收稿日期：2023-10-26

基金項(xiàng)目：皖南醫(yī)學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目（WK202117）

作者簡介：李迅（1991-），男，安徽滁州人，講師，研究方向?yàn)槲⒎址匠虅恿ο到y(tǒng).E-mail：1123676642@qq.com.

文章編號：2095-6991（2024）04-0006-07

摘要：研究了一類右端不連續(xù)的丙肝SICR微分模型，利用微分包含理論和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，證明了模型地方病平衡點(diǎn)和無病平衡點(diǎn)的存在唯一性，通過計(jì)算得到了模型的基本再生數(shù)R0，分析證明了各平衡點(diǎn)在有限時(shí)間內(nèi)的全局漸近穩(wěn)定性.文末借助MATLAB數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論的準(zhǔn)確性.

關(guān)鍵詞：右端不連續(xù)；微分包含；Filippov解；全局漸近穩(wěn)定

中圖分類號：O175""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Effect of Discontinuous Immunizationon a Class of Hepatitis C SICR Models

LI Xun1， HUANG Jian2， TAO Long3

（1. Nanjing Vocational Health College， Jiangsu Union Technical Institute， Nanjing 210038， China;

2. Public Foundation College， Wannan Medical College， Wuhu 241000， Anhui， China）

Abstract：A class of right end discontinuous SICR differential models for hepatitis C were studied. By using differential inclusion theory and constructing Lyapunov functions， the existence and uniqueness of local and disease-free equilibrium points in the model were proved. The basic reproduction number R0 of the model was calculated， and the global asymptotic stability of each equilibrium point in finite time was analyzed and proved. Finally， the accuracy of the theory was verified by MATLAB numerical simulation.

Key words：right-hand discontinuity; differential inclusion; Filippov solution; global asymptotic stability

丙型肝炎是一種由丙型肝炎病毒（HCV）感染所引起的病毒性肝炎，它是當(dāng)前誘發(fā)肝硬化和肝癌的重要原因.建立數(shù)學(xué)艙室模型是研究傳染病的主要手段之一.早在1927年，KERMACK和MEKENDRICK開創(chuàng)性地提出了SIR微分模型［1］，為后續(xù)的數(shù)學(xué)傳染病學(xué)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). Yuan等［2］提出了一類具有急性和慢性感染階段且人群數(shù)量呈指數(shù)變化的模型，分析了無病平衡點(diǎn)和有病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；ELBASHA E H［3］提出一類HCV感染傳播的確定性模型，研究發(fā)現(xiàn)抗病毒治療對模型的穩(wěn)定性具有重要影響；MARTCHEVAM等［4］研究了具有慢性感染階段和可變?nèi)巳阂?guī)模的丙型肝炎流行病學(xué)模型，研究結(jié)果表明：各平衡點(diǎn)的局部平衡是不穩(wěn)定的，并且可能會發(fā)生持續(xù)振蕩；STOCKS T等［5］構(gòu)建了一種PWID人群HCV傳播的多層動態(tài)傳播模型，研究表明DAA治療可以有效降低注射吸毒者的丙肝感染風(fēng)險(xiǎn).CUI J等［6］提出了一類具有急慢性丙型肝炎的流行病學(xué)模型，研究發(fā)現(xiàn)急性丙型肝炎患者可以自行清除病毒并進(jìn)入康復(fù)類別，而慢性丙型肝炎患者不能自動清除病毒；康玉嬌等［7］在CUI J等［6］的研究基礎(chǔ)上，提出了具有隨機(jī)干擾的丙型肝炎模型，研究發(fā)現(xiàn)隨機(jī)擾動的強(qiáng)度和噪聲的強(qiáng)度具有正相關(guān)，且當(dāng)噪聲足夠大時(shí)疾病將會滅絕.

然而以上關(guān)于丙肝的研究都是連續(xù)依賴于感染者的數(shù)量，在某種病毒傳染的初期，感染者的數(shù)量較少，人們往往意識不到該病毒的危害性.因此，初期感染的患者往往得不到及時(shí)治療甚至沒有治療.而隨著一段時(shí)間的傳染，越來越多的易感者被感染疾病，人們意識到問題的嚴(yán)重性后就會加大對疾病的治療力度，這勢必會造成病人的數(shù)量發(fā)生巨減，從而形成一個(gè)明顯的治療跳躍.因此，丙肝病毒傳播的過程相對于感染者的數(shù)量應(yīng)是不連續(xù)的變化過程.為更加精確地研究丙肝傳染病，有必要將非連續(xù)免疫策略引入到丙肝的治療中.

1" 模型的建立

依據(jù)文獻(xiàn)［6-7］，建立如下的微分方程動力模型：

dSdt=A－βSI－βSC－aS，

dIdt=βSI+βSC－（a+γ）I－HI，

dCdt=pγI－（a+μ）C，

dRdt=（1－p）γI－aR+HI，（1）

其中：H（I）是非連續(xù)治療函數(shù)，模型式（1）中各變量和各參數(shù)的含義如表1所列，模型中所有的參數(shù)都是正的.

記模型的初值為S（0）≥0，I（0）≥0，C（0）≥0，R（0）≥0，模型的種群再生數(shù)為

R0=βA（a+μ）+βApγa（a+γ）（a+μ）.

為保證模型不失右端不連續(xù)的一般性，提出假設(shè)1.

假設(shè)1" H（I）=φ（I）·I，φ：R+→R+分段連續(xù)且單調(diào)不減，即H（I）=φ（I）·I僅有可數(shù)個(gè)不連續(xù)點(diǎn).

由于模型（1）中關(guān)于dS（t）/dt和dR（t）/dt的方程右端是不連續(xù)的，故連續(xù)微分方程的解理論不適用于模型（1）.

本文考慮采用Filippov解［8］.Filippov解適用于不連續(xù)微分方程

dx/dt=f（t，x），（2）

其中，右端函數(shù)f（t，x）是關(guān)于t和x（t）可測且局部有界的，即f∈L

loc（R×Rn，Rn）.

定義1［9］" 對于集值映射F（t，x）=Kf（t，x）∩δgt;0∩μN(yùn)=0co （f（t，xδ＼N）），K是加在f上的算子，F(xiàn)（t，x）是由f（t，x）構(gòu)成的集合.若f（t，x）在一點(diǎn)處連續(xù)，則F（t，x）構(gòu)成單點(diǎn)集合；若f（t，x）在一點(diǎn)處不連續(xù)，則F（t，x）構(gòu)成一凸閉包集合.

由定義1可知，式（2）的解是存在于凸閉包F（t，x）中的函數(shù)，即dx/dt∈F（t，x），t∈［0，T）.

由Filippov解的定義可知，右端不連續(xù)微分模型的解是絕對連續(xù)的向量值函數(shù).即若（S（t），I（t），C（t），R（t））是式（1）的Filippov解，則（S（t），I（t），C（t），R（t））在［0，T）上絕對連續(xù)，且滿足

dSdt=A－βSI－βSC－aS，

dIdt=βSI+βSC－（a+γ）I－co［H（I）］，

dCdt=pγI－（a+μ）C，

dRdt=（1－p）γI－aR+co［H（I）］，（3）

其中，co［H（I）］=［H（I－），H（I+）］，H（I－）和H（I+）表示函數(shù)H（I）在I處的左極限和右極限.若H（I）在I間斷，則co［H（I）］是存在內(nèi)點(diǎn)的非空凸閉包；若H（I）在I處連續(xù)，則co［H（I）］是一個(gè)單點(diǎn)集，且co［H（I）］=H（I）.由可測性選擇定理可知［8］，存在可測函數(shù)m（t）∈co［H（I）］，使得對幾乎所有的t∈［0，T）滿足

dSdt=A－βSI－βSC－aS，

dIdt=βSI+βSC－（a+γ）I－m（t），

dCdt=pγI－（a+μ）C，

dRdt=（1－p）γI－aR+m（t）.（4）

2" 平衡點(diǎn)的存在唯一性

下面將證明式（1）地方病平衡點(diǎn)和無病平衡點(diǎn)的存在唯一性.

將模型（1）的方程相加，可得

d（S+I+C+R）dt=

A－aS－aI－（a+μ）C－aR，

即dNdt≤A－aN，其中N=S+I+C+R.

若Ngt;Aa，則limt→+

dNdtlt;0，從而有

N（t）lt;

maxAa，S（0）+I（0）+C（0）+R（0）;

若N≤Aa，則limt→+

dNdt≥0，從而有l(wèi)imt→+

dNdt=Aa，故N（t）≤Aa.

綜上所述，本文的正向不變集為

（S（t），I（t），C（t），R（t））∈R4+：

S+I+C+R≤

maxAa，S（0）+I（0）+C（0）+R（0）.

若假設(shè)1成立，則式（3）變?yōu)?/p>

dSdt=A－βSI－βSC－aS，

dIdt=βSI+βSC－（a+γ）I－co［φ（I）］I，

dCdt=pγI－（a+μ）C，

dRdt=（1－p）γI－aR+co［φ（I）］I.（5）

為得到式（5）的平衡點(diǎn)，需求解下面的微分包含系統(tǒng)：

0=A－βSI－βSC－aS，0∈βSI+βSC－（a+γ）I－co［φ（I）］I，0=pγI－（a+μ）C，0∈（1－p）γI－aR+co［φ（I）］I，（6）

其中co［φ（I）］=［φ（I－），φ（I+）］.

顯然，無病平衡點(diǎn)E0=Aa，0，0，0總是存在的.對于有病平衡點(diǎn)，可先設(shè)（S*，I*，C*，R*）是式（5）的有病平衡點(diǎn)，則有

0=A－βS*I*－βS*C*－aS*，0∈βS*I*+βS*C*－

（a+γ）I*－co［φ（I*）］I*，0=pγI*－（a+μ）C*，0∈（1－p）γI*－aR*+co［φ（I*）］I*.（7）

顯然，若（S*，I*，C*，R*）是式（5）的平衡點(diǎn)，則ξ*∈co［φ（I*）］I*，使得ξ*=βS*I*+βS*C*－（a+γ）I*∈co［φ（I*）］I*，其中ξ*是唯一的.即存在η*=ξ*/I*∈co［φ（I*）］，使得式（7）成立.

聯(lián)立式（6）中的微分方程，可得

Aβ（a+μ）+Aββ（a+μ+pγ）I+a（a+μ）－

（a+γ）∈co［φ（I）］.（8）

令

g（I）=

Aβ（a+μ）+Aββ（a+μ+pγ）I+a（a+μ）－（a+γ），（9）

很顯然，g（I）是關(guān)于I的單調(diào)遞減函數(shù).

引理1" 若R0gt;1，則微分包含式（8）存在唯一的正解I∧，且滿足

I∧≤

Aβ+Aβ（a+μ）－a（a+μ）（a+γ）β（a+γ）（a+μ+pγ）.

證明" 首先，證明解的存在性.由于R0gt;1，0lt;p，γlt;1，則

Aβ1－pγ+（R0－1）a（a+μ）（a+γ）β（a+γ）（a+μ+pγ）gt;0，

且g（0）gt;φ（0）gt;0.

由于g（I）是單調(diào)遞減函數(shù)，故g（I）≤0的充分必要條件是

I≥

Aβ+Aβ（a+μ）－a（a+μ）（a+γ）β（a+γ）（a+μ+pγ），

因而{I：g（I）≥φ（I+），Igt;0}是有界集.令I(lǐng)∧=sup{I：g（I）≥φ（I+），Igt;0}，則有g(shù)（I∧）=g（I∧－）≥φ（I∧－），且

0lt;I∧≤

Aβ+Aβ（a+μ）－a（a+μ）（a+γ）β（a+γ）（a+μ+pγ）.

下面證明g（I∧）∈［φ（I∧－），φ（I∧－）］.采用反證法，假定g（I∧）gt;φ（I∧+）=limI→I∧+φ（I），由假設(shè)1可知，τgt;0，使得g（I∧+τ）≥φ（I∧+τ）=φ［（I∧+τ）+］，這與I∧的定義矛盾，故g（I∧）∈［φ（I∧－），φ（I∧－）］，即I∧是微分包含式（8）的正解，存在性得證.

接下來證明解的唯一性.假設(shè)I1*，I2*是微分包含式（8）的兩個(gè)正解，且I1*≠I2*，由式（7）可知，存在η1∈co［φ（I1）］和η2∈co［φ（I2*）］，使得

η1*=

Aβ（a+μ）+Aββ（a+μ+pγ）I*1+a（a+μ）－（a+γ），

η2*=

Aβ（a+μ）+Aββ（a+μ+pγ）I*2+a（a+μ）－（a+γ）.（10）

由假設(shè)1可知，φ是非單調(diào)遞減的函數(shù)，因此函數(shù)f=φ（I1）－φ（I2）I1－I2*=η1－η2I1－I2*≥0，將式（10）中的兩式相減可得

η1*－η2*=－β［Aβ（a+μ）+Aβ］

（a+μ+pγ）（I*1－I*2）/

［β（a+μ+pγ）I*1+a（a+μ）］·

［β（a+μ+pγ）I*2+a（a+μ）］.（11）

將式（11）兩邊同時(shí)除以I*1－I*2，可得

η1*－η2*I*1－I*2=

－β［Aβ（a+μ）+Aβ］（a+μ+pγ）/

［β（a+μ+pγ）I*1+a（a+μ）］·

［β（a+μ+pγ）I*2+a（a+μ）］.

左邊=f=η1*－η2*I*1－I*2≥0，

右邊=－β［Aβ（a+μ）+Aβ］（a+μ+pγ）/［β（a+μ+pγ）I*1+a（a+μ）］［β（a+μ+pγ）I*2+a（a+μ）］lt;0.

可以發(fā)現(xiàn)，左邊≠右邊，這與式（11）等式相等矛盾，故假設(shè)不成立，微分包含式（8）有唯一正解，引理得證.

3" 全局漸近穩(wěn)定

本節(jié)將證明模型式（1）各平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，證明之前先給出假設(shè)2.

假設(shè)2" 若R0gt;1，則φ（I）在I*處有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，其中I*是式（8）所確定的唯一正解，且η=βS*+βS*C*I*－（a+γ）∈（φ－（I），φ+（I））.

根據(jù)假設(shè)2可定義θ：=min{φ+（I）－η*，η*－φ－（I）}，則必有θgt;0.

定理1" 若假設(shè)1和假設(shè)2成立，則式（1）滿足初值S（0）≥0，I（0）≥0， C（0）≥0，R（0）≥0的所有解全局穩(wěn)定于有病平衡點(diǎn)E*=（S*，I*，C*，R*），且在有限時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)定，即當(dāng)

t≥t*=

4a（a+μ）2V1（x（0），y（0），z（0），w（0））4aε（a+μ）2－（a+μ）εβ+εβpγ2θ2

時(shí)，有（S（t），I（t），C（t），R（t））=（S*，I*，C*，R*），其中

V1（x（0），y（0），z（0），w（0））=

12［（S（0）－S*）+（I（0）－I*）+

（C（0）－C*）+（R（0）－R*）］2+

ε∫I（0）－I*0φ（I*+ρ）－η*I*+ρdρ.

證明" 令x（t）=S（t）－S*，y（t）=I（t）－I*，z（t）=C（t）－C*，w（t）=R（t）－R*.由式（4）可知，存在可測函數(shù)η（t）∈co［φ（I*+y）］，η*∈co［φ（I*）］，則式（5）變?yōu)?/p>

dxdt=－βx+S*y－βxI*－

βx+S*z－βxC*－ax，dydt=βx（y+I*）+βx（z+C*）－

（η（t）－η*）（y+I*），dzdt=pγy－（a+μ）z，dwdt=（1－p）γy－aw+

η（t）（y+I*）－η*I*.（12）

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V1（x（t），y（t），z（t），w（t））=

12［x（t）+y（t）+z（t）+w（t）］2+

ε∫y0φ（I*+ρ）－η*I*+ρdρ，

其中，ε是一個(gè)確定的正常數(shù)，后面將給出其取值范圍.顯然V1（x（t），y（t），z（t），w（t））是關(guān)于（x（t），y（t），z（t），w（t））的正則函數(shù).當(dāng)（x（t），y（t），z（t），w（t））≠0時(shí)，V1（x（t），y（t），z（t），w（t））gt;0，當(dāng)且僅當(dāng)V1（0，0，0，0）=0；當(dāng)x（t）→+

或y（t）→+

或z（t）→+

時(shí)或w（t）→+

時(shí)，V1（x（t），y（t），z（t），w（t））→+

.

對V1（x（t），y（t），z（t），w（t））求關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，可得

dV1dt=（x+y+z+w）（x′+y′+z′+w′）+

εη（t）－η*y+I*y′=（x+y+z+w）·

［－ax－ay－（a+μ）z－aw］+

εη（t）－η*y+I*［βx（y+I*）+βx（z+C*）－

（η（t）－η*）（y+I*）］≤

－ax2+εβ（η（t）－η*）x+

εβpγa+μ（η（t）－η*）x－ε（η（t）－η*）2=

－ax－（a+μ）εβ+εβpγ2a（a+μ）（η（t）－η*）2－

4aε（a+μ）2－（a+μ）εβ+εβpγ24a（a+μ）2＼5

（η（t）－η*）2，

令4aε（a+μ）2－（a+μ）εβ+εβpγ24a（a+μ）2gt;0，則0lt;εlt;4a（a+μ）2（a+μ）β+βpγ2，從而有dV1dt≤0.

由假設(shè)2可知，當(dāng)（x（t），y（t），z（t），w（t））≠0時(shí)，有（η（t）－η*）2gt;θ2，故對于任意的t∈{t：（x（t），y（t），z（t），w（t）））≠（0，0，0，0）}，有

dV1dt≤

－4aε（a+μ）2－（a+μ）εβ+εβpγ24a（a+μ）2θ2.（13）

對式（13）兩邊從0到t進(jìn)行積分，有

0≤V1（x（t），y（t），z（t），w（t））≤

V1（x（0），y（0），z（0），w（0））－

4aε（a+μ）2－（a+μ）εβ+εβpγ24a（a+μ）2θ2t，

這意味著V1（x，y，z，w）在t=t*時(shí)到達(dá)0，這里

t*=

4a（a+μ）2V1（x（0），y（0），z（0），w（0））4aε（a+μ）2－（a+μ）εβ+εβpγ2θ2.

由文獻(xiàn)［10］可知，當(dāng)

tgt;t*時(shí)，對任意的t都有（x（t），y（t），z（t），w（t））=0，故有（S－S*，I－I*，C－C*，R－R*）=（0，0，0，0），即當(dāng)tgt;t*時(shí)，有（S（t），I（t），C（t），R（t））=（S*，I*，C*，R*），定理1得證.

接下來證明式（5）無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.由于假設(shè)1不符合在零點(diǎn)右端不連續(xù)的假定，故提出假設(shè)3.

假設(shè)3" H（I）：（0，+

）→（0，+

）是單調(diào)遞增且至多存在有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)，I=0是函數(shù)H（I）的間斷點(diǎn)，且H（0）=0.

定理2" 若模型式（5）滿足假設(shè)3，當(dāng)R0lt;1時(shí)，它的解都將在有限時(shí)間內(nèi)全局漸近穩(wěn)定于無病平衡點(diǎn)E0=（S0，0，0，0），即當(dāng)tgt;t*時(shí)，（S（t），I（t），C（t），R（t））=Aa，0，0，0，且V2（x（0），I（0），C（0），C（0））=12（S（0）－S*）2+aI（0）.

證明" 令x（t）=S（t）－S0，則式（5）變?yōu)?/p>

dxdt=－βx+S0I－" βx+S0C－ax，

dIdt=βx+S0I+βx+S0C－

（a+γ）I－H（I），

dCdt=pγI－（a+μ）C，

dRdt=（1－p）γI－aR+H（I），（14）

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V2（x（t），I（t），C（t），R（t））=

12［x（t）+I（t）+C（t）+R（t）］2+aI（t）.

顯然，V2（x（t），I（t），C（t），R（t））是正則函數(shù).當(dāng)（x（t），I（t），C（t），R（t））≠0時(shí)，V2（x（t），I（t），C（t），R（t））gt;0，當(dāng)且僅當(dāng)V2（0，0，0，0）=0.

對V2（x（t），I（t），C（t），R（t））求導(dǎo)數(shù)，可得

dV2（x（t），I（t），C（t），R（t））dt=

（x+I+C+R）（x′+I′+C′+R′）+aI′≤

（x+I+C+R）（－ax－aI－aC－aR）+

aβx+AaI+βx+AaC－（a+γ）I－H（I）≤

－axI－axC+aβxI+aβxC+βAI+

βAC－a（a+γ）I－aH（I）=

－a（1－β）xI－a（1－β）xC+

βA（a+μ）+βApγ－a（a+γ）（a+μ）a+μI－

aH（I）≤－a（1－β）xI－a（1－β）xC－

（1－R0）aa+γI－aH（I）.

由于R0lt;1，0≤β≤1，則

dV2（x（t），I（t），C（t），R（t））dt≤－aη（t）.

由假設(shè)3可知η（t）≥H（0+），故有

dV2（x（t），I1（t），I2（t））dt≤－aH（0+），

對兩邊做從0到t的積分，可得

0≤V2（x（t），I（t），C（t），R（t））≤V2（x（0），I（0），C（0），R（0））－aH（0+）t.

當(dāng)

tgt;t*=V2（x（0），I（0），C（0），R（0））aH（0+）

時(shí)，由文獻(xiàn)［11］可知，有V2（x（t），I（t），C（t），R（t））=0.即當(dāng)tgt;t*時(shí)，

（x（t），I（t），C（t），R（t））=（0，0，0，0），故有（S－S0，I（t），C（t），R（t））=（0，0，0，0），即（S（t），I（t），C（t），R（t））=（S0，0，0，0），定理2得證.

4" MATLAB數(shù)值仿真

本節(jié)將運(yùn)用MATLAB軟件仿真模擬驗(yàn)證結(jié)論的正確性．

4.1" 地方病平衡點(diǎn)的數(shù)值仿真

根據(jù)假設(shè)1和定理1可知，當(dāng)R0gt;1時(shí)，模型式（5）的解都將在有限時(shí)間內(nèi)全局漸近穩(wěn)定于地方病平衡點(diǎn)E*.選取參數(shù)A=50，a=0.4，p=0.5，β=0.2， μ=0.4，γ=0.5，初值（S（0），I（0），C（0），R（0））=（20，10，20，10），不連續(xù)函數(shù)H（I）=2I，0lt;t≤30，3I，tgt;30，計(jì)算得到R0=36.5gt;1，仿真結(jié)果如圖1所示.

4.2" 無病平衡點(diǎn)的數(shù)值仿真

根據(jù)假設(shè)3和定理2可知，當(dāng)R0lt;1時(shí)，模型式（5）的解都將在有限時(shí)間內(nèi)全局漸近穩(wěn)定于地方病平衡點(diǎn)E0.考慮選取參數(shù)A=5，a=0.8，p=0.5，β=0.1， μ=0.2，γ=0.2，選取初值（S（0），I（0），C（0），R（0））=（20，20，20，10），選取不連續(xù)函數(shù)H（I）=tan（I20），0lt;t≤10，I，tgt;10，，計(jì)算得到R0=0.6875lt;1，仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2" E0的全局漸近穩(wěn)定

5" 結(jié)語

為了分析非連續(xù)治療策略對丙型肝炎傳染病模型的影響，通過引入右端不連續(xù)治療函數(shù)H（I），研究了模型各平衡點(diǎn)的存在唯一性.通過研究得到如下結(jié)論.

（1）當(dāng) R0 gt;1時(shí)，在有限時(shí)間內(nèi)，模型的所有Filippov解全局漸近穩(wěn)定于有病平衡點(diǎn)E*；當(dāng) R0lt;1時(shí)，在有限時(shí)間內(nèi)，模型的所有Filippov解全局漸近穩(wěn)定于無病平衡點(diǎn)E0.

（2）“有限時(shí)間內(nèi)被治愈”具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，因?yàn)榛颊呖偸窍胫雷约旱募膊∧芊癖恢斡?、何時(shí)被治愈.利用MATLAB軟件對此不連續(xù)模型進(jìn)行了數(shù)值仿真，驗(yàn)證了定理1和定理2的正確性.

（3）基于上述研究，還可將非連續(xù)免疫策略應(yīng)用到更多領(lǐng)域中，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和捕食系統(tǒng)［11-12］，以期獲得更符合現(xiàn)實(shí)規(guī)律的結(jié)論.

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［責(zé)任編輯：趙慧霞］