摘 要：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程有著獨(dú)特的教育價(jià)值——作為工具提供探究背景、解釋知識緣由、彰顯思想方法，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；作為目標(biāo)培育數(shù)學(xué)觀念、堅(jiān)定文化自信、涵育中華精神，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人。這兩個(gè)價(jià)值面向雖有區(qū)別卻相關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化；中國古代數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)課程；教育價(jià)值

2021年1月，教育部印發(fā)《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》，首次對中小學(xué)課程教材如何有效落實(shí)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育進(jìn)行頂層設(shè)計(jì)。2022年4月，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在“課程理念”中，首次將“繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”作為課程內(nèi)容選擇的原則之一。［1］為什么要將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程？換言之，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程有怎樣的教育價(jià)值？

一、 作為工具：促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化歷史悠久，富含中國特色，具有一定的世界影響，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源庫。其中許多知識、思想及其背景等都可以通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化融入數(shù)學(xué)課程，作為工具促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（一） 提供探究情境

新課標(biāo)在“教學(xué)建議”中，強(qiáng)調(diào)了情境設(shè)計(jì)和問題提出，特別指出要“注重真實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)”。［2］好的情境和問題可以促進(jìn)學(xué)生積極主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，在分析及解決問題的過程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化博大精深，許多促進(jìn)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展及應(yīng)用的情境都可以被直接或改編運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中。這樣的情境可以較好地反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性及重要性，而且具有本土特色。

宮、商、角、徵、羽是中國古代的基本音階，所謂“五音不全”中的“五音”就是指這五個(gè)音調(diào)。不同的音是如何產(chǎn)生的呢？古人發(fā)現(xiàn)：半徑固定、長度也固定的管子所發(fā)出的聲音是確定的；半徑相同時(shí)，管子越長，所發(fā)出的聲音越低，因此，確定音高的關(guān)鍵在管長。中國古代計(jì)算音高的主要方法是“三分損益法”。三分損益法就是：先選一個(gè)起始律管（確定音高的管子），其發(fā)出的音是基本音“宮”，將起始律管的長度分成三份，去其一份為“損”，即律管長度乘以23；增其一份為“益”，即律管長度乘以43。損和益交替進(jìn)行幾次，就可逐步得到其他律管長度，產(chǎn)生其他四個(gè)音階。［3］《史記·律書》記載：“九九八十一以為宮，三分去一五十四以為徵，三分益一七十二以為商，三分去一四十八以為羽，三分益一六十四以為角?！保?］《史記·律書》中選取的基本律管長度為81，以先損后益的方法推算得其他音階對應(yīng)的律管長度。這種推算律管長度的方法依賴于分?jǐn)?shù)的乘法及加減法，可以作為分?jǐn)?shù)乘法學(xué)習(xí)的探究情境。這樣的跨學(xué)科探究情境貼近生活現(xiàn)實(shí)，有利于調(diào)動學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力。在求解律管長度的探究過程中，學(xué)生可以充分體會分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的意義，增強(qiáng)理解現(xiàn)實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力。

（二） 解釋知識緣由

新課標(biāo)在“教學(xué)建議”中，強(qiáng)調(diào)了教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，特別指出要“了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義”。［5］邏輯與歷史是梳理及分析數(shù)學(xué)內(nèi)容的兩個(gè)重要維度。其中，歷史情境中知識的來龍去脈蘊(yùn)含著知識建構(gòu)的根源，體現(xiàn)著知識生成的意義，還昭示著某些知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，這些都有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入理解。中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長，如今數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多知識緣由都可以從中探尋，例如為什么要研究小數(shù)；而且，有些知識緣由只能從中尋找，例如為什么小數(shù)不小卻被稱為小數(shù)。

最早提出小數(shù)概念的是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽，他給《九章算術(shù)》“少廣”章中的“開方”作注時(shí)說：“微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退至彌下，其分彌細(xì)……”［6］這是劉徽在已知方田面積求邊長而開方開不盡時(shí)的處理方法，無名者指的是沒有單位名稱的數(shù)。中國古代數(shù)學(xué)家樂于以度量衡單位表示不滿整數(shù)的零頭數(shù)，劉徽在長度的記法中就用到了丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽八個(gè)從大到小的長度單位［7］。受十進(jìn)制計(jì)數(shù)法影響，其中相鄰的長度單位之間均為十進(jìn)關(guān)系。例如，8.66025寸被劉徽記為8寸6分6厘2秒5忽。小數(shù)數(shù)位少時(shí)，這樣處理可以，但小數(shù)位數(shù)多時(shí)，這樣處理就很不方便了。如此精細(xì)的單位并沒有多大的功利或?qū)嵱梅矫娴膬r(jià)值，所以這些單位更可能是出于計(jì)量理論或數(shù)學(xué)方面的考慮。［8］ 劉徽在“開方”注中打破了數(shù)的表示對計(jì)量單位的依賴，指出開不盡的數(shù)在沒有單位名稱可用時(shí)，可不借助度量衡單位標(biāo)志。由于人們已經(jīng)熟知和習(xí)用十進(jìn)長度單位制，所以劉徽以10的整數(shù)次冪為分母。小數(shù)誕生的緣由揭示了其與度量衡、十進(jìn)制計(jì)數(shù)法、十進(jìn)分?jǐn)?shù)、開方的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，也說明了測量情境之于小數(shù)的重要性。這里的“微數(shù)”即為“小數(shù)”的濫觴，表示不足一的微小的數(shù)，即我們現(xiàn)在說的純小數(shù)。后來，小數(shù)這一術(shù)語含義擴(kuò)展，舊瓶裝新酒，用來泛指含有小數(shù)部分的數(shù)，字面意思與概念內(nèi)涵也就不同了。

（三） 彰顯思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)習(xí)知識內(nèi)容，而且要學(xué)習(xí)思想方法，后者是數(shù)學(xué)的靈魂。在時(shí)間的長河里，從宏觀而非局部的角度審視數(shù)學(xué)，更容易識別那些具有重要意義的思想方法。我國古代的幾何學(xué)沒有像古希臘一樣建立比較嚴(yán)格的演繹推理體系，但也創(chuàng)造了具有東方特色的邏輯推理方法。

特色之一是，提出看似顯然的出入相補(bǔ)原理，并將其應(yīng)用于多種多樣的問題解決。著名數(shù)學(xué)家吳文俊用現(xiàn)代語言描述了出入相補(bǔ)原理：一個(gè)平面圖形從一處移置他處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那么各部分的面積和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。［9］出入相補(bǔ)原理的應(yīng)用之一是面積求解?！毒耪滤阈g(shù)》中首先給出基本圖形方田（長方形）的面積為“廣、從步數(shù)相乘”，即長乘以寬；然后給出“圭田”（三角形）的面積為“半廣以乘正從”，即半底乘高。對此，劉徽注曰：“半廣者，以盈補(bǔ)虛為直田也?！币簿褪?，通過出入相補(bǔ)原理，將三角形轉(zhuǎn)化為矩形，從而得到三角形的面積公式［10］，如圖1所示。對于邪田（直角梯形）、箕田（一般梯形），劉徽也通過出入相補(bǔ)原理求其面積。出入相補(bǔ)原理可將矩形、平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積求解聯(lián)系起來，不同圖形的面積求解最終歸于矩形的面積也體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化的思想。出入相補(bǔ)原理具有直觀性，可通過操作驗(yàn)證，適合小學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，嚴(yán)格論證合理性則需要用到初中三角形全等等知識。這樣的情境可以將小學(xué)與初中不同知識聯(lián)系起來，有利于學(xué)生體會操作與論證各自的魅力。

二、 作為目標(biāo)：實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人

除了作為工具，了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化本身就是一種教育目標(biāo)，包括了解我國數(shù)學(xué)演進(jìn)發(fā)展、主要成就，了解我國著名數(shù)學(xué)家等。這些目標(biāo)本質(zhì)上是學(xué)科育人的目標(biāo)，可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中潛移默化地達(dá)成，與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相得益彰。

（一） 培育數(shù)學(xué)觀念

除了掌握具體數(shù)學(xué)知識，解決具體情境中的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生還應(yīng)對作為一門學(xué)科的數(shù)學(xué)的本質(zhì)和作用有一定的洞察力，形成一些有關(guān)數(shù)學(xué)與自然、社會和文化之間關(guān)系的觀念。 ［11］

我國古代數(shù)學(xué)植根于中華傳統(tǒng)文化經(jīng)脈中，其發(fā)展有著不同于西方數(shù)學(xué)的一面，是培育學(xué)生全面數(shù)學(xué)觀不可或缺的素材。

例如，我國古代分?jǐn)?shù)理論的發(fā)達(dá)與律學(xué)有密切關(guān)聯(lián)：律學(xué)即研究音樂所用音律的科學(xué)，律學(xué)的核心問題是確定以管長為標(biāo)尺的基本音程；長期以來，律學(xué)家都采用三分損益法確定律管長度，而這是一種依賴于分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法［12］。此外，研究年月日和時(shí)令季節(jié)的古歷都依據(jù)分?jǐn)?shù)形式的基本數(shù)據(jù)制定，這也大大刺激了分?jǐn)?shù)理論的發(fā)展。除了數(shù)學(xué)與音樂、天文等學(xué)科的關(guān)聯(lián)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中也有很多素材展示了數(shù)學(xué)與生活乃至社會文化背景的密切關(guān)聯(lián)。例如，《九章算術(shù)》中許多平面圖形稱為“某某田”，反映了古代圖形面積的知識源于土地測量；《九章算術(shù)》中的大量度量衡單位換算問題，與秦漢時(shí)期度量衡統(tǒng)一的背景密切相關(guān)；而修馳道、治溝洫、建官倉、整頓邊防等在《九章算術(shù)》“商功”章也都有反映。數(shù)學(xué)還影響了人們的語言表達(dá)，如咫尺天涯、半斤八兩、錙銖必較、千鈞一發(fā)等成語都巧用了數(shù)學(xué)計(jì)量單位。

（二） 堅(jiān)定文化自信

文化自信是一個(gè)國家、一個(gè)民族發(fā)展中最基本、最深沉、最持久的力量。面對西方文化沖擊，弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化對于堅(jiān)定文化自信具有重要意義。我國古代數(shù)學(xué)雖然注重實(shí)用，沒有發(fā)展出西方的演繹體系，但是在諸多方面也曾取得領(lǐng)先世界的成就，對印度、阿拉伯等地區(qū)產(chǎn)生重要影響。

以數(shù)的表示為例，用十個(gè)記號及位置表示一切實(shí)數(shù)是一種深遠(yuǎn)而重要的思想。古巴比倫人采用六十進(jìn)制。古埃及雖然采用十進(jìn)制，但是沒有位值概念。我國距今三千多年之前的殷墟甲骨文就已采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，春秋戰(zhàn)國時(shí)期算籌計(jì)數(shù)標(biāo)志著十進(jìn)位值制完全確立。此外，至戰(zhàn)國時(shí)期，我國已掌握分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算規(guī)律。埃及較早有分?jǐn)?shù)的表達(dá)及運(yùn)算，但是將分子不為1的分?jǐn)?shù)化為煩瑣的單位分?jǐn)?shù)之和。歐洲直到文藝復(fù)興時(shí)期才有系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)算法及理論。公元3世紀(jì)，劉徽就明確提出小數(shù)概念。由于統(tǒng)一的十進(jìn)單位制出現(xiàn)較晚，西方直到16世紀(jì)才有人注意到小數(shù)。受經(jīng)濟(jì)生活中不足和虧損的推動，負(fù)數(shù)概念也很早就在中華大地萌芽，《九章算術(shù)》明確引入負(fù)數(shù)處理被減數(shù)小于減數(shù)的情形，正負(fù)術(shù)則是世界上負(fù)數(shù)加減法則的最早記錄。印度人在公元7世紀(jì)左右開始認(rèn)識到負(fù)數(shù)。歐洲則直到16、17世紀(jì)還有人不承認(rèn)負(fù)數(shù)。

（三） 涵養(yǎng)中華精神

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化積淀著多樣的精神財(cái)富，中國古代數(shù)學(xué)家的人格特質(zhì)、學(xué)術(shù)態(tài)度等是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施德育的理想素材，而數(shù)學(xué)家的專業(yè)能力、教育背景、工作環(huán)境等則可以幫助學(xué)生更好地了解科學(xué)研究情境。這些都有助于涵養(yǎng)中華精神。

三國時(shí)期，布衣數(shù)學(xué)家趙爽為生計(jì)而辛勞，卻“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”，珍惜光陰，勤奮鉆研。南北朝時(shí)期，祖暅研究專注，“當(dāng)其詣微之時(shí)，雷霆不能入”——對數(shù)學(xué)的執(zhí)著與熱愛可見一斑。著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之編制大明歷時(shí)，遭到保守勢力反對。祖沖之據(jù)理力爭，“愿聞顯據(jù)，以核理實(shí)”，“浮辭虛貶，竊非所懼”——為了明辨是非，他建議彼此拿出明確的證據(jù)來討論；至于那些捕風(fēng)捉影無根據(jù)的貶斥，他也絲毫不畏懼。公元3世紀(jì)中國古典數(shù)學(xué)理論奠基人之一劉徽提出十進(jìn)制小數(shù)、正負(fù)術(shù)、割圓術(shù)等重要數(shù)學(xué)思想。劉徽重視理論研究與時(shí)代背景密切相關(guān)。魏晉以來以“析理”為要點(diǎn)的辯難之風(fēng)興起，學(xué)者互相辯難，追求理勝，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上則是證明大量從經(jīng)驗(yàn)中生成的數(shù)學(xué)結(jié)論。劉徽本人也具有很高的科學(xué)素養(yǎng)，博覽群書，“采其所見”，汲取已有學(xué)者想法用于自己的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，尊重前人卻不盲從。他指出《九章算術(shù)》多處不精確之處及錯(cuò)誤，謹(jǐn)慎坦率；他分析了牟合方蓋與球體積的關(guān)系，但是未能求得牟合方蓋的體積，于是明確指出“敢不闕疑，以俟能言者”。

作為工具和作為目標(biāo)，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在教育場景的兩個(gè)價(jià)值面向，二者雖有區(qū)別卻相關(guān)聯(lián)。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化作為工具促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，往往稍作延伸引導(dǎo)便可達(dá)成了解傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的目標(biāo)；而要想深入了解某些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，必須學(xué)習(xí)理解其中的數(shù)學(xué)元素。

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［11］ M. Niss， T. Hjgaard. Mathematical competencies revisited［J］.Educational Studies in Mathematics，2019（1）： 928.

（孫丹丹，山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，博士。主要研究方向：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育。）