摘 "要 "基于分數(shù)階微積分理論和預測函數(shù)控制理論，針對一類單輸入單輸出分數(shù)階線性系統(tǒng)提出了一種分數(shù)階預測函數(shù)控制方法。用Oustaloup近似法對分數(shù)階系統(tǒng)近似的整數(shù)階系統(tǒng)建立預測輸出模型，并用GL定義在代價函數(shù)中引入分數(shù)階算子。該控制方法通過將控制輸入結構化簡化了控制器設計，引入分數(shù)階算子增加了控制器的自由度。仿真結果表明：與傳統(tǒng)預測控制器相比，分數(shù)階預測函數(shù)控制器具有調(diào)節(jié)時間短、抗干擾能力強及魯棒性強等優(yōu)點，在模型失配的情況下也有較好的跟蹤效果。

關鍵詞 "Oustaloup近似 "單輸入單輸出 "分數(shù)階預測函數(shù)控制 "模型失配

中圖分類號 TP13"" 文獻標志碼 A"" 文章編號 1000-3932（2024）04-0577-05

預測控制最早出現(xiàn)于20世紀80年代初期，由Richalet等提出[1]。在過去幾十年的發(fā)展中，預測控制取得了顯著的進展，出現(xiàn)了模型算法控制（MAC）、動態(tài)矩陣控制（DMC）、廣義預測控制（GPC）及預測函數(shù)控制（PFC）等方法。預測控制的核心思想在于利用系統(tǒng)的數(shù)學模型和實時測量數(shù)據(jù)，預測系統(tǒng)未來的行為，并根據(jù)這些預測結果制定最優(yōu)的控制策略，以實現(xiàn)預定的性能目標。

傳統(tǒng)的預測控制方法主要基于整數(shù)階微積分理論，但是在實際工程應用中，許多系統(tǒng)往往具有非整數(shù)階的動態(tài)特性，如慣性、摩擦及滯后等，這些特性往往不能用整數(shù)階微積分方程來描述。分數(shù)階微積分理論的引入能夠更準確地建立模型，解釋系統(tǒng)的動態(tài)行為，并設計更有效的控制策略，在生物醫(yī)學[2]、材料科學[3]及信號處理[4]等諸多領域中應用廣泛。在面對這些復雜的分數(shù)階系統(tǒng)，傳統(tǒng)的預測控制方法難以達到預期的性能指標。針對上述問題，PETR？？ I提出一種新型分數(shù)階模型預測控制狀態(tài)空間方法，通過一個新的分數(shù)性能指標和分數(shù)控制動作提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性[5]。ZOU Q等設計了一種包含狀態(tài)變量和輸出跟蹤誤差的分數(shù)階ENMSS模型預測控制方法，提高了系統(tǒng)的抗干擾性并在分數(shù)階加熱爐模型上取得了良好的控制效果[6]。NTOUSKAS S等設計了一種用于分數(shù)階系統(tǒng)無偏移參考跟蹤的模型預測控制方案[7]。因分數(shù)階控制器的良好表現(xiàn)，越來越多的學者投身于分數(shù)階預測控制的研究。文獻[8]提出了一種分布式的分數(shù)階模型預測控制策略，解決了系統(tǒng)出現(xiàn)高頻干擾和負載波動帶來的問題。文獻[9]提出一種分數(shù)階廣義預測控制方法，用分數(shù)階算子實現(xiàn)軟化約束。這些方法不僅拓展了傳統(tǒng)控制的邊界，還為提高系統(tǒng)控制的效能和穩(wěn)定性提供了新的解決方案。

利用預測函數(shù)控制能結構化控制輸入的特點，筆者將預測函數(shù)控制與分數(shù)階微積分理論結合，推導出基函數(shù)為階躍和斜坡函數(shù)時的最優(yōu)控制率。所提出的控制方法自由度高，閉環(huán)性能好，能有效解決傳統(tǒng)預測控制處理失配模型時跟蹤效果差的問題。

1 "分數(shù)階微積分

定義Grünwald-Letnikov分數(shù)階微分：

其中，D為微分符號；a為初始狀態(tài)時間；b為終止狀態(tài)時間；h為計算步長；[X]為X的整數(shù)部分；α為分數(shù)階參數(shù)；ω（α）j為多項式系數(shù)，，。

為方便計算，通常采用遞推公式來直接求解多項式系數(shù)，表示如下：

此外，考慮到實際過程和分數(shù)階的特點，可以用采樣時間TS代替[10]。利用GL（Grünwald-Letnikov）定義可以推導出控制系統(tǒng)的離散形式，離散化模型下的微分算子可以描述如下：

其中，為積分符號，即。

2 "分數(shù)階預測函數(shù)控制

首考慮一類SISO分數(shù)階系統(tǒng)：

用Oustaloup擬合方法，可將微分算子近似成相應的整數(shù)方程：

其中，α為分數(shù)階次，0lt;αlt;1，N為近似階次，，，，，ωh和ωl為擬合頻率的上、下限。

將分數(shù)階系統(tǒng)近似為整數(shù)階的高階系統(tǒng)，在采樣時間TS的條件下將其離散，得可到如下差分方程的形式：

其中，m為系統(tǒng)輸入的階次；n為系統(tǒng)輸出的階次。

預測函數(shù)控制的輸入具有以下形式：

其中，P為預測長度。

基函數(shù)的選擇取決于過程的性質和輸入?yún)⒖?，并且通常使用?guī)范函數(shù)[11]。當設定值變化包含斜坡信號時，應選取兩個基函數(shù)——階躍和斜坡函數(shù)，即控制量為：

其中、為待定系數(shù)，可得到。

根據(jù)式（6）的模型和式（8）的輸入可推算出未來時刻預測的輸出值：

整理后得：

將式（10）兩邊左乘A-1可得：

其中，，，，。

定義參考軌跡：

其中，yp為系統(tǒng)實際輸出；λ為柔化系數(shù)；c為設定值。

定義代價函數(shù)：

利用式（3）可得到代價函數(shù)的離散形式：

其中，，，，，，當qgt;0時，當qlt;0時。

定義誤差：

令，則可以根據(jù)求出最優(yōu)加權系數(shù)，其中：

則最優(yōu)控制率為：

3 "仿真實驗與結果分析

為了驗證筆者所提方法的有效性，運用Matlab2020b對如下分數(shù)階系統(tǒng)進行數(shù)值仿真：

用Oustaloup近似法選取N=4，近似擬合的頻率上、下限分別為ωh=106、ωl=10-6，可得近似高階模型：

為設計整數(shù)階預測函數(shù)控制器，使用最優(yōu)降階法將近似的高階模型降階為一階系統(tǒng)：

分數(shù)階模型、Oustaloup模型和降階后的一階模型的階躍響應如圖1所示。從圖中可以觀察到，Oustaloup模型和降階后的一階模型都能夠很好地逼近原始分數(shù)階系統(tǒng)的響應。筆者用降階后的一階模型設計整數(shù)階控制器，并將控制量作用于Oustaloup模型上，與分數(shù)階預測函數(shù)控制器（FOPFC）進行比對。

圖1 "階躍響應輸出對比曲線

仿真過程中，預測水平P=10，λ=0.95，γ=0.9。圖2為兩種控制系統(tǒng)的輸出響應曲線對比。為測試改進后控制器的抗干擾能力，筆者在t=300 s時加入了幅值為0.1的持續(xù)擾動。兩種控制方法的抗擾動曲線如圖3所示。

圖2 "輸出響應對比曲線

圖3 "抗擾動對比曲線

由圖2、3可知，傳統(tǒng)的整數(shù)階控制器出現(xiàn)了一個小的超調(diào)量，而分數(shù)階控制器沒有出現(xiàn)超調(diào)且上升速度更快，并有更好的抗干擾能力。為進一步測試所設計控制器的魯棒性能，筆者使用蒙特卡洛方法，選取如下兩組失配模型進行實驗：

第1組

第2組

兩組實驗輸出曲線如圖4、5所示。

從圖4、5可以看出，筆者所提方案在模型失配狀態(tài)下仍可達到穩(wěn)定的調(diào)節(jié)特性，即具有良好的跟蹤特性和更小的超調(diào)量，并且在受影響后調(diào)整持續(xù)時間也更短。

4 "結束語

筆者提出了一種分數(shù)階預測函數(shù)控制方法，通過GL分數(shù)階微積分定義在目標函數(shù)中加入微分算子，推導出基函數(shù)為階躍信號和斜坡信號時的最優(yōu)控制率。仿真結果表明該方法具有控制平穩(wěn)、調(diào)節(jié)時間短等優(yōu)點。分數(shù)階控制器在具有更高自由度的同時也帶來了更多調(diào)參的困難，然而目前對分數(shù)階參數(shù)的研究尚淺，在實際應用中常用實驗或仿真方法來選取。未來的研究方向是嘗試采用智能參數(shù)優(yōu)化方法來自動調(diào)整控制器的參數(shù)，以適應不同的系統(tǒng)和環(huán)境。目前分數(shù)階理論在實際應用中還相對較少，但其優(yōu)秀的表現(xiàn)具有很好的推廣意義。

參 "考 "文 "獻

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（收稿日期：2023-08-04，修回日期：2024-05-07）

Fractional Order Predictive Function Control for SISO System

SHAO Ke-yong， YANG Ming-hao， WANG Bing-qi，

HUANG Zhi-xian， WANG Hong-tao

（School of Electrical and Information Engineering， Northeast Petroleum University）

Abstract " Based on the theory of fractional calculus and predictive functional control， "a fractional-order predictive function control method for the single-input single-output（SISO）fractional-order linear systems was proposed. In which， having the Oustaloup approximation method adopted to approximate the fractional-order system as an integer-order system so as to establish a predictive output model， and having GL definition employed to introduce a fractional-order operator into the cost function. This control method simplified the controller design through structuring the control input， and introduced the fractional operator to increase the degree of the controller freedom. The simulation results show that， compared with the traditional predictive controller， the fractional-order predictive function controller has advantages of shorter adjustment time， strong anti-interference ability and robustness， and has a better tracking effect in the case of model mismatch.

Key words " Oustaloup approximation， SISO， fractional-order predictive function control， model mismatch

基金項目：黑龍江省省屬高校基本科研業(yè)務費（批準號：2022TSTD-04）資助的課題。

作者簡介：邵克勇（1970-），教授，從事魯棒控制、智能控制的研究。

通訊作者：楊明昊（1999-），碩士研究生，從事分數(shù)階預測控制的研究，446198019@qq.com。

引用本文：邵克勇，楊明昊，王炳淇，等.單輸入單輸出系統(tǒng)分數(shù)階預測函數(shù)控制[J].化工自動化及儀表，2024，51（4）：000-000.