【摘 要】對(duì)比普通支護(hù)，讓壓支護(hù)在高地應(yīng)力大變形隧道中的應(yīng)用有著明顯的優(yōu)勢(shì)，其不僅能最大限度利用圍巖的自承能力，而且能減小支護(hù)結(jié)構(gòu)的受力，保證地下結(jié)構(gòu)的安全性?；诘叵聢A形結(jié)構(gòu)彈塑性理論，假設(shè)圍巖及襯砌符合理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系，并符合庫(kù)侖屈服條件，對(duì)隧道中的讓壓支護(hù)進(jìn)行了理論分析，并通過算例對(duì)其試算。

【關(guān)鍵詞】隧道支護(hù)；讓壓支護(hù)；巖石力學(xué)

【中圖分類號(hào)】TU94+2【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A

0 引言

讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)同時(shí)要求支護(hù)結(jié)構(gòu)能夠保證提供較大的支護(hù)力和能夠適應(yīng)圍巖發(fā)生較大的變形，最大化地利用圍巖自承能力，同時(shí)減小支護(hù)結(jié)構(gòu)的受力，最終達(dá)到保證隧道穩(wěn)定的目的。

由于其顯著的優(yōu)越性，讓壓支護(hù)在高地應(yīng)力擠壓大變形隧道中得到了廣泛應(yīng)用與諸多研究［1-5］。讓壓支護(hù)的設(shè)計(jì)基本原理為：圍巖的形變壓力會(huì)隨著其變形釋放而逐漸較小［6］，根據(jù)其設(shè)計(jì)原理，讓壓支護(hù)被分為兩類，一是徑向讓壓變形支護(hù)，二是環(huán)向讓壓變形支護(hù)。徑向讓壓變形支護(hù)主要是通過在圍巖與襯砌之間安裝可壓縮層，利用可壓縮層的變形實(shí)現(xiàn)讓［7］。環(huán)向讓壓變形支護(hù)是在噴射混凝土間插入高壓縮性元件或者采用滑動(dòng)剛拱架，通過高壓縮性元件的壓縮變形或者拱架接頭的滑動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)襯砌的環(huán)向收縮。本文采用環(huán)向讓壓變形支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析。

1 圓形隧道開挖及支護(hù)位移計(jì)算

取深埋圓形隧道進(jìn)行分析，假設(shè)圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)都滿足理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系，因隧道的幾何特性可以將其簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱的平面應(yīng)變問題。根據(jù)侯學(xué)淵對(duì)圓形隧道開挖及支護(hù)過程的力學(xué)分析［8］，隧道開挖形成塑性區(qū)后，設(shè)塑性區(qū)半徑為Rp，位于塑性半徑內(nèi)（a≤r≤Rp）的圍巖進(jìn)入塑性區(qū)，而塑性半徑外（rgt;Rp）的圍巖仍為彈性狀態(tài)，根據(jù)連續(xù)性要求，彈塑性區(qū)交界處（即A界面）同時(shí)滿足彈性狀態(tài)和屈服條件?；谠摾碚搶?duì)隧道開挖及支護(hù)過程中的位移進(jìn)行分析。開挖后隧道斷面示意如圖1所示，圖中，p0為圍巖的初始地應(yīng)力。

1.1 基本方程、邊界條件及屈服條件

（1）平衡微分方程見式（1）。

dσrdr+σr-σθr=0（1）

式中：σr為徑向應(yīng)力；σθ為環(huán)向應(yīng)力。

（2）幾何方程。

由于軸對(duì)稱條件下圍巖或襯砌只有徑向位移，沒有環(huán)向位移，因此圍巖及襯砌的幾何方程為式（2）。

εr=dudr

εθ=ur（2）

式中：εr為徑向應(yīng)變；σθ為環(huán)向應(yīng)變，u為徑向位移。

（3）彈性本構(gòu)方程。

由平面應(yīng)變條件下的廣義胡克定律可得式（3）。

εθ=1-μ2E（σθ－μ1－μσr）（3）

式中：E為彈性模量；μ為泊松比。

（4）邊界條件。

隧道開挖及支護(hù)過程中，開挖時(shí)隧道內(nèi)壁徑向應(yīng)力為0，而支護(hù)時(shí)，隧道內(nèi)壁上的徑向應(yīng)力為均布的支護(hù)應(yīng)力pi。離隧道洞壁無(wú)窮遠(yuǎn)處土體保持初始狀態(tài)，即徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力均為初始地應(yīng)力p0，有式（4）。

σr（r=a）=-pi

σr（r→SymboleB@）=-p0（4）

式中：a為隧道的半徑；pi為隧道內(nèi)壁受到的壓應(yīng)力，即支護(hù)應(yīng)力；p0為隧道圍巖的初始地應(yīng)力。

（5）屈服條件。

設(shè)圍巖及支護(hù)結(jié)構(gòu)的屈服符合庫(kù)倫屈服條件，有式（5）［9］。

12（σ1-σ3）≤c·cosφ-σ1+σ32sinφ（5）

式中：σ1為第一主應(yīng)力；σ3為第三主應(yīng)力；c為材料的內(nèi)聚力；φ為材料的內(nèi)摩擦角。

對(duì)于深埋隧道，一般有pilt;p0，可知0gt;σrgt;σθ，故σr為σ1，σθ為σ3，則庫(kù)侖屈服條件可寫成式（6）或式（7）。

σθ≥2ccosφ-σr（1+sinφ）sinφ-1（6）

或

σθ≥σrtan2θ-σc（7）

式中：θ為材料得破裂角，2θ=π2+φ；σc為用內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角表示的材料抗壓強(qiáng)度，σc=2ccosφ1-sinφ=2c.tanθ。

對(duì)于理想彈塑性材料，屈服面在應(yīng)力空間的形狀及大小均保持不變，上式取等號(hào)，即式（8）。

σθ=σrtan2θ-σc（8）

1.2 圍巖位移彈性階段分析

設(shè)應(yīng)力以拉為正壓為負(fù)，結(jié)合基本方程可得彈性圓筒受均布?jí)毫r(shí)的應(yīng)力分布為式（9）［10］。

σr=-b22/r2-1b22/b21-1qa-1-b21/r21-b21/b22qb

σθ=b22/r2+1b22/b21-1qa-1+b21/r21-b21/b22qb（9）

式中： b1、b2分別為圓筒的內(nèi)外半徑；qa、qb分別為圓筒內(nèi)壁及外壁所受的壓應(yīng)力。

當(dāng)隧道圍巖處于彈性階段時(shí)，可將隧道斷面視作外徑無(wú)窮遠(yuǎn)式（4）的圓筒，即b2→SymboleB@。則由式（9）及邊界條件式可得隧道圍巖應(yīng)力沿半徑r的分布情況式（10）。

σr=－a2r2pi－（1－a2r2）p0

σθ=a2r2pi－（1+a2r2）p0（10）

由幾何方程式（2）與彈性本構(gòu)關(guān)系式（3）可得彈性階段的徑向位移式（11）。

u=r1－μ2E（σθ－μ1－μσr）（11）

1.3 圍巖位移彈塑性分析

根據(jù)平衡微分方程式（1）與屈服條件式（8）可得圍巖位于塑性區(qū)（a≤r≤Rp）內(nèi)的應(yīng)力分布情況見式（12）。

σr=c·cotφ+Artan2θ-1

σθ=c·cotφ+Artan2θ-1tan2θ-σc（12）

式中：A為待定常數(shù)，可根據(jù)邊界條件求得。將邊界條件式（4）代入上式可得式（13）。

工程結(jié)構(gòu)蔡曉枘， 喻勇： 基于地下圓形結(jié)構(gòu)彈塑性理論的讓壓支護(hù)研究

A=-pi-ccotφatan2θ-1（13）

將式（13）代入式（12），可得圍巖塑性區(qū)徑向應(yīng)力為式（14）。

σr=ccotφ-（pi+ccotφ）（ra）tan2θ-1（14）

根據(jù)式（10）可得圍巖位于彈性區(qū)（rgt;Rp）的應(yīng)力分布情況見式（15）。

σr=-R2pr2σp－（1－R2pr2）p0

σθ=R2pr2σp－（1+R2pr2）p0（15）

式中：σp為彈塑性邊界（r=Rp）上的徑向應(yīng)力。上式中Rp、σp均為未知量，結(jié)合屈服條件式（8）可以解出見式（16）。

σp=2p0-σc1+tan2θ=p0（1-sinφ）-c·cosφ（16）

將式（13）代入式（16），結(jié)合式（11）并扣除初始應(yīng)力場(chǎng)引起的位移，可得彈塑性邊界處的位移為式（17）。

up=-1+μE（p0-σp）Rp（17）

式中：up為彈塑性區(qū)邊界處的徑向位移。

為求塑性區(qū)半徑Rp，可利用在彈塑性邊界應(yīng)力同時(shí)滿足彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)對(duì)其進(jìn)行求解，由式（14）、式（15）及式（16）可得式（18）。

c·cotφ-（pi+c·cotφ）（Rpa）tan2θ-1

=-σp=2p0-σc1+tan2θ（18）

解得式（19）。

Rp=ac·cotφ-σc-2p01+tan2θpi+c·cotφ1tan2θ-1（19）

根據(jù)塑性力學(xué)理論，設(shè)圍巖及襯砌在塑性狀態(tài)下體積不可壓縮，有式（20）［11］。

εθ+εr+εz=0（20）

式中：εz為軸向應(yīng)變，平面應(yīng)變條件下，εz=0。因此由幾何方程式（2）可得式（21）。

dudr+ur=0（21）

解出得出（22）。

u=Br（22）

式中：B為待定常數(shù)，可由彈塑性區(qū)邊界面的位移連續(xù)條件求出。由上式可知a·ur=Rpup，因此可得式（23）。

ur=-1+μE（p0sinφ+c·cosφ）a·c·cotφ-σc－2q1+tan2θpi+c·cotφ2tan2θ-1 （23）

式中：ur為隧道洞壁處位移。上式中，令pi=0即可得未支護(hù)時(shí)的隧道洞壁位移。

2 延時(shí)支護(hù)及讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 延時(shí)支護(hù)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

延時(shí)支護(hù)是指在隧道開挖之后等待圍巖發(fā)生一定程度的變形后再進(jìn)行襯砌支護(hù)。厚壁圓筒的受力特點(diǎn)是，剪應(yīng)力隨半徑增大而減小，因此襯砌內(nèi)壁上的剪應(yīng)力是襯砌中最大的，加載時(shí)內(nèi)壁最先進(jìn)入塑性狀態(tài)。為安全起見，應(yīng)盡量使襯砌內(nèi)壁不出現(xiàn)塑性，根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律襯砌整體都應(yīng)處于彈性狀態(tài)，其極限狀態(tài)是內(nèi)壁處于彈性極限。計(jì)算表明，若在圍巖發(fā)生塑性位移之前施加襯砌支護(hù)，則難以使襯砌處在彈性狀態(tài)，因?yàn)橛蓮椝苄岳碚搶?dǎo)出的方程沒有合理解。

為了確保襯砌處于彈性狀態(tài)，可使襯砌外徑小于隧道內(nèi)徑，即在設(shè)計(jì)上使襯砌與變形前的圍巖之間存在一定量的縫隙。事實(shí)上，隧道開挖后洞壁立即開始了變形過程，因此襯砌的外半徑不可能與圍巖洞壁的初始半徑相同。另一方面，通過調(diào)節(jié)縫隙寬度，可以使襯砌處在彈性狀態(tài)。

隧道斷面如圖2所示，圖中界面A為圍巖塑性區(qū)邊界，界面B為隧道洞壁面，界面C為襯砌外邊界，界面B與界面C中間存在縫隙（隨著圍巖位移的發(fā)展，縫隙逐漸消失），界面D為襯砌內(nèi)邊界，設(shè)襯砌內(nèi)徑為a0，外徑為a1且外徑上的徑向應(yīng)力為p1，由連續(xù)性條件可知，縫隙消失后界面C與界面B處的徑向應(yīng)力相等，即p1=pi。

圖2 延時(shí)支護(hù)時(shí)隧道斷面示意設(shè)D界面處于彈性極限，由厚壁圓筒彈性解答，令內(nèi)壓為0，結(jié)合式（8）為式（24）。

21-a20/a21p1=σc1（24）

式中：σc1=2c1cosφ11-sinφ1，σc1、φ1分別為襯砌的內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角。

由式（11）結(jié)合式（9）得C界面位移為式（25）。

u1=a11-μ21E1（-1+a20/a211-a20/a21p1+μ11－μ1p1）（25）

式中：u1為襯砌外邊界（界面C）的位移；E1為襯砌的彈性模量；μ1為襯砌的泊松比。因u1、ur均為負(fù)，則變形協(xié)調(diào)關(guān)系為式（26）。

ur=u1-（a-a1）（26）

由式（24）～式（26）解出襯砌的內(nèi)外半徑a0、a1為式（27）。

a0=ka1

a1=ur+am+1（27）

式中：m=1-μ21E（-1+k1-k+μ11-μ1）p1；k=a20a21=1-2p1σc1。

由式（11）也可得襯砌內(nèi)壁的彈性位移為式（28）。

u0=-a01-υ21E121-kq1（28）

式中：u0為襯砌內(nèi)邊界（界面D）上的位移。

2.2 讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

讓壓支護(hù)具有及時(shí)支護(hù)和分步支護(hù)的特點(diǎn)。其過程為：開挖后及時(shí)支護(hù)，待圍巖壓力增大時(shí)，縮小襯砌的尺寸，使圍巖的塑性變形得到一定程度的發(fā)展，同時(shí)降低襯砌對(duì)圍巖的作用力。讓壓機(jī)構(gòu)呈條帶狀，沿徑向埋在襯砌中，通過調(diào)節(jié)條帶的寬度，可以改變襯砌的圓周半徑。讓壓支護(hù)結(jié)構(gòu)示意如圖3所示。

讓壓支護(hù)與3.1節(jié)中延時(shí)支護(hù)過程中留縫隙的方法在本質(zhì)上是相同的，因此讓壓后的襯砌半徑可按式（27）計(jì)算。讓壓機(jī)構(gòu)上的傳感器還可以測(cè)量出襯砌的環(huán)向應(yīng)力σθ，為使襯砌的受力狀態(tài)與圓筒受力的彈性解相符，讓壓機(jī)構(gòu)的受力應(yīng)參照?qǐng)A筒受外壓的彈性力學(xué)解，即下列式（29）中的第2式。

σr=-1-a20/r21-a20/a21p1

σθ=-1+a20/r21-a20/a21p1（29）

可以看出，靠近襯砌內(nèi)壁的應(yīng)力大，靠近外壁的應(yīng)力小。在測(cè)量環(huán)向應(yīng)力的同時(shí)，也可以使讓壓機(jī)構(gòu)主動(dòng)加力，改變襯砌對(duì)圍巖的作用力。設(shè)單位隧道長(zhǎng)度上讓壓機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的環(huán)向力為F，則為式（30）。

F=∫a1a0σθdr=∫a1a0-1+a20/r21-a20/a21p1dr=-p1a1（30）

上式中，負(fù)號(hào)表示F為壓力。上式給出了讓壓機(jī)構(gòu)出力與襯砌應(yīng)力之間的關(guān)系。

3 算例分析

將以上公式編成計(jì)算機(jī)程序可求解具體問題。對(duì)于包含兩個(gè)未知數(shù)的非線性方程組，無(wú)論未知量的表達(dá)式是顯式的還是隱式的，都可以直接用牛頓迭代法程序求解。

設(shè)有一深埋圓形隧道，隧道半徑為6 m，初始地應(yīng)力為20 MPa，圍巖及襯砌的材料參數(shù)如表1所示。

由式（18）及式（22）可算出不支護(hù)條件下塑性區(qū)半徑為16.67 m，洞壁位移為0.673 m。顯然這樣的位移量是不安全的。若要將洞壁位移控制在0.15 m，可算出襯砌對(duì)圍巖的作用應(yīng)力需要達(dá)到4.83 MPa，這時(shí)塑性區(qū)半徑為7.87 m。

若采用延時(shí)支護(hù)將圍巖的位移控制在0.15 m（即襯砌對(duì)圍巖的作用力為4.83 MPa），并使襯砌內(nèi)壁達(dá)到彈性極限，可由式（26）算出襯砌的內(nèi)外半徑分別為4.820 m和5.854 m。即襯砌與圍巖變形前的縫隙為0.146 m，襯砌厚度為1.034 m。

若采用讓壓支護(hù)控制圍巖位移，第一步應(yīng)使襯砌與圍巖緊密貼合，襯砌厚度應(yīng)為1.034 m。第二步，當(dāng)襯砌所受壓力增大時(shí)，逐漸縮小襯砌半徑，其外半徑的最終值為5.854 m，此時(shí)內(nèi)壁達(dá)到彈性極限。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于地下圓形結(jié)構(gòu)彈塑性理論，對(duì)隧道的延時(shí)支護(hù)及讓壓支護(hù)進(jìn)行了理論研究，得到了庫(kù)倫屈服條件下的支護(hù)結(jié)構(gòu)的厚度計(jì)算表達(dá)式，并且通過算例進(jìn)行了試算，結(jié)果合理。

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［基金項(xiàng)目］長(zhǎng)江科學(xué)院水利部巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：CKWV20221016/KY）

［作者簡(jiǎn)介］蔡曉枘（1997—），女，碩士，研究方向?yàn)閹r石力學(xué)；喻勇（1969—），男，博士，教授，研究方向?yàn)閹r石力學(xué)。