【摘 要】對(duì)比普通支護(hù),讓壓支護(hù)在高地應(yīng)力大變形隧道中的應(yīng)用有著明顯的優(yōu)勢(shì),其不僅能最大限度利用圍巖的自承能力,而且能減小支護(hù)結(jié)構(gòu)的受力,保證地下結(jié)構(gòu)的安全性?;诘叵聢A形結(jié)構(gòu)彈塑性理論,假設(shè)圍巖及襯砌符合理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系,并符合庫(kù)侖屈服條件,對(duì)隧道中的讓壓支護(hù)進(jìn)行了理論分析,并通過算例對(duì)其試算。
【關(guān)鍵詞】隧道支護(hù);讓壓支護(hù);巖石力學(xué)
【中圖分類號(hào)】TU94+2【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A
0 引言
讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)同時(shí)要求支護(hù)結(jié)構(gòu)能夠保證提供較大的支護(hù)力和能夠適應(yīng)圍巖發(fā)生較大的變形,最大化地利用圍巖自承能力,同時(shí)減小支護(hù)結(jié)構(gòu)的受力,最終達(dá)到保證隧道穩(wěn)定的目的。
由于其顯著的優(yōu)越性,讓壓支護(hù)在高地應(yīng)力擠壓大變形隧道中得到了廣泛應(yīng)用與諸多研究[1-5]。讓壓支護(hù)的設(shè)計(jì)基本原理為:圍巖的形變壓力會(huì)隨著其變形釋放而逐漸較小[6],根據(jù)其設(shè)計(jì)原理,讓壓支護(hù)被分為兩類,一是徑向讓壓變形支護(hù),二是環(huán)向讓壓變形支護(hù)。徑向讓壓變形支護(hù)主要是通過在圍巖與襯砌之間安裝可壓縮層,利用可壓縮層的變形實(shí)現(xiàn)讓[7]。環(huán)向讓壓變形支護(hù)是在噴射混凝土間插入高壓縮性元件或者采用滑動(dòng)剛拱架,通過高壓縮性元件的壓縮變形或者拱架接頭的滑動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)襯砌的環(huán)向收縮。本文采用環(huán)向讓壓變形支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析。
1 圓形隧道開挖及支護(hù)位移計(jì)算
取深埋圓形隧道進(jìn)行分析,假設(shè)圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)都滿足理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系,因隧道的幾何特性可以將其簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱的平面應(yīng)變問題。根據(jù)侯學(xué)淵對(duì)圓形隧道開挖及支護(hù)過程的力學(xué)分析[8],隧道開挖形成塑性區(qū)后,設(shè)塑性區(qū)半徑為Rp,位于塑性半徑內(nèi)(a≤r≤Rp)的圍巖進(jìn)入塑性區(qū),而塑性半徑外(rgt;Rp)的圍巖仍為彈性狀態(tài),根據(jù)連續(xù)性要求,彈塑性區(qū)交界處(即A界面)同時(shí)滿足彈性狀態(tài)和屈服條件?;谠摾碚搶?duì)隧道開挖及支護(hù)過程中的位移進(jìn)行分析。開挖后隧道斷面示意如圖1所示,圖中,p0為圍巖的初始地應(yīng)力。
1.1 基本方程、邊界條件及屈服條件
(1)平衡微分方程見式(1)。
dσrdr+σr-σθr=0(1)
式中:σr為徑向應(yīng)力;σθ為環(huán)向應(yīng)力。
(2)幾何方程。
由于軸對(duì)稱條件下圍巖或襯砌只有徑向位移,沒有環(huán)向位移,因此圍巖及襯砌的幾何方程為式(2)。
εr=dudr
εθ=ur(2)
式中:εr為徑向應(yīng)變;σθ為環(huán)向應(yīng)變,u為徑向位移。
(3)彈性本構(gòu)方程。
由平面應(yīng)變條件下的廣義胡克定律可得式(3)。
εθ=1-μ2E(σθ-μ1-μσr)(3)
式中:E為彈性模量;μ為泊松比。
(4)邊界條件。
隧道開挖及支護(hù)過程中,開挖時(shí)隧道內(nèi)壁徑向應(yīng)力為0,而支護(hù)時(shí),隧道內(nèi)壁上的徑向應(yīng)力為均布的支護(hù)應(yīng)力pi。離隧道洞壁無(wú)窮遠(yuǎn)處土體保持初始狀態(tài),即徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力均為初始地應(yīng)力p0,有式(4)。
σr(r=a)=-pi
σr(r→SymboleB@)=-p0(4)
式中:a為隧道的半徑;pi為隧道內(nèi)壁受到的壓應(yīng)力,即支護(hù)應(yīng)力;p0為隧道圍巖的初始地應(yīng)力。
(5)屈服條件。
設(shè)圍巖及支護(hù)結(jié)構(gòu)的屈服符合庫(kù)倫屈服條件,有式(5)[9]。
12(σ1-σ3)≤c·cosφ-σ1+σ32sinφ(5)
式中:σ1為第一主應(yīng)力;σ3為第三主應(yīng)力;c為材料的內(nèi)聚力;φ為材料的內(nèi)摩擦角。
對(duì)于深埋隧道,一般有pilt;p0,可知0gt;σrgt;σθ,故σr為σ1,σθ為σ3,則庫(kù)侖屈服條件可寫成式(6)或式(7)。
σθ≥2ccosφ-σr(1+sinφ)sinφ-1(6)
或
σθ≥σrtan2θ-σc(7)
式中:θ為材料得破裂角,2θ=π2+φ;σc為用內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角表示的材料抗壓強(qiáng)度,σc=2ccosφ1-sinφ=2c.tanθ。
對(duì)于理想彈塑性材料,屈服面在應(yīng)力空間的形狀及大小均保持不變,上式取等號(hào),即式(8)。
σθ=σrtan2θ-σc(8)
1.2 圍巖位移彈性階段分析
設(shè)應(yīng)力以拉為正壓為負(fù),結(jié)合基本方程可得彈性圓筒受均布?jí)毫r(shí)的應(yīng)力分布為式(9)[10]。
σr=-b22/r2-1b22/b21-1qa-1-b21/r21-b21/b22qb
σθ=b22/r2+1b22/b21-1qa-1+b21/r21-b21/b22qb(9)
式中: b1、b2分別為圓筒的內(nèi)外半徑;qa、qb分別為圓筒內(nèi)壁及外壁所受的壓應(yīng)力。
當(dāng)隧道圍巖處于彈性階段時(shí),可將隧道斷面視作外徑無(wú)窮遠(yuǎn)式(4)的圓筒,即b2→SymboleB@。則由式(9)及邊界條件式可得隧道圍巖應(yīng)力沿半徑r的分布情況式(10)。
σr=-a2r2pi-(1-a2r2)p0
σθ=a2r2pi-(1+a2r2)p0(10)
由幾何方程式(2)與彈性本構(gòu)關(guān)系式(3)可得彈性階段的徑向位移式(11)。
u=r1-μ2E(σθ-μ1-μσr)(11)
1.3 圍巖位移彈塑性分析
根據(jù)平衡微分方程式(1)與屈服條件式(8)可得圍巖位于塑性區(qū)(a≤r≤Rp)內(nèi)的應(yīng)力分布情況見式(12)。
σr=c·cotφ+Artan2θ-1
σθ=c·cotφ+Artan2θ-1tan2θ-σc(12)
式中:A為待定常數(shù),可根據(jù)邊界條件求得。將邊界條件式(4)代入上式可得式(13)。
工程結(jié)構(gòu)蔡曉枘, 喻勇: 基于地下圓形結(jié)構(gòu)彈塑性理論的讓壓支護(hù)研究
A=-pi-ccotφatan2θ-1(13)
將式(13)代入式(12),可得圍巖塑性區(qū)徑向應(yīng)力為式(14)。
σr=ccotφ-(pi+ccotφ)(ra)tan2θ-1(14)
根據(jù)式(10)可得圍巖位于彈性區(qū)(rgt;Rp)的應(yīng)力分布情況見式(15)。
σr=-R2pr2σp-(1-R2pr2)p0
σθ=R2pr2σp-(1+R2pr2)p0(15)
式中:σp為彈塑性邊界(r=Rp)上的徑向應(yīng)力。上式中Rp、σp均為未知量,結(jié)合屈服條件式(8)可以解出見式(16)。
σp=2p0-σc1+tan2θ=p0(1-sinφ)-c·cosφ(16)
將式(13)代入式(16),結(jié)合式(11)并扣除初始應(yīng)力場(chǎng)引起的位移,可得彈塑性邊界處的位移為式(17)。
up=-1+μE(p0-σp)Rp(17)
式中:up為彈塑性區(qū)邊界處的徑向位移。
為求塑性區(qū)半徑Rp,可利用在彈塑性邊界應(yīng)力同時(shí)滿足彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)對(duì)其進(jìn)行求解,由式(14)、式(15)及式(16)可得式(18)。
c·cotφ-(pi+c·cotφ)(Rpa)tan2θ-1
=-σp=2p0-σc1+tan2θ(18)
解得式(19)。
Rp=ac·cotφ-σc-2p01+tan2θpi+c·cotφ1tan2θ-1(19)
根據(jù)塑性力學(xué)理論,設(shè)圍巖及襯砌在塑性狀態(tài)下體積不可壓縮,有式(20)[11]。
εθ+εr+εz=0(20)
式中:εz為軸向應(yīng)變,平面應(yīng)變條件下,εz=0。因此由幾何方程式(2)可得式(21)。
dudr+ur=0(21)
解出得出(22)。
u=Br(22)
式中:B為待定常數(shù),可由彈塑性區(qū)邊界面的位移連續(xù)條件求出。由上式可知a·ur=Rpup,因此可得式(23)。
ur=-1+μE(p0sinφ+c·cosφ)a·c·cotφ-σc-2q1+tan2θpi+c·cotφ2tan2θ-1 (23)
式中:ur為隧道洞壁處位移。上式中,令pi=0即可得未支護(hù)時(shí)的隧道洞壁位移。
2 延時(shí)支護(hù)及讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)
2.1 延時(shí)支護(hù)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算
延時(shí)支護(hù)是指在隧道開挖之后等待圍巖發(fā)生一定程度的變形后再進(jìn)行襯砌支護(hù)。厚壁圓筒的受力特點(diǎn)是,剪應(yīng)力隨半徑增大而減小,因此襯砌內(nèi)壁上的剪應(yīng)力是襯砌中最大的,加載時(shí)內(nèi)壁最先進(jìn)入塑性狀態(tài)。為安全起見,應(yīng)盡量使襯砌內(nèi)壁不出現(xiàn)塑性,根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律襯砌整體都應(yīng)處于彈性狀態(tài),其極限狀態(tài)是內(nèi)壁處于彈性極限。計(jì)算表明,若在圍巖發(fā)生塑性位移之前施加襯砌支護(hù),則難以使襯砌處在彈性狀態(tài),因?yàn)橛蓮椝苄岳碚搶?dǎo)出的方程沒有合理解。
為了確保襯砌處于彈性狀態(tài),可使襯砌外徑小于隧道內(nèi)徑,即在設(shè)計(jì)上使襯砌與變形前的圍巖之間存在一定量的縫隙。事實(shí)上,隧道開挖后洞壁立即開始了變形過程,因此襯砌的外半徑不可能與圍巖洞壁的初始半徑相同。另一方面,通過調(diào)節(jié)縫隙寬度,可以使襯砌處在彈性狀態(tài)。
隧道斷面如圖2所示,圖中界面A為圍巖塑性區(qū)邊界,界面B為隧道洞壁面,界面C為襯砌外邊界,界面B與界面C中間存在縫隙(隨著圍巖位移的發(fā)展,縫隙逐漸消失),界面D為襯砌內(nèi)邊界,設(shè)襯砌內(nèi)徑為a0,外徑為a1且外徑上的徑向應(yīng)力為p1,由連續(xù)性條件可知,縫隙消失后界面C與界面B處的徑向應(yīng)力相等,即p1=pi。
圖2 延時(shí)支護(hù)時(shí)隧道斷面示意設(shè)D界面處于彈性極限,由厚壁圓筒彈性解答,令內(nèi)壓為0,結(jié)合式(8)為式(24)。
21-a20/a21p1=σc1(24)
式中:σc1=2c1cosφ11-sinφ1,σc1、φ1分別為襯砌的內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角。
由式(11)結(jié)合式(9)得C界面位移為式(25)。
u1=a11-μ21E1(-1+a20/a211-a20/a21p1+μ11-μ1p1)(25)
式中:u1為襯砌外邊界(界面C)的位移;E1為襯砌的彈性模量;μ1為襯砌的泊松比。因u1、ur均為負(fù),則變形協(xié)調(diào)關(guān)系為式(26)。
ur=u1-(a-a1)(26)
由式(24)~式(26)解出襯砌的內(nèi)外半徑a0、a1為式(27)。
a0=ka1
a1=ur+am+1(27)
式中:m=1-μ21E(-1+k1-k+μ11-μ1)p1;k=a20a21=1-2p1σc1。
由式(11)也可得襯砌內(nèi)壁的彈性位移為式(28)。
u0=-a01-υ21E121-kq1(28)
式中:u0為襯砌內(nèi)邊界(界面D)上的位移。
2.2 讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算
讓壓支護(hù)具有及時(shí)支護(hù)和分步支護(hù)的特點(diǎn)。其過程為:開挖后及時(shí)支護(hù),待圍巖壓力增大時(shí),縮小襯砌的尺寸,使圍巖的塑性變形得到一定程度的發(fā)展,同時(shí)降低襯砌對(duì)圍巖的作用力。讓壓機(jī)構(gòu)呈條帶狀,沿徑向埋在襯砌中,通過調(diào)節(jié)條帶的寬度,可以改變襯砌的圓周半徑。讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)示意如圖3所示。
讓壓支護(hù)與3.1節(jié)中延時(shí)支護(hù)過程中留縫隙的方法在本質(zhì)上是相同的,因此讓壓后的襯砌半徑可按式(27)計(jì)算。讓壓機(jī)構(gòu)上的傳感器還可以測(cè)量出襯砌的環(huán)向應(yīng)力σθ,為使襯砌的受力狀態(tài)與圓筒受力的彈性解相符,讓壓機(jī)構(gòu)的受力應(yīng)參照?qǐng)A筒受外壓的彈性力學(xué)解,即下列式(29)中的第2式。
σr=-1-a20/r21-a20/a21p1
σθ=-1+a20/r21-a20/a21p1(29)
可以看出,靠近襯砌內(nèi)壁的應(yīng)力大,靠近外壁的應(yīng)力小。在測(cè)量環(huán)向應(yīng)力的同時(shí),也可以使讓壓機(jī)構(gòu)主動(dòng)加力,改變襯砌對(duì)圍巖的作用力。設(shè)單位隧道長(zhǎng)度上讓壓機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的環(huán)向力為F,則為式(30)。
F=∫a1a0σθdr=∫a1a0-1+a20/r21-a20/a21p1dr=-p1a1(30)
上式中,負(fù)號(hào)表示F為壓力。上式給出了讓壓機(jī)構(gòu)出力與襯砌應(yīng)力之間的關(guān)系。
3 算例分析
將以上公式編成計(jì)算機(jī)程序可求解具體問題。對(duì)于包含兩個(gè)未知數(shù)的非線性方程組,無(wú)論未知量的表達(dá)式是顯式的還是隱式的,都可以直接用牛頓迭代法程序求解。
設(shè)有一深埋圓形隧道,隧道半徑為6 m,初始地應(yīng)力為20 MPa,圍巖及襯砌的材料參數(shù)如表1所示。
由式(18)及式(22)可算出不支護(hù)條件下塑性區(qū)半徑為16.67 m,洞壁位移為0.673 m。顯然這樣的位移量是不安全的。若要將洞壁位移控制在0.15 m,可算出襯砌對(duì)圍巖的作用應(yīng)力需要達(dá)到4.83 MPa,這時(shí)塑性區(qū)半徑為7.87 m。
若采用延時(shí)支護(hù)將圍巖的位移控制在0.15 m(即襯砌對(duì)圍巖的作用力為4.83 MPa),并使襯砌內(nèi)壁達(dá)到彈性極限,可由式(26)算出襯砌的內(nèi)外半徑分別為4.820 m和5.854 m。即襯砌與圍巖變形前的縫隙為0.146 m,襯砌厚度為1.034 m。
若采用讓壓支護(hù)控制圍巖位移,第一步應(yīng)使襯砌與圍巖緊密貼合,襯砌厚度應(yīng)為1.034 m。第二步,當(dāng)襯砌所受壓力增大時(shí),逐漸縮小襯砌半徑,其外半徑的最終值為5.854 m,此時(shí)內(nèi)壁達(dá)到彈性極限。
4 結(jié)束語(yǔ)
基于地下圓形結(jié)構(gòu)彈塑性理論,對(duì)隧道的延時(shí)支護(hù)及讓壓支護(hù)進(jìn)行了理論研究,得到了庫(kù)倫屈服條件下的支護(hù)結(jié)構(gòu)的厚度計(jì)算表達(dá)式,并且通過算例進(jìn)行了試算,結(jié)果合理。
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[基金項(xiàng)目]長(zhǎng)江科學(xué)院水利部巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金資助項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào):CKWV20221016/KY)
[作者簡(jiǎn)介]蔡曉枘(1997—),女,碩士,研究方向?yàn)閹r石力學(xué);喻勇(1969—),男,博士,教授,研究方向?yàn)閹r石力學(xué)。