何之淵,單文桃,陳昆鵬

(江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,常州 213001)

0 引言

電主軸是將數(shù)控機(jī)床領(lǐng)域的機(jī)床主軸與對應(yīng)的主軸電動(dòng)機(jī)融為一體一種新技術(shù)[1],由于電主軸的主軸單元內(nèi)部直接裝有主軸電動(dòng)機(jī)的定子、轉(zhuǎn)子,故此機(jī)床主軸可以直接通過其內(nèi)部電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng),減少了皮帶、齒輪等結(jié)構(gòu)的能量損耗,提高工作效率。高速電主軸按其驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)類型分可分為異步電主軸和永磁同步電主軸兩類,永磁同步電主軸有體積小,噪聲低,效率高,易啟停等特點(diǎn)[2],永磁同步電主軸又可分為內(nèi)置式與表貼式兩種,其中內(nèi)置式永磁同步電主軸(IPMSMS)機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠,擁有更為寬廣的恒功率以及調(diào)速范圍,使之在高速運(yùn)行狀態(tài)下效果優(yōu)于表貼式永磁同步電主軸[3]。IPMSMS在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中面臨其動(dòng)態(tài)性能、魯棒性較差以及IPMSMS所處工作環(huán)境惡劣,外部傳感器受環(huán)境影響較大的問題,國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了大量研究。

研究表明,為提高IPMSMS的矢量控制[4]效率,可采用最大轉(zhuǎn)矩電流比法(MTPA)進(jìn)行控制[5]。該方法需要求解由拉格朗日定理所得的四階方程,運(yùn)算過程復(fù)雜,系統(tǒng)實(shí)時(shí)運(yùn)算負(fù)荷大,在工程實(shí)際應(yīng)用中不便于實(shí)現(xiàn)。對此曹暉等[6]采用多項(xiàng)式擬合法處理轉(zhuǎn)矩與d、q軸電流的關(guān)系曲線,降低系統(tǒng)實(shí)時(shí)運(yùn)算負(fù)荷,便于實(shí)際工程運(yùn)用。李軍等[7]在多項(xiàng)式擬合法基礎(chǔ)上采用分段曲線擬合的方法進(jìn)一步提高了控制精度。

為解決IPMSMS在惡劣工作環(huán)境下其外部傳感器易發(fā)生故障的難題,有學(xué)者提出采用無位置傳感器控制方式。LIU等[8]提出利用滑模觀觀測器(SMO),達(dá)到無位置傳感器控制的效果,孫佃升[9]運(yùn)用改進(jìn)型離散域滑模觀測器提升了控制性能。但兩者均使用了滑模觀測器,系統(tǒng)存在由滑模觀測器帶來的不可避免的高頻抖震問題。曹志強(qiáng)等[10]提出采用線性擴(kuò)張觀測器,提高系統(tǒng)抗干擾能力,但其引入的非線性函數(shù)使系統(tǒng)實(shí)時(shí)運(yùn)算負(fù)荷加大,在工程中難以實(shí)現(xiàn)。

本文采用曲線擬合法求取id、iq與Te的近似關(guān)系,降低實(shí)時(shí)運(yùn)算負(fù)荷,運(yùn)用模糊控制原理[11]改進(jìn)矢量控制環(huán)節(jié)中的PI控制,還提出一種基于模糊控制原理的改進(jìn)型MRAS觀測器,將其三者復(fù)合。仿真結(jié)果表明本文提出的復(fù)合控制法可有效提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能及魯棒性,準(zhǔn)確估計(jì)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速與位置,滿足IPMSMS的無傳感器控制需求,提升實(shí)際工程應(yīng)用能力。

1 IPMSMS的MTPA控制數(shù)學(xué)模型

IPMSMS是復(fù)雜的非線性系統(tǒng),難以建立精確數(shù)學(xué)模型,本文建立的IPMSMS的數(shù)學(xué)模型選擇性的忽略了兩種情況:①電主軸的鐵芯飽和;②電主軸的鐵芯損耗;并做出如下假設(shè):在電主軸穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下,電流為對稱三相正弦波電流;在忽略如上情況,做出如上假設(shè)的基礎(chǔ)上,IPMSMS的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方程可由下式表示。

(1)

(2)

式中:Ud、Uq為定子繞組d、q軸電壓分量,Ld、Lq為定子繞組d、q軸電感分量,id、iq為定子繞組d、q軸電流分量,Rs為定子繞組電阻,ωe為轉(zhuǎn)子電角速度,ψf為轉(zhuǎn)子的永磁體磁鏈。

電磁轉(zhuǎn)矩方程寫為:

(3)

式中:Pn為電主軸極對數(shù)。

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程可寫為:

(4)

式中:Te為主軸電磁轉(zhuǎn)矩,TL為主軸負(fù)載轉(zhuǎn)矩,B為阻尼系數(shù),ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度,J為主軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

d、q軸電流可寫為:

id=iscosθ

(5)

iq=issinθ

(6)

式中:is為定子電流,θ為定子電流矢量和q軸夾角[12]。

據(jù)式(3)、式(5)和式(6)可知,可以通過控制定子電流is和is與q軸夾角θ控制電磁轉(zhuǎn)矩Te。又因IPMSMS的d、q軸電感不相等,若采用id=0方法進(jìn)行控制,定子電流的損耗較大。為了讓系統(tǒng)在滿足正常運(yùn)行條件的情況下,其定子電流is標(biāo)量值最小,需采用MTPA方法進(jìn)行控制,該方法可等效于下式極值問題:

(7)

可由式(7)與式(3)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求取極值:

(8)

式中:λ為拉格朗日算子,對式(8)分別求偏導(dǎo)可得:

(9)

將式(9)代入式(3)可得:

(10)

由式(9)、式(10)可反解得到IPMSMS的d、q軸電流給定值,但其為四階方程,求解復(fù)雜,難以在工程中實(shí)際運(yùn)用。

本文采取曲線擬合法以實(shí)驗(yàn)室電主軸參數(shù)為基礎(chǔ)近似求解d、q軸電流與電磁轉(zhuǎn)矩關(guān)系曲線,實(shí)驗(yàn)室IPMSMS主要參數(shù)如表1所示。

表1 內(nèi)置式永磁同步電主軸參數(shù)

按實(shí)驗(yàn)室電主軸參數(shù),通過MATLAB擬合工具,計(jì)算拉格朗日方程方程擬合后結(jié)果可得:

(11)

(12)

本文根據(jù)式(11)、式(12)進(jìn)行MTPA控制。

2 基于模糊控制的改進(jìn)型PI控制

基于模糊邏輯和模糊數(shù)學(xué)的智能控制方法被稱為模糊控制,模糊控制的主要思想是在控制環(huán)節(jié)中引入人腦的思維思考方式,達(dá)到優(yōu)化控制效果的目的,其基本的控制過程如圖1所示。

圖1 模糊控制過程

在IPMSMS的矢量控制環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)速控制環(huán)節(jié)中,大多采用傳統(tǒng)PI控制器[13]。傳統(tǒng)PI控制器可根據(jù)設(shè)定好的kp、ki參數(shù)對轉(zhuǎn)速給定值與實(shí)際值的偏差進(jìn)行調(diào)節(jié)。但傳統(tǒng)PI控制器在受到擾動(dòng)以及轉(zhuǎn)速偏差較大時(shí),存在著系統(tǒng)魯棒性偏弱、動(dòng)態(tài)性能較差的問題。

本文引入模糊控制理論,將原PI控制器輸入以轉(zhuǎn)速誤差以及誤差變化率替代,原PI控制器輸出由經(jīng)過模糊規(guī)則處理后的比例、積分參數(shù)替代,以提高系統(tǒng)的魯棒性及動(dòng)態(tài)性。優(yōu)化改進(jìn)后的模糊PI控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 模糊PI控制結(jié)構(gòu)圖

在模糊PI控制器中,根據(jù)理論經(jīng)驗(yàn)以及實(shí)踐中所需PI控制器性能確定輸入e、ec的論域?yàn)閇-3,3],采用三角形隸屬度函數(shù),如圖3所示。

圖3 e、ec隸屬度函數(shù)圖

根據(jù)理論經(jīng)驗(yàn)以及實(shí)踐中所需PI控制器性能確定輸出Δkp、Δki論域?yàn)閇-3,3],也采用三角形隸屬度函數(shù),如圖4所示。

圖4 Δkp、Δki隸屬度函數(shù)圖

在模糊控制過程中,要將經(jīng)過系統(tǒng)模糊推理后所得到的量化因子進(jìn)行反模糊化處理,由此得到精確輸出。為使精確輸出更加平滑,本文采用重心法實(shí)現(xiàn)反模糊化過程,重心法的公式為:

(13)

3 基于模糊控制的改進(jìn)MRAS觀測器

模型參考自適應(yīng)的基本原理是選擇、設(shè)定出理想的參考模型,引入實(shí)際、可調(diào)配的可調(diào)模型[14],在相同的輸入情況下比較兩個(gè)模型的輸出。由于參考模型與可調(diào)模型有差,其輸出也會(huì)有差,通過其差值運(yùn)用PI控制器自適應(yīng)調(diào)整可調(diào)模型的參數(shù)[15]。

本文所建立的MRAS觀測器選擇以IPMSMS本身為參考模型,以IPMSMS的狀態(tài)方程為可調(diào)模型,利用兩模型輸出電流差值自適應(yīng)調(diào)整可調(diào)模型,最終得到轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速與位置觀測值。其結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

圖5 MRAS觀測器結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)模型參考自適應(yīng)原理和IPMSMS數(shù)學(xué)模型構(gòu)造可調(diào)模型,將式(1)和式(2)寫為矩陣形式:

(14)

為簡化計(jì)算可將式(14)改寫為電流矩陣形式:

(15)

將式(15)改寫為狀態(tài)方程表達(dá)式:

(16)

為辨識轉(zhuǎn)速ωe,將含有待辨識參數(shù)的式(15)作為可調(diào)模型方程,其中ωe為未知可調(diào)參數(shù),則以ωe為估計(jì)值改寫式(15)得到可調(diào)模型矩陣形式:

(17)

再進(jìn)一步改寫式(17)為可調(diào)模型狀態(tài)方程表達(dá)式:

(18)

則可調(diào)模型與參考模型的輸出誤差e矩陣形式可由式(17)、式(15)得:

(19)

將式(19)改寫為狀態(tài)方程表達(dá)式:

(20)

根據(jù)Popov超穩(wěn)定原理可知,該原理下系統(tǒng)魯棒性強(qiáng),符合IPMSMS高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)對系統(tǒng)魯棒性的要求。分析上式可知,該系統(tǒng)滿足Popov原理穩(wěn)定條件[16],即:

(1)前向傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)在S域的左半平面;

(2)積分后輸出值滿足Popov不等式,可寫為:

(21)

對式(21)Popov積分進(jìn)行逆向求解,可得到相應(yīng)自適應(yīng)律函數(shù):

(22)

改寫式(22),可得IPMSMS觀測轉(zhuǎn)速為:

(23)

對式(22)進(jìn)行積分求解,得到IPMSMS轉(zhuǎn)子觀測位置為:

(24)

為改進(jìn)MRAS觀測器,對圖5中常規(guī)的自適應(yīng)調(diào)整環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化。將傳統(tǒng)的MRAS觀測器自適應(yīng)環(huán)節(jié)中PI控制器改進(jìn)為模糊PI控制器,動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)自適應(yīng)環(huán)節(jié)中可調(diào)模型的參數(shù)改變,達(dá)到最優(yōu)控制,使電流誤差最小化,改進(jìn)后MRAS觀測器結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 改進(jìn)MRAS觀測器結(jié)構(gòu)圖

圖6所示MRAS觀測器所采用的模糊控制過程與第2節(jié)圖1相同,模糊規(guī)則與反模糊化公式也與第2節(jié)相似。

4 仿真與分析

利用MATLAB/Simulink以表1中IPMSMS的主要參數(shù)建立仿真模型[17],仿真模型如圖7所示。

圖7 IPMSMS仿真模型

為驗(yàn)證所建立模型,設(shè)定仿真時(shí)間為2.5 s,設(shè)定模型在初始給定轉(zhuǎn)速10 000 r/min下空載啟動(dòng),在1.5 s時(shí)施加大小為10 N的階躍負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

電主軸主軸轉(zhuǎn)速圖如圖8所示。可以看出,IPMSMS在0.9 s以內(nèi),轉(zhuǎn)速從0 r/min升至10 000 r/min,達(dá)到給定轉(zhuǎn)速,在1.5 s受到10 N階躍負(fù)載擾動(dòng)下,轉(zhuǎn)速保持穩(wěn)定,由圖8中轉(zhuǎn)速局部放大圖可知,轉(zhuǎn)速超調(diào)量小,約為0.04%。電主軸轉(zhuǎn)矩圖如圖9所示,由圖9可知,轉(zhuǎn)矩在未收到擾動(dòng)時(shí)保持穩(wěn)定,在施加10 N階躍負(fù)載擾動(dòng)時(shí),電主軸快速匹配負(fù)載轉(zhuǎn)矩,達(dá)到新穩(wěn)定。

圖8 電主軸轉(zhuǎn)速圖 圖9 電主軸轉(zhuǎn)矩圖

圖10為轉(zhuǎn)速觀測值與實(shí)際值對比圖,圖11為轉(zhuǎn)速觀測值與實(shí)際值差值圖。

圖10 轉(zhuǎn)速對比圖 圖11 轉(zhuǎn)速差值圖

可以看出,在升速過程中,轉(zhuǎn)速觀測與實(shí)際值為2.5 r/min,在轉(zhuǎn)速達(dá)到穩(wěn)定后,觀測轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速誤差值僅為0.001 r/min。在1.5 s受到擾動(dòng)時(shí),觀測轉(zhuǎn)速開始調(diào)整,于0.01 s內(nèi)再次趨于實(shí)際轉(zhuǎn)速。

圖12為轉(zhuǎn)子位置觀測值與實(shí)際值對比圖,圖13為轉(zhuǎn)子觀測與實(shí)際位置誤差值圖。

圖12 轉(zhuǎn)子位置對比 圖13 轉(zhuǎn)子位置差值圖

由圖可知,在升速過程中,觀測轉(zhuǎn)子位置有誤差,誤差很小,在轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后,誤差趨于0。

5 結(jié)論

為提高內(nèi)置式高速電主軸MTPA控制的魯棒性、動(dòng)態(tài)性、解決目前內(nèi)置式高速電主軸的無傳感器控制難題。本文對MTPA曲線進(jìn)行擬合,引入模糊控制改進(jìn)傳統(tǒng)PI控制環(huán)節(jié)以及傳統(tǒng)MRAS觀測器。利用MATLAB/Simulink建立對應(yīng)仿真模型,由仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得到以下結(jié)論:

(1)本文所采用的模糊MTPA控制使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能良好,在0.9 s內(nèi)完成升速,且超調(diào)量小。同時(shí),大幅增加系統(tǒng)魯棒性,受到10 N階躍負(fù)載擾動(dòng)后轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩能快速達(dá)到新穩(wěn)定。

(2)本文提出的基于模糊控制的改進(jìn)型MRAS觀測器性能優(yōu)秀,在系統(tǒng)升速過程中轉(zhuǎn)速觀測值與實(shí)際值有較小誤差,當(dāng)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后,轉(zhuǎn)速誤差值趨于0,且觀測器的魯棒性強(qiáng),受10 N階躍負(fù)載擾動(dòng)后,觀測性能保持良好,誤差值能迅速重新趨于0。

(3)模糊MTPA控制與基于模糊控制的MRAS觀測器復(fù)合良好,復(fù)合后,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能好、魯棒性強(qiáng)、可有效觀測轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速與位置,達(dá)到了本文所預(yù)期的效果。