網(wǎng)格問(wèn)題是幾何問(wèn)題中的一種新類(lèi)型. 由于網(wǎng)格兼具代數(shù)與幾何的雙重特性，所以以網(wǎng)格為背景的幾何問(wèn)題靈活多變，其解題方法也多種多樣.而勾股定理作為中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的定理之一，有著簡(jiǎn)單優(yōu)美的形式，豐富深刻的內(nèi)涵，是聯(lián)系幾何與代數(shù)的紐帶，也是解答網(wǎng)格問(wèn)題的有力工具.在解答求線(xiàn)段長(zhǎng)、網(wǎng)格作圖、判斷三角形的形狀等網(wǎng)格問(wèn)題中，勾股定理都有著重要的作用.下面就這三類(lèi)問(wèn)題舉例剖析，深入探究利用勾股定理解題的策略.

一、求線(xiàn)段長(zhǎng)或距離

對(duì)于以網(wǎng)格為背景求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合網(wǎng)格和幾何圖形的雙重性質(zhì)構(gòu)建圖形，然后利用勾股定理求解.若要求網(wǎng)格中斜線(xiàn)段的長(zhǎng)，且線(xiàn)段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則以斜線(xiàn)段為斜邊，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，再利用勾股定理求出斜邊長(zhǎng).若要求網(wǎng)格上的點(diǎn)到斜線(xiàn)段的距離，可構(gòu)造以該垂線(xiàn)段為高的三角形，采用等面積法求出距離.

例1

解析

說(shuō)明：本題先利用勾股定理求出三角形的三邊長(zhǎng)，由于網(wǎng)格的特性，三角形的面積可利用割補(bǔ)法，借助矩形與幾個(gè)直角三角形的面積差求得，然后利用等面積法求出 AB 上的高.

二、在網(wǎng)格中求作三角形

以網(wǎng)格為載體進(jìn)行作圖，首先需要利用勾股定理計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)，然后以網(wǎng)格線(xiàn)的特性，如長(zhǎng)度、平行與垂直關(guān)系、線(xiàn)段等分點(diǎn)、中點(diǎn)等為依托，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)去完成.這類(lèi)試題具有開(kāi)放性，技巧性強(qiáng)，答案不唯一.

例2

解析

說(shuō)明：本題的等腰三角形沒(méi)有限制是否是直角三角形，若要畫(huà)成直角三角形，可以把面積公式換一種拆解方式，S = 1 2 × l 2 ，（l 為直角邊）先求出兩直角邊再作圖.不同的拆解方式，畫(huà)出的三角形也可能不同，這正體現(xiàn)了作圖題的開(kāi)放性，答案是不唯一的.

三、判斷三角形的形狀

判斷三角形的形狀需要利用勾股定理的逆定理，若兩短邊的平方和等于長(zhǎng)邊的平方，則可以推斷該三角形是直角三角形.解題的基本思路是先依次計(jì)算邊長(zhǎng)的平方，然后分析計(jì)算結(jié)果是否滿(mǎn)足勾股定理.

例3

解析

評(píng)注：判斷三角形的形狀，其核心是考查勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出三邊長(zhǎng)，然后利用逆定理判斷是否為直角三角形.在拓展性問(wèn)題中，若要判斷是否為鈍角或銳角三角形，可根據(jù)下列結(jié)論進(jìn)行判斷：假設(shè) AB 為最長(zhǎng)邊，若 AC2 + BC2 lt; AB2 ，則 ?ABC 為鈍角三角形；若 AC2 + BC2 gt; AB2 ，則 ?ABC 為銳角三角形.

總之，網(wǎng)格問(wèn)題與勾股定理能很好地結(jié)合在一起考查，盡管問(wèn)題的形式靈活復(fù)雜，但考查的知識(shí)點(diǎn)與解題的方法是不變的.同學(xué)們?cè)诮忸}過(guò)程中要把握網(wǎng)格的特性，靈活運(yùn)用勾股定理逐步推導(dǎo)出結(jié)果.