shí)現(xiàn)兩自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn),但由于迭代中采用固定步長以及算法本身收斂性的限制,隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)精度還有待提高。

目前對(duì)于電液振動(dòng)臺(tái)時(shí)域波形復(fù)現(xiàn)的研究已取得很多成果,但仍存在一些不足。當(dāng)時(shí)域上采用自適應(yīng)逆控制等方法時(shí)系統(tǒng)辨識(shí)難以消除頻響函數(shù)存在的抖動(dòng)特性;而采用頻域自適應(yīng)算法迭代過程多為離線迭代,無法實(shí)時(shí)更新系統(tǒng)頻響函數(shù),并且頻域迭代步長一般取定值,而實(shí)際過程中步長會(huì)隨迭代的進(jìn)行發(fā)生變化。另外,上述擬牛頓算法本身不能嚴(yán)格保證迭代中海森矩陣的正定性,使算法的收斂性受到影響。

為解決上述擬牛頓算法中海森矩陣迭代時(shí)出現(xiàn)奇異矩陣而影響收斂精度的問題,引入PSB擬牛頓算法進(jìn)行海森矩陣的迭代。PSB算法在Broyden算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行矩陣變換,使海森矩陣具有對(duì)稱正定的性質(zhì),保證了迭代過程的強(qiáng)收斂特性[12]。針對(duì)頻域迭代步長變化的特性,引入自適應(yīng)變步長算法,進(jìn)一步加快迭代收斂過程。本文首先給出兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)基本結(jié)構(gòu),介紹振動(dòng)控制系統(tǒng)基本組成,簡(jiǎn)要分析傳統(tǒng)控制算法的不足,然后給出PSB算法的基本原理,并推導(dǎo)出以PSB算法為基礎(chǔ)的頻域驅(qū)動(dòng)譜迭代公式,結(jié)合自適應(yīng)變步長公式,設(shè)計(jì)隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)控制器?；趦勺杂啥入娨赫駝?dòng)臺(tái),進(jìn)行控制系統(tǒng)仿真及實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證該控制算法的有效性。

1 兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)概述

兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示,振動(dòng)臺(tái)處在工作準(zhǔn)備位置。4組閥控液壓缸并聯(lián)構(gòu)成驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),通過虎克鉸將振動(dòng)臺(tái)上平臺(tái)與下基面連接。下基面固定在地面上,上平臺(tái)通過連接處的虎克鉸可以實(shí)現(xiàn)rx和ry兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。振動(dòng)臺(tái)主要參數(shù)如表1所示,在俯視圖中用符號(hào)d1、d2、d3表示液壓缸在下基面的位置,分別為0. 8m、0.7 m、0.4 m。其中,d1表示1號(hào)(3號(hào))和2號(hào)(4號(hào))液壓缸上鉸點(diǎn)中心的距離在Y軸上的投影;d2表示1號(hào)(2號(hào))液壓缸上鉸點(diǎn)中心和虎克鉸中心的距離在X軸上的投影;d3表示3號(hào)(4號(hào))液壓缸上鉸點(diǎn)中心和虎克鉸中心的距離在X軸上的投影。

表1 振動(dòng)臺(tái)主要參數(shù)

(a) 三維模型 (b) 俯視圖圖1 二自由度電液振動(dòng)臺(tái)工作準(zhǔn)備位置結(jié)構(gòu)

2 隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)控制器設(shè)計(jì)

2.1 PSB廣義阻抗更新算法

圖2為波形復(fù)現(xiàn)振動(dòng)控制策略基本原理流程框圖。圖中,兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)伺服控制器結(jié)構(gòu)可參考文獻(xiàn)[13]。振動(dòng)控制算法主要包含初始阻抗辨識(shí)、阻抗矩陣迭代、驅(qū)動(dòng)譜迭代三部分?？刂葡到y(tǒng)的原理是通過系統(tǒng)的頻響函數(shù),對(duì)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多次循環(huán)迭代補(bǔ)償,使系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與參考信號(hào)誤差修正后在一定允許范圍內(nèi)。

圖2 隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)振動(dòng)控制策略基本原理圖

設(shè)振動(dòng)試驗(yàn)參考信號(hào)為r(t),其頻譜為R(f);系統(tǒng)時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)為d(t),頻譜為D(f);時(shí)域響應(yīng)信號(hào)為c(t),頻譜為C(f);誤差信號(hào)譜為E(f),即E(f)=R(f)-C(f);系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣為L(f),阻抗矩陣為Z(f),則存在關(guān)系Z(f)=L-1(f)。

傳統(tǒng)波形復(fù)現(xiàn)控制算法驅(qū)動(dòng)譜迭代公式為:

Dn+1(f)=Dn(f)+δnZ(f){R(f)-Cn(f)}

(1)

式中:δn為迭代步長,n為迭代次數(shù),Dn(f)為迭代第n次時(shí)的信號(hào)驅(qū)動(dòng)譜,Cn(f)為迭代第n次時(shí)的信號(hào)響應(yīng)譜。

在傳統(tǒng)波形復(fù)現(xiàn)算法中,系統(tǒng)不更新阻抗矩陣Z(f)。而實(shí)際系統(tǒng)中阻抗矩陣具有時(shí)變特性,導(dǎo)致估計(jì)得到的阻抗矩陣與系統(tǒng)真實(shí)阻抗矩陣始終存在誤差。在驅(qū)動(dòng)譜迭代過程中,誤差不斷累積放大,多次迭代后可能導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散。

采用PSB擬牛頓算法對(duì)阻抗矩陣進(jìn)行更新,PSB算法迭代公式為[14]:

(2)

式中:上標(biāo)T表示復(fù)向量的轉(zhuǎn)置,Bn及Bn+1分別表示采用PSB算法迭代第n次及第n+1次后的海森矩陣,Sn為每次驅(qū)動(dòng)譜迭代增量,Yn為迭代梯度差。即存在關(guān)系:Sn(f)=Dn+1(f)-Dn(f)、Yn(f)=Cn+1(f)-Cn(f)。

考慮采用迭代海森矩陣Bn替換系統(tǒng)阻抗矩陣Z(f)進(jìn)行實(shí)時(shí)更新。但在擬牛頓算法迭代過程中,每次迭代都要對(duì)海森矩陣求逆,求逆矩陣的過程帶來很大的運(yùn)算量,降低算法迭代收斂速度。引入Sherman-Morrison-Woodbury公式[15]對(duì)式(2)變換,得到新的PSB算法迭代公式為:

(3)

(4)

式中:上標(biāo)H表示復(fù)向量的共軛轉(zhuǎn)置。將廣義阻抗矩陣Pn(f)替換傳統(tǒng)迭代阻抗矩陣Z(f)可得到新的驅(qū)動(dòng)譜迭代公式為:

Dn+1(f)=Dn(f)+δnPn(f){R(f)-Cn(f)}

(5)

式(5)中,應(yīng)用迭代公式(4)對(duì)廣義阻抗Pn(f)迭代。

2.2 自適應(yīng)變步長算法

文獻(xiàn)[16]中利用L2范數(shù)來描述多輸入多輸出控制系統(tǒng)的誤差信號(hào)譜?；陔S機(jī)波形復(fù)現(xiàn)算法,定義兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)控制優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為:

(6)

為了得到最優(yōu)驅(qū)動(dòng)譜D(f),需要尋找最優(yōu)迭代步長δn使F[D(f)]最小,且滿足迭代條件F[Dn+1(f)]≤F[Dn(f)]。假設(shè)控制系統(tǒng)為全純的,則存在關(guān)系:

Cn+1(f)-Cn(f)=L(f){Dn+1(f)-Dn(f)}

(7)

將式(5)代入式(7),可得:

Cn+1(f)-Cn(f)=δnL(f)Pn(f){R(f)-Cn(f)}

(8)

由式(8)可得控制響應(yīng)譜更新公式為:

Cn+1(f)=Cn(f)+δn{In+ΔLn(f)}En(f)

(9)

式中,En(f)=R(f)-Cn(f),ΔLn(f)為當(dāng)前迭代時(shí)阻抗矩陣估計(jì)誤差,In為單位矩陣。

若目標(biāo)函數(shù)F[D(f)]為近似厄米特二次型且系統(tǒng)為全純的,將目標(biāo)函數(shù)對(duì)δn求復(fù)微分,可得自適應(yīng)變步長公式為:

(10)

εn(f)={In+ΔLn(f)}En(f)

(11)

(12)

(13)

(14)

3 仿真分析

3.1 仿真設(shè)定

圖3為基于PSB自適應(yīng)變步長控制算法搭建的隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)仿真模型,與圖2振動(dòng)控制策略原理圖各部分相對(duì)應(yīng)。其中,廣義阻抗迭代部分用來實(shí)現(xiàn)式(4)。通過式(13)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)變步長的更新,使驅(qū)動(dòng)譜迭代分為定步長和自適應(yīng)變步長兩步迭代,分別實(shí)現(xiàn)式(12)和式(14)。

圖3 隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)控制算法仿真模型

基于MATLAB/Simulink進(jìn)行DFP定步長隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)算法和PSB自適應(yīng)變步長隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)算法仿真。其中,通過H1法辨識(shí)得到系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣初值,求逆得到初始阻抗矩陣,再利用上述兩種算法進(jìn)行廣義阻抗矩陣迭代分析。

仿真中設(shè)置隨機(jī)參考信號(hào)r(t)的最大峰值為1.2 rad/s2,頻帶為10～100 Hz,取定步長δ0值為0.7。考慮到實(shí)際中振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)耦合時(shí)變性,為了驗(yàn)證波形復(fù)現(xiàn)算法的有效性,仿真程序中設(shè)置參數(shù)切換模塊,在第40次迭代時(shí),通過調(diào)整伺服系統(tǒng)內(nèi)部增益模擬實(shí)際系統(tǒng)的頻率特性變化。

采用時(shí)域波形最大誤差評(píng)價(jià)波形復(fù)現(xiàn)精度,計(jì)算公式為:

(15)

3.2 仿真結(jié)果

分別給出基于DFP定步長算法和基于PSB自適應(yīng)變步長算法兩種情況下兩自由度振動(dòng)臺(tái)的隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)曲線。

文獻(xiàn)[11]中對(duì)傳統(tǒng)波形復(fù)現(xiàn)算法進(jìn)行仿真,結(jié)果表明,當(dāng)系統(tǒng)頻率特性突變后,系統(tǒng)迭代快速發(fā)散。圖4為頻率特性突變前后,兩個(gè)自由度隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)最大誤差走勢(shì)圖。在突變之前,兩種波形復(fù)現(xiàn)算法的迭代過程都逐漸收斂。其中,第25次迭代時(shí),DFP定步長算法rx自由度Emax為43%,ry自由度Emax為38%;而PSB自適應(yīng)變步長算法rx自由度Emax為25%,ry自由度Emax為16%。PSB自適應(yīng)變步長算法波形復(fù)現(xiàn)誤差更小。系統(tǒng)增益耦合突變后,DFP定步長算法需經(jīng)過6個(gè)迭代周期,系統(tǒng)才收斂至穩(wěn)定;而PSB自適應(yīng)變步長算法經(jīng)過3個(gè)迭代周期,系統(tǒng)快速收斂達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。PSB自適應(yīng)變步長算法收斂速度更快。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖4 波形復(fù)現(xiàn)最大誤差仿真結(jié)果

第60次迭代時(shí),采用兩種算法均已再次收斂,分別給出其波形復(fù)現(xiàn)曲線。圖5為采用DFP定步長算法時(shí)兩個(gè)自由度的波形響應(yīng),其中rx自由度Emax為8.2%,ry自由度Emax為5%。圖6為采用PSB自適應(yīng)變步長算法時(shí)兩個(gè)自由度的波形響應(yīng),兩個(gè)自由度的Emax均小于3%。PSB自適應(yīng)變步長算法波形復(fù)現(xiàn)精度更高。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖5 DFP定步長算法波形復(fù)現(xiàn)仿真結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)研究

應(yīng)用圖7所示的兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)研究,在仿真基礎(chǔ)上進(jìn)一步驗(yàn)證控制算法的有效性。振動(dòng)臺(tái)參數(shù)如表1所示。兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)由恒壓式變量泵供油。在每組液壓缸上均安裝傳感器測(cè)量系統(tǒng)位移、速度及加速度。振動(dòng)臺(tái)控制系統(tǒng)軟件基于MATLAB/XPC平臺(tái)構(gòu)建?？刂葡到y(tǒng)算法執(zhí)行周期為1.2 ms。實(shí)驗(yàn)中每4幀信號(hào)作為一次迭代進(jìn)行。兩自由度加速度隨機(jī)波形信號(hào)應(yīng)用MATLAB預(yù)先生成,并作為參考信號(hào)輸入實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。rx和ry兩個(gè)自由度的隨機(jī)波最大峰值分別為2.3 rad/s2和3.0 rad/s2,實(shí)驗(yàn)頻帶為5～50 Hz。實(shí)驗(yàn)中初始定步長δ0數(shù)值同樣設(shè)置為0.7。

圖7 兩自由度電液振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)

實(shí)驗(yàn)時(shí),分兩組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。第一組采用DFP定步長算法,第二組采用PSB自適應(yīng)變步長算法。為方便觀察分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,選取一次迭代中的500個(gè)頻率點(diǎn)數(shù)據(jù)做出實(shí)驗(yàn)曲線。

分別計(jì)算兩組實(shí)驗(yàn)中每次迭代最大誤差并作出曲線,如圖8所示。實(shí)驗(yàn)中在系統(tǒng)收斂穩(wěn)定后第15次迭代時(shí)調(diào)整系統(tǒng)總增益,可看出波形復(fù)現(xiàn)誤差會(huì)有一個(gè)突變,經(jīng)過2次迭代可再次收斂回來。與采用DFP定步長算法相比,采用PSB自適應(yīng)變步長算法隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)最大誤差明顯降低。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖8 波形復(fù)現(xiàn)最大誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果

同時(shí),給出系統(tǒng)收斂穩(wěn)定后第12次迭代時(shí),兩組實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)曲線。圖9為采用DFP定步長算法的波形復(fù)現(xiàn)曲線,其中rx自由度Emax為26.5%,ry自由度Emax為24.2%。圖10為采用PSB自適應(yīng)變步長算法的波形復(fù)現(xiàn)曲線,其中rx自由度Emax為15.4%,ry自由度Emax為12.1%?？煽闯龅诙M實(shí)驗(yàn)中,采用PSB自適應(yīng)變步長算法波形復(fù)現(xiàn)效果更好。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖9 DFP定步長算法波形復(fù)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)論

針對(duì)兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)受負(fù)載特性變化等因素影響時(shí)域隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)精度的問題,提出了基于PSB自適應(yīng)變步長的波形復(fù)現(xiàn)控制算法,對(duì)驅(qū)動(dòng)譜廣義阻抗矩陣實(shí)時(shí)迭代更新?；贛ATLAB/Simulink平臺(tái)搭建振動(dòng)臺(tái)控制系統(tǒng)仿真模型,設(shè)計(jì)了PSB自適應(yīng)變步長算法控制器。實(shí)驗(yàn)研究表明,采用PSB自適應(yīng)變步長算法進(jìn)行兩自由度隨機(jī)波形復(fù)現(xiàn)時(shí),rx自由度加速度時(shí)域最大誤差為15.4%,ry自由度加速度時(shí)域最大誤差為12.1%。與DFP定步長算法控制器比較,PSB自適應(yīng)變步長算法控制器具有更強(qiáng)的迭代收斂特性,能夠?qū)崿F(xiàn)兩自由度電液振動(dòng)臺(tái)加速度隨機(jī)波形的高精度復(fù)現(xiàn)。

由于實(shí)際電液振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性特性,導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果與基于線性模型的仿真結(jié)果相比存在一定的偏差,后續(xù)將繼續(xù)開展基于振動(dòng)臺(tái)非線性模型的隨機(jī)振動(dòng)控制方法研究。