初中階段求三角形的面積是常見的問題，求解的方法較多，如公式法、割補(bǔ)法、切線法、三角函數(shù)法、鉛垂法等.下面具體介紹鉛垂法在求三角形面積問題中的應(yīng)用.

一、方法解讀

在直角坐標(biāo)系中要求三角形的面積，當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)可直接用面積公式法求解，故不予以討論；當(dāng)三角形為銳角三角形或鈍角三角形時(shí)，可以利用鉛垂法，通過三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)作“鉛垂高”進(jìn)行面積的割補(bǔ)來求解.下面展示銳角三角形模型如圖1，鈍角三角形模型如圖2.

盡管割補(bǔ)的方法和求解的過程不一樣，但是得出的結(jié)論卻是一致的，因此結(jié)論可以歸結(jié)為 SΔABC = 1 2| yD - y | A | x | C - xB .

若把 C、B 兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”，過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線與 CB 的交點(diǎn)為 D，線段 AD 即為 CB 邊的“鉛垂高”，可得 S△ABC = 水平寬 × 鉛垂高 2 .

利用鉛垂法表示三角形的面積，既可以用坐標(biāo)表示，也可以用文字表示，其中用坐標(biāo)表示僅限于在直角坐標(biāo)系中的三角形，而用文字表示則不受限制，更具一般性.鉛垂法是以“割”“補(bǔ)”思想為指導(dǎo)的具體方法，其中過三角形的任何頂點(diǎn)引鉛垂線都可以，可根據(jù)實(shí)際情形進(jìn)行選擇，與三角形的形狀無關(guān)，與三角形在第幾象限無關(guān)，甚至與三角形是否在直角坐標(biāo)系內(nèi)也無關(guān).

二、鉛垂法在解題中的應(yīng)用

雖然在任何條件背景下都能運(yùn)用鉛垂法求解三角形面積問題，但是在初中階段運(yùn)用較多的情形仍是以直角坐標(biāo)系為背景的三角形，如在直角坐標(biāo)系中以一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)為載體，求三角形面積，討論三角形面積的不變性，求解三角形面積的最值等問題，常用鉛垂法求解.其原因在于借助直角坐標(biāo)系和函數(shù)，能更方便快捷地求水平寬、鉛垂高.解答這類問題的基本思路是，首先過三角形的某一端點(diǎn)作水平或豎直的直線，將面積進(jìn)行割補(bǔ)；然后借助函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系，求出相應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可以是具體數(shù)值，也可以是含參數(shù)的形式，進(jìn)而求出水平寬、鉛垂高；最后利用公式求得三角形的面積.

例1如圖3，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（5，5），C（-1，2），則三角形的面積為（）.

解：如圖4，過點(diǎn)A作AD∥y軸，交BC于點(diǎn)D，

因?yàn)锽（5，5），C（-1，2）

所以lBC：y=x+，

因?yàn)锳（4，1），所以D（4，），

所以AD=-1=，

所以S△ABC=·AD·（xB-xC）

=××（5+1）=.

評(píng)注：利用鉛垂法求面積可以按如下步驟：第一步，結(jié)合鉛垂法建立面積模型；第二步，由點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)求水平寬，以及直線BC的函數(shù)解析式；第三步，由點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線BC的函數(shù)解析式確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而確定鉛垂高的值；第四步，代入鉛垂法的模型公式，求三角形的面積.

例2已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象與x軸的左交點(diǎn)為點(diǎn)A，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸上方，寫出ΔACP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值.

解：由題意可求出A（-3，0），B（0，3）.

當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PD//y軸交AC于點(diǎn)D，

求得SΔPAC=（xC-xA）?PD=PD.

當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PD//y軸交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

求得SΔPAC=（xC-xA）?PD=PD.

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，

設(shè)P（x，-x2-2x+3），

又點(diǎn)D在直線AC上，求得直線AC的解析式為y=-x-1，

所以可設(shè)D（x，-x-1），

所以PD=yP-yD=-x2-x+4，

所以SΔPAC=PD=-（x2+x-4）

=-x+2+，

故當(dāng)x=-時(shí)，SΔPAC取得最大值，最大值為.

評(píng)注：本題要求SΔPAC的表達(dá)式，由于點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，可在y軸的不同側(cè)，需要進(jìn)行討論，但是根據(jù)上面的模型推導(dǎo)可知，其結(jié)果是一樣的，分類討論更顯得解題的嚴(yán)謹(jǐn)性.點(diǎn)P、點(diǎn)D在鉛垂線上，所以其橫坐標(biāo)相同，故在設(shè)點(diǎn)時(shí)要設(shè)相同的參數(shù)，為解題帶來方便.

總之，鉛垂法屬于求三角形面積的通法，同學(xué)們?cè)谄匠５挠?xùn)練中要弄懂該方法的本質(zhì)屬性、推導(dǎo)過程、解題適用情形等要素，而不能只是死記公式、套公式解題.只有真正弄清通法的來龍去脈，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，靈活運(yùn)用，輕松解題.