摘 要：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化進數(shù)學課程要凸顯其所體現(xiàn)的核心思想。中國古人數(shù)學觀、中國古代數(shù)學著作表述體系和中國古代數(shù)學成果都體現(xiàn)了辯證思想，它是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化的一個核心思想。從課程標準、課堂教學、高考試題三個方面分析中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化進數(shù)學課程的典型案例，探求如何凸顯辯證思想。提出相關建議：明確表達中國古代數(shù)學蘊含的核心思想；盡量采用中國古代數(shù)學的表述方式；增加中國古代算法的教學內容。

關鍵詞：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化；中國古代數(shù)學；數(shù)學課程；辯證思想

一、 引言

我國基礎教育的課程教學歷來注重中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的題材和功能。2021年教育部頒行的《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進中小學課程教材指南》（以下簡稱“《指南》”）把這一點系統(tǒng)化、整體化和具體化，使之達到了新的層次?！吨改稀分赋觯骸爸腥A優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進中小學課程教材，是強化中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化鑄魂育人功能，落實以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化涵養(yǎng)社會主義核心價值觀，實現(xiàn)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化傳承發(fā)展的系統(tǒng)化、長效化、制度化的重要舉措?！?/p>

對于數(shù)學課程來說，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“課程理念”中指出，課程內容選擇“關注數(shù)學學科發(fā)展的前沿與數(shù)學文化，繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”；在“課程內容”中多次提到“傳播數(shù)學中的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”，“感知、了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”，“了解中國古代數(shù)學家的杰出貢獻”，等等。此前，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“基本理念”中要求“注重數(shù)學文化的滲透”，在“課程結構”中要求“數(shù)學文化融入課程內容”，在“教材編寫建議”中進一步要求“編寫者重視中國傳統(tǒng)文化中的數(shù)學元素”。

《指南》指出，中小學課程教材主要圍繞核心思想理念、中華人文精神、中華傳統(tǒng)美德三個方面，遴選中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育內容。數(shù)學是思維的科學，在數(shù)學課程中選擇中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育內容，首先要關注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化所體現(xiàn)的核心思想理念。這是符合當下教育的核心素養(yǎng)（“帶得走”的上位觀念）導向的。

根據(jù)筆者的研究，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化所體現(xiàn)的一個核心思想是辯證思想，或者說對立統(tǒng)一思想，即所述的雙方在一個系統(tǒng)中互相對立且互相依存，并能在一定的條件下互相轉化。這符合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的核心思想之一：包容和諧、中庸平衡。同時，這也契合數(shù)學學科的特征：數(shù)學是一門具有高度抽象性、邏輯嚴謹性和廣泛應用性特點的體系化科學；數(shù)學來源于現(xiàn)實世界，在人類的實踐中產(chǎn)生并能夠運用于實踐，在數(shù)學實踐的反復推動過程中得到發(fā)展；數(shù)學體系中最重要（有更高價值）的是辯證思想，數(shù)學中的諸多因素，如抽象與具體、嚴謹與直觀、計算與推理、數(shù)據(jù)與知識、隨機性與確定性、數(shù)與形等，都是對立的統(tǒng)一。［1］因此，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化進數(shù)學課程要凸顯辯證思想，引導學生努力學習（感悟）辯證思想，利用辯證的眼光把握數(shù)學的內容，并能夠遷移到其他學科的學習中。因為辯證思想是唯物辯證法的核心，凸顯辯證思想實際上也是數(shù)學課程思政的重要途徑。［2］本文對上述觀點展開具體論述。

二、 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化的一個核心思想是辯證思想

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化主要包括中國古人對數(shù)學的認識（數(shù)學觀）、中國古代數(shù)學著作（表述體系）、中國古代數(shù)學成果（知識與方法）等方面。

（一） 中國古人數(shù)學觀體現(xiàn)了辯證思想

中國古人的數(shù)學觀包含在中國古代一些數(shù)學著作和其他文獻的闡述中。舉例分析如下：

《周髀算經(jīng)》中有：“（周公曰，）請問數(shù)安從出？商高曰，數(shù)之法，出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三、股修四、徑隅五。……故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！边@表明：數(shù)學產(chǎn)生于人類的實踐，因此可以用于人類的實踐，數(shù)學與人類的實踐有對立統(tǒng)一的關系；同時，數(shù)與幾何圖形有密切的相生相用的關系。當然，此時對數(shù)學以及兩種關系還只是直觀具體的認識。

《漢書·律歷志》中有：“數(shù)者，一十百千萬也，所以算數(shù)事物，順性命之理也。夫推歷、生律、制器、規(guī)圓、矩方、權重、衡平、準繩、嘉量、探賾索隱、鉤深致遠莫不用焉。度長短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，權輕重者不矢黍絫，紀于一協(xié)于十長于百大于千衍于萬，其法在算術。宣于天下小學，是則，職在太史羲和掌之?！边@表明：數(shù)學可以用于當時社會幾乎所有的實踐活動，而且，只有用了數(shù)學，才能達到各方面深刻而合適的目標；數(shù)學能夠促進人的本性（智能）的發(fā)展，從而改變人的命運（這是第一次提出數(shù)學與人的發(fā)展有關聯(lián)），因而可以利用數(shù)學研究人由本性得出的數(shù)學自身的問題（所以數(shù)學的理論和實用也是對立統(tǒng)一的）；應該由官府主持，在相當程度上普及數(shù)學。能夠在所有的領域里應用數(shù)學，是對數(shù)學進行了思維抽象。

大司農斛銘文中有：“大司農以戊寅詔書，秋分之日，同度量、均衡石、捔斗桶、正權概，特更為諸州作銅斗斛、稱尺，依黃鐘律歷、九章算術，以均長短、輕重、大小，用其七政，令海內都同。”這是數(shù)學用于度量衡進而用于社會生活和社會生產(chǎn)各個領域的直接實證，詮釋了數(shù)學與人類其他活動的辯證關系。

劉徽《九章算術注·序》中有：“昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術以合六爻之變。暨于黃帝神而化之，引而伸之，于是建歷紀，協(xié)律呂，用稽道原，然后兩儀四象精微之氣可得而效焉。”這表明：數(shù)學能通曉人類精神的所得，區(qū)分萬物的情狀（這指的其實是對數(shù)學進行理論研究，例如對各種概念給出合邏輯的定義，對數(shù)學算法作出有邏輯的證明）；從“九九表”到“六爻”是通過直覺和類比，由此就能測度天象，編算歷法，開發(fā)樂理，進而追尋萬物發(fā)展的規(guī)律，并且分析理解世界的各個方面。九九之術是數(shù)的計算，由此能得到各方面的道，所以運用數(shù)來解決各領域的問題就是數(shù)學的應有之義。通過數(shù)學可以得到并運用世界萬物的精微轉化，這是數(shù)學和萬物的辯證轉化、有限和無限的辨證轉化——它們都是對立統(tǒng)一的。

秦九韶《數(shù)書九章·序》中有：“周教六藝，數(shù)實成之。其用……大則可以通神明，順性命；小則可以經(jīng)世務，類萬物，詎容以淺近窺哉？……要其歸，則數(shù)與道非二本也?！鼻鼐派嘏c劉徽有基本相同的數(shù)學觀，并對其做了進一步的深化。特別是，劉徽利用數(shù)學追尋萬物發(fā)展的規(guī)律，秦九韶則直接認為數(shù)學與萬物發(fā)展的規(guī)律就是一個東西，因此直接把數(shù)學應用到萬事萬物中?！巴ㄉ衩?，順性命”就是對數(shù)學進行理論研究，《數(shù)書九章》實現(xiàn)了這一點，因此相應的數(shù)學應用已經(jīng)達到思維具體的程度。

楊輝《日用算法·序》中有：“萬物莫逃乎數(shù)。是數(shù)也，先天地而已存，后天地而已立。蓋一而二，二而一者也。”楊輝更進一步，省略了“道”（萬物發(fā)展的規(guī)律），直接認為數(shù)學與萬物是統(tǒng)一的。由此，數(shù)學不僅可以用于萬物，而且本身就是萬物，也應該是探討的對象，這就使得純數(shù)學問題進入研究領域。后來的《楊輝算法》不僅采用了邏輯展開的體系（而不再是應用領域的體系），甚至還研究了兩個純數(shù)學課題：縱橫圖和垛積術。

以上中國古人的這些數(shù)學觀體現(xiàn)了辯證思想。開始的“數(shù)產(chǎn)生于實踐，又可應用于實踐”，表明數(shù)與實踐的對象——客觀世界具有辯證的統(tǒng)一性。最后的“數(shù)與萬物是一而二、二而一的”，則表明數(shù)與萬物不是直接的一樣，而是辯證的統(tǒng)一。既然數(shù)與萬物具有辯證的統(tǒng)一性，那么數(shù)學就能無條件地運用到萬物的各個方面——當然包括了“神明”（人的精神）和“性命”（人的本性）方面。同時，人的精神和實踐也是辯證的統(tǒng)一，因而，研究精神方面即數(shù)學理論、邏輯體系，也是與研究實踐方面即數(shù)學應用、問題集相統(tǒng)一的。具體地，圖形和數(shù)是辯證的統(tǒng)一，可以用數(shù)來研究圖形，也可以用圖形來研究數(shù)，即后來說的“數(shù)形結合”或“數(shù)形一致”是一種不引起任何困難的直接做法；而無限和有限、無窮分割和極限作為辯證統(tǒng)一的兩個方面，在數(shù)學中的運用也是相當自然的。

（二） 中國古代數(shù)學著作表述體系體現(xiàn)了辯證思想

中國古代具體的數(shù)學知識與方法一般都融入在數(shù)學著作的表述體系中，相關的表述體系一般也體現(xiàn)著辯證思想。中國古代數(shù)學的體系化是由《九章算術》開端的，劉徽的《九章算術注》則奠定了中國古代數(shù)學的理論基礎，宋元時期的數(shù)學在表述體系上對前二者有著繼承基礎上的創(chuàng)新。下面做具體的分析：

1. 《九章算術》表述體系分析

首先，《九章算術》的表述體系是一個開放的歸納體系，其宏觀結構是一種實用性結構，前6章分別對應著數(shù)學（在社會生活和社會生產(chǎn)方面）的應用領域，后3章則是各領域都能用到的三種數(shù)學模型；其次，《九章算術》表述體系的基本內容是算法（稱為“術”）及其應用，這一點被稱為數(shù)學內容的算法化、機械化；最后，《九章算術》可以說是最早專門提供數(shù)學模型的著作，其構造體系的主要方法就是數(shù)學模型法。

對社會生活開放（全面用于生產(chǎn)生活的各個領域），算法化、機械化的內容，數(shù)學模型法，就是《九章算術》的表述體系。這完全符合數(shù)學與實踐統(tǒng)一的辯證思想。

2. 《九章算術注》表述體系分析

劉徽的《九章算術注》在繼承了《九章算術》的實用性結構、算法化內容和模型化方法的同時，把《九章算術》由歸納體系改造成為演繹體系，對其中幾乎所有的重要算法都作出了證明，并使之構成了一個計算邏輯性的理論體系。

（劉徽的）數(shù)學之樹從規(guī)矩、度量這兩條根生長出來，統(tǒng)一于數(shù)，由此產(chǎn)生數(shù)量的運算這個干，以長方形面積公式、長方體體積公式、率、正負的定義作為前提，引出整數(shù)與分數(shù)的四則運算和今有術，進而引出衰分術、均輸術……體積問題等作為主要枝條。由這些枝條又分出約分……不定方程等各種方法，是為更細的枝條，形成一株枝繁葉茂，碩果累累的大樹?！纬闪艘粋€以計算為中心，以演繹推理為主要邏輯方法的“約而能周，通而不黷”的理論系統(tǒng)。［3］

這里說的4個“前提”可以看作《九章算術注》的4個研究領域的起始概念。以“長方體體積公式”為例：

劉徽則從長方體及斜解長方體得到的塹堵（由長方體沿對角面剖開得到的兩個底面為直角三角形的直三棱柱）體積出發(fā)，首先利用無窮小分割方法和極限思想證明了鱉臑（由塹堵沿對角面剖開得到的一個部分，是底面為直角三角形、一條棱過底面銳角頂點且垂直于底面的三棱錐）和陽馬（由塹堵沿對角面剖開得到的另一個部分，是底面為矩形、一條棱過底面頂點且垂直于底面的四棱錐）的體積公式，然后將各種多面體（亭錐之類）分解成有限個長方體、塹堵、陽馬、鱉臑，求其體積之和以得到各種多面體體積公式?！瓌⒒沼滞ㄟ^比較兩立體等高處的截面積，由已知立體的體積求出未知立體（尤其是諸圓體）的體積。［4］

這些就構成了《九章算術注》的體積（立體圖形）理論，其出發(fā)點是長方體體積。這一體積公式劉徽有意識地沒有加以證明，而作為本理論證明的出發(fā)點。

《九章算術注》的表述體系是一種歸納、演繹相結合的開放、實用的體系，主要內容是在嚴格證明基礎上的算法及其應用，主要方法是相對嚴謹?shù)哪Ｐ头?。與《九章算術》相比較，其表述體系在保持一致的基礎上，指向了嚴謹?shù)臄?shù)學證明，體現(xiàn)了邏輯體系和實用體系的統(tǒng)一。特別地，劉徽的證明往往同時采用具體的數(shù)據(jù)，具有計算、邏輯相統(tǒng)一的特點。

3. 宋元時期數(shù)學著作表述體系分析

宋元時期的著名數(shù)學著作有多種，如秦九韶的《數(shù)書九章》、李冶的《測圓海鏡》、楊輝的《詳解九章算法》和《楊輝算法》、朱世杰的《四元玉鑒》等，其表述體系各有特色，但是總的來說，具有相當類似的特點：表現(xiàn)出抽象和具體、數(shù)據(jù)計算和邏輯證明的辯證統(tǒng)一性。

一方面，宋元時期的數(shù)學全面繼承了《九章算術》及其注的開放、實用體系，算法化內容，模型化方法。

首先，基本的表述體系仍然是開放的實用的體系：采用《九章算術》的實用問題及形式，對整個社會生活、社會生產(chǎn)開放，把數(shù)學應用到社會發(fā)展產(chǎn)生的新領域，或以社會各領域的真實狀況作為數(shù)學問題的情境；發(fā)明可以解決實際問題的新數(shù)學工具，如大衍求一術、正負開方術、天元術、招差術（高階插值法）、弧矢割圓術（這些都是具有世界歷史意義的數(shù)學成果）等；對原來的實用性問題進行新的研究，得到的結果可以用來解決更多的問題。

其次，宋元時期幾乎所有的數(shù)學成就都是以算法形式表示出來的——當然，對許多算法都進行了證明。

最后，宋元時期的數(shù)學表述體系表現(xiàn)出對數(shù)學模型的開發(fā)和運用，例如大衍總數(shù)術就是一個新的模型，《數(shù)書九章》用它解決了一些采用了各種社會情境的問題。

另一方面，宋元時期的數(shù)學表述體系在繼承的基礎上有獨到的創(chuàng)新，表現(xiàn)為體系的邏輯化和內容的抽象化——由此產(chǎn)生了一些重大的數(shù)學成果。

一是表述體系的邏輯化。上面舉出的幾部著作都有這個特點，以《數(shù)書九章》的“大衍類”和《楊輝算法》的“乘除通變本末”最有特色。

二是數(shù)學內容的抽象化。表現(xiàn)為數(shù)學抽象達到了新的層次。例如，主要問題不是“實際問題”，邏輯推導成為主要的數(shù)學內容，以《測圓海鏡》最為典型；引入“純數(shù)學問題”，典型的有《楊輝算法》的“縱橫圖”，還有沈括《夢溪筆談》提出、《楊輝算法》發(fā)展、《四元玉鑒》做了進一步總結的“垛積術”。還表現(xiàn)為算法程序達到了新的高度。例如，《數(shù)書九章》中“秦九韶的‘大衍求一術’和‘正負開方術’作為算法的‘計算程序’，具有很高的機械化程度，并包含了現(xiàn)代計算語言中構造非平易算法的基本要求（如循環(huán)語句、條件語句）與基本結構（如子程序）”［5］。

（三） 中國古代數(shù)學成果充分體現(xiàn)了辯證思想

中國古代數(shù)學在勾股、圓、體積、開方、方程、負數(shù)等多個方面，有許多重要的世界歷史性成果。這些成果充分體現(xiàn)了辯證思想。下面做具體的分析：

1. 勾股方面的成果分析

趙爽構造“弦圖”，利用出入相補原理證明了勾股定理；劉徽在《九章算術注》中，運用另一種圖形的割補證明了勾股定理。其中體現(xiàn)了“圖形虛實的辯證統(tǒng)一、數(shù)與形的辯證統(tǒng)一”的核心思想。

勾股定理作為數(shù)學模型，有著廣泛應用，可以用來解決很多實際問題，尤其是高度、距離的測量問題，其本質是把相關問題的解決歸結為“已知直角三角形的某些邊長，求另一邊長”的勾股計算?！吨荀滤憬?jīng)》中記載了陳子測日的方法：選取正南正北方向距離2000里的兩地各立一圭表（包括一根直立的標桿和水平放置的長尺，分別稱為“表”和“圭”），在夏至日測量日影最短時刻圭表的影長，根據(jù)2000里和兩個圭表的影長，運用勾股定理，可以算出日高、日下距和測者到太陽的距離。劉徽在《海島算經(jīng)》中發(fā)展出重差術，用來測量各種物體的高度：讓兩個同樣長的表與被測物體成一直線，兩表之間有個距離差，人在兩表處目測被測物體高度，人目、表端、被測點成一直線時人到表的距離也有差數(shù)，根據(jù)這兩個差數(shù)，運用勾股定理，可以算出被測物體的高度。一行在同一條子午線（東經(jīng)114o ）上從北緯29o到北緯52o范圍內的若干地點測量冬至日、夏至日、春分日、秋分日8尺高的圭表的影長，得到一些觀測值，然后計算出其他地方的影長、晝夜長度等，進而利用勾股模型計算出子午線1度的長（122.8千米，比現(xiàn)值多11千米）——這是世界上第一次實測得到子午線長度。在由觀測值計算其他值的過程中，一行利用了他發(fā)明的不等間距二次插值法——這也是一個有世界歷史意義的數(shù)學成就。在天文大地測量的基礎上，一行編訂出《大衍歷》，其中一個晷影表是以太陽的天頂距α（中國古代叫“日躔”）為基礎計算的，該表給出了天頂距從1度到79度之間每隔1度8尺高圭表的影長——按現(xiàn)代的解釋，這是一張sα=8tanα的函數(shù)表，是世界上最早的正切表。這些測量方法（活動）是勾股定理的實際應用，體現(xiàn)了數(shù)學與實踐的辯證統(tǒng)一：數(shù)學應用于實踐，實踐推動了數(shù)學的發(fā)展。

2. 圓方面的成果分析

劉徽為了解決精確計算圓面積的問題（在《九章算術》中，圓面積的算法是“半周半徑相乘得積步”，但運用這一算法時，會因為沒有精確的圓周率，不能精確求出“半周”），創(chuàng)造了割圓術：作單位圓（半徑r為1尺）的內接正六邊形，然后將圓內接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，逐步求得這些正多邊形的面積（在這一過程中，反復運用基于勾股定理得到的由正n邊形邊長求正2n邊形邊長的遞推公式l2n= 2r2-r 4r2-ln2，進而運用開復雜平方的算法）；根據(jù)“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，求到圓內接正192邊形，得到其面積為314寸2，進而計算出π=314100=15750=3.14（“徽率”）。在劉徽的基礎上，祖沖之（南朝宋，429—500）進一步計算出3.1414926lt;πl(wèi)t;3.1415927（“祖率”），并給出π的兩個分數(shù)形式：355113（密率）和227（約率）。這兩個成果體現(xiàn)了圖形虛實的辯證統(tǒng)一、有限和無限的辯證統(tǒng)一、無窮小分割和極限的辯證統(tǒng)一、計算和推理的辯證統(tǒng)一。

沈括得到了“已知圓的直徑和弓形的高，求弓形弧長”的方法，即“弦長與‘弓形高的平方與直徑相除的商’之和等于弧長”，被稱為“會圓術”。這是一個利于實際應用的近似公式，體現(xiàn)了曲線和直線的辯證轉化。

3. 體積方面的成果分析

為了得到陽馬和鱉臑的體積公式（作為求其他幾何體體積的基礎），劉徽用兩個互相垂直的平面把由陽馬和鱉臑組成的塹堵（體積為V0）分解，將分解后的原陽馬部分和原鱉臑部分混合重組，得到4個體積相同的小長方體；利用出入相補原理分析，發(fā)現(xiàn)其中3個小長方體中原陽馬部分和原鱉臑部分的體積之比為2∶1；將余下的1個小長方體分解為2個完全一樣的小塹堵，發(fā)現(xiàn)它們與原塹堵相似，且長、寬、高都是原塹堵的一半；對這2個小塹堵重復上述分解、重組的操作，每次都能得到3個更小的長方體中原陽馬部分和原鱉臑部分的體積之比都是2∶1（“置廣、袤、高之數(shù)各半之，則四分之三又可知也”），經(jīng)過無限次分割、重組的操作，余下的1個更小的小長方體的體積趨近于0（“半之彌少，其余彌細，至細曰微，微則無形。由是言之，安取余哉？”），于是得到劉徽原理：由一個塹堵剖分得到的陽馬與鱉臑的體積之比為2∶1。這一成果充分體現(xiàn)了圖形虛實的辯證統(tǒng)一、計算與推理的辯證統(tǒng)一以及對精確、嚴謹?shù)淖非蟆?/p>

祖沖之及其子祖暅在劉徽得到的“同底等高的方錐與陽馬每一層都是相等的方形，所以體積也相等”（“上連無成不方，故方錐與陽馬同實”）的基礎上，在具體運用劉徽提出的由牟合方蓋求球的體積的計算中，得到了祖暅原理：夾在兩個平行平面之間（等高）的幾何體，如果被平行于這兩個平行平面的平面所截，截得平面圖形的面積始終相等，則這兩個幾何體的體積相等（“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”）。這是一個具有世界歷史意義的成就，西方近代重新得出，稱為卡瓦里原理。它不僅體現(xiàn)了計算與推理的辯證統(tǒng)一，而且體現(xiàn)了繼承和創(chuàng)新的辯證統(tǒng)一。

4. 開方方面的成果分析

《九章算術》給出了開平方、開立方的算法，與現(xiàn)代筆算方法一致。對此，劉徽利用正方形和正方體的出入相補作出了解釋（證明）。此外，劉徽還給出了用“微數(shù)”（小數(shù)）從不足和過剩兩方面逼近開方不盡數(shù)（求開方不盡數(shù)近似值）的方法。這是一種每次退位，可以無限操作、隨時停止的方法，實際上是用小數(shù)逼近無理數(shù)的方法（當然，因為實用思想的阻礙，中國古代數(shù)學家可能并未認識到無理數(shù)的存在）。這些成果體現(xiàn)了數(shù)和形的辯證統(tǒng)一、計算和推理的辯證統(tǒng)一以及有限和無限的辯證統(tǒng)一。

中國古代的開方術主要是解高次方程的算法。賈憲給出了數(shù)字三角形（被稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”，也就是現(xiàn)在的二項展開式系數(shù)表），說明了解xn-A=0（ngt;2）形式的方程（即開高次方）的方法。在此基礎上，賈憲開創(chuàng)了“增乘開方法”。之后，劉益引入了最高項系數(shù)是負數(shù)的高次方程的解法，給出了完善的解“開帶從方”例子，并用增乘開方法解了一個四次方程。秦九韶提出“正負開方術”，進一步發(fā)展了求高次數(shù)字方程正根的方法（與今霍納法相近），求解了一個10次方程的正根（但有“實常為負”的要求）。李治引入了高次方程的各項系數(shù)都可正可負情況下的解法，甚至求解了四元四次方程組。朱世杰對開方法作出了重要補充，終于發(fā)展成中國古代數(shù)學中獨特的代數(shù)學理論。［6］這些成果體現(xiàn)了計算和推理的辯證統(tǒng)一，也體現(xiàn)了理論與實踐的辯證統(tǒng)一（從開高次方到求高次方程的數(shù)值解雖然主要是數(shù)學理論的發(fā)展，但是大多采用了應用問題解答的形式）。

5. 方程方面的成果分析

把“方程”單獨列出來，是因為除了開方術，還有與方程有關的其他成果。劉徽在《九章算術》中方程術的基礎上，發(fā)展出方程新術：將線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項用算籌擺成“方陣”——相當于現(xiàn)代的線性方程組系數(shù)增廣矩陣，而解方程的過程相當于利用現(xiàn)代線性方程組系數(shù)增廣矩陣的初等變換進行消元——這在現(xiàn)代數(shù)學中叫作“高斯消元法”，是德國數(shù)學家高斯提出來的。這一成果體現(xiàn)了計算與推理的辯證統(tǒng)一。

李冶創(chuàng)立“天元術”，其關鍵在于解決問題時“立天元一”——相當于現(xiàn)代的“設某數(shù)（未知數(shù)）為x”，這樣未知數(shù)參與運算，就可以列出方程來解決問題——這是世界上的首創(chuàng)。盡管李冶解決的基本上還是理論問題，但是同時代已經(jīng)有人用天元術來解決河防工程遇到的實際問題。這一成果體現(xiàn)了數(shù)學與實踐的辯證統(tǒng)一。

6. 負數(shù)方面的成果分析

劉徽提出正負術（利用“意義相反”定義正負數(shù)，提出正負數(shù)的絕對值，給出正負數(shù)的加減法法則），對正負數(shù)概念的理解達到了現(xiàn)代層次，把握了正數(shù)和負數(shù)的辯證統(tǒng)一，是辯證思想非常直接的體現(xiàn)。

綜上，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化的一個核心思想是辯證思想，認為一事物中相對應的雙方是對立統(tǒng)一的，如社會中的數(shù)學與實踐、數(shù)學中的計算（算法）和推理（邏輯）、數(shù)學中的數(shù)與形、圖形中的虛與實、數(shù)量的無限和極限、計算中的正數(shù)與負數(shù)。一些有特色的數(shù)學方法，如出入相補原理、無窮小分割方法、正負數(shù)相依存轉化的方法，都是辯證思想的體現(xiàn)。

三、 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化進數(shù)學課程凸顯辯證思想的案例分析

隨著《指南》的頒行、新課標的發(fā)布、教學實踐的跟進、考試評價的響應，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化進數(shù)學課程也有了越來越多的案例。在這些案例中，要凸顯辯證思想。下面，試分析一些較典型的案例，供教學參考。

（一） 課程標準中的案例分析

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（附錄）中增加的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化實例有12項。［7］這里分析三例。

【案例1】圓周率的故事（小學）

新課標給出《隋書·律歷志》記載的祖沖之得到圓周率成果的原文后，先作出現(xiàn)代解釋（如上文所述），再特別指出：“類似自然數(shù)的單位（如個、十、百、千、萬等），祖沖之清晰地表達、定義了十進制的小數(shù)單位——尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，表述到小數(shù)點后第七位。由此可見，中國古代人民對小數(shù)的理解和表達都是深刻的?！?/p>

祖沖之記錄的圓周率可以說是世界上最早的小數(shù)表達，只不過采用的是長度單位的越來越小的劃分，因為祖沖之繼承劉徽運用算法求圓周率，必然需要給出直徑的數(shù)據(jù)，而這個數(shù)據(jù)是用以尺為單位的數(shù)量表示出來的，其整尺下面的表達則用十進的小數(shù)。這就體現(xiàn)出數(shù)和量的辯證統(tǒng)一：量是單位，數(shù)是單位的個數(shù)，數(shù)量是多少個單位的表達；要想表達量的不同，必須采用數(shù)；如果考慮量的關系，就是純粹的數(shù)。

【案例2】土圭之法的故事（小學）

土圭也叫圭表、髀，其本體是八尺長的桿子。中國古代天文大地測量的基本操作就是觀察這根桿子每天的日影長度。新課標詳細地闡述了用土圭確定二至二分，從而確定一年四季的基本方式。利用日影長度的差異，還能計算出兩地的距離。如上文所述，一行就是利用土圭之法測量、計算出子午線每一度的長度的。而用土圭之法還能進一步確定二十四節(jié)氣：冬至和春分的影長中點（平均數(shù)）對應的那天是立春，春分和夏至的中點為立夏，夏至和秋分的中點為立秋，立秋和冬至的中點為立冬；二至二分和四立把一年分為八段，求每段日影長的兩個三分點，一共16個三分點，加上二分二至和四立，一共24個點，即一年的二十四節(jié)氣。二十四節(jié)氣系統(tǒng)是中國古代歷法的重要組成部分，具有指導農業(yè)生產(chǎn)的重大實踐意義。使用土圭之法離不開數(shù)學計算。隨著數(shù)學水平的提高和計算技術的發(fā)展，使用土圭之法的天文大地測量和節(jié)氣歷法的制定也越來越精確了。這就是數(shù)學和實踐的辯證統(tǒng)一關系。

【案例3】勾股定理的直觀證明（初中）

利用現(xiàn)代教育技術——動態(tài)幾何軟件，具體而動態(tài)地演示趙爽利用“弦圖”和劉徽利用其他圖形的出入相補證明勾股定理的過程。把數(shù)與形的辯證統(tǒng)一性、圖形虛實的辯證統(tǒng)一性直觀地演示出來，有助于學生理解古人的方法，認同古人“數(shù)形一致、虛實統(tǒng)一”的辯證思想。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（附錄）中的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化實例并不多，如“楊輝三角”（案例18）。但是，該課標（課程內容）中有一些依據(jù)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化確定的“內容要求”。

【案例4】以長方體為載體學習立體幾何內容（高中）

必修課程“幾何與代數(shù)”主題的“立體幾何初步”單元有“以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關系”的總要求，其“基本圖形位置關系”部分有“借助長方體，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義，了解相關的基本事實和定理，歸納并證明相關的性質定理，歸納相關的判定定理”的要求。也就是說，“立體幾何初步”的基本內容目標都是借助長方體達成的。

立體幾何內容將長方體作為起始概念，是以2003年《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》為開端的，當時要求“借助長方體模型，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解……（相關的）公理和定理”。高中新課標強化了長方體的意義，加上了相關的性質定理和判定定理的歸納和證明。高中新課標的解讀著作指出了以長方體為起始概念來學習立體幾何的五大優(yōu)越性。［8］有研究者進一步論述了長方體作為學習立體幾何的起始概念的五大特點：長方體結構的獨特性，模型獲取的便利性，幾何屬性的整體性，學習經(jīng)驗的遷移性，學習方式的可行性。［9］

實際上，這個以長方體為載體或起始概念的基本設計思路的來源正是劉徽《九章算術注》中的體積（立體圖形）理論（如上文所述）。在一定程度上運用了劉徽的體積理論，也就在一定程度上體現(xiàn)了《九章算術注》歸納、演繹相結合的表述體系，即在嚴格證明基礎上給出算法及其應用，采用相對嚴謹?shù)哪Ｐ头ǎ羞壿媷乐敽蛯嵱皿w系相統(tǒng)一、計算、推理相統(tǒng)一的特點。這是以長方體為載體學習立體幾何內容的辯證思想教育意義。

（二） 課堂教學中的案例分析

在課堂教學中運用中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化，是很多數(shù)學教師的創(chuàng)造。

【案例5】“圓周率的歷史”教學實施（小學）［10］

教師以我國古人創(chuàng)造的車輪引入，提出問題：車輪滾動的距離和什么有關？引出圓周長和直徑的關系，指出“兩者的比值就是圓周率”。然后，讓學生分組閱讀、交流“圓周率的歷史”資料。由此，引導學生舉出：古希臘的阿基米德用圓的外切正多邊形和內接正多邊形從大小兩方面逼近圓，得到227gt;πgt;22371；中國魏晉的劉徽用“割圓術”，計算到圓內接正192邊形，得出π=3.14，即“徽率”，也是我們現(xiàn)在常用的圓周率近似值；南北朝的祖沖之通過更為精密的計算，得到3.1415926lt;πl(wèi)t;3.1415927，即領先了國外約一千年的“祖率”，還有227和355113，即約率和密率。

在此基礎上，教師用計算機軟件演示了“割圓”的過程，讓圓內接正多邊形的邊數(shù)從6開始不斷加倍，一步步割到正12、24、48、96……邊形，使學生充分體會：邊數(shù)越多，正多邊形的周長越接近圓的周長；如果無限地割下去，正多邊形的周長就會和圓的周長重合——也就是說，隨著正多邊形的邊數(shù)不斷增加，其周長越來越長，而增長的極限就是圓周長。

課上，學生談出了這樣的體會：“我們人類探究圓周率的過程真漫長，圓周率的小數(shù)位數(shù)每精確一位，都要付出幾代人幾百年的努力?！薄皵?shù)學家們不斷追求真理，這種鍥而不舍的精神值得我們學習?！薄坝嬎銠C的出現(xiàn)改變了歷史，加速了科學技術的發(fā)展，我們也要進行科技創(chuàng)新。”

這一課例運用中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化，不僅增強了學生的民族自豪感和家國情懷，而且借助現(xiàn)代信息技術使學生對有限和無限的辯證轉化有了初步的感悟。從學生的體會來說，也取得了不錯的效果：學生初步感受到事物是不斷發(fā)展變化的，人的認識也要隨之變化，這是人努力的結果；新技術的發(fā)展促進了事物的發(fā)展變化，努力創(chuàng)新是促進認識發(fā)展的關鍵。

【案例6】“基本不等式”教學設計（高中）［11］

教師創(chuàng)設情境，提出問題：圖1所示是第24屆國際數(shù)學家大會（北京）的會標，是根據(jù)趙爽在《周髀算經(jīng)注》中證明勾股定理的弦圖設計的。若將圖1中的風車抽象成圖2所示的圖形，則在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。設直角三角形的直角邊的長分別為a、bagt;b，趙爽利用面積的相等關系即AB2=a-b2+4×12ab，證明了勾股定理，得到AB= a2+b2，那么圖形中有哪些不等關系？由此引出新知：（1） a2+b22gt;a-b2，即2abgt;0；（2） a2+b22gt;4×12ab，即a2+b2gt;2ab。

然后，教師引導學生拓展思考，建構新知。不等關系（1）顯然成立。聚焦不等關系

（2），當三角形是等腰直角三角形時，a=b，里面的小正方形縮小成一個點，有a2+b2=2ab。根據(jù)弦圖綜合得到，當agt;0，bgt;0時，a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時等號成立。那么，當a、b是任意實數(shù)時，a2+b2≥2ab成立嗎？因為a2+b2-2ab=a-b2≥0，所以a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時等號成立。此不等式稱為重要不等式。進一步，如果xgt;0，ygt;0，令a= x，b= y，由重要不等式得到x+y≥2 xy，即x+y2≥ xy，當且僅當x=y時等號成立。此不等式稱為基本不等式。

這一課例以北京國際數(shù)學家大會會標為課堂引入的情境，以趙爽“弦圖”為理論探索的起點，進行了辯證思想教育：既有數(shù)形結合，即數(shù)和形辯證統(tǒng)一性，又有從特殊到一般（得到重要不等式）和從一般到特殊（得到基本不等式），即特殊和一般辯證統(tǒng)一性。

（三） 高考試題中的案例分析

高考試題受到全社會的普遍重視，具有對高中教學乃至義務教育的導向作用。近年來，融入中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化的數(shù)學高考試題如下頁表1所示。

這些高考試題融入了中國古代數(shù)學的一些著名成果和重要應用，使學生能夠了解古人的數(shù)學觀念。例如，以劉徽“割圓術”為引子的阿拉伯阿爾·卡西“擬割圓術”取得了不錯的成果：小數(shù)點后17位準確數(shù)字的圓周率。

這一成果反襯出祖沖之的圓周率成果的偉大：卡西是第一個超越祖沖之的數(shù)學家，不過是在祖沖之后近千年。卡西用圓的外切正多邊形和內接正多邊形雙向逼近圓，取它們周長的平均數(shù)作為圓的周長。上文提到過，最早從外切正多邊形和內接正多邊形兩個方向逼近圓的是阿基米德。因此，卡西的成果具有繼承和創(chuàng)新的辯證統(tǒng)一性。而不同民族的數(shù)學界都有圓周率研究，說明了數(shù)學的統(tǒng)一性來源于客觀世界的統(tǒng)一性。此外，趙爽“弦圖”體現(xiàn)了數(shù)和形的辯證關系以及圖形虛與實的辯證關系， “會圓術”體現(xiàn)的化曲為直的辯證轉化；“今有望海島”題（劉徽創(chuàng)立重差測量術的載體）和“日晷”是數(shù)學在地理天文測量方面的應用，“天壇天心石數(shù)”和“古建筑的舉架結構”“古建筑坡屋頂棱長之和”是數(shù)學在建筑方面的應用，“三斜求積”是數(shù)學在農業(yè)生產(chǎn)方面的應用，“環(huán)權”是數(shù)學在度量衡方面的應用，這些應用表明數(shù)學與實踐具有辯證的統(tǒng)一性；而“剪紙藝術的數(shù)學計算”也具有很重要的認識意義，即數(shù)學與日常生活的辯證統(tǒng)一性、理性思考與審美意向的辯證統(tǒng)一性?？梢?，這些命題都有辯證思想的教育意義。

四、 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化進數(shù)學課程凸顯辯證思想的幾點建議

（一） 明確表達中國古代數(shù)學蘊含的核心思想

按照現(xiàn)在的研究，價值觀教育一個很重要的方法是“價值觀澄清模式”：“該模式認為，在價值多元的現(xiàn)代社會，根本不存在一套舉世公認的道德原則或價值觀可以傳遞給兒童。選擇對于人類而言無處不在，任何選擇都是依據(jù)特定的價值觀，但是現(xiàn)實生活中，人們往往在不清楚自己價值觀的前提下就已經(jīng)作出選擇。因此，要創(chuàng)造必要的條件幫助兒童和青少年澄清他們選擇時所依據(jù)的價值觀并把這些價值觀公之于世，這種對于價值觀的澄清對于兒童和青少年進行正確選擇和行動而言是非常必要的?！保?2］核心思想教育亦應如此：明確指出我們希望學生感悟的核心思想，對核心思想教育非常重要。表現(xiàn)在教學目標設計中就是，不能僅設立一個空泛的大目標，如“進行核心思想教育”或“促進學生感悟核心思想”，而應使核心思想教育的目標具體化。上述案例5和案例6就是這方面很好的例子。前者運用信息技術呈現(xiàn)“割圓術”的動態(tài)畫面，使學生感受到有限和無限的轉化這樣的辯證思想；后者更是有意識地點出一般和特殊的對立統(tǒng)一、形和數(shù)辯證統(tǒng)一，強調了辯證思想。

在這方面，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化為我們提供了重要的教育教學因素，因為我們的生活（觀念）植根于我們的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化體現(xiàn)的核心思想對我們具有天然的易接受性，能在深化家國情懷，提高民族自信心、民族自豪感的同時，習得至今仍然有用的傳統(tǒng)數(shù)學思想。

（二） 盡量采用中國古代數(shù)學的表述方式

在中國古代數(shù)學的表述更加清晰、易于掌握的情況下，應盡量采用中國古代數(shù)學的表述方式。

例如，人教版初中數(shù)學教材中，勾股定理的證明采用了趙爽的“弦圖”證法。關于這個利用圖形的割補重組得到圖形的面積關系來證明定理的方法，教師教學用書做了解釋：“勾股定理證明的方法很多，這里介紹的是我國古代數(shù)學家趙爽的證法，是一種面積證法。學生以前沒見過這種證法，會感到陌生，尤其是覺得不像是證明。這主要是以前沒有專門講面積理論，感覺推理的根據(jù)不很明確造成的。教學中可以說明，圖形在經(jīng)過適當切割后再另拼接成一個新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變。”結合前面舉出的課標中的案例“勾股定理的直觀證明”，學生立刻就能明白這一點。

再如，人教版高中數(shù)學教材“數(shù)列基礎”這一章中，兩次引用《莊子》中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”這句話。第一次是“數(shù)列的概念”一節(jié)中，把每天截取后剩下的木棍長度的表示12，14，18，……作為數(shù)列的引例；第二次是在“等比數(shù)列”一節(jié)的“情境與問題”中引用這個數(shù)列作為等比數(shù)列的引入情境。實際上，《莊子》中的這句話還可以進一步用在有限和無限互相轉化思想的教學中：作為捶的長度，就像數(shù)列所示的一樣，是萬世不竭的，是一個無限的序列，這是有限向無限的轉化；但是作為構成捶的物質，例如木頭，則其分割的可能是極為有限的，當分割到小于某個尺度（分子的大小）時，就不能再作為捶存在了（不是木頭了），這個節(jié)點大約在第30天達到，此時分得的捶的長度大約是10億分之一尺，已經(jīng)小于分子直徑的數(shù)量級，這是無限向有限轉化。這樣才能揭示這句話包含的辯證思想。

此外，可以直接采用中國古代數(shù)學文獻中的問題作為例題或習題。這方面，很多教材已經(jīng)做了很好的示范（只是可以更加系統(tǒng)化），一些高考試題也是很好的例子。還可以參考中國古代數(shù)學的表述體系設計課程內容。例如，上文所述的以長方體為初始概念（載體）闡述立體幾何的幾乎全部內容。其實，多邊形面積公式的有關內容也可以參考中國古代數(shù)學的表述體系。

（三） 增加中國古代算法的教學內容

一些數(shù)學內容可以采用中國古代數(shù)學的算法教學，或以它們?yōu)榛A進行現(xiàn)代改進。這一點可以結合信息科技課程進行：把數(shù)學課程中的一些公式編寫成某種程序語言的算法程序；把古代數(shù)學著作中的一些“術”轉化為現(xiàn)代程序語言的算法程序。這樣可以平衡現(xiàn)代（西方）數(shù)學體系對推理（邏輯）的側重，更好地體現(xiàn)辯證思想，同時也有跨學科學習的意義。

例如，教學最大公約數(shù)時，可以采用《九章算術》“約分術”的算法。那是一個輾轉相減法，與現(xiàn)在教學的輾轉相除法比較起來，具有更加符合計算本性的特點，在計算機上做起來更為順暢——可以在機器上進行二者的對比。

再如，人教版初中數(shù)學教材中有關于海倫秦九韶公式的閱讀思考內容，證明了海倫公式和秦九韶“三斜求積”公式的等價性。建議把這兩個公式都改編成現(xiàn)代計算機語言的算法，并加上具體數(shù)據(jù)上機實施，做進一步的比較?！叭鼻蠓e”的算法可以按照秦九韶《數(shù)書九章》的原文編寫。這樣，一定會有新的收獲，能更好地理解古人計算、推理相結合的辯證思想。

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（孫宏安，大連教育學院，教授。）