比較實數(shù)的大小問題具有一定的綜合性和技巧性，需要結合實數(shù)的結構特征靈活選用恰當?shù)姆椒?比較實數(shù)大小的法則為：“負數(shù)lt;0lt;正數(shù)；兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)較大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。粚崝?shù)與數(shù)軸上的點一一對應，數(shù)軸上的兩個數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”.在解答比較實數(shù)大小的問題時，除了要掌握以上的比較法則外，還要了解一些特殊的比較方法，如開方比較法、乘方比較法、作差比較法等.下面對這些特殊的比較方法舉例予以說明，供同學們參考.

方法一、開方比較法

在比較有理數(shù)與無理數(shù)或無理數(shù)之間的大小時，根據(jù)算術平方根、立方根的定義，把根號外的因數(shù)平方或立方后移入根號內，即根據(jù) a = a2 （a gt; 0） 或 a = a 3 3 ，把有理數(shù)部分化成無理數(shù)的形式，然后比較被開方數(shù)的大小.運用該方法時要注意根號外的因數(shù)的正負，只有正數(shù)才能開平方.

例1

解

方法二、乘方比較法

在比較兩個無理數(shù)之間的大小時，可以先將這兩個無理數(shù)分別平方或立方，然后根據(jù)乘方后的得數(shù)比較大小，當 a＞0，b＞0 時，若 a2 gt; b 2 ，或 a3 gt; b 3 ，則推出a＞b；當alt;0，b時，若 a2 gt; b 2 ，則推出 a lt; b，若 a3 gt; b 3 ，則推出 a gt; b.

例2

解

方法三、作差比較法

如果兩個實數(shù)中的無理數(shù)部分含有能合并的項，可以用作差法比較它們的大小.先求出 a 與 b 的差，再判斷差值與 0 的關系.若 a - b lt; 0，則推出 a lt; b；若 a - b = 0，則推出 a = b；若 a - b gt; 0，則推出 a gt; b，從而判斷 a 與 b 的大小關系.

例3

解

方法四、作商比較法

如果兩個實數(shù)中的無理數(shù)部分含有可約分的項，就可以嘗試用作商法，通過約分、化簡來比較大小，先求出 a 與 b 的商，然后判斷商值與1的關系.若 a b lt; 1，當 a gt; 0，b gt; 0 時，則推出 a＜b，當 a lt; 0，b lt; 0 時，則推出 a gt; b；若 a b gt; 1，當 a gt; 0，b gt; 0 時，則推出 a＞b，當 a lt; 0， b lt; 0 時，則推出 a lt; b；若 a b =1，則推出 a = b，從而得出 a 與 b 的大小關系.一個角度后，要把握以下幾點：①旋轉前后的圖形全等，且圖形的形狀和大小不改變；②對應點到旋轉中心的距離都相等；③對應點與旋轉中心的連線的夾角都等于旋轉角.解答有關圖形的旋轉的計算問題，要明確圖形旋轉的三要素：旋轉方向、旋轉中心、旋轉角度.

例4

解：

方法五、倒數(shù)比較法

對于兩個正實數(shù) a，b 比較大小，如果 a，b 的結構相似，倒數(shù)容易求出，不妨用倒數(shù)法. 先分別求出 a 與 b 的倒數(shù)，然后判斷倒數(shù)之間的大小關系，若 1 a gt; 1 b ，則推出 a＜b，若 1 a lt; 1 b ，則推出 a gt; b，若 1 a = 1 b ，則推出 a = b，從而得出 a 與 b 的大小關系.

例5

解

方法六、中間值比較法

如果兩個實數(shù) a，b 無法直接比較大小，不妨找一個中間值 c，根據(jù)不等式的傳遞性，讓兩個數(shù)分別與這個中間值比較，若 a lt; c， c lt; b，則 a lt; b ；若 a gt; c，而 c gt; b，則 a gt; b. 由此比較兩實數(shù)的大小.

例6

解

總之，比較兩個實數(shù)大小的方法還有很多，如估算法、分母有理化法、特殊值代入法等.有的問題需要融合多種方法才能解答，有的問題則是一題多解.同學們只有在平常的練習中多觀察、多思考、多總結，才能不斷地積累解題經(jīng)驗，提升解題效率.