孫鵬偉

(中交第四航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司,廣東 廣州 510000)

1 XFEM的研究進(jìn)展

傳統(tǒng)的有限元方法(CFEM)在模擬裂縫結(jié)構(gòu)方面存在缺陷,裂縫擴(kuò)展的不確定性使計(jì)算變得更加困難,并且在網(wǎng)格劃分時(shí)需要更長的時(shí)間。擴(kuò)展有限元方法(XFEM)繼承了CFEM的所有優(yōu)點(diǎn),單元分解法的采用保證了XFEM的收斂性。它增加了位移場中反映裂縫表面的不連續(xù)函數(shù)和反映局部特征的漸進(jìn)位移場函數(shù)并反映了裂縫的存在,使裂縫和有限元模型相互獨(dú)立,克服了高應(yīng)力高密度網(wǎng)格和裂縫尖端變形集中區(qū)造成的困難,它通常被認(rèn)為是裂縫處理中最有效的數(shù)值分析方法。

1.1 國外XFEM的研究進(jìn)展

XFEM理論最早由美國西北大學(xué)教授Belyschko于1999年提出。這是一種新的有限元方法,可以有效地解決不連續(xù)力學(xué)問題。由于其在分析不連續(xù)性方面的獨(dú)特優(yōu)勢,得到了迅速的發(fā)展,并被應(yīng)用于各個(gè)行業(yè)和領(lǐng)域。自問世以來,許多學(xué)者對該方法進(jìn)行了改進(jìn)和完善,著重在斷裂問題上,特別是以下幾個(gè)方面:(1)提高了裂縫尖端場的精度。將XFEM和SAR相結(jié)合,分析了分支函數(shù)和增強(qiáng)范圍對裂縫尖端場精度的影響,提高了裂縫尖端場的精度。(2)數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性和收斂性。為了避免剛度矩陣的奇異性,切割了一些部分來加強(qiáng)節(jié)點(diǎn)的自由度,以消除矩陣的奇異性。成功地將標(biāo)準(zhǔn)高斯積分應(yīng)用于具有裂縫的非連續(xù)細(xì)胞,并且這些細(xì)胞不需要?jiǎng)澐譃閬喕?3)對應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算方法的改進(jìn)。提出了一種無需后處理即可應(yīng)用擴(kuò)展有限元直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度系數(shù)的方法。該方法不僅考慮了裂縫漸進(jìn)位移場,還考慮了高階項(xiàng)。然而,這種直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法不便于模擬裂縫擴(kuò)展,僅適用于靜態(tài)裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度系數(shù)計(jì)算。(4)裂縫界面的描述和跟蹤方法的改進(jìn)。將水平集方法應(yīng)用于裂縫界面的說明,并將其與擴(kuò)展有限元思想相結(jié)合,分析更復(fù)雜的裂縫界面問題。使用快速行進(jìn)方法和XFEM來模擬多個(gè)裂縫的擴(kuò)展路徑。結(jié)果表明該方法效果良好[1]。

1.2 國內(nèi)XFEM的研究進(jìn)展

XFEM在國外得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用,但國內(nèi)對這一問題的討論很少。河海大學(xué)針對混凝土開裂和破壞分析中現(xiàn)有數(shù)值方法的不足,以及XFEM分析不連續(xù)性問題的獨(dú)特優(yōu)勢,利用XFEM對混凝土結(jié)構(gòu)中的裂縫和裂縫擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值模擬和分析。使用四節(jié)點(diǎn)等周單元建立了I型裂縫黏彈性位移場的數(shù)值解格式,為黏彈性斷裂問題的位移場分析提供了一種新的方法,建立了閉合摩擦裂縫的擴(kuò)展有限元模型。模型考慮了裂縫面之間的摩擦接觸問題,同時(shí)將XFEM和線性互補(bǔ)方法相結(jié)合,為解決接觸問題開辟了一條新途徑。其他學(xué)者給出了一種直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的擴(kuò)展有限元方法。該方法無需后處理即可直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子,大大簡化了預(yù)處理和后處理[2]。

2 XFEM的特點(diǎn)

XFEM主要采用獨(dú)立網(wǎng)格的思路來解決無限元裂縫擴(kuò)展問題,克服了CFEM要求裂縫表面和單元邊界一致,裂縫擴(kuò)展后需要重新劃分網(wǎng)格的缺點(diǎn)。擴(kuò)展有限元方法的特點(diǎn)如下。

(1)XFEM是基于單元分解概念對傳統(tǒng)有限元方法進(jìn)行的擴(kuò)展。

(2)通過增加位移方程的自由度,實(shí)現(xiàn)單元中不連續(xù)性的存在。

(3)XFEM不需要重新嚙合脆性材料,是一種積極有效的方法,可用于模擬離散裂縫在任何路徑上的萌生和擴(kuò)展。

(4)允許材料非線性和結(jié)構(gòu)幾何非線性。

(5)XFEM也可以用于圈出任何靜態(tài)表面裂縫的線。

(6)允許裂縫表面具有基于小規(guī)?；品匠痰慕佑|效應(yīng)。

(7)XFEM僅適用于一階應(yīng)力或位移固體連續(xù)單元。

(8)不需要中斷網(wǎng)格匹配幾何體[3]。

3 材料構(gòu)成

3.1 鋼結(jié)構(gòu)

鋼筋的本構(gòu)關(guān)系是通過拉伸試驗(yàn)來測量的,通常使用未經(jīng)處理的鋼筋。目前,最常用的鋼筋本構(gòu)模型包括四種類型:理想彈塑性模型、線性增強(qiáng)彈塑性建模(雙線模型)、雙重彈塑性模型和理想塑性硬化塑性模型,如圖1所示。結(jié)果表明,這兩種典型的鋼本構(gòu)模型被更多地采用。在本次的數(shù)值模擬中,初步建立了理想的彈塑性模型。

圖1 常用的鋼筋本構(gòu)模型

當(dāng)材料流動(dòng)階段較長、結(jié)構(gòu)應(yīng)變較小、強(qiáng)化階段可忽略不計(jì)時(shí),可以使用理想的彈塑性模型。應(yīng)力σ和應(yīng)變ε之間的關(guān)系如下。

(1)

(2)

式中:E為彈性模量;λ是一個(gè)參數(shù);sign在數(shù)學(xué)中被稱為符號函數(shù)。

3.2 混凝土結(jié)構(gòu)

根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)確定混凝土的雙軸拉伸本構(gòu)關(guān)系,見公式(3)。

σ=(1-d1)Ecε,

(3)

式中:dt為混凝土的單軸拉伸損傷演化參數(shù);αt為混凝土單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段的參數(shù)值;ft,r為混凝土的單向拉伸強(qiáng)度值,實(shí)際值需要根據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析;εt,r為對應(yīng)于單軸抗拉強(qiáng)度代表值f的混凝土的峰值拉伸應(yīng)變[4]。

4 實(shí)例分析

4.1 工程概況

高樁碼頭全長162 m,寬14 m。引橋全長66 m,寬10 m。碼頭采用高樁梁板結(jié)構(gòu),樁基采用550 mm×550 mm空心方柱,分為斜樁和直樁兩種?，F(xiàn)澆梁預(yù)埋在承臺內(nèi),梁上布置預(yù)制桁條、預(yù)制面板和鋪筑層。引橋樁基采用預(yù)應(yīng)力空心方柱,樁頂采用1 000 mm×1 000 mm承臺,樁間采用縱橫梁。承臺頂部采用立柱,立柱上采用現(xiàn)澆帽梁,面板采用預(yù)制面板,面板上鋪設(shè)鋪筑層?？v梁和前梁位于水位變化區(qū)。由于碼頭已經(jīng)使用,出現(xiàn)了不同尺寸的裂縫。因此,設(shè)置了測縫儀來監(jiān)測裂縫?？紤]到建立裂縫模型的傳統(tǒng)方法的局限性,使用XFEM來模擬裂縫的擴(kuò)展。

4.2 縱梁擴(kuò)展有限元模型

選取高樁碼頭前縱梁為模型,縱梁與碼頭岸線平行布置,碼頭平臺總長162 m,縱梁分為36跨?？紤]貨架寬度后,相鄰橫向的縱梁長度計(jì)算為4.0 m?？v梁的幾何尺寸如圖2所示,截面頂面寬度為0.75 m,底部寬度為0.45 m,高度為1.30 m。

圖2 縱梁的幾何尺寸

分析中使用的混凝土材料參數(shù):楊氏模量為E=3 000 MPa,泊松比為v=0.167,f=3.19 MPa,黏性區(qū)為線性軟化本構(gòu),斷裂能為G=50 N/m,線性膨脹系數(shù)為a=10。在縱梁底部的1/4處預(yù)埋鋼筋,鋼筋為HRB400熱軋帶肋鋼筋,直徑d=20 mm,彈性模量E=200 GPa,泊松比v=0.3,鋼筋密度ρ=7 850 kg/m3。鋼筋和混凝土之間采用約束。由于在實(shí)際的碼頭結(jié)構(gòu)中,初始裂縫是在距離一側(cè)的縱向拉伸區(qū)末端1.65 m處產(chǎn)生的,因此裂縫在此處重置。初始裂縫貫穿縱梁底部,寬度為0.45 mm,淺層深度為2 mm。在該模型中,縱梁被視為彈性支撐連續(xù)梁,選擇彈性支撐進(jìn)行彈性地基和邊界設(shè)置,剛度系數(shù)設(shè)置為K=4 000 000 kN/m,建立了現(xiàn)有裂縫的縱向梁模型。網(wǎng)格大小:加密位置為25,未加密位置為50,分為30 576個(gè)單元和34 850個(gè)節(jié)點(diǎn)。鋼筋的網(wǎng)格尺寸為10。

在使用期間,梁的自重影響較小。根據(jù)分析,得出碼頭冬季降溫期裂縫擴(kuò)展的主要影響因素是溫度驟降。結(jié)合實(shí)測溫度數(shù)據(jù),選取了10月至次年1月的降溫段,起始溫度21 ℃,0 ℃為最低溫度。冷卻過程設(shè)置為多個(gè)加載步驟,分別計(jì)算每個(gè)步驟的溫度場。以每個(gè)溫度場為負(fù)載,逐步將溫度場應(yīng)用于縱梁上,以分析整個(gè)冷卻期碼頭結(jié)構(gòu)裂縫的開裂過程。

4.3 計(jì)算結(jié)果

通過計(jì)算,得到鋼筋混凝土縱梁的最大主應(yīng)力、應(yīng)變和變形輪廓?？芍v梁的主裂縫沿初始裂縫方向擴(kuò)展,而最大主拉應(yīng)力位于裂縫尖端,并出現(xiàn)明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象。從梁的表面來看,裂縫的擴(kuò)展路徑與梁的高度方向近似水平,裂縫的膨脹方向與主拉應(yīng)力方向近似平行,初始裂縫則位于構(gòu)件內(nèi)部,可以更好地模擬裂縫尖端應(yīng)力場的奇異性[5]。

圖3為裂縫開口值隨時(shí)間變化圖。比較圖3中的兩條線,可以發(fā)現(xiàn),在10月至次年1月期間,由縱向梁開裂的XFEM模擬引起的裂縫開口值的變化與實(shí)際測量的裂縫開口值變化接近,收斂定律基本相同。這驗(yàn)證了XFEM模塊在計(jì)算裂縫問題時(shí)的準(zhǔn)確性和方便性。同時(shí),測量值和計(jì)算結(jié)果并不完全一致,這是因?yàn)橹豢紤]了溫度對橋墩桁條開裂的影響,并且模型中只嵌入了一根鋼筋。在高樁碼頭的實(shí)際施工和使用過程中,它還會受到各種復(fù)雜的內(nèi)部和外部因素的影響,暫時(shí)沒能作出進(jìn)一步的分析。例如,堆放荷載等也會導(dǎo)致裂縫的形成。

圖3 裂縫開口值隨時(shí)間變化

5 結(jié)束語

在模擬過程中,XFEM對網(wǎng)格密度的計(jì)算結(jié)果影響很小,如果使用傳統(tǒng)的有限元方法,則需在裂縫尖端周圍布置密集網(wǎng)格以獲得良好的結(jié)果。由于網(wǎng)格的大小不應(yīng)設(shè)置得太小,當(dāng)網(wǎng)格尺寸接近0.1 mm時(shí),裂縫不會擴(kuò)展并出現(xiàn)收斂誤差。當(dāng)網(wǎng)格尺寸接近0.5 mm時(shí),裂縫會擴(kuò)展,即網(wǎng)格尺寸會影響結(jié)果。因此,對于塑性裂縫的擴(kuò)展,XFEM也存在一些缺陷,需要進(jìn)行改進(jìn)。在模擬縱梁開裂的過程中,只考慮了溫度下降因素,這顯然與碼頭的正常工作環(huán)境不匹配,因此,計(jì)算的裂縫張開值與測量數(shù)據(jù)有所不同。