摘 要：在數(shù)學教學中，教師要培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，讓學生在創(chuàng)造活動、實踐活動中理解數(shù)學，提升對數(shù)學學習的專注程度，發(fā)展其學習數(shù)學的感性經(jīng)驗；同時也要抓住知識縱向的基點或節(jié)點，或網(wǎng)狀知識結構中的中心點，讓學生在反思中不斷完善和優(yōu)化其數(shù)學知識結構。結合優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，數(shù)學教學可以促使學生形成優(yōu)秀的思維品質(zhì)，學會數(shù)學建模、數(shù)學表達、數(shù)學推理，提升學生的學科素養(yǎng)。

關鍵詞：數(shù)學核心素養(yǎng) 優(yōu)秀傳統(tǒng)文化 知識結構 DOI：10.12278/j.issn.1009-7260.2024.06.019

學生數(shù)學素養(yǎng)的生成需要條件，教師要讓學生在親歷知識的探索過程中，形成合理的知識結構，鍛煉數(shù)學的思維；在深度思考中養(yǎng)成數(shù)學化的思考模式，內(nèi)化知識結構；使學生受到數(shù)學文化與精神的熏陶，從而積淀內(nèi)化成從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)、提出、分析問題的意識與能力，進而形成一種穩(wěn)定的精神與品質(zhì)。

中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中，數(shù)學文化是重要的組成部分。數(shù)千年的中國數(shù)學發(fā)展史，留下了許多值得當代數(shù)學教育利用和借鑒的文化資源。整合優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的相關元素，能使教師更好地完成上述教學目標，進而為學生數(shù)學學習層次的提升打下堅實基礎。

一、在積極體驗中發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)

學生對數(shù)學的理解和在學習過程中形成的數(shù)學精神，是最具發(fā)展?jié)摿Φ臄?shù)學素養(yǎng)，在個人成長中具有重要意義。在教學中，教師要有意識地結合傳統(tǒng)文化資源，提升學生對數(shù)學的認同度，使其體會數(shù)學的價值，發(fā)現(xiàn)、感悟數(shù)學的美。

1.“復演”數(shù)學認知過程

波利亞說過：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷?！眰€體的認識過程會“復演”種群的認識過程。據(jù)此，在教學中，教師可以結合相關知識，讓學生了解數(shù)學發(fā)展史，追根溯源，將歷史重現(xiàn)，為學生再現(xiàn)認知數(shù)學問題，引發(fā)學生的創(chuàng)造；在創(chuàng)造的過程中，加深學生對數(shù)學概念的理解，使其學會“數(shù)學地”思維，增強對數(shù)學的認同，體會數(shù)學精神。

例如，《用字母表示數(shù)》一課對于催生學生新的思維方式具有重要意義。如何引導學生的思維由算術思維向代數(shù)思維過渡，使學生理解這一數(shù)學思維上質(zhì)的飛躍？教師可以結合中西數(shù)學發(fā)展史，“再現(xiàn)”人類從認識具體的數(shù)到抽象概括的數(shù)的過程。教師可以通過展示文獻資料、文物圖片，或者模擬情境，展示古代人們用結繩、刻畫等方式計數(shù)，用籌策、算盤等工具算數(shù)。通過這種方式，學生認知到的數(shù)是算數(shù)思維下的數(shù)，是具體的自然數(shù)。接下來引入教學主題，介紹代數(shù)學的歷史，從丟番圖用字母表示特定的數(shù)，到韋達開創(chuàng)符號代數(shù)的新紀元，經(jīng)歷了上千年……學生明白了：由從數(shù)到符號的飛躍是一條不平坦的歷程。

正是基于這樣的認識，我們可以在教學中通過“再現(xiàn)”歷史發(fā)展情景，讓學生經(jīng)歷數(shù)學家的思辨過程，把知識的由來清楚地展示給學生，加深他們的理解。在上述教學過程之后，還可以讓學生嘗試用數(shù)學的方式表達“擺三角形的所需小棒的根數(shù)與三角形個數(shù)之間的關系”。引導學生想象：如果寫出了大量的具體的式子，能不能用一個式子表示所有的情況，即用一代表多。學生的思維在經(jīng)歷了一種失敗甚至痛苦的掙扎后，終于沖破了重重阻礙，明白了抽象和具體的關系，用字母表示數(shù)就水到渠成，各種表示方法應運而生。

可以說，正是這樣的“歷史還原”情境，引發(fā)了學生的創(chuàng)造。由多到一，體現(xiàn)了學生的思維由具體向概括抽象的飛躍，學生體會到字母表示數(shù)的意義。這樣的教學是從傳統(tǒng)文化的視角出發(fā)，但沒有生硬、貼標簽式地進行說教，而是再現(xiàn)了一種有創(chuàng)造欲望的“場景”，讓孩子體驗數(shù)學思維自然生發(fā)的那些瞬間，實現(xiàn)個體‘再創(chuàng)造數(shù)學史’。而教學情境的創(chuàng)建，離不開對歷史和傳統(tǒng)文化要素的利用。

2.利用文化素材引導思維“創(chuàng)造”

再如《小數(shù)的認識》一課。學生是第一次認識小數(shù)，雖然生活經(jīng)驗中知道1角= 元=0.1元，但是如果教師簡單地直接告訴學生，學生就無法了解小數(shù)點的作用和小數(shù)的發(fā)展歷史，無法體驗數(shù)學家們創(chuàng)造這個概念的艱辛歷程，以及隱藏在表示方法后深刻的十進制計數(shù)思想等。

以筆者的經(jīng)驗為例，教學中，我先通過多媒體展示記載十進制計數(shù)的古代竹簡，以及古代八進制、十進制、和十六進制的度量衡器具，讓學生明白十進制計數(shù)法是在人類生產(chǎn)生活中誕生的，有著深刻的歷史原因。接下來進入教學主題，引導學生結合已學的整數(shù)數(shù)位順序表觀察探究，認識到數(shù)位越往左，表示的數(shù)越小。然后出一道填空題：“1角=（ ）元。” 10個1角是1元，所以1應寫在個位數(shù)右邊的數(shù)位上。這時我將數(shù)字1寫在個位左邊的數(shù)位上，并提問：“怎么看上去還表示的是1元呢？ 1怎么‘跑’到了個位上去了？”學生自然想到要將新的數(shù)位與原來的個位隔開，這樣“小數(shù)點”就呼之欲出了。

像這樣，學生在思考的過程中，“創(chuàng)造”出一種將新的數(shù)位與原來的個位隔開的辦法，就是加小數(shù)點。這時，教師通過多媒體展示歷史文物，讓學生了解人類對于小數(shù)的認識發(fā)展史，以及古人表示小數(shù)的方法。比如，我國最早使用小數(shù)概念的是南北朝數(shù)學家劉徽，他在《九章算術注》里提出了十進小數(shù)。這樣的教學，使學生經(jīng)歷了小數(shù)概念的產(chǎn)生過程，理解了小數(shù)點的作用，并在潛移默化中了解了十進制計數(shù)方法的數(shù)學思想，增加了傳統(tǒng)文化知識，培養(yǎng)了數(shù)學思維能力。

分數(shù)、負數(shù)等數(shù)的認識教學亦可如此，即利用傳統(tǒng)文化元素、中外數(shù)學史內(nèi)容創(chuàng)設相關的情境，引發(fā)學生“創(chuàng)造新數(shù)”的沖動；讓學生在創(chuàng)造中理解這些數(shù)的意義，感受數(shù)學精神，接受數(shù)學傳統(tǒng)文化的熏陶，增強對數(shù)學的理解。

二、在深度思考中培養(yǎng)學生數(shù)學化的思維模式

數(shù)學化的思維模式包括數(shù)學化思考意識、數(shù)學化思考策略以及對數(shù)學思考過程和結果的有效表達。

1.激發(fā)探究，在操作中培養(yǎng)學生的數(shù)學化思考意識

數(shù)學是一門探究性很強的學科，數(shù)學探究的過程，既是讓學生理解知識的過程，也是讓學生體驗到創(chuàng)新和成功的樂趣的過程。這一過程，離不開學生主動的探索與思考。皮亞杰指出：“讓學生在活動中學習，這是兒童教育最重要的原則。在活動中進行思考，在思考中進行活動是兒童的一個重要心理特征?！蔽阌怪靡?，對數(shù)學概念特征的感知、探究離不開學生有效的動手操作。在操作中激發(fā)學生的積極思考，讓學生在思考中操作，才能逐步讓學生形成數(shù)學化的思考意識。

當然，操作要有效，要真正引發(fā)學生的思維，一定要給學生思維的空間與時間。首先，操作的材料讓學生有所選擇。如《平行四邊形的認識》一課，如何讓學生感知對邊相等且平行的特征？如果提供的材料，比如小棒，輕易地可以組成平行四邊形，學生在操作的過程中就沒有智力付出，相當于執(zhí)行教師指令的“操作工”，其實質(zhì)上與教師直接灌輸沒有區(qū)別。教師可以引入傳統(tǒng)的七巧板作為教具，學生在七巧板中找出平行四邊形，利用三角形拼湊平行四邊形，或者認識特殊的平行四邊形（正方形、菱形等），等等，是十分具體可感的操作過程。在拼湊七巧板的過程中，學生理解了數(shù)學知識，感知到了傳統(tǒng)游戲的獨特魅力。

其次，要逐步引導學生的操作，引導學生將注意力由現(xiàn)實中具體的動作轉(zhuǎn)移到“這一動作中蘊含的一般化的特征”。如在探索長方形面積的計算方法時，可以用小面積單位去衡量大的長方形面積：先讓面積單位鋪滿長方形，再計算單位面積數(shù)量，求和可得長方形面積；升級算法，過渡到只列出長與寬，計算面積；最后到不借助面積單位，概括抽象出面積計算公式。在教學中，教師可以引入我國古代數(shù)學典籍中計算土地面積的內(nèi)容，如《周髀算經(jīng)》《九章算術》等書中都有同類例題。通過結合歷史文獻，學生在學習課堂知識的同時還可以了解到數(shù)學知識的實用意義，體會到中國傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展成就，理解中華民族的思維特點。

2.數(shù)形結合，傳授數(shù)學化思考策略

數(shù)學是抽象的，教師挖掘和利用數(shù)學中的直觀成分，能有效地降低學生學習的難度。圖形能調(diào)和數(shù)學的抽象與兒童思維的具象之間的矛盾，可更為深入地揭示事物或現(xiàn)象的本質(zhì)，使學生的思維走向深刻。

如在《小數(shù)乘整數(shù)》的教學中，為了讓學生理解算理、建立算法，教師可以借助平均分成10份的正方形圖，讓學生在圖中涂色表示出0.8乘3。通過圖形，學生可直觀地理解要算0.8乘3，就是算8個0.1乘3，是算有多少個計數(shù)單位，也就是先算“8乘3”，從而構建起“先按整數(shù)乘”的直觀理解。

此外，教師要特別注重將抽象、推理、模型三大基本思想融合在數(shù)學教學的全過程中，使學生形成關鍵能力。而學生習得數(shù)學化思考模式，必須要借助一定的情境。我國傳統(tǒng)藝術中的許多圖形，都可以用來作為數(shù)形結合教學的工具，培養(yǎng)學生的抽象、概括、幾何直觀、推理等能力。比如上面提到的涂色乘法計算的過程，可以轉(zhuǎn)變?yōu)樘钔總鹘y(tǒng)紋樣的游戲過程。教師把平均分成多等分的正方形圖改為農(nóng)田圖、動物圖等，引導學生做畫圖游戲，再引入計算方法。這樣既能活躍課堂氣氛，構建教學情境，又可提升學生的積極性和參與度。

3.運用符號，引導學生學習數(shù)學化的表達方式

數(shù)學的本質(zhì)是概念和符號，并通過概念和符號進行運算和推理。符號意識與人的抽象思維能力、數(shù)學中的模型思想直接相關?！稊?shù)學課程標準》認為：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式?！睆倪@個論述不難看出，符號的價值，不僅表現(xiàn)在它的簡潔，是文字表達的縮寫，更重要的是它的“可操作性”，是其在作為思維運作的工具。

如《字母表示數(shù)》一課上，教師提出一個“數(shù)青蛙”的問題情境：青蛙數(shù)量與青蛙嘴數(shù)量相等，而青蛙腳數(shù)量是前兩者的四倍……學生數(shù)眼睛、數(shù)腳、數(shù)個數(shù)，在各種計數(shù)方法中，體會到了字母表示數(shù)的優(yōu)越性。隨著學生思維水平的發(fā)展，教師應逐步在教學中滲透用符號進行概括、交流、推理的方法。

記載于我國古代數(shù)學典籍《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題十分經(jīng)典，可以看作“數(shù)青蛙”的升級版問題。解決這個問題，就需要用到初步的方程知識，即用字母代表數(shù)。通過閱讀文獻，思考算法，甚至用實際模擬的方式制作模型、扮演動物，學生可以直觀地體會數(shù)學的抽象性和現(xiàn)實生活的具象性之間的張力，可以深刻意識到符號在數(shù)學思考中的作用。當然，學生還要明白符號演算的法則和規(guī)定，這樣才能借助傳統(tǒng)文化中的數(shù)學內(nèi)容元素發(fā)展數(shù)學思維能力。

羅素說過：“邏輯即數(shù)學的青年時代，數(shù)學即邏輯的壯年時代。數(shù)學的概念都可以借助邏輯概念給出，而數(shù)學定理都可以由邏輯公理原則推出。事實上，數(shù)學和邏輯是精密科學的兩只眼睛。用兩只眼睛去看世界，比用一只看得更遠、更清楚。”在教學中，教師要讓學生學會用符號進行運算和推理，學習這種數(shù)學思維方式。人的思維都有惰性，喜歡具體與直覺，排斥抽象與推理。因此，培養(yǎng)學生嚴謹思考、深度思考的習慣其實是幫助其克服思維惰性的過程。

三、在反思中結構化數(shù)學知識系統(tǒng)

數(shù)學知識結構的內(nèi)化主要是指將知識納入學生原有的知識體系，將零散的知識形成網(wǎng)絡化的知識結構。

“萬山旁薄，必有主峰；龍袞九章，但挈一領?！痹诮虒W中，內(nèi)化知識結構可以從舊知的切入點入手，層層推進；也可在解決數(shù)學問題時，從整體出發(fā)，高瞻遠矚，統(tǒng)帥局部。通過對問題的研究，醞釀出解決問題的方法，只有實現(xiàn)知識點之間的縱橫相接，才能彰顯數(shù)學的整體之美；也可以引導學生從一些基礎性的核心知識出發(fā)，展開對知識的梳理，形成清晰可見的知識網(wǎng)絡。對于一些易混的概念、分類及知識間的聯(lián)系，要引導學生用韋恩圖、集合圖、流程圖等，或者學生自己的方式，直觀地表達出來。

在這些教學過程中，教師在營造教學情境時可以借助相關的歷史文物、藝術圖形、民俗知識等，在講解具體例題時可以運用古籍文獻，在“重演”數(shù)學思想發(fā)展升級的過程中可以構建歷史情境，等等。畢竟學習的過程就是所學知識由易到難、由淺到深、由具體到抽象的過程。

當然，無論使用何種教學方式，教師都要特別注意引導學生進行自主表達。因為自主表達代表自主思維，它植根于學生原有的知識結構，這樣知識才算“生根”。比如辨析各種四邊形之間的關系，有的學生用流程圖（圖1），也有學生用集合圖（圖2）表示，體現(xiàn)出學生個體思維的不同，但其中可以提煉出相同的知識邏輯，這就是教學的目標。

綜上所述，傳統(tǒng)文化和數(shù)學史內(nèi)容是可以利用的數(shù)學教學素材，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)、發(fā)展學生積極的數(shù)學情感，幫助學生構建良好的數(shù)學知識結構。這些素養(yǎng)的形成，只有在深度思考引發(fā)的真正的學習過程中才能實現(xiàn)。當然，要將學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落到實處，還需要數(shù)學教師轉(zhuǎn)變數(shù)學課程的評價模式，走出“師生圍著教材轉(zhuǎn)”“學生圍著教師轉(zhuǎn)”“大家圍著教室轉(zhuǎn)”的現(xiàn)狀。要讓學生在應用過程中將數(shù)學的知識體系、思想方法及學生的對數(shù)學情感、態(tài)度、價值觀有機整合，形成對數(shù)學全面的認識。

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