沙 淼，張可心，劉志剛，邱瑞昌，陳 杰

（北京交通大學電氣工程學院，北京 100044）

隨著城市軌道交通的不斷發(fā)展，列車運行能耗已成為行業(yè)的一個重點問題。針對列車運行速度曲線進行優(yōu)化研究是降低城市軌道交通行業(yè)能源消耗量、提升運輸服務(wù)質(zhì)量的有效措施。

針對目標速度曲線優(yōu)化問題，國內(nèi)外學者最初是以節(jié)能優(yōu)化為目標，展開了大量的研究[1-4]。隨著理論研究的深入和乘客對于乘坐體驗要求的不斷提升，單純地只考慮節(jié)能目標難以滿足列車的實際運行場景。而綜合考慮乘坐舒適性、線路限速、準時性等多種約束和目標成為了目前列車優(yōu)化運行問題的研究趨勢和熱點。列車優(yōu)化運行速度曲線求解方法大致可分為傳統(tǒng)優(yōu)化算法和智能算法。傳統(tǒng)優(yōu)化算法兼顧了多種約束，其中最常見的方法是極大值原理和動態(tài)規(guī)劃。文獻[5]對基于極大值原理得到的工況集和運行時機進行改進，提出了一種固定牽引恒速運行條件下求解最優(yōu)惰行的數(shù)值算法，并設(shè)計了適用于地鐵列車的最優(yōu)節(jié)能速度曲線簡化求解算法。文獻[6-8]利用非線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃等方法研究了列車制動能量回收利用問題，在此基礎(chǔ)上又提出了一種快速求解列車優(yōu)化運行曲線的數(shù)學模型。文獻[9]結(jié)合多目標優(yōu)化理論設(shè)計了一種高效的模型求解算法，但是卻沒有對狀態(tài)變量空間進行縮減，因此計算效率偏低，不利于工程推廣。

以遺傳算法為代表的智能優(yōu)化方法自提出以來就充分表現(xiàn)了其在解決復雜非線性優(yōu)化問題時的優(yōu)越性，但是當處理列車優(yōu)化運行這類問題時，搜索速度慢、易陷入局部最優(yōu)解的缺點凸顯，因此諸多學者提出了改進措施[10-13]。

本文針對陡坡路況提出了基于等效平均速度法的運行策略，針對目標速度改變的路況提出了合理利用惰行的運行策略，在滿足多種約束下實現(xiàn)節(jié)能。將上述運行策略進行統(tǒng)一，最終設(shè)計了基于目標速度追蹤的城軌列車節(jié)能優(yōu)化算法。

1 列車優(yōu)化運行模型

1.1 列車動力學模型

影響列車行進過程的力有牽引力、制動力和阻力。其中牽引力與制動力產(chǎn)生于列車內(nèi)部，二者不同時施加在列車上，并且可以通過列車自身的牽引/制動特性曲線實時計算當前車速所對應最大牽引力/制動力的具體數(shù)值。列車運行過程中的阻力包括基本運行阻力和線路帶來的附加阻力。

為了更好地模擬列車實際運行情況，本文采用均質(zhì)棒模型進行牽引計算分析。該模型將列車整體等效為一個質(zhì)量均勻分布的棒體，不考慮車廂間的相互作用力。而在計算線路附加阻力時，尤其是當列車同時處于兩個不同類型的區(qū)間時，需要根據(jù)列車處于不同區(qū)間的長度來分別計算兩部分的線路附加阻力，最后再進行求和。如圖1 所示，列車總單位附加阻力為

圖1 列車均質(zhì)棒模型受力分析Figure 1 Force analysis of homogeneous bar model of a train

式中，fj是總單位附加阻力；fjl，fj(L-l)分別是線路條件改變前后的單位附加阻力；l是列車位于后一區(qū)間的長度；L是列車長度。

列車的動力學方程為

式中，x是列車運行距離；ν是列車速度；t是列車運行時間；M是列車質(zhì)量；γ是列車回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；g是重力常數(shù)；Ft是列車牽引力；Fb是列車制動力；ut與ub分別是牽引工況和制動工況下的控制系數(shù)，0≤ut≤1，0≤ub≤1；f0是單位質(zhì)量基本運行阻力。

1.2 節(jié)能優(yōu)化目標函數(shù)

除了節(jié)能這一優(yōu)化目標，列車在運行過程中還需要兼顧運行時間、安全性、乘客舒適度、停車精度等約束。結(jié)合列車運行的動力學方程可得列車節(jié)能優(yōu)化目標函數(shù)為

式中，ft(ν)、fb(ν)、f0(ν)、fs(x)分別為考慮列車回轉(zhuǎn)質(zhì)量后的最大單位質(zhì)量牽引力、最大單位質(zhì)量制動力、單位質(zhì)量基本運行阻力以及當前位置對應的單位質(zhì)量附加阻力；ηt和ηd分別是牽引工況和制動工況下列車動力系統(tǒng)的機電效率；α為列車再生制動能量利用率；x0與xf分別是線路的起點和終點；v(x)是列車在位置x的速度，v(x0)和v(xf)是列車在線路的起點和終點的速度；J為線路全程的運行能耗值；vlim(x)為列車當前位置x的限速值；ud和Fd分別是電制動的控制系數(shù)和當前車速對應的最大電制動力；ΔT為線路全程目標運行時間和實際運行時間的差值；ΔS為目標停車點和實際停車位置的距離誤差；DA 為全程運行過程中加速度變化量的最大值，即沖動率最大值。

2 列車節(jié)能運行原理

2.1 節(jié)能運行操縱工況

由式(3)可知，列車節(jié)能優(yōu)化目標函數(shù)是帶有狀態(tài)變量方程并且滿足等式和不等式約束條件的最優(yōu)化問題，因此可以利用極大值原理進行求解，對于狀態(tài)方程，通過引入拉格朗日乘子λ1、λ2，構(gòu)建哈密頓函數(shù)為

式中，M是針對列車運行的限速不等式約束而引入的互補松弛算子，其滿足如下條件

考慮到H不顯含t，則dλ1/dx=0，因此拉格朗日系數(shù)λ1為常數(shù)。令θ=ηtλ2/v，可將哈密頓函數(shù)進一步簡化整理為

式中：um和fm分別是空氣制動的控制系數(shù)和當前車速對應的最大空氣制動力。

根據(jù)極大值原理，若要使得式(3)取得極小值，則哈密頓函數(shù)H取極大值。同時根據(jù)哈密頓函數(shù)表達式可知，可根據(jù)伴隨變量θ的取值來選擇合適的控制系數(shù)，使得H取得極大值。由此可以得到如表1 所示的7 種列車節(jié)能最佳運行工況及對應的控制系數(shù)取值。

表1 列車最佳運行工況Table 1 Optimal train operating conditions

2.2 運行能耗影響因素分析

列車運行能耗的高低體現(xiàn)在同一線路情況下同型號列車的不同運行結(jié)果比較。從任意兩站間的固定線路出發(fā)，考慮影響列車能耗的因素主要包含：時刻表規(guī)定運行時間、站間運行方式、列車型號、車載設(shè)備能耗、總載荷、線路情況等。其中車載設(shè)備主要包含車載通風設(shè)備、照明設(shè)備、供電設(shè)備等，因此該部分能耗不能節(jié)省。而列車型號、總載荷、線路情況這類信息在列車出發(fā)前就已經(jīng)固定，只能根據(jù)時刻表規(guī)定的運行時間來改變站間運行方式，從而實現(xiàn)列車的節(jié)能優(yōu)化運行。因此影響列車運行能耗的主要因素有時刻表規(guī)定的運行時間和站間運行方式。

2.2.1 時間因素對能耗的影響

列車運行速度曲線和時間-能耗關(guān)系如圖2 所示，列車運行在某一條線路上時，不同的運行策略對應的運行時間是各不相同的。首先定義常見的一種運行策略——最大能力運行策略，即采用最大牽引力加速到限速值，然后保持限速值勻速運行，最后采用最大制動力進行減速停車。因此最大能力運行速度曲線的運行時間是全程的最短運行時間Tmin。根據(jù)定義可知，最大能力運行曲線每一位置對應的速度值是該位置可能取得的最大速度值，該曲線也被稱為外包絡(luò)線，即區(qū)間所有可能存在的速度曲線均不可能超出該曲線所包絡(luò)的范圍，如圖2(a)所示。因此該曲線不僅可以用來作為線路的安全速度曲線，也可以減小后續(xù)區(qū)間目標速度的搜索范圍。

圖2 列車運行速度曲線和時間-能耗關(guān)系Figure 2 Train operating speed curve and time-consumption relationship

由圖2(b)可知，隨著全程運行時間的增加，運行能耗隨之減少。這是因為全程平均運行速度等于線路全長與運行時間的比值，所以全程運行時間越短，對應的全程平均運行速度也就越大。同時根據(jù)式(3)可知，列車牽引力做功一部分用于增加列車動能，另一部分用于克服基本運行阻力和線路附加阻力。由于線路條件固定，所以線路附加阻力做功的差異可以忽略。而基本運行阻力表達式也說明了運行速度越大，基本運行阻力就越大，進而列車能耗會隨之增加。同樣，用于增加動能而產(chǎn)生的能耗也隨著速度的增加而增加。因此列車的運行能耗是隨著運行時間的減小而不斷增加的，換言之，運行時間越長，運行能耗越低。但是若運行時間無限延長，此時討論列車的運行能耗是沒有意義的，所以本文研究的列車節(jié)能優(yōu)化問題是在線路時刻表規(guī)定的運行時間下進行求解的。

由于實際線路時刻表規(guī)定的運行時間一般都會比線路的最短運行時間長，所以可將富余時間定義為

式中，Tr為富余時間，即規(guī)定運行時間與最短運行時間的差值；Ttarget為線路時刻表規(guī)定的運行時間。

根據(jù)上述能耗分析和仿真結(jié)果可知，時刻表規(guī)定運行時間越長，即富余時間越長，列車的運行能耗也就越少。固定的一種運行策略下得出的結(jié)果在站間實際上存在多種運行策略，同時各自速度曲線對應的運行能耗也有所差異，如圖3 所示。

圖3 不同運行策略對應的時間-能耗曲線Figure 3 Time-consumption curves corresponding to different operation strategies

綜上，由于富余時間以及線路間不同運行策略的存在，使得列車的節(jié)能優(yōu)化存在可能?；诖?，本文在滿足時刻表規(guī)定的運行時間即固定富余時間條件下，求解節(jié)能效果最好的運行策略。

2.2.2 站間運行方式對能耗的影響

列車在完成啟動加速后和進站停車前的中間階段，列車的運行速度不同，可將其大致分為勻速和變速兩類運行方式，如圖4 所示。

圖4 勻、變速運行速度曲線示意Figure 4 Schematic illustration of operating speed curve for constant speed and variable speed

為探究列車運行方式和能耗之間的關(guān)系，假定列車在某區(qū)間ab內(nèi)可以實現(xiàn)不觸及限速的勻速和變速兩種方式運行，并且在a、b兩點列車的速度沒有改變。所以列車在此過程中的牽引力做功用于克服基本運行阻力以及增加勢能。

首先假定列車在ab區(qū)間可以實現(xiàn)以V為目標速度的勻速運行方式，即對于任意x∈[a，b]，都存在v(x)=V。則整個區(qū)間的運行時間為

因為假定全程勻速運行，所以有utft(v)=f0(v)+fs(v)，運行能耗為

式中，G(a)和G(b)分別是列車在a點和b點的勢能。

若列車在區(qū)間內(nèi)采用如圖4 所示的變速運行方式，由于需要克服基本運行阻力以及增加勢能，并且在區(qū)間始端和末端速度均為目標運行速度值，則存在固定條件，即

采用SPSS 18.0統(tǒng)計學軟件對數(shù)據(jù)進行處理，計量資料以“±s”表示，采用t檢驗，計數(shù)資料以百分數(shù)（%）表示，采用x2檢驗，以P＜0.05為差異有統(tǒng)計學意義。

式中，A，B，C均為正數(shù)。定義函數(shù)φ(v)=vf0(v)，易證該函數(shù)為嚴格凸函數(shù)，則對于任意的v≠V，存在

若兩種運行方式的時間相同，即TV=Tv，對于v≠V，有Jv-JV＞0，只有當v=V時，Jv-JV=0。通過上述推導可知，當列車在區(qū)間運行時間一定，區(qū)間起點終點速度一致時，采取勻速運行方式的能耗最小。

3 基于目標速度追蹤的優(yōu)化運行速度曲線求解

3.1 基于等效平均速度法的陡坡運行策略

鑒于運行時間和運行方式對能耗的影響，本文在處理大上坡這類的陡坡時，將綜合考慮運行方式以及目標運行速度值，求解兼顧時間、能耗、速度等多方面因素的較優(yōu)解。因此提出采用等效平均速度法來實現(xiàn)優(yōu)化運行速度曲線的求解。以大上坡為例，如圖5(a)所示，在入坡前的轉(zhuǎn)換點搜索范圍內(nèi)通過二分法搜索到x0點，從該點開始工況轉(zhuǎn)換為全力牽引，直到通過大上坡之后速度在x1點恢復至目標速度值Vtarget，工況由全力牽引轉(zhuǎn)化為部分牽引恒速。若從x0點到x1點的平均運行速度和目標速度誤差的絕對值最小，則認為該速度曲線為通過該大上坡的優(yōu)化運行速度曲線，相應的優(yōu)化目標數(shù)學表達式為

圖5 陡坡運行速度曲線Figure 5 Running speed curve for steep slopes

式中，Vtarget為當前部分牽引勻速運行的目標速度值；x0為部分牽引恒速轉(zhuǎn)全力牽引的工況轉(zhuǎn)換點，x1為全力牽引轉(zhuǎn)部分牽引恒速的工況轉(zhuǎn)換點；t0為x0點對應的運行時刻，t1為x1點對應的運行時刻。

對于大下坡，類似于大上坡的處理方式，同樣也采用基于等效平均速度法來實現(xiàn)優(yōu)化運行速度曲線的求解。如圖5 所示，在進入大下坡前的轉(zhuǎn)換點搜索范圍內(nèi)通過二分法搜索到x0點，從該點開始工況轉(zhuǎn)換為惰行，直到通過大下坡之后速度在x1點恢復至目標速度值Vtarget，工況由惰行轉(zhuǎn)化為部分牽引恒速。若從x0點到x1點的平均運行速度和目標速度誤差的絕對值最小，則認為該速度曲線為通過該大下坡的最優(yōu)運行速度曲線。

在目標運行速度的基礎(chǔ)上對陡坡進行處理時，沒有考慮到特殊區(qū)間搜索范圍相互影響、速度曲線觸及限速等情況。因此本文在陡坡處理方法的基礎(chǔ)上做進一步的優(yōu)化，從而使得方案在處理特殊工況時具有更高的普適性。

3.1.1 確定陡坡工況切換點搜索范圍

如圖6(a)所示，以大上坡為例，求解工況轉(zhuǎn)換點搜索范圍的最左側(cè)點時，大上坡末端以區(qū)間的目標運行速度向后反算全力牽引曲線與左側(cè)恒速區(qū)會出現(xiàn)交點，若超出與之相連的前一恒速區(qū)的最左側(cè)時還沒有交點，則以與大上坡相連的前一恒速區(qū)的起點作為搜索范圍的最左側(cè)轉(zhuǎn)換點。同理，求解工況轉(zhuǎn)換點搜索范圍的最右側(cè)點時，在與大上坡相連的后一恒速區(qū)的終點，以區(qū)間的目標運行速度向后反算全力牽引曲線與左側(cè)恒速區(qū)的交點，該點則為搜索范圍的最右側(cè)轉(zhuǎn)換點。如圖6(b)所示，在求解搜索范圍以及搜索最優(yōu)工況轉(zhuǎn)換點的過程中，若速度曲線出現(xiàn)了觸及限速的情況，則以限速值保持恒速運行。

圖6 確定陡坡工況轉(zhuǎn)換點范圍Figure 6 Identifying the range of transition points for steep slope conditions

3.1.2 不同類型陡坡相連

若區(qū)間為大上坡或大下坡，并且區(qū)間目標速度小于限速值，并且相連的后面區(qū)間也是大上坡或者大下坡，則首先將連續(xù)的非緩和坡道整合為一個大的非緩和坡道。然后對組合后的非緩和坡道進行和單個陡坡同樣的操作，尋找最優(yōu)的工況轉(zhuǎn)換點。

3.1.3 陡坡之間緩和區(qū)間過短

如圖7(a)所示，在搜索最優(yōu)轉(zhuǎn)換點時，若前后兩個非緩和坡道相隔較近，即中間間隔的恒速區(qū)間較短時，可能會存在前后兩個搜索范圍相互影響的情況。此時需要對中間恒速區(qū)從中點進行分割，使前半部分作為與前一非緩和坡道相連的后一恒速區(qū)，后半部分作為與后一非緩和坡道相連的前一恒速區(qū)。如圖7(b)所示，通過這種方式就可以避免前后兩個非緩和區(qū)間最佳轉(zhuǎn)換點搜索范圍的重合。

圖7 兩陡坡搜索范圍沖突的處理Figure 7 Handling of two steep slope search range conflicts

3.1.4 陡坡觸及限速的情況

當列車以限速值進入陡坡時，根據(jù)車身所處的陡坡類型選擇合適的運行工況：若區(qū)間為大上坡，由于處于大上坡時即使采用全力牽引列車速度也會下降，因此這種情況下在區(qū)間一開始就采用最大能力牽引；若區(qū)間為大下坡，則采用部分制動保持恒速。

3.2 目標速度改變的運行策略

3.2.1 目標速度上升

首先判斷區(qū)間類型，若線路為大下坡，如圖8(a)所示，可以充分利用線路條件進行節(jié)能。在此工況下先從線路起始點以初始速度值進行全力牽引，若列車運行至區(qū)間末端時仍未達到目標速度值，則該區(qū)間只采用全力牽引工況；若列車在區(qū)間內(nèi)部就加速到目標速度值，則從區(qū)間末端以目標速度值向后反算惰行曲線，求解與之前速度曲線的交點，則該區(qū)間最后的速度曲線就是從起始點全力牽引至交點，從交點惰行至區(qū)間末端。如圖8(b)所示，假如該區(qū)間是其他類型的區(qū)間，則直接選擇全力牽引，若未到區(qū)間末端就加速到目標值，則從該點開始以目標速度值一直勻速運行至區(qū)間末端。

圖8 目標速度上升的運行策略Figure 8 Operation strategy for target speed increase

3.2.2 目標速度下降

文獻[14]表明了目標速度下降的情況實際上是由于線路限速下降引起的，對于理想平直道上的進站停車情況，Howlett 等已證明了惰行加最大能力制動是有利于節(jié)能的操作。所以當全程勻速運行的目標速度值vtarget確定之后，確定惰行轉(zhuǎn)制動時的速度值vb成為處理目標速度下降情況的關(guān)鍵。本節(jié)將直接引用文獻[15]中推導出的勻速區(qū)間速度值和制動點速度值的關(guān)系式，計算惰行轉(zhuǎn)制動開始點的速度值vb，并采用反向迭代計算的方式計算減速曲線。

如圖9 所示，當區(qū)間目標速度小于初始速度vo時，則要從區(qū)間始端以目標速度值向后反算減速曲線。反算減速曲線時，若列車運行速度大于vb則采用惰行工況，若列車運行速度小于vb則采用制動工況。直到反算減速曲線與前面速度曲線相交，從交點更新減速曲線，并在當前限速區(qū)間保持目標速度值運行。

圖9 目標速度下降的運行策略Figure 9 Operation strategy for target speed reduction

3.3 方案整體設(shè)計

基于目標速度追蹤的優(yōu)化運行速度曲線整體算法流程如圖10 所示。算法的整體執(zhí)行步驟如下。

圖10 基于目標速度追蹤的優(yōu)化運行速度曲線求解流程Figure 10 Optimal running speed curve solution process based on target speed tracking

步驟1：首先計算線路的最大能力運行曲線，得出線路運行的最短運行時間Tmin，若線路目標運行時間Ttarget小于最短運行時間Tmin，則輸出最大能力運行曲線為優(yōu)化曲線，并終止算法；否則執(zhí)行步驟2。

步驟2：尋優(yōu)開始前設(shè)置較小的目標運行速度值vh以及較大的目標速度變化步長Δvh。

步驟3：根據(jù)目標運行速度vh計算對應的惰行轉(zhuǎn)制動速度值vb，之后計算優(yōu)化速度曲線：

a) 確定區(qū)間目標運行速度，劃分坡道區(qū)間。

b) 根據(jù)區(qū)間的目標速度值和進入?yún)^(qū)間的初始速度值選擇恰當?shù)牟倏v工況：

區(qū)間起始速度小于目標速度時，選擇全力牽引工況，并結(jié)合3.2.1 節(jié)目標速度上升的情況進行修正。

區(qū)間起始速度等于目標速度時，若區(qū)間為緩和坡道，則從區(qū)間起點就以初始速度采用部分牽引工況保持勻速運行；若區(qū)間為陡坡時，采用基于等效平均速度法的陡坡運行策略，并結(jié)合特殊情況的處理方法，利用二分法搜索最佳工況轉(zhuǎn)換點，繼而實現(xiàn)速度曲線的求解。

區(qū)間起始速度大于目標速度值時，采用3.2.2 節(jié)目標速度下降情況下所規(guī)定的操縱方法。

c) 計算速度曲線全程用時T。

步驟4：判斷時間誤差|T-Ttarget|，若大于時間誤差要求，則進行如下操作：

a) 若T＜Ttarget，則退出上一步增加的速度步長vh=vh-Δvh，并令速度步長減小為原來的1/2，即Δvh=0.5×Δvh。

b) 增加目標速度值vh=vh+Δvh，轉(zhuǎn)向步驟3。

若|T-Ttarget|小于時間誤差要求，則輸出當前速度曲線，并終止算法。

4 結(jié)果驗證

為驗證所提出方案的有效性，采用上海地鐵3 號線鐵力路站—友誼路站線路進行仿真分析，線路信息如表2～4 所示。

表2 鐵力路站—友誼路站線路彎道信息Table 2 Information of curves from Tieli Road to Friendship Road m

表3 鐵力路站—友誼路站線路坡道信息Table 3 Information of slopes from Tieli Road to Friendship Road

上海地鐵3 號線運營列車為阿爾斯通AC-03，整車為6 節(jié)編組，車身全長140 m，最高運行時速為80 km/h，圖11 為列車的牽引特性曲線和制動特性曲線。

圖11 牽引及制動特性曲線Figure 11 Traction and braking characteristic curve

在實際的運營過程中，列車用時133 s，同時文獻[16]和文獻[17]分別采用時間逼近搜索算法和四階段遺傳算法對該線路的速度曲線進行了優(yōu)化。各個方案優(yōu)化后的速度曲線和實際運行情況見圖12，表5 分別列出了上述兩種方案的運行結(jié)果以及采用本文設(shè)計的目標速度追蹤法的優(yōu)化運行結(jié)果。

表5 優(yōu)化運行數(shù)據(jù)結(jié)果Table 5 Optimize operational data results

圖12 運行速度曲線對比Figure 12 Comparison of operating speed curves

由表5 可知，與文獻[16]和[17]中的優(yōu)化方案相比，本文設(shè)計的優(yōu)化方案能耗進一步減小，優(yōu)化速度曲線惰行工況的起始點更加靠前，進一步擴大了惰行工況的應用范圍，有效減小了牽引能耗，節(jié)能率可達25.39%。同時本文優(yōu)化后的速度曲線最大運行速度更低，為63 km/h，速度曲線更加平緩。當列車運行速度偏大時不僅會對安全性能提出更高的要求，同時車身在運行過程中的磨損程度會加深、最大牽引功率也會變大。除此之外高速運行帶來的振動噪聲也會更加明顯，從而影響車體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，降低乘客的舒適性。所以綜合多方面因素考慮，基于目標速度追蹤方法求解出的列車目標運行速度曲線更加適用于列車實際的運行情況。

5 結(jié)論

本文以節(jié)能為主要運行目標，推導了列車節(jié)能運行操縱工況，探究了影響運行能耗的兩大因素，設(shè)計了新的城軌列車目標運行速度曲線優(yōu)化方案，完成了節(jié)能運行操縱工況和坡道類型的進一步簡化分類，基于運行方式對能耗的影響實現(xiàn)了基于等效平均速度法的陡坡運行策略的設(shè)計，提出了目標速度改變時充分利用惰行工況的節(jié)能運行操縱方法。結(jié)合以上運行策略，最終實現(xiàn)了基于目標速度追蹤的城軌列車節(jié)能優(yōu)化算法的設(shè)計。通過仿真驗證，當設(shè)定相同運行時間的條件下，本文算法比列車實際運行節(jié)能25.39%，證明了算法的有效性。